2020届高考文科数学一轮(新课标通用(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 (附解析)
专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探
索性问题
一、选择题
1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A ．p
2 B ．p C ．2p D ．无法确定 答案 C
解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p
2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p ．故选C ．
2．已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9 答案 D
解析 注意到P 点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，故|PF |＋|P A |＝2a ＋|PF ′|＋|P A |≥4＋|AF ′|＝9，当且仅当A ，P ，F ′三点共线时等号成立．故选D ．
3．已知M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．[0，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞) 答案 C
解析 由题意知圆心F 到抛物线的准线的距离为4，且|FM |>4，根据抛物线的定义知|FM |＝y 0＋2，所以y 0＋2>4，得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．
4．过椭圆x 225＋y 2
16＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( )
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20 答案 C
解析 如图，设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|FQ |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 的周长为|PF |＋|FQ |＋|PQ |＝|PF |＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值10＋2×4＝18．故选C ．
5．(2018·豫南九校联考)已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )
A ．55
B ．105
C ．255
D ．2105 答案 A
解析 点A 关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点A ′(－3，2)，连接A ′B 与直线l 相交，当点P 在交点处时，2a ＝|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |＝25，此时a 取得最小值5，又c ＝1，所以椭圆C 的离心率的最大值为
5
5
，故选A ． 6．(2019·厦门一中开学考试)已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 都在曲线x 29＋y 2
4＝1上，且BC
→＋2OB →＝0(其中O 为坐标原点)，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，若直线OM ，ON 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则|k 1|＋|k 2|的取值范围为( )
A ．8
9，＋∞ B ．[0，＋∞)
C ．0，43
D ．4
3，＋∞ 答案 D
解析 由于A ，B 都在曲线x 29＋y 24＝1上，则有x 2A 9＋y 2A 4＝1，x 2B 9＋y 2
B
4＝1，两式相减并整理可得y 2A －y 2
B x 2A －x 2B
＝－49，由BC →＋2OB →＝0知，BC →＝－2OB →，则B ，C 关于坐标
原点对称，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，则k 1＝k AC ，k 2＝k AB ，则|k 1|＋|k 2|＝|k AC |
＋|k AB |≥2|k AB ||k AC |＝2×
y A －y B x A －x B ·y A －y C
x A －x C
＝2 y A －y B x A －x B ·y A ＋y B
x A ＋x B
＝2y 2A －y 2
B x 2A －x 2B
＝4
3
，当且仅当|k AB |＝|k AC |时，等号成立．故选D ． 二、填空题
7．(2018·湖北黄冈中学二模)设椭圆x 24＋y 2
＝1上任意一点A 到两条直线x ±2y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2的最大值为________．
答案 45
解析 设点A 的坐标为(2cos α，sin α)，则d 1d 2＝|2cos α＋2sin α|5·|2cos α－2sin α|
5＝
4|cos2α|5≤45，所以d 1d 2的最大值为4
5
． 8．(2018·河南六市联考一)已知P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值是________．
答案 1＋22
解析 设双曲线的右焦点为F 2(3，0)，不妨设渐近线l ：x －2y ＝0，则点F 2(3，0)到渐近线l 的距离为1，由于点P 在双曲线右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝22＋|PF 2|，|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |≥22＋1，当且仅当点
Q ，P ，F 2三点共线，且P 在Q ，F 2之间时取等号，故|PF 1|＋|PQ |的最小值是1＋22．
9．(2018·厦门质检一)过抛物线E ：y 2＝4x 焦点的直线l 与E 交于A ，B 两点，E 在点A ，B 处的切线分别与y 轴交于C ，D 两点，则42|CD |－|AB |的最大值是________．
答案 8
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线AC 的方程为x ＝t (y －y 1)＋x 1＝t (y －y 1)＋y 214
，代入抛物线的方程，消去x ，得y 2－4ty ＋4ty 1－y 21＝0．由Δ＝16t 2－4(4ty 1－y 21)＝0，得t ＝y 12，所以直线AC 的方程为x ＝y 12(y －y 1)＋y 21
4，其中令x ＝0，得y C ＝y 12，同理可求得y D ＝y 22，所以|CD |＝1
2|y 1－y 2|．由题意，知抛物线的焦点为F (1，0)，则设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入抛物线的方程，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，所以42|CD |－|AB |＝22|y 1－y 2|－1＋m 2·|y 1－y 2|
＝22(y 1＋y 2)2－4y 1y 2－
1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝8 2
1＋m 2－4(1＋m 2)
＝－4×(1＋m 2－2)2＋8，所以当1＋m 2＝2时，42|CD |－|AB |取得最大值为
8．
三、解答题
10．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：x 2＝4y ，直线l 与抛物线C 1交于A ，B 两点．
