江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：应用题(含答案)
2019年江苏省高考数学模拟试卷共八套含答案
2019年江苏省高考数学模拟试卷共十套 2019年江苏省高考数学全真模拟试卷01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合}{1,1,2A =-，{}13B x x =-<<，则A B =I ． 2．已知复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则z 的模为 ．3．已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的方差为 ． 4．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值是 ．5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为 ．6．已知sin 2cos 0αα+=，则tan 2α= ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2211x y m -=+的离心率为2，则实数m 的值 是 。
8．在三棱锥S ABC -中，直线SA ⊥平面ABC ，1SA =，ABC ∆的面积为3，若点G 为ABC ∆的重心，则三棱锥S AGB -的体积为 ．9．已知1130,15n n θθθ+=︒=+︒，1sin n n a θ+=，N *n ∈，则224a a += ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2220x y x ay +-+=与曲线220x y -=有2个公共点，则实数a 的值是 ．11．已知定义在区间[2,2]-的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当20x -≤<时，2()f x x x =-，则不等式()f x x ≤的解集为 ．12．已知函数11()1,()(())k k f x x f x f f x +=-=，其中N k *∈，且6k ≤，若方程()l n 0k f x x -=恰有两个不相等的实数根，则k 的取值集合为 ． 13.在ABC ∆中，点D ，E 分别在线段AC ，BC 上，DE AB BE AD ⋅=⋅，若,AE BD 相交于点F3=，则=⋅BF BE ．（第4题）14. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2s i n s i n 2s i n C B A =，且3s i n bB a=，则实数m 的最小值是 。
江苏省苏北三市2019届高三模拟考试数学试卷(有答案)AUAlHn
2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |0<x ≤2}，则A ∩B ＝ Ｗ.2. 已知复数z ＝(2－i)2(i 是虚数单位)，则z 的模为 Ｗ.3. 已知一组样本数据5，4，x ，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为 Ｗ.4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为 Ｗ. I ←1While I <8 I ←I ＋2 S ←2I ＋3 End While Print S(第4题)5. 若从2，3，6三个数中任取一个数记为a ，再从剩余的两个数中任取一个数记为b ，则“ab是整数”的概率为 Ｗ.6. 若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则实数p 的值为Ｗ.7. 在等差数列{a n }中，若a 5＝12，8a 6＋2a 4＝a 2，则{a n }的前6项和S 6的值为 Ｗ.8. 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 Ｗ.9. 已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x 的不等式f (2－x )>0的解集为 Ｗ.10. 已知a >0，b >0，且a ＋3b ＝1b －1a，则b 的最大值为 Ｗ.11. 将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 Ｗ.12. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32PB→＋2P A →，则CP →·AB →的值为 Ｗ.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为 Ｗ.14. 已知x >0，y >0，z >0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为 Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC 中，sin A ＝23，A ∈(π2，π).(1) 求sin 2A 的值；(2) 若sin B ＝13，求cos C 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是B 1C 1，AB ，AA 1的中点. (1) 求证：EF ∥平面A 1BD ；(2) 若A 1B 1＝A 1C 1，求证：平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C .如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把△ABC所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC ＝π6，AB ＝2 km.(1) 若绿化区域△ABC 的面积为1 km 2，求道路BC 的长度；(2) 若绿化区域△ABC 改造成本为10万元/km 2，新建道路BC 成本为10万元/km.设∠ABC ＝θ(0<θ≤2π3)，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M (m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q .(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R ).(1) 若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的方程； (2) 若对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，求实数a 的值； (3) 若函数f (x )存在两个极值点，求实数a 的取值范围.已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，且a n ＋1＋a n≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n .(1) 若q ＝1，求T 2 019的值；(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，请说明理由.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0123，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2018，求A －1B .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2cos θ.以极点为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，设过点A (3，0)的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率.C. (选修45：不等式选讲) 已知函数f (x )＝|x －1|.(1) 解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2) 若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f (ba).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在三棱锥DABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠CAB ＝90°，且AC ＝AD ＝1，AB ＝2，E 为BD 的中点.(1) 求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； (2) 求二面角ACEB 的余弦值.23. 已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ，n ∈N *. (1) 用数学归纳法证明：a n ∈(0，12)；(2) 令b n ＝12－a n ，求证：2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. 53. 24. 215. 136. 47. 1528. 839. (0，4) 10. 13 11. 3π212. －1 13. －6 14. 37415. 解：(1) 由sin A ＝23，A ∈(π2，π)，则cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－（23）2＝－53，(2分)所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×23×(－53)＝－459.(6分)(2) 由A ∈(π2，π)，则B 为锐角.又sin B ＝13，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－（13）2＝223，(8分)所以cos C ＝－cos (A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )(12分)＝－(－53×223－23×13)＝210＋29.(14分)16. 证明：(1) 因为E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，所以EF ∥A 1B .(3分) 因为EF ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， 所以EF ∥平面A 1BD .(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1D . (8分) 因为A 1B 1＝A 1C 1，且D 是B 1C 1的中点， 所以A 1D ⊥B 1C 1.(10分)因为BB 1∩B 1C 1＝B 1，B 1C 1，BB 1⊂平面BB 1C 1C ， 所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(12分) 因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C . (14分)17. 解：(1) 在△ABC 中，已知∠BAC ＝π6，AB ＝2 km ，所以△ABC 的面积S ＝12×AB ×AC ×sin π6＝1，解得AC ＝2.