棱柱及其性质
棱柱及其性质
1.了解多面体、凸多面体的概念．
2.掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念及其性质，了解棱柱的表示及其分类．
3.能初步利用棱柱的概念及其性质解决一些简单的问题．
➢教学重点、难点：棱柱的概念及其性质．
➢教学过程：
一、复习
平行六面体、长方体、正方体的概念．
二、新课讲解
1．多面体
（1）多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．
（2）凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．
（3）凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等．
说明：我们学习的多面体都是凸多面体．
2．棱柱
引入：从一些常见的物体（凸多面体），例如三棱镜、方
砖等，它们呈棱柱的形状（如图）．
（1）棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻
两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。
两个互相
平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；
M'M B'C'A'C A
x
y z 两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段
叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）．
（2）棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱．
设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =⊂U ．
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3．棱柱的性质
（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；
（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（图（1））；
（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形（图（2））．
三、例题分析
例1．已知正三棱柱ABC A B C '''-的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱
CC '上的点，且14CN CC '=，求证：AB MN '⊥． 证明（法一）：设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AA c '=u u u r r ，
则||||||1a b c ===r r r ，1,0a a a c b c ⋅=⋅=⋅=r r r r r r ，
AB a c '=+u u u u r r r ，1()2AM a c =+u u u u r r r ，14AN b c =+u u u r r r ， 111224MN AN AM a b c =-=-++u u u u r u u u r u u u u r r r r ， 111()()224AB MN a c a b c '⋅=+-++u u u u r u u u u r r r r r r 111cos600224
=-++=o ∴AB MN '⊥．
（法二）：取B C ''的中点M '，∴//MM BB ''，
又∵BB '⊥底面ABC ，∴MM '⊥底面ABC ， ∵ABC ∆是正三角形，M 是BC 边的中点，∴AM BC ⊥，
分别以,,MC MA MM '为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则11(,0,)24MN =u u u u r ，,0)2A ，1(,0,1)2
B '-，1(,22AB '=--u u u u r ， 111()0()102224
AB MN '⋅=⨯-+⨯-+⨯=u u u u r u u u u r ． ∴AB MN '⊥．
四、课堂练习
判断下列命题是否正确：
（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
（2）有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
（3）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱；
（4）有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
（5）底面是正方形的棱柱是正棱柱；
（6）棱柱最多有两个面是矩形；
（7）底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直的棱柱是正棱柱；
（8）每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱．
答：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错（6）错（7）对（8）错
五、本课小结
多面体的概念；棱柱的概念及性质．。
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
棱柱的性质
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