(1)若直线OA ，OB 的斜率之积为－1
4，证明：直线l 过定点；
(2)若线段AB 的中点M 在曲线C 2：y ＝4－14x 2
(－22 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)证明：由题意可知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝kx ＋m ， 得x 2－4kx －4m ＝0， 则Δ＝16(k 2＋m )>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， ∴k OA ·k OB ＝y 1·y 2x 1·x 2＝14x 21·14x 2 2x 1·x 2＝x 1·x 216＝－m 4， 由已知k OA ·k OB ＝－1 4，得m ＝1， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1，∴直线l 过定点(0，1)． (2)设M (x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 2 2＝2k ， y 0＝kx 0＋m ＝2k 2＋m ， 将M (x 0，y 0)代入C 2：y ＝4－14x 2(－22 4(2k )2，∴m ＝4－3k 2， ∵－22 又∵Δ＝16(k 2＋m )＝16(k 2＋4－3k 2)＝32(2－k 2)>0， ∴－2 故k 的取值范围是k ∈(－2，2)． |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋k 2·16(k 2＋m )， 将m ＝4－3k 2代入得 |AB |＝42·(k 2＋1)(2－k 2)≤ 42·(k 2＋1)＋(2－k 2)2 ＝62， 当且仅当k 2＋1＝2－k 2，即k ＝±2 2时取等号， 故|AB |的最大值为62． 11．(2018·湖南六校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为M ，N ，点P 是椭圆上异于点M ，N 的任意一点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，满足k PM ·k PN ＝－34． (1)求椭圆C 的离心率； (2)设椭圆C 的左焦点为F (－c ，0)，过点F 的直线AB 交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，O 是坐标原点．记△GFD 的面积为S 1，△OED 的面积为S 2，求 2S 1S 2 S 21＋S 22 的取值范围． 解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20 b 2＝1， 即y 20 x 20－a 2＝－b 2 a 2， 因为k PM ·k PN ＝ y 0 x 0＋a ·y 0x 0－a ＝－3 4， 所以－b 2a 2＝－3 4， 又a 2＝b 2＋c 2，则有a 2＝4c 2，a ＝2c ， 因此椭圆C 的离心率e ＝c a ＝1 2． (2)由(1)可知a ＝2c ，b ＝ a 2－c 2＝3c ， 则椭圆的方程为x 24c 2＋y 2 3c 2＝1． 根据条件知直线AB 的斜率一定存在且不为零， 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x D ，0)， 联立⎩⎨⎧ y ＝k (x ＋c )，x 24c 2＋y 2 3c 2＝1， 消去y 并整理得 (4k 2＋3)x 2＋8ck 2x ＋4k 2c 2－12c 2＝0， 从而有x 1＋x 2＝－8ck 2 4k 2＋3， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2c )＝ 6ck 4k 2 ＋3， 所以G －4ck 24k 2＋3 ， 3ck 4k 2＋3 ． 因为DG ⊥AB ，所以3ck 4k 2＋3 －4ck 2 4k 2＋3－x D ·k ＝－1， 解得x D ＝－ ck 24k 2 ＋3 ． 由Rt △FGD 与Rt △EOD 相似， 所以S 1S 2 ＝GD 2OD 2＝ － 4ck 24k 2＋3＋ ck 2 4k 2＋32 ＋ 3ck 4k 2＋32－ck 2 4k 2 ＋3 2＝9＋9 k 2>9， 令S 1S 2＝t ，则t >9，从而2S 1S 2S 21＋S 22＝2t ＋1t <29＋ 19 ＝941， 即 2S 1S 2 S 21＋S 22 的取值范围是0，9 41． 12．(2018·合肥质检二)已知点A (1，0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ：x 2＋y 2＝4． (1)求动点B 的轨迹方程； (2)已知点P (2，0)，Q (2，－1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值． 解 (1)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A ′(－1，0)． 依题意，圆C 内切于圆O ， 设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线． ∵O 为AA ′的中点，C 为AB 的中点， ∴|A ′B |＝2|OC |． ∴|BA ′|＋|BA | ＝2|OC |＋2|AC |＝2|OC |＋2|CD | ＝2|OD |＝4>|AA ′|＝2． 依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆， 设为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，其中|BA ′|＋|BA |＝2a ＝4，|AA ′|＝2 c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点B 的轨迹方程为x 24＋y 2 3＝1． (2)证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与椭圆x 2 4＋ y 2 3＝1相切，与题意不符； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)． 由⎩⎨⎧ y ＋1＝k (x －2)，x 24＋y 2 3＝1， 得(4k 2＋3)x 2－(16k 2＋8k )x ＋16k 2＋16k －8＝0． 设M (x 1 ，y 1 )，N (x 2 ，y 2 )，则⎩ ⎪⎨⎪⎧ x 1 ＋x 2 ＝16k 2＋8k 4k 2 ＋3 ，x 1x 2 ＝16k 2 ＋16k －8 4k 2 ＋3， 由Δ＝96(1－2k )>0⇒k <1 2． ∴k PM ＋k PN ＝y 1x 1－2＋y 2 x 2－2 ＝ k (x 1－2)－1x 1－2 ＋ k (x 2－2)－1x 2－2 ＝2k － 1x 1－2 ＋ 1x 2－2 ＝2k －x 1＋x 2－4 (x 1－2)(x 2－2) ＝2k －x 1＋x 2－4 x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4 ＝2k － 16k 2＋8k 4k 2＋3 －4 16k 2 ＋16k －84k 2＋3 －216k 2 ＋8k 4k 2＋3 ＋4 ＝2k ＋3－2k ＝3，为定值． 13．