(2分)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2×AB ×AC ×cos π6＝22＋22－2×2×2×cos π6＝8－43，(4分)所以BC ＝8－43＝6－2(km).(5分)(2) 由∠ABC ＝θ，则∠ACB ＝π－(θ＋π6)， 0<θ≤2π3.在△ABC 中，∠BAC ＝π6，AB ＝2 km ，由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ＝ABsin C，所以BC ＝1sin （θ＋π6），AC ＝2sin θsin （θ＋π6）.(7分)记该计划所需费用为F (θ)，则F (θ)＝12×2sin θsin （θ＋π6）×2×12×10＋1sin （θ＋π6）×10＝10（sin θ＋1）sin （θ＋π6）(0<θ≤2π3).(10分)令f (θ)＝sin θ＋132sin θ＋12cos θ，则f ′(θ)＝sin （θ－π3）＋12（32sin θ＋12cos θ）2.(11分)由f ′(θ)＝0，得θ＝π6.所以当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)<0，f (θ)单调递减；当θ∈(π6，2π3)时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增.(12分)所以当θ＝π6时，该计划所需费用最小.答：当θ＝π6时，该计划所需总费用最小.(14分)18. 解：(1) 设椭圆的右焦点为(c ，0)，由题意，得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2c －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x22＋y 2＝1.(4分)(2) 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意. 设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －m ). 又准线方程为x ＝2，所以点P 的坐标为P (2，k (2－m )).(6分) 由⎩⎨⎧y ＝k （x －m ），x 2＋2y 2＝2，得x 2＋2k 2(x －m )2＝2， 即(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0，所以x D ＝12·4k 2m 2k 2＋1＝2k 2m 2k 2＋1，y D ＝k (2k 2m 2k 2＋1－m )＝－km2k 2＋1，(8分)所以k OD ＝－12k ，从而直线OD 的方程为y ＝－12kx ，所以点Q 的坐标为Q (2，－1k)，(10分)所以以PQ 为直径的圆的方程为(x －2)2＋[y －k (2－m )](y ＋1k)＝0，即x 2－4x ＋2＋m ＋y 2－[k (2－m )－1k]y ＝0.(14分)因为该式对∀k ≠0恒成立，所以⎩⎨⎧y ＝0，x 2－4x ＋2＋m ＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2±2－m ，y ＝0. 所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±2－m ，0).(16分)19. 解：(1) 因为f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，所以当a ＝1时，f (x )＝(x －1)ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1－1x.(1分)当x ＝1时，f (1)＝0，f ′(1)＝0，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的方程为y ＝0.(3分) (2) 因为对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，所以当ln x ＝0，即x ＝1时，f (x )＝0，a ∈R ；(5分)当ln x >0，即x >1时，x ≥a 恒成立，所以a ≤1； (6分) 当ln x <0，即x <1时，x ≤a 恒成立，所以a ≥1.综上可知，对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，a ＝1. (7分) (3) 因为函数f (x )存在两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －ax ＋1存在两个不相等的零点.设g (x )＝ln x －a x ＋1，则g ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.(8分)当a ≥0时，g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，至多一个零点.(9分) 当a <0时，x ∈(0，－a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， x ∈(－a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝－a 时，g (x )min ＝g (－a )＝ln(－a )＋2. (11分)因为g (x )存在两个不相等的零点，所以ln(－a )＋2<0，解得－e －2<a <0.因为－e －2<a <0，所以－1a>e 2>－a .因为g (－1a )＝ln(－1a)＋a 2＋1>0，所以g (x )在(－a ，＋∞)上存在一个零点.(13分)因为－e －2<a <0，所以a 2<－a .又g (a 2)＝ln a 2－1a ＋1＝2ln(－a )＋1－a＋1，设t ＝－a ，则y ＝2ln t ＋1t ＋1(0<t <1e2).因为y ′＝2t －1t 2<0，所以y ＝2ln t ＋1t ＋1(0<t <1e2)单调递减.又函数图象是连续的，所以y >2ln 1e2＋e 2＋1＝e 2－3>0，所以g (a 2)＝ln a 2－1a ＋1>0，所以在(0，－a )上存在一个零点.综上可知，－e －2<a <0.(16分)20. 解：(1) 当q ＝1时，由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)， 得(a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n .又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1.(2分) 又a 1＝2，所以T 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝1 011.(4分)(2) ①由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，得q n (a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n .又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1q n .(6分)因为T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n－1a n ， 所以qT n ＝qa 1＋q 2a 2＋q 3a 3＋…＋q n a n ，所以(1＋q )T n ＝a 1＋q (a 1＋a 2)＋q 2(a 2＋a 3)＋q 3(a 3＋a 4)＋…＋q n －1(a n －1＋a n )＋q n a n ， b n ＝(1＋q )T n －q n a n ＝a 1＋1＋1＋…＋1＋q n a n －q n a n ＝a 1＋n －1＝n ＋1， 所以b n ＝n ＋1.(10分)②由题意，得c n ＝2b n －1－1＝2n －1，n ≥2. 因为c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列，所以(c k －c 1)2＝c 1(c t －c k )，即(2k －2)2＝2t －2k ， (12分)所以2t ＝(2k )2－3·2k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3·2k －2＋1 (*).由于c k－c1≠0，所以k≠1，即k≥2.当k＝2时，2t＝8，得t＝3.(14分)当k≥3时，由(*)得(2k－1)2－3·2k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3·2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解. 综上，k＝2，t＝3.(16分)2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3212 10，(5分) 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3212 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤2018＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－524 20.(10分) B. 解：曲线C ：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(4分)设过点A (3， 0)的直线l 的直角坐标方程为x ＝my ＋3，因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－3|1＋m 2＝1，解得m ＝±3.(8分) 从而直线l 的斜率为±33.(10分) C. (1) 解：不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(4分)(2) 证明：要证f (ab )>|a |f (b a)，只要证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2. 而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. (10分)22. 解：因为DA ⊥平面ABC ，∠CAB ＝90°，所以以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .因为AC ＝AD ＝1，AB ＝2，所以A (0，0，0)，C (1，0，0)，B (0，2，0)，D (0，0，1).因为点E 为线段BD 的中点，所以E (0，1，12). (1) AE →＝(0，1，12)，BC →＝(1，－2，0)， 所以cos 〈AE →，BC →〉＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝－254×5＝－45， 所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45.(5分) (2) 设平面ACE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AC →＝(1，0，0)，AE →＝(0，1，12)， 所以n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即x ＝0且y ＋12z ＝0，取y ＝1，得x ＝0，z ＝－2， 所以n 1＝(0，1，－2)是平面ACE 的一个法向量.