认识正比例图像
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正比例和反比例ppt课件
在直角坐标系中，反比例函数图 像是一个双曲线。
正反比例的性质对照
相同点
两者都涉及到两个量的变化关系，其中一个量变化时，另一个量也相应变化。
不同点
正比例中，比值是一定的；反比例中，比值是不定的。正比例关系是一条直线，而反比例 关系是一个双曲线。
应用场景
正比例关系在物理、化学、工程等领域都有广泛应用，如速度、密度等；反比例关系在电 力、运输、通讯等领域常见，如电流与电阻、运输成本与运输距离等。
02 正比例和反比例的应用
正比例的应用
01
02
03
计算增长率
在统计学中，正比例常用 于计算某一变量的增长率 ，如GDP增长率、人口增 长率等。
猜测模型
在猜测模型中，正比例关 系可用于猜测未来趋势， 例如猜测产品销售量与广 告投入的关系。
线性回归分析
在回归分析中，正比例关 系可用于描写两个变量之 间的线性关系，例如身高 与体重的关系。
在坐标系中，反比例关系表现为一条 双曲线。
当一个量y随着另一个量x的增大而减 小，或者随着x的减小而增大时，我们 说y与x成反比。
正反比例数学表达的异同点
相同点
正比例和反比例都涉及到两个量之间的变化关系，且都存在 一个常数k来描写这种关系。
不同点
正比例是y与x之间的直接关系，而反比例是xy之间的乘积关 系；正比例关系中y随x增大而增大，而反比例关系中y随x增 大而减小或随x减小而增大；正比例在坐标系中表现为直线， 而反比例表现为双曲线。
则它们成反比例。
反比例关系在现实生活中也广泛 存在，如一定质量的物体下，压 力与面积成反比；一定速度下，
距离与时间成反比等。
正反比例的异同点
相同点
正比例和反比例都是描写两个量之间关系的比例关系，都涉及到两个变量的变 化趋势。
正反比例的性质对照
相同点
两者都涉及到两个量的变化关系，其中一个量变化时，另一个量也相应变化。
不同点
正比例中，比值是一定的；反比例中，比值是不定的。正比例关系是一条直线，而反比例 关系是一个双曲线。
应用场景
正比例关系在物理、化学、工程等领域都有广泛应用，如速度、密度等；反比例关系在电 力、运输、通讯等领域常见，如电流与电阻、运输成本与运输距离等。
02 正比例和反比例的应用
正比例的应用
01
02
03
计算增长率
在统计学中，正比例常用 于计算某一变量的增长率 ，如GDP增长率、人口增 长率等。
猜测模型
在猜测模型中，正比例关 系可用于猜测未来趋势， 例如猜测产品销售量与广 告投入的关系。
线性回归分析
在回归分析中，正比例关 系可用于描写两个变量之 间的线性关系，例如身高 与体重的关系。
在坐标系中，反比例关系表现为一条 双曲线。
当一个量y随着另一个量x的增大而减 小，或者随着x的减小而增大时，我们 说y与x成反比。
正反比例数学表达的异同点
相同点
正比例和反比例都涉及到两个量之间的变化关系，且都存在 一个常数k来描写这种关系。
不同点
正比例是y与x之间的直接关系，而反比例是xy之间的乘积关 系；正比例关系中y随x增大而增大，而反比例关系中y随x增 大而减小或随x减小而增大；正比例在坐标系中表现为直线， 而反比例表现为双曲线。
则它们成反比例。
反比例关系在现实生活中也广泛 存在，如一定质量的物体下，压 力与面积成反比；一定速度下，
距离与时间成反比等。
正反比例的异同点
相同点
正比例和反比例都是描写两个量之间关系的比例关系，都涉及到两个变量的变 化趋势。
人教版八年级数学上册正比例函数的图像和性质
当k<0时它的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减少。
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
练习题
1，下列函数中，正比例函数是（ )
A. y=-8x
B. y=-8x+1
C. y=8x² +1
D. y=-8/x
2， 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二，
四象限，那么( )
A,k>0
B,k<0
C k>2
D,k<-2
3， 函数y=(m-3)x³¯™是正比例函数，m为何值？