(2018·石家庄二中模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的左、右焦点， 过椭圆长轴上一点M (m ，0)(不含端点)作一条直线l ，交椭圆于A ，B 两点． (1)若直线AF 2，AB ，BF 2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数m 的取值范围； (2)若过点P 0，－1 3的直线交椭圆C 于E ，F 两点，则以EF 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 解 (1)由题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y ＝k (x －m )(k ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－m )，y 2＝k (x 2－m )， 因为 y 1x 1－1 ＋ y 2 x 2－1＝2k ， 即 k (x 1－m )x 1－1 ＋ k (x 2－m )x 2－1 ＝2k ， 整理得(x 1＋x 2)(1－m )＝2(1－m )，且公差不为0， 所以x 1＋x 2＝2， 由⎩⎨⎧ y ＝k (x －m )，x 2 2＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0， 由x 1＋x 2＝4k 2m 1＋2k 2 ＝2，得k 2 ＝12(m －1)>0， 所以m >1． 又点M (m ，0)在椭圆长轴上(不含端点)， 所以1 (2)假设以EF 为直径的圆恒过定点． 当EF ⊥x 轴时，以EF 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1； 当EF ⊥y 轴时，以EF 为直径的圆的方程为x 2＋y ＋132＝169，则两圆的交点为 Q (0，1)． 下证当直线EF 的斜率存在且不为0时，点Q (0，1)在以EF 为直径的圆上． 设直线EF 的方程为y ＝k 0x －13(k 0≠0)， 代入x 22＋y 2＝1，整理得(2k 20＋1)x 2－43k 0x －169＝0， 设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)， 则x 3＋x 4＝4k 03(2k 20＋1)，x 3x 4＝－16 9(2k 20＋1) ， 又QE →＝(x 3，y 3－1)，QF →＝(x 4，y 4 －1)， 所以QE →·QF →＝x 3x 4＋(y 3－1)(y 4 －1) ＝x 3x 4＋k 0x 3－43k 0x 4－43 ＝(1＋k 20)x 3x 4－43k 0(x 3＋x 4)＋169 ＝(1＋k 20)·－169(2k 20＋1)－43k 0·4k 03(2k 20＋1)＋169＝0， 所以点Q (0，1)在以EF 为直径的圆上． 综上，以EF 为直径的圆恒过定点Q (0，1)． 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - AB 斜率为定值- bm 2 2 an 若■ = 0 ,则直线AB 过定点 问题36圆锥曲线中的定值、定点问题 一、 考情分析 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一 ，也是高考重点考查的内容和热点 ，知识综合性较强，对学生逻辑思维 能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用?定值问题 与定点问题是这类题目的典型代表 ，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型 的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用. 二、 经验分享 1. 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关 系，找到定点. (2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定 点，再证明该定点与变量无关. 2. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1) 求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2) 求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形 求得； (3) 求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 三、 知识拓展 X y 2 1.设点P m ，n 是椭圆C ：二 2 =1 a b 0上一定点，点 A ，B 是椭圆C 上不同于 P 的两点，若 a b k pA ? k pB 二’，贝V ' =0时直线AB 斜率为定值 J n = 0 ,若‘ =0 ,则直线AB 过定点 an '2n 2b 2m' m —一，一n —， i 人 a 扎」 F 是该椭圆焦点，贝U b 兰OP 兰a ，a —c 兰PF ^a+c ； 2 2 2.设点P m,n 是双曲线C ：令-^=1 a 0,b 0 一定点，点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若 a b 新高考数学大一轮复习专题： 第6讲 定点问题 母题 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (0,1)，设直线l 不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为－1，求证：l 过定点． 思路分析 ❶l 斜率k 存在时写出l 的方程 ↓ ❷联立l ，C 的方程，设而不求 ↓ ❸计算k PA ，k PB 并代入k PA ＋k PB ＝－1 ↓ ❹分析直线方程，找出定点 证明 设直线PA 与直线PB 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知 t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22， 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24 ＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1 . 而k 1＋k 2＝ y 1－1x 1＋y 2－1x 2 ＝ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋m －1 x 1＋x 2x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1， 故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1 ＝0， 解得k ＝－m ＋1 2. 当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－ m ＋12x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋1 2(x －2)，所以l 过定点(2，－1)． [子题1] 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标 原点．若点E (－2,0)，直线l 不与坐标轴垂直，且∠AEO ＝∠BEO ，求证：直线l 过定点． 证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ny ＋b (n ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝ny ＋b ，y 2＝4x ，得y 2 －4ny －4b ＝0， 则y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4b . 由∠AEO ＝∠BEO ，得k EA ＝－k EB ， 即y 1x 1＋2＝－y 2 x 2＋2， 整理得y 1x 2＋2y 1＋x 1y 2＋2y 2＝0， 即y 1(ny 2＋b )＋2y 1＋(ny 1＋b )y 2＋2y 2＝0， 整理得2ny 1y 2＋(b ＋2)(y 1＋y 2)＝0， 即－8bn ＋4(b ＋2)n ＝0，得b ＝2， 故直线l 的方程为x ＝ny ＋2(n ≠0)， 所以直线l 过定点(2,0)． [子题2] (2020·湖南四校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 与过点(2,0)的直线l 交于M ，N 两 点，若MP →＝12 MN →，PQ ⊥y 轴，垂足为Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点． 