设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，因为BC →＝(1，－2，0)，BE →＝(0，－1，12)， 所以n 2·BC →＝0，n 2·BE →＝0，即x －2y ＝0且－y ＋12z ＝0，取y ＝1，得x ＝2，z ＝2， 所以n 2＝(2，1，2)是平面BCE 的一个法向量.所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－35×9＝－55. (8分) 所以二面角ACEB 的余弦值为－55. (10分)23. 证明：(1) 当n ＝1时，a 1＝13∈(0，12)，结论显然成立； 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ∈(0，12)， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－2a 2k ＋2a k ＝－2(a k －12)2＋12∈(0，12). 综上，a n ∈(0，12).(4分) (2) 由(1)知，a n ∈(0，12)，所以b n ＝12－a n ∈(0，12). 因为a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ，所以12－a n ＋1＝12－(－2a 2n ＋2a n )＝2a 2n －2a n ＋12＝2(a n －12)2，即b n ＋1＝2b 2n . 于是log 2b n ＋1＝2log 2b n ＋1，所以(log 2b n ＋1＋1)＝2(log 2b n ＋1)，故{log 2b n ＋1}构成以2为公比的等比数列，其首项为log 2b 1＋1＝log 216＋1＝log 213. 于是log 2b n ＋1＝(log 213)·2n －1，从而log 2(2b n )＝(log 213)·2n －1＝log 2(13)2n －1， 所以2b n ＝(13)2n －1，即b n ＝（13）2n －12，于是1b n＝2·32n －1.(8分) 因为当i ＝1，2时，2i －1＝i ，当i ≥3时，2i －1＝(1＋1)i －1＝C 0i －1＋C 1i －1＋…＋C i －1i －1>C 0i －1＋C 1i －1＝i ，所以对∀i ∈N *，有2i －1≥i ，所以32i －1≥3i ，所以1b i＝2·32i －1≥2·3i ， 从而＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ≥2(31＋32＋…＋3n )＝2×3（1－3n ）1－3＝3n ＋1－3.(10分)。
江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)答案
分2 3 2 ) )) ⎦江苏省 2019 年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 4 -π1. [1, 4) 2．23.必要不充分4. 215.6.4 37. 2 8. y 2= 2x9. x = 3或 4x - 3y + 3 = 0 10． 5 71411. (1,2)12.a ≥ 1 413. 4 - 414. (-∞, - ⎤ 二．解答题：本大题共 6 小题，15—17 每小题 14 分，18—20 每小题 16 分，共计 90 分． 请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15.(1) f (x ) = m ⋅ n + 1 = (2 cos x ,- 3 sin x )(3cos x ,2 cos x ) + 1∴ f (x ) = 6 cos 2 x - 2 3 sin x cos x + 1………………………………2 分∴ f (x ) = 6 1 + cos 2x - 3 sin 2x + 1∴ f (x ) = 2 3( 3 cos 2x - 1sin 2x ) + 42 即 f (x ) = 23 cos(2x + π+ 4 2 2………………………………6 分6 故周期T = 2π= π 2 （2）令 y = kf (x ) - 1 = 0 ,则 1= k………………………………7 分f (x ) ， (k ≠ 0)由（1）得∴ f (x ) = 2 3 cos(2x + π+ 4 60 ≤ x ≤ π，∴π ≤ 2x + π ≤ 7π， ………………………………9 分2 6 6 6∴ -1 ≤ cos(2 x + π ≤ ，∴ 4 - 2 6 2 ≤ f (x ) ≤ 7 ，………………………………12 分 ∴ 4 - 2 ≤ 1 ≤ 7 ，∴ 1 ≤ k ≤ 1 + 3 ………………………………14 分 k 7 216.(1) SA = SB , N 是 AB 中点 ∴ SN ⊥ AB 平面 S AB ⊥平面 A BCD,平面 S AB ⋂ 平面 A BCD =AB , ∴ SN ⊥平面 A BCD AC ⊂平面 A BCDSN ⊂ 平面 S AB ………………………………2 分 ∴SN ⊥A C........................................................................... 6 (2)取 SD 的中点 E,连 EMM 是中点，∴EM//CD,且 EM= 1CD2底面 ABCD 是矩形, N 为 AB 中点∴AN//CD,且 AN= 1CD ，∴ EM //AN2∴四边形 EMNA 是平行四边形1033 34 3 4 3 33 3 h h )) x 2 ⎪ 2∴MN//AE ………………………………10 分 MN ⊄ 平面 S AD ，AE ⊂ 平面 S AD ， 所以 MN//平面 S AD ． ………………………………14 分17.（1）在 ∆ABC 中， ∠CBA = 120 ， ∠CAB = 45，所以∠BCA = 15，由正弦定理，得 AB = CB 10 ………………………………３分sin15 10 sin 45 sin12015 2 +5 6 所以 AB + BC = sin120(sin15 + sin 45 ) = ≈ 11.2 （米） 3答：折断前树的高度11.2米. …………………6 分（2）如图，设∆ABC 的内接矩形 DEFG 的边 DE 在 AC 上且 DE = 2 ,设 DG = EF = h因为∠CAB =θ， ∠CBA = 120 ，所以∠BCA = 60-θ，所以 AD + CE + DE = + + 2 = 10 ，………………………………８分cos θ tan θ cos(60-θ)tan(60-θ)BGF所以 h [sin θ + sin(60 -θ) ] = 8 ， 8sin θsin(60 -θ)h = sin 60=16 ( 3 sin 2θ- 1 - cos 2θ 3 44 = 8 3 sin(2θ+ π - 4 3 3 6 3 ………………………………10 分θ∈π π π 5π因为(0, ), 所以2θ+ ∈ ( , )3 6 6 6 π 1所以sin(2θ+ ) ∈ ( ,1]，所以 h ∈ (0, ] ………………………………12 分6 2 3因为 ≈ 2.3 < 2.5，所以救援车不能从此处通过. ………………………………14 分18.（1）由椭圆定义知 ∆F 2 AB 的周长为 4a ，所以 4a = 8 ，所以a = 2c又离心率 a = ，所以c = ，所以b = 1 2所以椭圆 C 的方程为 2 +y = 1． ……………………4 分 4（2）当l ⊥ x 轴， PB ≠ 2AP所以可设l ： y = kx + 1, A (x , y ) ， B (x , y )21 12 2⎧ y = k x + 1则 ⎨ x 2 2，消去 y 得(1+ 4k 2 ) x 2+ 4kx - 3 = 0⎩⎪4+ y = 1 ⎧⎪ 所以 ⎨x1 + x2 = - 4 k1 + 4 k 2- 3( * )……………………6 分⎩⎪x1 x2 =1+4k215m3m 3 m33m3m ⎨因为 PB = 2AP ，所以 x 2 - 0 = -2x 1 ，即 x 2 = -2x 1 代入(*) 化简得⎪⎧ - x 1= - 4 k 1 + 4 k 23 1 4k 2-3 所 以 = ( )2 ⎩⎪- 2 x 1= 1 + 4 k 22 4k 2 +1 1 + 4k 2解得 k = ±……………………9 分10所以直线l 方程为： y = ± 15x + 1 ，……………………10 分 10 2(3)当 AB x 轴可知 k 1 + k 2 = 0 ，此时存在λ= 1使得 k 1 + λk 2 = 0 成立，……11 分下面证明当λ= 1时 k 1 + λk 2 = 0恒成立kx + 1 - 2 kx + 1 - 2 2kx x - 3(x + x )k + k = y 1 - 2 + y 2 - 2 = 1 2 + 2 2 = 1 2 2 1 21 2 x - 0x - 0 x x …………13 分x x 1 2 1 2 1 23 -3 3 -4k 3因为 2kx 1x 2 - 2 (x 1 + x 2 ) = 2k 1+ 4k 2 - 所以 k 1 + k 2 = 0 恒成立 ( ) = -6k - 4k (- ) = 0 2 1+ 4k 22即存在λ= 1，使得 k 1 + λk 2 = 0恒成立．……………………16 分19．（1） f ' (x ) = -3x 2+ m因为函数 f (x )在x = 1处的切线垂直于直线 x - 2 y +1 = 0所以 f '(1) = -2 ，即 -3 + m = -2 ，所以m = 1；………………………3 分 （2） f '(x ) = -3x 2+ m ，当m ≤ 0 时， f '(x ) ≤ 0 恒成立，所以函数 f (x ) 的单调减区间为(-∞, +∞) ，无增区间；………………………4 分当 m > 0时，由 f '(x ) = -3x 2+ m =0 得 x = ±，列表如下： x (-∞, - m)3- m 3 (- m , m )3 3m 3 ( m, +∞) 3f ' (x ) 0+f (x )递减递增递减所以函数 f (x ) 的单调减区间为： (-∞, -m ) 、( 3 , +∞) ， 3所以单调增区间为： (-, ) ………………………8 分（3）由（2）知 f (x ) 的极小值为 f (-3 ) ，令 x 0 = - 3 设方程 f (x ) = f (x 0 ) 的根为t ，则 -x 03 + mx 0 + 1 = -t 3+ mt + 1 ，即(t - x 0 )(t 2+ tx 0 + x 0 2- m ) = 0 ，………………………10 分 所以t 2+ tx 0 + x 02 - m = 0,因为 f (x ) = f (x 0 ) 有两个相等实根 x 0 ，所以t 2+ tx 0 + x 02- m = 0必有一根为 x 0 ，………………………12 分m2 3m 2 3m 3n -1 n n +1 n -2 n -1 n n ⎭ 设另一个根为t 3 ，则t 3 + x 0 = -x 0 ， 所以t 3 = -2x 0 ，即t 1 = t 2 = x 0 ,t 3 = -2x 0 ，即t 3 =3………………………14 分 因为函数 f (x ) 在区间(- 1, ⎧-1 < - 2 )上的极小值也是 f (x ) 的最小值，⎪ 3 所以 ⎨⎪ ≥ ，解得 ≤ m < 3 2 ⎩⎪ 3 所以实数 m 的取值范围为 ⎡ 3 ,3⎫………………………16 分⎢⎣2 ⎪20. (1)因为 S + S + S = 3n 2 + 2(n ≥ 2,n ∈ N *) ① 所以 S + S + S = 3(n - 1)2+ 2(n ≥ 3) ② ②—①得： a n -1 + a n + a n +1 = 3(2n - 1) ③ ……………………………………2 分因为数列{a n }为等差数列，所以 a n -1 + a n +1 = 2a n 代入③得： a n = 2n -1(n ≥ 3) 所以{a n }是公差为 2 的等差数列， 所以 a 2 = a 3 - 2 = 3 ， a 1 = a 2 - 2 = 1 所以 a n = 2n -1.