=============================================================
1．棱锥截面性质定理及推论
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
棱锥的侧面积及全面积
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则
S棱锥侧＝S1＋S2＋…＋Sn（其中Si，i＝1，2…n为第i个侧面的面积）
S全＝S棱锥侧＋Sபைடு நூலகம்
棱锥的体积
棱锥和圆锥统称锥体，锥体的体积公式是： v=1/3sh（s为锥体的底面积，h为锥体的高）。
侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为α，则有S底＝S侧cosα。如图画出了射影是外心和内心的情况。
3．棱锥的侧面积及全面积、体积公式
棱柱具有下列性质：
1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。
3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
推论1：如果棱锥被平行与底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
棱柱的性质知识点总结
棱柱的性质知识点总结1. 底面和顶面棱柱的底面和顶面是平行的多边形，它们的相应边是相等的。
这意味着，底面和顶面的周长和面积都是相等的，而且它们的对应边是平行的。
2. 侧面棱柱的侧面是平行四边形，它们的对角线相等且平行，侧面的各对角线相交于棱柱的中心点。
侧面的角度是侧面的相邻两条边的夹角，它们的对边是相等的。
3. 棱棱柱的棱是连接底面和顶面的线段，它们的长度和方向决定了棱柱的形状。
棱的长度可以通过棱柱的底面和顶面的边长和高度来计算。
4. 高度棱柱的高度是棱柱的底面到顶面的垂直距离，它是棱柱的一个重要的尺寸参数。
棱柱的高度决定了它的体积和表面积，也决定了它的稳定性和承载能力。
5. 体积棱柱的体积是指其所围成的空间大小，体积可以通过底面的面积和高度来计算。
一般来说，棱柱的体积越大，所能容纳的物质就越多。
6. 表面积棱柱的表面积是指其所有的外部表面的总和，它是一个重要的物理量。
表面积可以通过底面和顶面的面积以及侧面的面积来计算，表面积的大小决定了棱柱的散热能力和外观质感。
7. 对称性棱柱具有一定的对称性，它的底面和顶面是平行的，侧面也是平行四边形，所以棱柱具有一定的几何对称性。
这种对称性让棱柱在几何学中具有一定的美感和实用价值。
8. 稳定性棱柱的稳定性取决于它的形状和结构，一般来说，底面和顶面越稳定，侧面越牢固，棱柱的稳定性就越高。
这种稳定性是棱柱在工程和建筑中得到广泛应用的重要原因。
总之，棱柱是一种非常重要的立体图形，它具有多种性质和特点，包括底面、侧面、顶面、棱、高度、体积、表面积、对称性和稳定性等方面。
对这些性质和特点的深入了解，可以帮助我们更好地理解和应用棱柱，在数学、物理、工程和建筑等领域发挥它的作用。
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱、棱锥的概念和性质
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱的知识点总结
棱柱的知识点总结棱柱的性质：1. 顶点和边的关系：棱柱有两个底面和若干个侧面，每个顶点都与若干个侧面的交点，并且与两个底面的交点。
顶点的个数等于棱柱的顶面个数和底面个数之和。
2. 棱柱的表面积和体积：棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面积的总和，棱柱的体积等于底面积乘以高。
3. 棱柱的对称性：直棱柱在面对对角线对称和旋转180度对称的情况下，依然可以保持不变。
斜棱柱和正棱柱也有类似的对称性。
4. 棱柱的平行四边形关系：侧面都是平行四边形意味着棱柱的对边相等，且相对的对边平行。
在学习棱柱的过程中，我们还要掌握以下几个重要的知识点：1. 垂直棱柱、斜棱柱和正棱柱的特点和区别。
2. 棱柱的体积计算公式和表面积计算公式。
3. 棱柱的侧面展开图的绘制。
4. 棱柱的空间图形。
5. 棱柱的空间视图和投影。
垂直棱柱、斜棱柱和正棱柱的特点和区别：垂直棱柱：底面和顶面是平行的，并且相互垂直，侧面是平行四边形，也可以是矩形或者正方形。
垂直棱柱有很多例子，比如正方体、长方体等。
斜棱柱：底面和顶面不是平行的，侧面是平行四边形或者矩形。
斜棱柱的侧面和底面可以有不同的倾斜角度，所以斜棱柱有很多种不同的情况。
正棱柱：底面和顶面是平行的，侧面是等腰梯形。
正棱柱是一种特殊的棱柱，它具有独特的性质和特点。
对于垂直棱柱、斜棱柱和正棱柱，我们要掌握它们的特点和区别，以便能够正确识别和分类各种类型的棱柱。
棱柱的体积计算公式和表面积计算公式：棱柱的体积计算公式：V = 底面积 × 高棱柱的表面积计算公式：S = 2×底面积 + 侧面积在计算棱柱的体积和表面积时，我们要根据公式给出的参数，先计算出底面积和侧面积，然后代入公式求得棱柱的体积和表面积。
棱柱的侧面展开图的绘制：侧面展开图是指将棱柱的侧面展开平铺在平面上的图形，一般用来计算棱柱的表面积。
在绘制侧面展开图时，我们要根据棱柱的侧面形状和大小，将侧面展开成一个平面图形，然后根据展开图计算侧面积。
棱柱的性质及判定归纳
棱柱的性质及判定归纳
棱柱的定义
棱柱是一种几何体，具有以下特点：
- 该几何体由两个平行的多边形构成，上下底面多边形相等；
- 侧面是连接对应顶点的线段，形成一系列平行四边形；
- 侧面线段的长度相等。
棱柱的性质
棱柱具有以下性质：
