高中数学圆锥曲线知识点整理

高三数学圆锥曲线知识整理

知识整理

解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹)方程.它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系),侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形,重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、

三种圆锥曲线的研究

（1）统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样

的

点集:⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧>=0e ,e d

|PF ||P ，其中F 为定点,d 为P 到定直线的距离,F ∉，如图.

因为三者有统一定义，所以,它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+｜PF2|=2a，2a〉|F1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线｛P｜|｜PF1|—｜PF2｜｜=2a，｜F1F2|〉2a〉0，F1，F2为定点}.

(3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质,不因为位置的改变而改变。

①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上

椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点,两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称.

②定量：

(4)圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：

总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2、直线和圆锥曲线位置关系

（1）位置关系判断：△法(△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y 方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与

抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。

（2）

直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法:一是韦达定理；二是点差法。

4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式,通过解不等式求范围。 例题研究

例1、

根据下列条件，求双曲线方程。

（1）

与双曲线116y 9x 2

2=-有共同渐近线,且过点（—3，32）; （2）

与双曲线

14

y 16x 2

2=-有公共焦点，且过点（23,2)。

分析：

法一:（1）双曲线

116

y 9x 2

2=-的渐近线为x 3

4y ±=

令x=—3，y=±4，因4

32<,故点（—3，32）在射线x 3

4y -=（x ≤0）及x 轴负半轴之间，

∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1

b y a x 2

22

2=-，（a 〉0，b 〉0）

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=--=1b )32(a )3(34

a b 22

2

2

解之得:

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为

14y 4

9x 2

2=- （2）设双曲线方程为1

b

y a

x 2

22

2=-

(a 〉0，b 〉0）

则

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+1b 2a

)23(20b a 22

2

222 解之得：

⎪⎩

⎪⎨⎧==8b 12

a 2

2 ∴ 双曲线方程为

18

y 12x 2

2=- 法二：（1）设双曲线方程为λ=-16

y 9x 2

2（λ≠0）

∴ λ=--16

)32(9)3(2

2 ∴

4

1=

λ ∴ 双曲线方程为

14y 4

9x 2

2=- （3）

设双曲线方程为

1k 4y k 16x 22

=+--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴

1k

42k 16)23(2

2=+--

解之得：k=4 ∴ 双曲线方程为18y 12x 2

2=- 评注:与双曲线

1

b y a x 2

22

2=-共渐近线的双曲线方程为

λ

=-

2

22

2b y a x (λ≠0)，当

λ>0时,焦点在x 轴上；当λ〈0时,焦点在y 轴上。与双曲线

1

b

y a

x 2

22

2=-

共

焦点的双曲线为

1

k

b y k

a x 2222=--

+（a 2+k 〉0，b 2-k>0）.比较上述两种解法

可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。

例2、设F 1、F 2为椭圆

14

y 9x 2

2=+的两个焦点,P 为椭圆上一点，已知

P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|,求|

PF ||

PF |2

1的值。

解题思路分析：

当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。 法一：当∠PF 2F 1=900时，由

⎪⎩⎪⎨⎧=+==+5

c )c 2(|PF ||PF |6|PF ||PF |2

2222121得：

3

14|PF |1=

，3

4|PF

|2

= ∴

2

7

|PF ||PF |21= 当∠F 1PF 2=900时，同理求得｜PF 1|=4，|PF 2|=2 ∴

2|

PF ||

PF |21= 法二:当∠PF 2F 1=900，5x P

=

∴

34y P ±

= ∴ P （

3

4,5±

）

又F 2(5，0）

∴ ｜PF 2|=3

4

∴ ｜PF 1｜=2a-｜PF 2|=314

当∠F 1PF 2=900,由

⎪

⎩⎪

⎨⎧=+=+14y 9

x )5(y x 2

2222得：

P(55

4,55

3

±

±)。下略。

评注：由|PF 1｜〉｜PF 2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。

例3、设点P 到M(—1，0）,N(1，0)的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2，求m 取值范围。