……………………………………4 分(2)由(1)知： a n -1 + a n + a n +1 = 3(2n - 1)(n ≥ 3) 所以 a n + a n +1 + a n +2 = 3(2n + 1) ④ ④—③ 得： a n +2 - a n -1 = 3(n ≥ 3)……………………………………6 分又b n = a 3n -2 ，所以b n +1 - b n = a 3n +1 - a 3n -2 = 6(n ≥ 2)若数列{b n }为等差数列，则只需 a 4 - a 1 = 6，又 a 1 = 1，所以 a 4 = 7 . 又 S 1 + S 2 + S 3 = 14所以3a 1 + 2a 2 + a 3 = 14 由③知a 2 + a 3 + a 4 = 15所以 a 2 = 3……………………………………8 分所以当b = 3 时，{b n }为等差数列； b ≠ 3时，{b n }不为等差数列.…………………10 分(3) 1当n = 3k +1( k ∈ N *)时：S 3k +1 = a 1 + (a 2 + a 3 + a 4 ) + …+ (a 3 k -1 + a 3 k + a 3 k +1 )= a + 3⨯ (2⨯ 2 + 1) + 3⨯ (2⨯ 5 + 1) + …+ 3[2⨯ (3k -1) + 1]= a + 3⨯k (5 + 6k -1)2= a + 9k 2 + 6k = (3k + 1)2 + a -1所以 S = n 2+ a -1,当 n = 1时也满足. ……………………12 分2 当 n = 3k ( k ∈ N * )时： S 3k = (a 1 + a 2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 )…+ (a 3 k -2 + a 3 k -1 + a 3 k ) 因为3a 1 + 2a 2 + a 3 = 14 所以 a 3 = 14 - 3a - 2b所以 S 3k = (14 - 2a - b ) + 3⨯ (2⨯ 4 +1) + …+ 3[2⨯ (3k - 2) +1]= (14 - 2a - b ) + 3⨯(k -1)(9 + 6k - 3)23m 2n n n n n -1 n n +1 ⎩= (14 - 2a - b ) + 9k 2 - 9 = 9k 2 + 5 - 2a - b所以 S = n 2+ 5 - 2a - b ……………………14 分3 当 n = 3k -1( k ∈ N * )时：因为 S + S + S = 3n 2+ 2(n ≥ 2,n∈ N * ) 所以(n -1)2+ a -1+ S + (n +1)2+ 5 - 2a - b = 3n 2+ 2 所以 S + 2n 2+ 6 - a - b = 3n 2+ 2 所以 S = n 2 + a + b - 4⎧n 2 + a -1, n = 3k - 2⎪ 综上所述： S n = ⎨n 2+ a + b - 4,n = 3k - 1(k ∈ N *) ……………………16 分⎪n 2 + 5 - 2a - b , n = 3k3 4 - 1 4⎩ 1 1 5 江苏省 2019 年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学附加题参考答案与评分标准21A 因为 PA 是圆 O 在点 A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ． 因为 PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ．…………………… 10 分λ- 30 21B ．矩阵M 的特征多项式为 f (λ) == λ2- 4λ+ 3 ，……………2 分-1 λ-1令 f (λ) = 0 ，解得λ1 = 1 ,λ2 = 3， ……………4 分（⎧ λ- 3）⋅ x + 0 ⋅ y = 0, 将λ1 =1 代入二元一次方程组⎨-x + (λ-1) y = 0, 解得 x = 0 ，……………6 分⎡0⎤所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为 ⎢ ⎥ ；……………8 分 ⎣ ⎦ ⎡2⎤同理，矩阵M 属于特征值 3 的一个特征向量为 ⎢ ⎥ ．……………10 分⎣ ⎦21C 曲线 C ： ρ= 4sin θ的直角坐标方程为 x 2+ ( y - 2)2= 4 ， 直线l 的普通方程为 3x - y +1 = 0…………………… 4 分∴圆心到直线的距离d =0 ⨯ -1⨯ 2 +11 =∴ AB = 2 22 = 215…………………… 10 分21D 因为|m|+|n|≥|m －n|，所以| x - 1 + a | + | x - a |≥|x - 1 + a - ( x - a )|=|2a - 1 | ．……………………………… 8 分 又 a ≥2，故|2a -1| ≥3．所以| x -1 + a | + | x - a | ≥3 ．…………………………………… 10 分 22．（1）记恰有 2 个小球与盒子编号相同为事件 A ，将 5 个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有 A 5即 120 种不同的放法，事件 A 共有C 2 ⨯ 2 = 20 种放法，∴ P ( A ) = 20 = 14120 61 答：恰有2 个盒子与小球编号相同的概率为 6（2）随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,5C 1 (2 + 3 + 3 + 3) 44 11 P ( X = 0) = 5= =120 120 30 C 1(3 + 3 + 3) 45 3P ( X = 1) = 5 = =120 120 8 C 2⨯ 2 20 1 P ( X = 2) = 5 = = 120 120 6 …………………… 4 分C 3 10 1P ( X = 3) = 5 = =120 120 12r 2- d 22n-1 P ( X = 5) =1∴ E (x ) = 0⨯+1⨯ + 2⨯ + 3⨯ + 5⨯ = 1 …………………… 10 分 30 8 6 12 12023．(1)从等式左侧看： x n 的系数为C n…………………………1 分 从等式右侧看： (1+ x )n -1 (1+ x )n= (C 0+ C 1x + …+ C n -1 x n -1 )(C 0 + C 1 x + … + C n x n ) n -1n -1n -1nn nx n的系数为C0 ⋅ C n + C 1⋅ C n -1+ … + C n -1⋅ C 1……………………………………3 分n -1 n n -1nn -1n所以C 0⋅ C n + C1⋅ C n -1 + … + C n -1 ⋅ C 1 = C n……………………………………4 分n -1n n -1nn -1n2n -1(2) 当 k ∈ N *时， kC k= k ⋅n ! =n !nk !(n - k )! (k -1)!(n - k )!= n ⋅ (n -1)! (k -1)!(n - k )!k -1n -1……………………………6 分nnn所以(C 1 )2 + 2(C 2 )2 + …+ n (C n )2= ∑[k (C k )2] = ∑(kC k ⋅C k) = ∑(nC k -1 ⋅C k)nnnnnnn -1nk =1n nk =1k =1= n ∑ (C k -1 ⋅ C k ) = n ∑ (C n -k ⋅ C k )……………………………8 分k =1n -1 n n -1 nk =1由(1)知C 0 ⋅ C n+ C1 ⋅ C n -1+ … + C n -1 ⋅ C 1 = C nn -1nn -1nnn -1n2n -1所以 ∑ (Cn -k⋅ C k ) = C nk =1n -1n 2n -1所以(C 1 )2+ 2(C 2 )2+ … + n (C n )2= nCn -1……………………………10 分nnn2n -1= nC。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(3)(含详细答案)
第7题PD A BCE 江苏省高考数学模拟试卷（3）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 已知集合{1234}A =，，，，{147}B =，，，则A B = ▲ ．2． 已知复数z 满足i i z =（i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ．3． 已知样本数据12,,n x x x 的均值5x =，则样本数据131,x +231,,31n x x ++的均值为 ▲ ．4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．5． 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为 ▲ ．6． 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．则数列第10项10a = ▲ ． 7． 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E －P AB 的体积为4，则PA 的长为 ▲ ．8． 函数2log y x =，1,324x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为 ▲ ．9． 如果函数3sin(2)y x ϕ=+的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,OA t =-，()2,2OB =，若OBA ∠为直角三角形，则实数t 的值为 ▲ ．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10x x a +≥-成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 12．已知正数,ab 满足13a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14．设函数()33,2,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩，，若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，3B π=． （1）若AC =2BC =，求AB ；（2）若cos 13A =，求tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//2DC AB DC AB =，,E 为棱PA 上一点. （1）设O 为AC 与BD 的交点, 若2PE AE =, 求证://OE 平面PBC ； （2）若DE AP ⊥, 求证：PB DE ⊥．DOPB 第16题ACE南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t的近似函数的关系为321124100010(t)4(t10)(3t41)1001012t t t tVt⎧-+-+<=⎨--+<⎩，≤，，≤．（1）该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1i t i-<<表示第i月份（1212i=，，，），问一年内哪几个月是衰退期？