证明 由题意可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为x ＝my ＋2(m ∈R )， 将x ＝my ＋2代入y 2＝4x ，消去x 可得y 2－4my －8＝0， 显然Δ＝16m 2＋32>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8， 因为MP →＝12 MN →，所以P 是线段MN 的中点， 设P (x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝m y 1＋y 2＋4 2＝2m 2 ＋2， y P ＝y 1＋y 22 ＝2m ， 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故 6.2 圆锥曲线的综合应用（范围 定点 定值 最值问题） 一、选择题：一共16道题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【陕西师大附中2019-2020学年度第一学年高2020届期中考试高三年级】 已知抛物线2 4y x =的一条弦AB 恰好以()1,1P 为中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ） A.1y x =- B.21y x =- C.2y x =-+ D.23y x =-+ 【答案】B 【解析】由题意得：设()()2211,,,y x B y x A ，都在抛物线上???==222 1214, 4x y x y ()2 1212121122 14 4y y x x y y x x y y +=--? -=-=2，直线还经过()1,1P ， 所以直线方程为 21y x =- 2.【陕西师大附中2019-2020学年度第一学年高2020届期中考试高三年级】 已知12,F F 为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 为其渐近线上一点， 1PF x ⊥轴，且 2130,PF F ∠=o 则该双曲线的离心率是（ ） A. 7 3 【答案】D 【解析】由已知得：332||1c PF = ，双去线的渐近线方程为 x a b y ±=， 求得点?? ? ??a bc c P , ，所以得a bc =3c 32，解得：321==a c e 3.【四川省成都市2016级成都一诊理科数学】 设椭圆()0122 22>>=+b a b y a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分 别为m,n ，则当 ()||ln ||ln 32 323n m mn mn b a +++ ??? ??-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A. 51 B.22 C.5 4 D.23 圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问 题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。(其 中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则 ||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2 +y 2 ”,令d y x =+22， 则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令2 3 +-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率…… 6、参数法 （1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式 专题七 定点问题（平民解法，暴力美学） 一、考情分析 2019全国III 理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 二、经验分享 【直线过定点的解题策略】 （1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关. （2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点. （3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【重要结论】 1．动直线l 过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)． 2．动曲线C 过定点问题，引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点 ))(,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-． 4.只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点 浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练 圆锥曲线 1、如图所示，椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2 1，其右焦点与抛物线2C ：x y 42 =的 焦点F 重合，过F 作两条互相垂直的直线分别交21,C C 于B A ,和D C ,。 （1）求1C 的方程；（2）求四边形ACBD 面积的最小值. 2、已知椭圆12 :22 =+y x C 左顶点为A ，O 为原点，M ，N 是直线t x =上的两个动点，且MO ⊥NO ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点。 （1）若1-=t ，求△MON 的面积的最小值；（2）若E ，O ，D 三点共线，求实数t 的值 3、如图所示，已知抛物线x y C 4:2 =的焦点为F ，),(11y x A ，))(,(2122x x y x B ≠是抛物线C 上的两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，若4||||=+BF AF . （1）求点P 的坐标；（2）求PAB ?面积的最大值. 4、已知抛物线1C 的方程为2 2x y =，其焦点为F ，AB 为过焦点F 的抛物线1C 的弦，过,A B 分 别作抛物线的切线12,l l ，设12,l l 相交于点P . （I ）求PA PB ?u u u r u u u r 的值；（II ）如果圆2C 的方程为22 8x y +=，且点P 在圆2C 内部，设直线AB 与2C 相交于,C D 两点，求||||AB CD ?的最小值. 5、已知离心率为22的椭圆:C ),0(122 22>>=+b a b y a x 过点)1,2(P 作两条互相垂直的直线，分别 交椭圆于B A ,两点. （1）求椭圆C 方程；（2）求证：直线||AB 过定点，并求出此定点的坐标. 6、已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O ，其右焦点为 F(1, 0) ，以坐标原点 O 为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 x －y + 6＝0相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）经过点 F 的直线 l 1 , l 2 分别交椭圆 C 于 A, B 及C, D 四点，且 l 1 ⊥ l 2 ， 探究：是否存在常数 λ ，使得| AB | + | CD |λ= | AB |? | CD |． 