集合、简易逻辑、函数与导数

且 c≥2
b2 ×1＝|b|，因此 2c－b＝c＋(c－b)>0. 4
故当 x≥0 时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0. 即当 x≥0 时，f(x)≤(x＋c)2 fc－fb c2－b2＋bc－b2 c＋2b (2)解：由(1)知，c≥|b|.当 c>|b|时，有 M≥ 2 2 ＝ ＝ . c －b c2－b2 b＋c c＋2b b 1 1 令 t＝ ，则－1<t<1， ＝2－ .而函数 g(t)＝2－ (－1<t<1)的值域是 c b＋c 1＋t 1＋t
又 a<0，所以－
综上所述，所求 a 的取值范围是－

2 ，0 . 2
12．(2010· 湖南)已知函数 f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的 x∈R，恒有 f′(x)≤f(x)． (1)证明：当 x≥0 时，f(x)≤(x＋c)2； (2)若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 f(c)－f (b)≤M(c2－b2)恒成立，求 M 的 最 小值． (1)证明：易知 f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的 x∈R,2x＋b≤x2＋bx＋c，即 x2＋ b2 (b－2)x＋c－b≥0 恒成立，所以(b－ 2)2－4(c－b)≤0， 从而 c≥ ＋1.于是 c≥1， 4
1 0， ， ∴f(x) 的值域为 2
∴①对，②对，③对，④错． 答案：①②③ 三、解答题 1 11．设集合 A 为函数 y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合 B 为函数 y＝x＋ 的值域， x＋1 1 集合 C 为不等式(ax－ )(x＋4)≤0 的解集． a (1)求 A∩B； (2)若 C⊆∁RA，求 a 的取值范围． 解：(1)由－x2－2x＋8>0，解得 A＝(－4,2)， 1 1 又 y＝x＋ ＝(x＋1)＋ －1， x＋1 x＋1 所以 B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 所以 A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)因为∁RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． 1 由 ax－a(x＋4)≤0，知 a≠0. 1 1 x－ 2(x＋4)≤0，得 C＝－4， 2，不满足 C⊆∁RA； ①当 a>0 时，由 a a 1 1 x－ 2(x＋4)≥0，得 C＝(－∞，－4)∪ 2，＋∞，欲使 C⊆∁RA， ②当 a<0 时，由 a a 1 则 2≥2， a 解得－ 2 2 ≤a<0 或 0<a≤ . 2 2 2 ≤a<0. 2
解析：∵f(x)＝x3－8(x≥0)且 f(x)是偶函数；
3 x －8，x≥0， ∴f(x)＝ 3 －x －8，x<0，
x－2≥0， ∴ 3 x－2 －8>0，
x<2， x－2<0， x≥2， 或 ⇒ 或 3 －x－2 －8>0， x>4， x<0.
6． 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象如右图所示， 且|x1|<|x2|， 则有 A．a>0，b>0，c<0，d>0 B．a<0，b>0，c<0，d>0 C．a<0，b>0，c>0，d>0 D．a>0，b<0，c>0，d<0
(
)
解析：因 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意可知导函数 f′(x)的图象如右图所示，所以 2b a<0，c>0，－ <0，则 b<0，由原函数图象可知 d>0. 3a 答案：C 二、填空题 7．已知函数 f(x)＝ax4＋bcos x－x，且 f(－3)＝7，则 f(3)的值为________．
解析：设 g(x)＝ax4＋bcos x，则 g(x)＝g(－x)．由 f(－3)＝g(－3)＋3，得 g(－3)＝f(－ 3)－3＝4，所以 g(3)＝g(－3)＝4，所以 f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1. 答案：1 8 ．已知函数 f(x) ＝ k x3 ＋ 3(k － 1)x2 － k2 ＋ 1(k>0) 的单调减区间是 (0,4) ，则 k 的值是 ________． 解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x 1 ∵函数的单调 减区间是(0,4)，∴f′(4)＝0，∴k＝ . 3 1 答案： 3 9．(2010· 烟台模拟)已知函数 f(x)的值域为[0,4](x∈[－2，2])，函数 g(x)＝ax－1，x∈ [－2,2]，任意 x1∈[－2,2]，总存在 x0∈[－2,2]，使得 g(x0)＝f(x1)成立，则实数 a 的 取 值范围是________． 解析：由题意知[0,4]是 g(x)值域的子集． 而 g(x)的值域为[－2|a|－1,2|a|－1]． 