分析:

根据题意，从点P 的轨迹着手 ∵ ｜｜PM|-|PN|｜=2m ∴ 点P 轨迹为双曲线,方程为1

m 1y m x 2

22

2=--

（|m|<1) ①

又y=±2x （x ≠0) ② ①②联立得：2

222

m 51)m 1(m x --=

将此式看成是

2

22m

51)m 1(m --关于x 的二次函数式，下求该二次函数值域,

从而得到m 的取值范围。

根据双曲线有界性：｜x ｜>m ，x 2〉m 2 ∴

22

22m m

51)m 1(m >--

又0〈m 2〈1

∴ 1—5m 2>0

∴ 5

5|m |<

且m ≠0

∴

)5

5,0()0,55(m -

∈ 评注:利用双曲线的定义找到点P 轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。

例4、已知x 2+y 2=1,双曲线(x —1）2-y 2=1，直线同时满足下列两

个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。

分析：

选择适当的直线方程形式，把条件“

是

圆的切线”“切点M 是弦AB 中点”翻译为

关于参数的方程组。

法一：当斜率不存在时，

x=-1满足； 当

斜率存在时,设

：y=kx+b

与⊙O 相切，设切点为M ，则|OM ｜=1 ∴

11

k |b |2

=+

∴ b 2=k 2+1 ①

由⎩

⎨

⎧=--+=1

y

)1x (b

kx y 2

2

得：(1—k 2）x 2-2(1+kb ）x —b 2

=0 当k ≠±1且△〉0时，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2)，则中点M （x 0，

y 0），2

02

21

k 1kb 1x ,k

1)kb 1(2x x

-+=

-+=

+

∴ y 0=kx 0+b=2

k

1b

k -+

∵ M 在⊙O 上 ∴ x 02+y 02=1

∴ （1+kb)2+（k+b ）2=（1-k 2)2 ② 由①②得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-==332b 33

k 或

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=-=332b 33

k ∴

：33

2

x 33y -=

或33

2

33y +-

= 法二:设M （x 0，y 0），则切线AB 方程x 0x+y 0y=1 当y 0=0时，x 0=±1,显然只有x=—1满足； 当y 0≠0时，0

0y 1x y

x

y +

-= 代入(x —1)2—y 2=1得：(y 02-x 02)x 2+2(x 0-y 0）2x —1=0 ∵ y 02+x 02=1

∴ 可进一步化简方程为:（1-2x 02)x 2+2(x 02+x 0—1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得:2

0200

x 211x x x --+-

=∴

即2x 03—x 02-2x 0+1=0

解之得：x 0=±1（舍），x 0=21

∴ y 0=2

3±

。下略

评注:不管是设定何种参数,都必须将形的两个条件（“相切”和“中

点”)转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。

例5、A 、B 是抛物线y 2=2px （p 〉0）上的两点，且OA ⊥OB,

（1）求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；

（2）求证：直线AB 过定点；

（3）求弦AB 中点P 的轨迹方程；

（4）求△AOB 面积的最小值；

（5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程。

分析：

设A （x 1，y 1），B(x 2,y 2），中点P （x 0，

y 0）

（1）2

2

OB 11OA x y

k ,x y k ==

∵ OA ⊥OB

∴ k OA k OB =-1

∴ x 1x 2+y 1y 2=0

∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2

∴ 0y y p 2y p 2y 212

2

21

=+⋅

∵ y 1≠0，y 2≠0

∴ y 1y 2=—4p 2

∴ x 1x 2=4p 2

（2）∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2

∴ （y 1-y 2)（y 1+y 2)=2p(x 1-x 2)