（2）求一年内该地区冰川的最大体积．18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)O x y r r+=>与椭圆:C22221(0)x ya ba b+=>>相交于点()0,1M,()01N-，，且椭圆的离心率为22.（1）求r值和椭圆C的方程；（2）过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A B，两点．①若23MB MA=，求直线l的方程；②设直线NA的斜率为1k，直线NB的斜率为2k，问:21kk是否为定值,如果是,求出定值; 如果不是，请说明理由．ANBO xyM第18题设函数()e ||x f x x a =--，其中a 是实数．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 各项均为正数，2122a a ==，且312n n n na a a a +++=对*n ∀∈N 恒成立，记数列{}n a 的 前n 项和为n S . （1）证明：数列212{}n n a a -+为等比数列；（2）若存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区．．．．．．．．域．内作答．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅． B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵12-14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算3A α．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ∈R ，e a b >>(其中e 是自然对数的底数)，求证:b a a b >．(第21－A 题)【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34．(1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()nn m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值；（2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．2018年江苏省高考数学模拟试卷（3）参考答案一、填空题1.{1,4}2.23.164.115.1106.227.48.[0,5]9.3π. 由题意可知当56x π=时，0y =，即有5sin()03πϕ+=，解得5,3x k k Z ππ=-∈，化简得()2,3x k k Z ππ=-+∈，所以ϕ的最小值为.3π10.5. OBA ∠为直角，有0OB AB ⋅=，即有()0OB OB OA ⋅-=，所以2OA OB OB ⋅=;代入坐标得228t -+=，所以 5.t =11.[1,)-+∞ 12.因为,a b 为正数，13a b =+≥化简得≥，即有ab ≥1313a ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即a b ==时，取“=”.13. (,2)-∞.设(,)P x y ，则()2,3AP x y =--，()6,3BP x y =-+，根据20AP BP λ⋅+=，带入坐标化简有()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭.由题意圆：()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭圆与直线3430x y -+=相交，圆心到直线的距离3d ==< 2.λ<14.()1,72⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭.当1a ≤-，函数()f x 有最大值2a -，此时24a a ->， 解得0a <，又因为1a ≤-，所以1a ≤-；当12a -<≤，函数()f x 有最大值2，此时24a >解得12a <， 又12a -<≤，所以112a -<<当2a >，函数()f x 无最大值，因为取不到33a a -，所以334a a a ->即370a a ->解得0,a <<或a >又因为2a >，所以a >综上所述，a 的取值范围是()1,72⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，3B π=,AC =2BC =. 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅,得21242AB AB =+-，即2280AB AB --= 解之得4AB =，2AB =-（舍去）．（2）cos 013A =>，得 02A π<<，sinA 13==tan cos SinA A A ==，又3B π=,所以tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B +=-+=--==． 16．（1）在AOB ∆与COD ∆中， 因为//,2DC AB DC AB =， 所以12AO AB CO CD ==，又因为2PE AE =， 所以在APC ∆中,有12AO AE CO PE ==，则//OE PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//OE 平面PBC ． （2）因为AB ⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ， 所以AB DE ⊥.又因为AP DE ⊥,AB ⊂平面PAB ,AP ⊂平面PAB ,AP AB A =，所以DE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAD ，所以.DE PB ⊥17. (1)当010t <≤时，32(t)1124100100V t t t =-+-+<，化简得 211240t t -+> ，解得3t <或8t > ，又010t <≤，故04t <<或810t <≤，当1012t <≤时， (t)4(t 10)(3t 41)100100V =--+<，解得 41103t <<，又1012t <≤，故1012t <≤． 综上得 04t <<，或812t <≤．所以衰退期为1月，2月，3月，4月， 9月，10月，11月，12月共8个月． (2)由(1)知：(t)V 的最大值只能在()4,9内取到． 由()''32V (t)1124100t t t =-+-+232224t t =-+- 令`(t)0V =，解得6t = 或43t =(舍去)． 当t 变化时，`(t)V 与(t)V 的变化情况如下表：由上表，(t)V 在t ＝6时取得最大值 (6)136V = (亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．（1）因为圆222:O x y r +=与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于点()0,1M所以1b r == . 又离心率为c e a ==,所以a =所以椭圆22:12x C y +=． （2）因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于,A B 两点，所以设直线l 的方程 为()10y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()222140k x kx ++=，所以222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩得到()22120k x kx ++=， 所以22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 因为23MB MA =， 则24221k k -=+因为0k ≠，所以2k =±l的方程为12y x =±+. ②根据①222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 221211121A N NAA N k y y k k k k x x k -++-+===--+ 1k =-，222221121421B NNB B N k y y k k k k x x k -++-+===--+12k =-， 所以2112k k =为定值. 19．（1）因为e ()e ||e x xx x a x a f x x a x a x a ⎧-+⎪=--⎨+-<⎪⎩，≥，=，，则e 1()e 1x x x a f x x a ⎧-⎪'⎨+<⎪⎩，≥，=，，因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥恒成立，当x a ≥时，()e 10x f x '-=≥恒成立， 故应()0f a '≥，即0a ≥．（2）由（1）知当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，不符题意，所以有0a <． 此时，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥，()f x 单调递增，当x a ≥时，()e 1x f x '-=，令()0f x '=，得0x =，所以()0f x '<在(),0a 上恒成立，()f x 在(),0a 上单调递减，()0f x '>在()0,+∞恒成立，()f x 在上单调()0,+∞递增.所以 ()=()e a f x f a =极大，()=(0)1+f x f a =极小，即0a <符合题意.由2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，可得e 1a a ka --≥对任意0a <恒成立， 设()e (1)1a g a k a =-+-，求导，得()e (1)a g a k '=-+，① 当1k -≤时，()0g a '≥恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递增，又因为1(1)0eg k -=+<，与()0g a >矛盾；②当0k ≥时，()0g a '≤在(0)-∞，上恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递减， 又因为(0)0g =，所以此时()0g a ≥恒成立，符合题意；③当10k -<<时，令()0g a '>在(0)-∞，上的解集为(ln(1)0)k +，，即()g a 在(ln(1)0)k +，上单调递增，又因为(0)0g =，所以)(ln(1)0g k +<不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0)+∞，． 20．（1）证明：由312n n n n a a a a +++=，可知323311n n n na a a a a a a +++====， 所以212232123212212()n n n n n n n na a a a a a a a a a ++---++==++，当1n =时，123a a +=，即数列212{}n n a a -+是以3为首项，3a 为公比的等比数列．（2）法一, 由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列．故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++．