4.直线y=kx经过点（1，-4），那么k=___ 这条直线在第___象限内，直线上的点的纵坐标随 横坐标的增大而___。已知点A(a,1),B(-2,b)在这条
2
y
·
o1
y= 12x
小结：两图像都是经过原点的直线函数y=2x的图 像从左向右上升，经过第一，三象限；函数y=-2x 的图像从左向右下降，经过第二，四象限。
正比例函数性质：
对于正比例函数y=kx 1、图象都经过原点； 2、当k>0时，它的图象经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 3、当k<0时，它的图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减少；
2.4
2.自变量x的取值范围0≤x≤35
1.8
3.蜡烛点燃35分钟后可燃烧完。
1.2
0.6
0 12
x
3 45 6
本章总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线， 我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
练习题
1，下列函数中，正比例函数是（ )
A. y=-8x
B. y=-8x+1
C. y=8x² +1
D. y=-8/x
2， 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二，
四象限，那么( )
A,k>0
B,k<0
C k>2
D,k<-2
3， 函数y=(m-3)x³¯™是正比例函数，m为何值？
4.直线y=kx经过点（1，-4），那么k=___ 这条直线在第___象限内，直线上的点的纵坐标随 横坐标的增大而___。已知点A(a,1),B(-2,b)在这条
2
y
·
o1
y= 12x
小结：两图像都是经过原点的直线函数y=2x的图 像从左向右上升，经过第一，三象限；函数y=-2x 的图像从左向右下降，经过第二，四象限。
正比例函数性质：
对于正比例函数y=kx 1、图象都经过原点； 2、当k>0时，它的图象经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 3、当k<0时，它的图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减少；
2.4
2.自变量x的取值范围0≤x≤35
1.8
3.蜡烛点燃35分钟后可燃烧完。
1.2
0.6
0 12
x
3 45 6
本章总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线， 我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
六年级数学下册认识正比例图像教案苏教版
教案：六年级数学下册认识正比例图像教案苏教版一、教学目标1. 让学生通过观察、分析、归纳，理解正比例图像的特征及意义。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：正比例图像的特征及意义。
2. 教学难点：如何判断两种相关联的量是否成正比例。
三、教学准备1. 教具准备：正比例图像的示例、多媒体课件。
2. 学具准备：学生分组合作，准备正比例图像的相关材料。
四、教学过程1. 导入新课1.1 教师出示正比例图像，引导学生观察、分析。
1.2 学生分享观察到的图像特征。
1.3 教师总结正比例图像的特征，板书课题。
2. 探究正比例图像的特征2.1 教师引导学生通过小组合作，探讨正比例图像的特征。
2.2 学生汇报探讨成果，教师点评并总结。
3. 实例分析3.1 教师出示实际问题，引导学生运用正比例图像解决。
3.2 学生展示解题过程，教师点评并指导。
4. 练习巩固4.1 教师设计练习题，让学生独立完成。
4.2 学生展示解答，教师点评并指导。
5. 总结拓展5.1 教师引导学生总结本节课所学内容。
5.2 学生分享学习收获，教师给予鼓励。
五、课后作业1. 完成练习册相关题目。
2. 观察生活中的正比例现象，下节课分享。