2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题 【归类解析】 题型一 范围问题 【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围. 【解】 (1)∵双曲线的离心率为233 ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32 . 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24 ＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24 ＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2 ， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列， 第2课时 定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上． (1)求椭圆的离心率； (2)若C 的长轴长为4且斜率为1 2 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ， PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0 x 0－c ＝－1且 x 0＋c 2 －y 0 2＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ， y 0＝a ＋c ， 即M (－a ，a ＋c )． ∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝1 2. (2)存在．由(1)及题设得c a ＝1 2 且2a ＝4，∴a ＝2，c ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1， 设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2 －3＝0. 依题知Δ＞0，即t 2 －4(t 2 －3)＞0，t 2 ＜4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2 －3， 如果存在P (m ，n )使得k PA ＋k PB 为定值，那么k PA ＋k PB 的取值将与t 无关， k PA ＋k PB ＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫n －32m t ＋2mn －3 t 2＋mt ＋m 2－3 ， 令 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3 ＝M ， 由Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2 M －3M －2mn ＋3＝0， 由题意可知该式对任意t 恒成立，其中t 2 ＜4， 江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练 圆锥曲线 一、填空题 1、（2016年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 173 x y -=的焦距是________▲________. 2、（2016年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22 221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦 点，直线2 b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ . 3、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线2 2 1x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值为___ __________。 4、（南京市2016届高三三模）设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________． 5、（南通市2016届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线) 0,0(12222>>=-b a b y a x 过点)1,1(P ,其一条渐近线方程为x y 2=，则该双曲线的方程为 6、（苏锡常镇四市2016届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知方程22 42x y m m --+=1 表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ． 7、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）若双曲线221x my +=过点() 2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ 8、（镇江市2016届高三一模）以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________． 9、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线的方程为x y 3=则该双曲线的离心率为 10、（苏州市2016届高三上期末）双曲线22 145 x y -=的离心率为 ▲ 11、（泰州市2016届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2 212 x y -=的实轴长为 ▲ ． 12、（无锡市2016届高三上期末）设ABC ?是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A 、B 为焦点且 第二课时 定值问题 题型一 长度或距离为定值 例1 (2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，且过点 A (2，1). (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. (1)解 由题设得4a 2＋1 b 2＝1, 且a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 2 3＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 2 3＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.① 由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2 ＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－1 3(k ≠1). 所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0， 得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 21 3＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝2 3. 此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2 3，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13. 