333(2)(1)11k a a a +-=+-． 又因为{}n S t +为等比数列，故有()()()221n n n S t S t S t ++++=+,对n +∀∈N 恒成立，所以()()()222221k k k S t S t S t ++++=+和()()()2212322k k k S t S t S t +++++=+对k +∀∈N 恒成立，即()()()2133********333333332(1)3(1)3(1)11112(1)2(1)3(1)11111k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a +++⎧⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫--⎪++=++ ⎪⎪⎪---⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+-+-⎛⎫-++++=+⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩对k +∀∈N 恒成立, 解得34a =，1t =，此时()()()2132111S S S ++=+也成立. 所以34a =，1t =，即21nn S =-得到12n n a -=．法二,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++333(1)1k a a -=- 333311k a a a =--- 要使得{}n S t +为等比数列必有2{}k S t +为等比数列,即有331t a =-成立①故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++．333(2)(1)11k a a a +-=+-． 333322111k a a a a a ++=-+-- 要使得{}n S t +为等比数列必有21{}k S t ++为等比数列,即有33211a t a +=--成立② 联立①②得31,4t a ==以下同解法一法三,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++．333(2)(1)11k a a a +-=+-． 要使得{}n S t +为等比数列必有()()()2243S t S t S t ++=+和()()()2132S t S t S t ++=+ 解得31,4t a ==,通过验证31,1t a ==时, {}n S t +为等比数列. 以下同解法一第II 卷（附加题，共40分）21.A . 连接AD ，因为AB 为圆O 的直径， 所以0=90ADB ∠,又0=90EF AB AFE ⊥∠，，则,,,A D E F 四点共圆，,BD BE BA BF ∴⋅=⋅,又ABC ∆～AEF ∆，即AB AF AE AC ⋅=⋅. BE BD AE AC BA BF AB AF ∴⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =.B ．因为212()5614f λλλλλ--==-+- ，由()0f λ=，得=2λ或=3λ． 当=2λ时，对应的一个特征向量为12=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当=3λ时，对应的一个特征向量为21=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦．设321=211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩, 所以()3312A A ααα=+3312A A αα=+332143=12+13=1135⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦C ．因为直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，所以直线l的直角坐标方程为y =， 又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩所以曲线C 的普通方程为[]212,2,22y x x =-+∈-,联立解方程组2122y y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ .解得3x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩3x y ⎧=⎪⎨=--⎪⎩所以点P的直角坐标为(3-+. D ．0,0a b b a >>， ∴要证b a a b >，只要证ln ln a b b a > 只要证ln ln b a b a >， 构造函数()()ln ,,xf x x e x =∈+∞.()()21ln ,,xf x x e x-'=∈+∞， ()0f x '<在区间(),e +∞恒成立， 所以函数(),x e ∈+∞在上是单调递减， 所以当e a b >>时，有()()f b f a >即ln ln b ab a>，得证. 22．(1) 记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464P A ==．(2) 由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()+()4416P X ===，131333311345(4)()()+()()4444128P X C C ===，27(5)1(3)(4)128P X P X P X ==-=-==． 所以比赛局数74527483()345.16128128128E X =⨯+⨯+⨯=23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111nn kk k k nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，，又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，.（2）0()(1)nk knk m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k n n n k m mC C m k m k----==+-++-++∑1111111(1)(1)n nkkk k n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑111(1,)(1)nk k n k mP n m C m k--==-+-+∑ 0(1,)(1)n k knk m m P n m C n m k==-+-+∑(1,)(,)mP n m P n m n=-+即()(1)nP n m P n m m n=-+，，， 由累乘，易求得!!1()(0)()!n n mn m P n m P m n m C +==+，，，又()nn m Q n m C +=，，所以()()1P nm Q n m ⋅=，，．。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(8)(含附加,详细答案)
2019年江苏省高考数学模拟试卷(8)(含附加,详细答案)2019年高考模拟试卷（8）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知集合 $A=\{2,\log_2 a\}$，若 $3\in A$，$B=\{1,3\}$，则实数 $a$ 的值为______。
2.已知复数 $z$ 满足$z\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则复数 $z-\mathrm{i}$ 的模为______。
3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为______。
4.工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图（左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数），则该组数据的方差$s^2$ 的值为______。
5.根据上图所示的伪代码，可知输出的结果 $S$ 为______。
第4题）1872212SI 2WhileI≤4I I+1S S+IEndWhilePrintS第5题）x y≥1。
6.设实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases}x+y\leq 1,\\x+2y\geq 1,\end{cases}$ 则 $3x+2y$ 的最大值为______。
7.若“$\exists x\in\left[\frac{1}{2},2\right]$，使得 $2x^2-\lambda x+1<0$ 成立”是假命题，则实数 $\lambda$ 的取值范围是______。
8.设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（$d\neq 0$），其前$n$ 项和为 $S_n$。
若 $a_4$，$2S_{12}=S_2+10$，则 $d$ 的值为______。
9.若抛物线 $x=4y$ 的焦点到双曲线 $x^2/2-y^2/3=1\(a>0,b>0)$ 的渐近线距离等于 $1$，则双曲线的离心率为______。
江苏省苏北三市2019届高三模拟考试数学试卷(含答案)
2019届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1 参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|0<x≤2}，则A∩B＝Ｗ.2. 已知复数z＝(2－i)2(i是虚数单位)，则z的模为Ｗ.3. 已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为Ｗ.4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为Ｗ.I←1While I<8I←I＋2S←2I＋3End WhilePrint S(第4题)5. 若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“ab是整数”的概率为Ｗ.6. 若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与双曲线x2－y23＝1的右焦点重合，则实数p的值为Ｗ.7. 在等差数列{a n}中，若a5＝12，8a6＋2a4＝a2，则{a n}的前6项和S6的值为Ｗ.8. 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为Ｗ.9. 已知a，b∈R，函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2－x)>0的解集为Ｗ.10. 已知a>0，b>0，且a＋3b＝1b－1a，则b的最大值为Ｗ.11. 将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为Ｗ.12. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足CP→＝32PB→＋2PA→，则CP→·AB→的值为Ｗ.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m ＋6)y－4＝0(m∈R)与以C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x21－x22＝y22－y21，则实数m的值为Ｗ.14. 