教学反思：本节课通过观察、分析、实例、练习等环节，让学生掌握了正比例图像的特征及意义。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养了学生的抽象思维能力。
结合生活实际，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
但在课堂提问环节，可以更加注重启发学生思考，提高学生的表达能力。
六、教学评价1. 知识与技能：学生能识别和理解正比例图像，能够解释实际问题中的正比例关系。
2. 过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳来探索正比例图像的特征，并能运用这些特征解决相关问题。
3. 情感态度与价值观：学生对数学学习保持兴趣和热情，能够在小组合作中积极参与，展现合作和交流的能力。
第2课：正比例图像(教案)-2023-2024学年六年级下册数学苏教版
情感升华：
结合正比例图像内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习正比例图像的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的正比例图像内容，强调正比例图像重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的正比例图像内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.理解正比例的概念：学生将能够理解正比例的概念，即当两个变量的比值保持不变时，这两个变量之间就存在正比例关系。学生将能够运用这个概念来描述两个变量之间的关系。
2.绘制正比例图像：学生将能够绘制正比例图像，并理解正比例图像的特点，如图像是一条通过原点的直线，斜率为正比例关系的常数。学生将能够根据正比例图像求出两个变量之间的关系式，并能够利用这个关系式进行相关的计算。
答案：正比例关系式为y=3x。
3.例题3：在直角坐标系中，点A(2,4)和点B(4,8)位于同一直线上。请判断这个直线是否为正比例图像。
解题思路：正比例图像是一条通过原点的直线。我们可以计算点A和点B的斜率，如果斜率等于正比例关系的常数，那么这条直线就是正比例图像。
答案：点A(2,4)和点B(4,8)的斜率为8/2=4，不等于正比例关系的常数。因此，这个直线不是正比例图像。
解题思路：我们可以通过计算斜率来判断这个直线是否为正比例图像。如果斜率等于正比例关系的常数，那么这条直线就是正比例图像。
答案：点C(2,1)和点D(4,3)的斜率为3/2=1.5，不等于正比例关系的常数。因此，这个直线不是正比例图像。
教学反思与总结
然而，在教学过程中也存在一些问题和不足。例如，在讲解正比例图像的概念时，我发现部分学生对正比例图像的特点和绘制方法理解不够深入。针对这一问题，我计划在今后的教学中增加更多的实例和练习，以帮助学生更好地理解正比例图像的概念和应用。
结合正比例图像内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习正比例图像的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的正比例图像内容，强调正比例图像重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的正比例图像内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.理解正比例的概念：学生将能够理解正比例的概念，即当两个变量的比值保持不变时，这两个变量之间就存在正比例关系。学生将能够运用这个概念来描述两个变量之间的关系。
2.绘制正比例图像：学生将能够绘制正比例图像，并理解正比例图像的特点，如图像是一条通过原点的直线，斜率为正比例关系的常数。学生将能够根据正比例图像求出两个变量之间的关系式，并能够利用这个关系式进行相关的计算。
答案：正比例关系式为y=3x。
3.例题3：在直角坐标系中，点A(2,4)和点B(4,8)位于同一直线上。请判断这个直线是否为正比例图像。
解题思路：正比例图像是一条通过原点的直线。我们可以计算点A和点B的斜率，如果斜率等于正比例关系的常数，那么这条直线就是正比例图像。