1. 底面：棱柱的底面是多边形，其形状由具体的棱柱决定；
2. 侧面：棱柱的侧面是平行四边形，每个平行四边形的对边相等；
3. 顶点：棱柱的顶点是多边形的顶点以及侧面线段的连接点；
4. 高度：棱柱的高度是侧面线段的长度，垂直于底面的距离；
5. 表面积：棱柱的表面积可以计算底面和侧面积之和；
6. 体积：棱柱的体积可以计算底面的面积乘以高度。
棱柱的判定归纳
棱柱可以根据不同情况进行判定：
1. 如果底面是正多边形，并且侧边长度相等，则该棱柱为正棱柱；
2. 如果底面是任意多边形，并且侧边长度相等，则该棱柱为斜
棱柱；
3. 如果底面是圆形，并且侧边长度相等，则该棱柱为圆柱；
4. 如果底面既不是正多边形也不是圆形，并且侧边长度不相等，则该几何体不是棱柱。
希望以上内容对您有所帮助。
棱柱的概念和性质PPT教学课件
3、生物的生理机能与偏振光
人的眼睛对光的偏振状态是不能分辨的，但某些昆虫 的眼睛对偏振却很敏感。比如蜜蜂有五支眼、三支复眼、 两支复眼，每个复眼包含有6300个小眼，这些小眼能根据 太阳的偏光确定太阳的方位，然后以太阳为定向标来判断 方向，所以蜜蜂可以准确无误地把它的同类引到它所找到 的花丛。
N =MN
A1
} B1
平面MANB∥C A∩B平面AB A A1 ∥B1 B
B1
A1A=MANBB
AB=MN同理:BC=NP,AC=MP
所以△MNP≌△ABC (SSS)
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
已知：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1
求证：截面AA1 C1 C是平行四边形
证明：四A棱A柱1∥=ACB1CCD-A1 B1 C1 D1 D
2、观看立体电影:在拍摄立体电影时，用两个摄影机，两 个摄影机的镜头相当于人的两只眼睛，它们同时分别拍下 同一物体的两个画像，放映时把两个画像同时映在银幕上 。如果设法使观众的一只眼睛只能看到其中一个画面，就 可以使观众得到立体感。为此，在放映时，两个放放像机 每个放像机镜头上放一个偏振片，两个偏振片的偏振化方 向相互垂直，观众戴上用偏振片做成的眼镜，左眼偏振片 的偏振化方向与左面放像机上的偏振化方向相同，右眼偏 振片的偏振化方向与右面放像机上的偏振化方向相同，这 样，银幕上的两个画面分别通过两只眼睛观察，在人的脑
9.71 、 棱柱
我们常见的一些物体，例如三棱 镜，方砖以及螺杆的头部，它们 都呈棱柱形状，如图：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的有关性质和判定方法
棱柱的有关性质和判定方法
棱柱是一种立体图形，具有以下性质：
1. 边：棱柱由若干个平行的矩形面组成，每个矩形面的边数相等且长度相等，这些边称为棱柱的边。
2. 顶点：棱柱有两个平行的底面，每个底面都有若干个顶点，这些顶点被底面上的边连接起来，称为棱柱的顶点。
3. 面：棱柱由两个平行的底面和连接底面的侧面组成，每一个侧面都是一个长方形，这些侧面也是棱柱的面。
判定一个图形是否为棱柱一般有以下几种方法：
1. 观察面：如果一个图形有两个平行的底面，且底面之间的连接侧面全部是矩形，则这个图形是棱柱。
2. 观察边和顶点：如果一个图形的所有边数相等且长度相等，且所有顶点被边连接起来的形状满足棱柱的定义，则这个图形是棱柱。
3. 观察投影：将图形在一个平面上作平行投影，如果投影在平面上是一个多边形，且多边形的边数相等且长度相等，则这个图形是棱柱。
需要注意的是，以上方法只是判定一个图形是否为棱柱的一般方法，对于特殊的几何形状可能需要更具体的判定方法。
棱柱的性质及其在建筑中的应用
棱柱的性质及其在建筑中的应用棱柱是一种有固定形状、有一对平行多边形底面并由多个矩形侧面连接而成的几何体。
它作为一个重要的几何形状，在建筑领域中有着广泛的应用。
本文将就棱柱的性质以及它在建筑中的具体应用进行探讨。
一、棱柱的性质棱柱是一个三维几何体，由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的若干个矩形侧面组成。
棱柱的性质有以下几个方面：1. 底面性质：棱柱的底面通常是多边形，常见的有三角形、四边形、五边形等。
底面上的边长、角度等都直接影响着棱柱的形状和性质。
2. 侧面性质：棱柱的侧面由连接底面顶点的矩形构成，所有的侧面都是平行的。
侧面的高度、宽度以及倾斜角度等参数也会决定棱柱的具体形态。
3. 顶面性质：棱柱的顶面是底面的镜像，与底面形状相同。
4. 容积和表面积：棱柱的容积可以通过底面面积与高度的乘积来计算，表面积包括底面面积、侧面面积以及顶面面积之和。
二、棱柱在建筑中的应用由于棱柱具有稳定的结构和独特的外形，因此在建筑中有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的棱柱应用案例。
1. 柱子和立柱：在建筑结构中，柱子和立柱常常采用棱柱的形状。
棱柱柱子的形状可以提供更好的承重能力，使建筑更加稳固和坚固。
同时，棱柱形状也能够提供更美观的外观效果，增加建筑的视觉吸引力。
2. 独立建筑：棱柱形状的建筑物也得到了广泛的运用，如塔楼、钟楼等。
这些建筑利用了棱柱的稳定性和造型特点，既满足了功能需求，又能够成为城市的地标性建筑。
3. 支撑结构：棱柱也被广泛运用于建筑物的支撑结构中，如钢柱、混凝土柱等。
这些棱柱形状的支撑结构能够承受建筑物的重量，并将力量传递至地基，确保整个建筑物的稳定性和安全性。
4. 装饰元素：棱柱形状的装饰元素也常出现在建筑的细节设计中，如圆柱形的栏杆、柱廊等。
这些装饰元素既能够增加建筑的美感，又能够提供一定的支撑功能。
综上所述，棱柱作为一种重要的几何体，具有稳定的结构和独特的形状，被广泛应用于建筑领域。