已知x>0，y>0，z>0，且x＋3y＋z＝6，则x3＋y2＋3z 的最小值为Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC中，sin A＝23，A∈(π2，π).(1) 求sin 2A的值；(2) 若sin B＝13，求cos C的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.(1) 求证：EF∥平面A1BD；(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.17. (本小题满分14分)如图，某公园内有两条道路AB ，AP ，现计划在AP 上选择一点C ，新建道路BC ，并把△ABC 所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC ＝π6，AB ＝2 km.(1) 若绿化区域△ABC 的面积为1 km 2，求道路BC 的长度； (2) 若绿化区域△ABC 改造成本为10万元/km 2，新建道路BC 成本为10万元/km.设∠ABC ＝θ(0<θ≤2π3)，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M (m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q .(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－a)ln x(a∈R).(1) 若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程；(2) 若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；(3) 若函数f(x)存在两个极值点，求实数a的取值范围.20. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a n(q n a n－1)＋2q n a n a n＋1＝a n＋1(1－q n a n＋1)，且a n＋1＋a n≠0，其中a1＝2，q≠0.记T n＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋q n－1a n.(1) 若q＝1，求T2 019的值；(2) 设数列{b n}满足b n＝(1＋q)T n－q n a n.①求数列{b n}的通项公式；②若数列{c n}满足c1＝1，且当n≥2时，c n＝2b n－1－1，是否存在正整数k，t，使c1，c k－c1，c t－c k成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，请说明理由.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0123，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2018，求A －1B .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2cos θ.以极点为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，设过点A (3，0)的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率.C. (选修45：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x－1|.(1) 解不等式f(x－1)＋f(x＋3)≥6；(2) 若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(b a).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在三棱锥DABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠CAB ＝90°，且AC ＝AD ＝1，AB ＝2，E 为BD 的中点.(1) 求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； (2) 求二面角ACEB 的余弦值.23. 已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ，n ∈N *.(1) 用数学归纳法证明：a n ∈(0，12)；(2) 令b n ＝12－a n ，求证：2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. 53. 24. 215. 136. 47.1528.8 3 9. (0，4) 10. 1311.3π212. －1 13. －6 14.37415. 解：(1) 由sin A＝23，A∈(π2，π)，则cos A＝－1－sin 2A＝－1－（23）2＝－53，(2分)所以sin 2A＝2sin A cos A＝2×23×(－53)＝－459.(6分)(2) 由A∈(π2，π)，则B为锐角.又sin B＝13，所以cos B＝1－sin 2B＝1－（13）2＝223，(8分)所以cos C＝－cos (A＋B)＝－(cos A cos B－sin A sin B)(12分)＝－(－53×223－23×13)＝210＋29.(14分)16. 证明：(1) 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.(3分)因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1.因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D. (8分)因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.(10分)因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C.(12分)因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C. (14分)17. 解：(1) 在△ABC中，已知∠BAC＝π6，AB＝2 km，所以△ABC的面积S＝12×AB×AC×sinπ6＝1，解得AC＝2.(2分)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cos π6＝22＋22－2×2×2×cos π6＝8－43，(4分)所以BC＝8－43＝6－2(km).(5分)(2) 由∠ABC＝θ，则∠ACB＝π－(θ＋π6)，0<θ≤2π3.在△ABC中，∠BAC＝π6，AB＝2 km，由正弦定理得ACsin B＝BCsin A＝ABsin C，所以BC＝1sin（θ＋π6），AC＝2sin θsin（θ＋π6）.(7分)记该计划所需费用为F(θ)，则F(θ)＝12×2sin θsin（θ＋π6）×2×12×10＋1sin（θ＋π6）×10＝10（sin θ＋1）sin（θ＋π6）(0<θ≤2π3).(10分)令f(θ)＝sin θ＋132sin θ＋12cosθ，则f′(θ)＝sin （θ－π3）＋12（32sin θ＋12cos θ）2.(11分)由f ′(θ)＝0，得θ＝π6.所以当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)<0，f (θ)单调递减；当θ∈(π6，2π3)时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增.(12分)所以当θ＝π6时，该计划所需费用最小.答：当θ＝π6时，该计划所需总费用最小.(14分)18. 解：(1) 设椭圆的右焦点为(c ，0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2c－c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意. 设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －m ). 又准线方程为x ＝2，所以点P 的坐标为P (2，k (2－m )).(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －m ），x 2＋2y 2＝2，得x 2＋2k 2(x －m )2＝2，即(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0，所以x D ＝12·4k 2m 2k 2＋1＝2k 2m 2k 2＋1，y D ＝k (2k 2m 2k 2＋1－m )＝－km 2k 2＋1，(8分)所以k OD ＝－12k，从而直线OD 的方程为y ＝－12kx ，所以点Q 的坐标为Q (2，－1k)，(10分)所以以PQ 为直径的圆的方程为(x －2)2＋[y －k (2－m )](y ＋1k)＝0，即x 2－4x ＋2＋m ＋y 2－[k (2－m )－1k]y ＝0.(14分)因为该式对∀k ≠0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2－4x ＋2＋m ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2±2－m ，y ＝0.所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±2－m ，0).(16分)19. 解：(1) 因为f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，所以当a ＝1时，f (x )＝(x －1)ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1－1x.(1分)当x ＝1时，f (1)＝0，f ′(1)＝0，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的方程为y ＝0.(3分) (2) 因为对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立， 所以当ln x ＝0，即x ＝1时，f (x )＝0，a ∈R ；(5分) 当ln x >0，即x >1时，x ≥a 恒成立，所以a ≤1； (6分) 当ln x <0，即x <1时，x ≤a 恒成立，所以a ≥1.综上可知，对于任意的正数x ，f (x )≥0恒成立，a ＝1. (7分) (3) 因为函数f (x )存在两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －a x＋1存在两个不相等的零点.设g (x )＝ln x －a x＋1，则g ′(x )＝1x ＋a x2＝x ＋a x 2.(8分)当a ≥0时，g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，至多一个零点.(9分) 当a <0时，x ∈(0，－a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，x ∈(－a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x＝－a时，g(x)min＝g(－a)＝ln(－a)＋2. (11分)因为g(x)存在两个不相等的零点，所以ln(－a)＋2<0，解得－e－2<a<0.