∴

2

12121y y p 2x x y y +=-- ∴ 21AB y y p 2k += ∴ 直线AB ：)x x (y y p 2y

y 1211-+=- ∴

211121y y px 2y y y px 2y +-++= ∴

212112121y y y y px 2y y y px 2y ++-++= ∵

221121p 4y y ,px 2y -== ∴

2

1221y y p 4y y px 2y +-++= ∴ )p 2x (y y p 2y 2

1-+= ∴ AB 过定点（2p ，0），设M （2p ，0）

（3）设OA ∶y=kx ，代入y 2=2px 得:x=0，x=2

k p 2 ∴ A(k p 2

,k p 22

） 同理，以k 1-代k 得B （2pk 2,—2pk ）

∴

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)k k 1(P y )k 1k (p x 0220 ∵

2)k k k 1(k 1k 222+-=+ ∴ 2)p

y (p x 200+= 即y 02=px 0-2p 2

∴ 中点M 轨迹方程y 2=px-2p 2

（4）|)y ||y (|p |)y ||y (||OM |21

S S S 2121BOM AOM AOB +=+=+=∆∆∆

≥221p 4|y y |p 2=

当且仅当｜y 1｜=｜y 2|=2p 时，等号成立

评注：充分利用（1）的结论。

(5）法一：设H （x 3，y 3），则3

3

OH x y k =

∴ 3

3

AB y x k -=

∴ AB ：)x x (y x y y 33

3

3--=- 即3333x )y y (x y x +--=代入y 2

=2p 得0px 2x p 2y x py 2y 33

2

3

332=--+

由（1）知，y 1y 2=-4p 2

∴ 233

2

3

p 4px 2x py 2=+

整理得：x 32+y 32—2px 3=0

∴ 点H 轨迹方程为x 2+y 2-4x=0（去掉（0，0））

法二：∵ ∠OHM=900,又由（2）知OM 为定线段

∴ H 在以OM 为直径的圆上

∴ 点H 轨迹方程为(x-p)2+y 2=p 2，去掉（0，0）

例6、设双曲线12y x 2

2=-上两点A 、B ，AB 中点M(1，2）

（1）求直线AB 方程;

（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 是否共圆，为什么？

分析：

（1）法一：显然AB 斜率存在

设AB ：y —2=k(x-1)

由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=12y x k 2kx y 2

2得：（2—k 2)x 2—2k （2—k ）x-k 2+4k-6=0

当△〉0时，设A(x 1,y 1),B （x 2,y 2）

则221k

2)k 2(k 2x x --=+= ∴ k=1，满足△>0

∴ 直线AB:y=x+1

法二：设A(x 1,y 1），B （x 2,y 2）

则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=-12y x 12y x 22222121 两式相减得:（x 1-x 2)(x 1+x 2）=2

1（y 1—y 2)（y 1+y 2) ∵ x 1≠x 2

∴

2

1212121y y )x x (2x x y y ++=-- ∴ 12

12k AB =⨯= ∴ AB ：y=x+1

代入12y x 2

2=-得：△>0

评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△〉0

是否成立。

（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论,并检验是否满足所有条件。

本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心 设A 、B 、C 、D 共圆于⊙OM,因AB 为弦，故M 在AB 垂直平分线即CD 上；又CD 为弦，故圆心M 为CD 中点。因此只需证CD 中点M 满足|MA|=｜MB|=｜MC|=|MD| 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12y x 1x y 2

2得：A(—1,0），B （3,4）

又CD 方程：y=-x+3 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=12y x 3x y 2

2得：x 2+6x —11=0

设C （x 3,y 3），D （x 4，y 4），CD 中点M （x 0，y 0） 则63x y ,32

x x x 00430=+-=-=+= ∴ M(-3,6)

∴ ｜MC|=｜MD|=21|CD ｜=102

又｜MA|=｜MB ｜=102

∴ ｜MA|=｜MB ｜=｜MC ｜=｜MD ｜

∴ A 、B 、C 、D 在以CD 中点,M(-3，6)为圆心，102

为半径的圆上

评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在

复习中必须引起足够重视。