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝22 3. 若D 与P 重合，则|DQ |＝1 2|AP |. 综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13，使得|DQ |为定值. 感悟提升 1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. 训练1 (2022·成都诊断)已知动点P (x ，y )(其中x ≥0)到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1. 高考数学一轮复习考点知识专题讲解 圆锥曲线中定点与定值问题 题型一 定点问题 例1已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切． (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； (2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点． (1)解圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4. 设动圆M 的半径为r 2， 依题意有r 2＝|MB |. 由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ， 故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3. 所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆， 其方程为x 2 4 ＋y 2＝1. (2)证明设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋b ，x 2 ＋4y 2 ＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0， Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0， 设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )， 则x1＋x2＝－ 8kb 1＋4k2 ，x1x2＝ 4b2－4 1＋4k2 ， 于是k PN＋k QN＝kx 1 ＋b x 1 －4 ＋ kx 2 ＋b x 2 －4 ＝2kx1x2－(4k－b)(x1＋x2)－8b (x1－4)(x2－4) ， 由∠ONP＝∠ONQ知k PN＋k QN＝0. 即2kx1x2－(4k－b)(x1＋x2)－8b＝2k·4b2－4 1＋4k2 －(4k－b) －8kb 1＋4k2 －8b ＝8kb2－8k 1＋4k2 ＋ 32k2b－8kb2 1＋4k2 －8b＝0， 得b＝－k，Δ＝16(3k2＋1)>0. 故动直线l的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)． 教师备选 在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1. (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)过点N(4,4)作斜率为k1，k2的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且1 k 1 ＋ 1 k 2 ＝ 1.证明：直线AB恒过定点． (1)解由题意可知x2＋(y－1)2＝y＋1，化简可得曲线C：x2＝4y. (2)证明由题意可知，N(4,4)是曲线C：x2＝4y上的点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则l NA：y＝k1(x－4)＋4，l NB：y＝k2(x－4)＋4， 第2课时 范围、最值问题 考点1 范围问题——综合性 (2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两焦 点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围． 解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心， 椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2 ＋y 2 ＝a 2 ， 所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1| 12＋1 2 ＝a ． 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1． (2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点． 因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍． 当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处． 由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3． 当MN 的斜率存在时，设M (x 1 ，y 1 )，N (x 2 ，y 2 )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 21 3＝1， x 2 2 4＋y 22 3＝1， 两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2) 3 ＝0． 第九节圆锥曲线的综合问题 最新考纲考情分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点． 2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题． 3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。 知识点一直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的 一元方程． 即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。 （1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． （2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则 |AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误! ＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!. 知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题 圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； 2．利用三角函数有界性求最值； 3．数形结合利用几何性质求最值． 2020年高考数学全国Ⅰ卷圆锥曲线问题研究 作者：周阳潘红娟 来源：《中学数学杂志(高中版)》2020年第05期 2020年受疫情影響，全国高考推迟到7月7日举行.全国Ⅰ卷理科数学第20题、文科数学第21题是同一道关于圆锥曲线的题目，如下： 已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，其中AG·GB=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. 结论7 如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），点P为直线x=-t 上任一点，直线PO与抛物线交于另外一点A，与x轴平行的直线PB与抛物线交于点B，则直线AB恒过定点（t，0）. 