面的直线知识点总结

直线的知识点总结

一、 直线的倾斜角与斜率：

1. 直线的倾斜角：

1) 定义：当直线与x 轴相交时，沿x 轴正方向为始边，按照逆时针方

向旋转所得的最小正角；

规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0； 2) 范围：直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<； 2. 直线的斜率：

1) 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的

斜率。直线的斜率常用k 表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 2) 公式： tan k α=

a.当[

) 90,0∈α时，0≥k ，当α=0°时，斜率k =0；当090α?<

斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；

当() 180,90∈α时，0

这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.

b. 如果知道直线上两点()1

1

,A x y ，()2

2

,B x y

2112

122112

()AB y y y y k x x x x x x --=

=≠-- 注意：(1)特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. (2)k 与A 、B 的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

c ．设直线():00l Ax By C B ++=≠ 则A k B

=-

注：三点A ，B ，C 共线，则AB BC k k =

二、直线的方程：

①点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.

注意：当直线的倾斜角为0°时，k=0，直线的方程是y =y 0。 当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 0，所以它的方程是x =x 0。

y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，

前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 。斜截式不能表示

垂直x 轴直线.

③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线。

④截矩式：1x y a b

+

= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别

为,a b 截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.

特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：

a x =（a 为常数）；

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程

A C

y x B B

=-

-，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.

直线系方程：即具有某一共同性质的直线：

1) 平行的直线系：

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）

2) 垂直的直线系：

垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000B x A y C -+=（C 为常数）

3) 过定点的直线系：

斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； 过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中

直线方程的设法：

1) 知直线纵截距b ，直线的方程为y kx b =+；

2) 知直线横截距0x ，直线的方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0

的直线)；

3) 知直线过点00(,)x y ，

当斜率k 存在时，直线的方程为00()y k x x y =-+； 当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；

4) 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5) 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=；

三、两条直线的位置关系：

一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200

A x

B y

C A x B y C ++=??

++=?. 若方

程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

提醒：

111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222

A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！

四、两条直线所成的角：

1. 到角：

定义：1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l

重合所转的角

θ，θ()π,0∈；

公式：tan θ=211

21k k k k +-(121

k k ≠-)；

2. 夹角：

定义：1l 与2l 的夹角是指直线1l 与2l

所成的最小正角 θ，θ0,2π??∈ ?

??；

公式：tan θ=︱

2

1121k k k k +-︱(121

k k ≠-)

五、公式：

1. 两点间的距离公式：

设点()11,A x y ，点()22,B x y ，则AB =2. 点到直线的距离公式：

设点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ，则

d =

3. 平行线间的距离公式：

设1:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离为d ，则d =

注：与:0l Ax By C ++=平行且距离为d 的直线方程为

:0l Ax By C ±++

与1:0l Ax By C ++=和22:0l Ax By C ++=的距离相等的直线的方程为

12

:02

C C l Ax By +++

= 4. 中点坐标公式：

设点()11,A x y ，点()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,C x y ，则1202

x x x +=，

12

02

y y y +=

5. 线段的定比分点坐标公式：

点()00,P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，点()111,P x y ，

点()222,P x y 则： 1201x x x λλ+=

+，12

01y y y λλ

+=+