5 显然－2|a|－1<0，故只需 2|a|－1≥4，即|a|≥ ， 2 5 5 ∴a≥ 或 a≤－ . 2 2 5 5 答案：a≥ 或 a≤－ 2 2 1 1 10．(2010· 潍坊模拟)给出定义：若 m－ <x≤m＋ (其中 m 为整数)，则 m 叫做离实数 x 2 2 最近的整数， 记作{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)＝|x－{x}|的四个命题： 1 ①函数 y＝f(x)的定义域为 Rx＝ (k∈Z)对称； 2 ③函数 y＝f(x)是周期函数，最小正周期为 1； 1 1 ④函数 y＝f(x)在[－ ， ]上是增函数． 2 2 其中正确的命题的序号是________． 1 1 解析：①由定义知：－ <x－{x}≤ 2 2 ∴ 0≤|x－{x}|≤ 1 2
－∞，3.因此，当 c>|b|时，M 的取值集合为3，＋∞. 2 2
当 c＝|b|时，由(1)知，b＝± 2，c＝2.此时 f(c)－f(b)＝－8 或 0，c2－b2＝0，从而 f(c) 3 －f(b)≤ (c2－b2)恒成立． 2 3 综上所述，M 的最小值为 . 2 13．(2009· 湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米．余下工程只需 建 两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元． 假设桥墩等距离分布， 所有桥 墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)用 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ m 解：(1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m，即 n＝ －1，所以 y＝f(x)＝256n＋(n x ＋ m m 256m 1)(2＋ x)x＝256 x －1＋ x (2＋ x)x＝ x ＋m x＋2m－256.
2
(
)
( C．－ln 2 D．ln 2
)
A．－2ln 2
B．2ln 2
1 2 解析：∵4 dx＝ln x|4 2＝ln 4－ln 2＝ln 2 －ln 2＝2ln 2－ln 2＝ln 2. x
2
答案：D 4．(2010· 课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( A．{x|x<－2 或 x>4} C．{x|x<0 或 x>6} B．{x|x<0 或 x>4} D．{x|x<－2 或 x>2} )
3
256m 1 1 m 2 (2)由(1)知，f′(x)＝－ 2 ＋ mx－ ＝ 2(x －512)． x 2 2 2x 令 f′( x)＝0，得 x ＝512，所以 x＝64. 0<x<64 时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数； 当 64<x<640 时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以 f(x)在 x＝64 处取 得 m 640 最小值．此时 n＝ －1＝ －1＝9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小
3 2
解得 x>4 或 x<0，故选 B 答案：B 5．(2010· 浙江)设函数 f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是 ( A．[－4，－2] C．[0,2] 解析：∵f(0)＝4sin 1>0， f(2)＝4sin 5－2<0， ∴函数 f(x)在[0,2]上存在零点； ∵ f(－2)＝－4sin 1＋1<0 ， ∴函数 f(x)在[－2,0]上存在零点； 5π 1 又∵2< － <4， 4 2 5π 1 5π 1 f 4 －2 ＝4－ 4 －2>0， 而 f(2)<0，∴函数 f(x)在[2,4]上存在零点．故选 A. 答案：A B．[－2,0] D．[2,4] )
专题达标检测
一、选择题 1． 已知集合 A＝{x|x<a}， B＝{x|1≤x<2}， 且 A∪(∁RB)＝R， 则实数 a 的取值范围是( A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>2 )
解析：∁RB＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，又 A∪(∁RB)＝R.数轴上画图可得 a≥2，故选 C. 答案：C 5 1 1 1 － ，－2，则下 列说法正确的是 2．已知命题 p： ≤2x≤ ，命题 q：x＋ ∈ 4 2 x 2 A．p 是 q 的充要条件 B．p 是 q 的充分不必要条件 C．p 是 q 的必要不充分条件 D．p 是 q 的既不充分也不必要条件 1 1 解析： ≤2x≤ ⇒－2≤x≤－1，即 x∈[－2，－1] 4 2 5 1 1 － ，－2，则 x∈[－2，－ ]． 而若 x＋ ∈ x 2 2 1 又[－2，－1] －2，－2. ∴p 是 q 的充分不必要条件． 答案：B 1 3．(2010· 湖南)4 dx 等于 x