结论8 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），过x轴上任意点F（t，0）的直线交抛物线于A、B两点（异于点O），直线PB与x轴平行，则直线AO与直线PB的交点P恒在定直线x=-t上. 结论9 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），过x轴上任意点F（t，0）的直线交抛物线于A、B两点（异于点O），直线AO交直线x=-t于点P，则直线PB与x轴平行. 结论10 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），过x轴上任意点F（t，0）的直线交抛物线于A、B两点（异于点O），直线PB与x轴平行，直线PB交直线x=-t于点P，则P、O、A三点共线. 在以上每个结论中，都有一个定点和一条定直线，其实它们都是相应圆锥曲线的极点与极线.因此以上10个结论其实就是圆锥曲线中极点与极线的性质，而且可以推广到任意的极点与极线.只是如果极点不在坐标轴上，那么计算量会特别大，因此这类问题不适合出现在高考中.因此笔者这里只给出与结论1相对应的结论，其他的结论读者可以仿照结论2-10自行写出. 结论11 如图3所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点Q （x0，y0）关于椭圆C的极线为直线l：x0xa2+y0yb2=1，点P为直线l上任一点，点A、B为直线OQ与椭圆C的两个交点，直线PA、PB与椭圆交于另外两点M、N，则直线MN恒过点Q（x0，y0）. 本结论的证明过程计算量十分巨大，有兴趣的读者可以尝试自行证明. F 2 F 1 O y x B A 专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题 （含定值、最值、范围问题） (典型例题+题型归类练) 目录 类型一：三角形（四边形）面积（定值问题） 类型二：三角形（四边形）面积（最值，范围问题） 一、必备秘籍 1、弦长公式 221212||)()AB x x y y =-+-（ 22 12212 ||)1AB x x k x x =-=+-(1+k )( 221212)4]x x x x =+-(1+k )[（ （最常用公式，使用频率最高） 212122 1 1()4y y y y k =+ +- 2、三角形面积问题 直线AB 方程：y kx m =+ 002 1kx y m d PH k -+== + 000022 11122'2' 1ABP kx y m kx y m S AB d k A A k ∆-+∆-+∆= ⋅=+⋅=+ 3、焦点三角形的面积 直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212' ABF c S F F y y c y y A ∆∆= ⋅-=-= 222222222 2222 22 4() 11||S =||d 22 AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B ∆+-=+++ 222222 2222()C ab a A b B C a A b B +-=+ 注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数 4、平行四边形的面积 直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 122 1m m d CH k -== + 2222 22 121212''11()41()41''' B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+ 12 12 2 21'' 1ABCD m m m m S AB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅= + 注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 5、范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈ 变式：2 2(,);( )(,)2 a b a b ab a b R ab a b R + +++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1） 222 6464t S t t t = = ++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）22 4222121212 333196123696k AB t k k k =+=+≤+ ++⨯+++ 当且仅当2 2 1 9k k = 时，等号成立 （3）22222 0000 2222 0000 2592593425934225964925925y x y x PQ x y x y =+⋅+⋅≥+⋅⨯⋅= 当且仅当22 00 2200 259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）22222 131111812(8)22222 2223m m m S m m m -+=-⋅=-+≤⨯= C D H O y x B A 大题考法专训（五） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 A 级——中档题保分练 1．(2019·武汉模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长 轴长为8，T 为椭圆C 上异于A ，B 的点，直线TA ，TB 的斜率之积为－3 4 . (1)求椭圆C 的方程； (2)设O 为坐标原点，过点M (8,0)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值． 解析：(1)设T (x ，y )(x ≠±4)，则直线TA 的斜率为k 1＝ y x ＋4，直线TB 的斜率为k 2＝y x －4 . 于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 2 16＋y 2 12＝1(x ≠±4)，故椭圆C 的方程为 x 2 16＋y 2 12 ＝1. (2)由题意设直线PQ 的方程为x ＝my ＋8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋8，x 2 16＋y 2 12 ＝1，得(3m 2＋4)y 2 ＋48my ＋144＝0， Δ＝(48m )2 －4×144×(3m 2＋4)＝12×48(m 2 －4)＞0， 即m 2 ＞4， y P ＋y Q ＝－ 48m 3m 2 ＋4，y P y Q ＝144 3m 2＋4 . 所以|PQ |＝m 2＋13m 2＋4·Δ＝24(m 2＋1)(m 2 －4) 3m 2 ＋4 ， 又点O 到直线PQ 的距离d ＝ 8 m 2＋1 . 所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝96m 2 －4 3m 2 ＋4 ＝96 3m 2 －4＋ 16 m 2－4 ≤43 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫当且仅当m 2＝283时等号成立，且满足m 2＞4. 故△OPQ 面积的最大值为4 3. 2.如图所示，A ，B ，C ，D 是抛物线E ：x 2 ＝2py (p ＞0)上的四点，A ， C 关于抛物线的对称轴对称且在直线B D 的异侧，直线l ：x －y －1＝0 是抛物线在点C 处的切线，BD ∥l .2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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