答案：点A(2,4)和点B(4,8)的斜率为8/2=4，不等于正比例关系的常数。因此，这个直线不是正比例图像。
解题思路：我们可以通过计算斜率来判断这个直线是否为正比例图像。如果斜率等于正比例关系的常数，那么这条直线就是正比例图像。
答案：点C(2,1)和点D(4,3)的斜率为3/2=1.5，不等于正比例关系的常数。因此，这个直线不是正比例图像。
教学反思与总结
然而，在教学过程中也存在一些问题和不足。例如，在讲解正比例图像的概念时，我发现部分学生对正比例图像的特点和绘制方法理解不够深入。针对这一问题，我计划在今后的教学中增加更多的实例和练习，以帮助学生更好地理解正比例图像的概念和应用。
《正比例与反比例》课件
当x增大时，y也按相 同的比例增大，反之 亦然。
反比例的数学表达
反比例关系可以用等式表示为 xy = k，其中k是常数。 当x增大时，y减小，反之亦然。
例如，当x=2时，y=4；当x=4时，y=2，表示y与x成反比。
正反比例数学表达的对比分析
正比例关系中，y与x的比例是恒定的，而反比例关系中，xy的值是恒定 的。
应用
正比例和反比例关系在日常生活和科学实验中广泛存在， 如速度与距离、电量与电流等。通过理解这两种关系，可 以更好地解释和预测自然现象和实验结果。
05
正比例与反比例的数学表达
正比例的数学表达
正比例关系可以用等 式表示为 y/x = k， 其中k是常数。
例如，当x=2时， y=4；当x=4时， y=8，表示y与x成正 比。
正比例关系中，y随x增大而增大或减小而减小，而反比例关系中，y随x 增大而减小或减小而增大。
正反比例关系在数学和实际生活中都有广泛的应用，例如速度与时间的 关系、密度与体积的关系等。
THANKS。
详细描述
当我们购买一定数量的物品时，随着数量的增加，所需支付的总价也会按比例 增加，这就是正比例的体现。例如，购买铅笔时，每增加一支铅笔，总价也会 相应增加。
生活中的反比例
总结词
反比例关系则描述了两个量之间的反比关系，即一个量增加时，另一个量会按比 例减少。
详细描述
在乘坐公共交通工具时，乘客数量增加会导致人均空间减少，这就是反比例的体 现。例如，当一列火车满员后，每增加一名乘客，每个人可用的座位空间就会相 应减少。
03
正比例与反比例的性质
正比例的性质
正比例是指两个量之间的比值保 持不变，即y/x=k（k为常数）。
正比例函数图像课件ppt
正比例函数的应用场景
总结词
正比例函数在现实生活中有许多应用场景，如速度-时间关系 、加速度-时间关系等。
详细描写
在物理学中，速度和时间是成正比的，可以用正比例函数表 示。同样地，加速度和时间的关系也可以用正比例函数表示 。此外，在经济学、统计学等领域中也有许多应用场景，如 收入与工作时间的关系等。
k值变化时
当k的值产生变化时，图像的斜率也 会相应变化，但始终保持垂直于x轴 。
03 正比例函数图像的性质
函数的单调性
单调递增
当比例系数大于0时，随着x的增大 ，y的值也增大。
单调递减
当比例系数小于0时，随着x的增大，y 的值减小。
函数的对称性
关于原点对称
正比例函数的图像总是经过原点，并且关于原点对称。
正比例函数的基本性质
总结词
正比例函数具有一些基本性质，包括斜率固定、过原点、y 随 x 增大而增大或 减小等。
详细描写
正比例函数的斜率为 k，即当 x 增加时，y 会以 k 的比例增加或减少。如果 k>0，则函数图像为增函数；如果 k<0，则函数图像为减函数。由于图像过原 点，因此当 x=0 时，y=0。
解决代数问题
正比例函数是线性函数的一种特殊情势，通过正比例函数图像可以直观地表示函数的增减性、交点等性质，有助 于解决代数方程、不等式等问题。
在物理中的应用
描写光强与距离的关系
在光学中，光强与光源的距离成正比。通过正比例函数图像，可以表示光强与距离之间的关系，进而 分析光学现象。
描写声音强度与距离的关系
续的学习打下坚实的基础。
提高练习题
总结词：深化理解
详细描写：提高练习题是在学生掌握正比例函数的基本概念后，进一步深化对正 比例函数的理解。这些练习题将涉及更复杂的函数情势、参数变化对函数图像的 影响等内容，有助于培养学生的思维能力和解决问题的能力。
《正比例图像》课件
04 正比例函数图像与反比例函数图像的关系
函数表达式的关系
正比例函数
y=kx (k>0)
反比例函数
y=k/x (k>0)
两者之间的关系
正比例函数是反比例函数的一种特殊形式，即当k>0时，反比例函 数的图像在第一象限和第三象限。
图像性质的比较
正比例函数图像
一条通过原点的直线，当k>0时，图 像位于第一、三象限；当k<0时，图 像位于第二、四象限。
《正比例图像》课件
• 正比例图像的定义与性质 • 正比例函数图像的应用 • 正比例函数图像的变换
• 正比例函数图像与反比例函数图 像的关系
• 正比例函数图像与其他函数图像 的区别与联系
01 正比例图像的定义与性质
定义
01
正比例图像是指图像上任意两点 之间的距离与它们在x轴上的坐标 之差成正比。
y=kx+b，其中b=a。
在y轴方向上平移b个单位，函 数表达式变为y=kx+b，其中
k=1。
伸缩变换
伸缩变换是指函数图像在坐标轴 上按一定的比例放大或缩小。
当k>1时，图像在x轴方向上拉伸 ，y轴方向上压缩；当0<k<1时 ，图像在x轴方向上压缩，y轴方
向上拉伸。
伸缩变换会影响函数的值域和定 义域，需要注意函数的定义域和
THANKS 感谢观看
值域的变化。
翻折变换
01
翻折变换是指将函数图 像沿某一直线翻折到另 一侧。
02
正比例函数的图像在 x=a处翻折，函数表达 式变为y=-kx+b，其中 k=-1。
03
在y=b处翻折，函数表 达式变为y=-kx+b，其 中k=-1。
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）
不成正比例
（3）圆的直径和周长。
（
（4）长方形的面积和长。
（
（5）圆的直径一定,周长和圆周率。（
） ）
）
成正比例 不成正比例
不成正比例
x、y、z是三种相关联的量,已知x×y=z, 当( )一定时,( )和( )成正比例。
x、y、z是三种相关联的量,已知x×y=z,
当( )一定x时,( )和( )成正比例。
z
y
x、y、z是三种相关联的量,已知x×y=z,
当( )一定y时,( )和( )成正比例。
z
x
课堂小结： 这节课你学会了什么？你有哪些收获？还有哪些疑问？
课堂作业： 练习十第5题
谢谢大家！
2020/11/26
25
3.
小军骑车行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？ 因为图像呈一条直线，所以小军骑车行驶的路程和时间成正比例。
8 =
30 路程
时间
4
16
15
60
=速度
4 =
15
（一定）
所以小军骑车行驶的路程和时间成正比例。
24
4
=
90
15
利用图像估计，小军20分钟大约行多少千米？行20千米大约用了多少分钟？
练习：
认识正比例图像
2020/11/26 1
1、 判断下面两种量能否成正比例，并说明理由。 （1）数量一定，总价和单价 （2）和一定，一个加数和另一个加数 （3）比值一定，比的前项和后项 （4）根据表中的数据判断时间和路程成正比例吗？为什么？
一辆汽车在公路上行驶,行驶的 时间和路程如下表。
表中的数据，可以用下图中的点表示。
B A 图中A点表示什么?B点表示什么?其他各点呢?
图中所描的点在一条直线上吗? 正比例的图像是一条直线!
根据图像判断,这辆汽车2.5小时 行驶多少千米?
答：这辆汽车2.5小时行驶200 千米。
行驶440千米需要多少小时?
答：行驶440千米需要5.5 小时。
（3）估计小玲5分钟打了多少个字？打750个字要多少分钟？
一种彩带每米售价5元，购买2米、 3米……各需要多少元？ 1.把下表填写完整。
10
15
20
25
根据表中的数据，在下图中描出长度和 总价所对应的点，再把它们按顺序连起来。
长度/米
3、购买彩带的长度和需要的钱数成正比例吗？你是根据什么来判断的？ 答：购买彩带的长度和需要的钱数成正比例。我是根据 ：总价 ：数量＝单价 （一定）来判断的。 也可以根据正比例的图像是成一条直线来判断。
4、根据图像判断，购买3.5米彩带需要多少元？ 答：根据图像判断，购买7支水笔需要10.5（元）
长度/米
判定两个量是不是成正比例：
一看是不是（
）
二看是不是（
）
三看是不是（
）的两种量是否成正比例。
（1）每人植树棵数一定，参加植树人数和植树总棵数。
（
）
成正比例
（2）小新的年龄和他的身高。 （