因为－e－2<a<0，所以－1a>e2>－a.因为g(－1a)＝ln(－1a)＋a2＋1>0，所以g(x)在(－a，＋∞)上存在一个零点.(13分)因为－e－2<a<0，所以a2<－a.又g(a2)＝ln a2－1a＋1＝2ln(－a)＋1－a＋1，设t＝－a，则y＝2ln t＋1t＋1(0<t<1e2).因为y′＝2t－1t2<0，所以y＝2ln t＋1t＋1(0<t<1e2)单调递减.又函数图象是连续的，所以y>2ln 1e2＋e2＋1＝e2－3>0，所以g(a2)＝ln a2－1a＋1>0，所以在(0，－a)上存在一个零点.综上可知，－e－2<a<0.(16分)20. 解：(1) 当q＝1时，由a n(q n a n－1)＋2q n a n a n＋1＝a n＋1(1－q n a n＋1)，得(a n＋1＋a n)2＝a n＋1＋a n.又a n＋1＋a n≠0，所以a n＋1＋a n＝1.(2分)又a1＝2，所以T2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝1 011.(4分)(2) ①由a n(q n a n－1)＋2q n a n a n＋1＝a n＋1(1－q n a n＋1)，得q n(a n＋1＋a n)2＝a n＋1＋a n.又a n＋1＋a n≠0，所以a n＋1＋a n＝1q n.(6分)因为T n＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋q n－1a n，所以qT n＝qa1＋q2a2＋q3a3＋…＋q n a n，所以(1＋q)T n＝a1＋q(a1＋a2)＋q2(a2＋a3)＋q3(a3＋a4)＋…＋q n －1(a n－1＋a n)＋q n a n，b n＝(1＋q)T n－q n a n＝a1＋1＋1＋…＋1＋q n a n－q n a n＝a1＋n－1＝n＋1，所以b n＝n＋1.(10分)②由题意，得c n＝2b n－1－1＝2n－1，n≥2.因为c1，c k－c1，c t－c k成等比数列，所以(c k－c1)2＝c1(c t－c k)，即(2k－2)2＝2t－2k，(12分)所以2t＝(2k)2－3·2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3·2k－2＋1 (*).由于c k－c1≠0，所以k≠1，即k≥2.当k＝2时，2t＝8，得t＝3.(14分)当k≥3时，由(*)得(2k－1)2－3·2k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3·2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解.综上，k＝2，t＝3.(16分)2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3212 10，(5分) 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3212 10⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2018＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－524 20.(10分) B. 解：曲线C ：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(4分)设过点A (3， 0)的直线l 的直角坐标方程为x ＝my ＋3， 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 所以|1－3|1＋m 2＝1，解得m ＝±3.(8分)从而直线l 的斜率为±33.(10分)C. (1) 解：不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(4分) (2) 证明：要证f (ab )>|a |f (b a)，只要证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab－1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0， 从而原不等式成立. (10分)22. 解：因为DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，所以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AC＝AD＝1，AB＝2，所以A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1).因为点E为线段BD的中点，所以E(0，1，1 2 ).(1) AE→＝(0，1，12)，BC→＝(1，－2，0)，所以cos〈AE→，BC→〉＝AE→·BC→|AE→||BC→|＝－254×5＝－45，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为45.(5分)(2) 设平面ACE的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AC→＝(1，0，0)，AE→＝(0，1，12 )，所以n1·AC→＝0，n1·AE→＝0，即x＝0且y＋12z＝0，取y＝1，得x ＝0，z＝－2，所以n1＝(0，1，－2)是平面ACE的一个法向量.设平面BCE的法向量为n2＝(x，y，z)，因为BC→＝(1，－2，0)，BE→＝(0，－1，12 )，所以n2·BC→＝0，n2·BE→＝0，即x－2y＝0且－y＋12z＝0，取y＝1，得x＝2，z＝2，所以n2＝(2，1，2)是平面BCE的一个法向量.所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－35×9＝－55. (8分)所以二面角ACEB的余弦值为－55. (10分)23. 证明：(1) 当n＝1时，a1＝13∈(0，12)，结论显然成立；假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，a k∈(0，12 )，则当n＝k＋1时，a k＋1＝－2a2k＋2a k＝－2(a k－12)2＋12∈(0，12).综上，a n∈(0，12).(4分)(2) 由(1)知，a n ∈(0，12)，所以b n ＝12－a n ∈(0，12).因为a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ，所以12－a n ＋1＝12－(－2a 2n ＋2a n )＝2a 2n －2a n ＋12＝2(a n －12)2，即b n ＋1＝2b 2n .于是log 2b n ＋1＝2log 2b n ＋1， 所以(log 2b n ＋1＋1)＝2(log 2b n ＋1)，故{log 2b n ＋1}构成以2为公比的等比数列，其首项为log 2b 1＋1＝log 216＋1＝log 213. 于是log 2b n ＋1＝(log 213)·2n －1，从而log 2(2b n )＝(log 213)·2n －1＝log 2(13)2n －1，所以2b n ＝(13)2n －1，即b n ＝（13）2n －12，于是1b n ＝2·32n －1.(8分)因为当i ＝1，2时，2i －1＝i ，当i ≥3时，2i －1＝(1＋1)i －1＝C 0i －1＋C 1i －1＋…＋C i －1i －1>C 0i －1＋C 1i －1＝i ，所以对∀i∈N*，有2i－1≥i，所以32i－1≥3i，所以1b i＝2·32i－1≥2·3i，从而＝1b1＋1b2＋…＋1b n≥2(31＋32＋…＋3n)＝2×3（1－3n）1－3＝3n＋1－3.(10分)。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)
A NB（第7题）2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y（第5题）( 第8题 )ACPEABCB 1C 1A 1MN （第16题）12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ=，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．（第18题）17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b ab+=>>()的离心率为2，且过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值；（2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．2019年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C的参数方程（第21—A 题）ABCDP（第22题）为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ=（01λ<≤）． （1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2019年高考模拟试卷（1）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}0 2． -1 3．0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，，则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即2993n n --≤0， 设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增． 因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则2342BM AB AC =-⋅==，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x y =+，19b y x=+，则10a b +=．ABCB 1C 1A 1MN 因为ab =()1x y+⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2．14． 1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ=+=+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a n 充分大，则2n a >，矛盾； 若01q <<，由1a n 充分大，则1n a <，矛盾， 所以1q =，从而1n a a =π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=-，即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=-sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262k x k --≤≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈． 16．(本小题满分14分证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b +=，c a =222(0)c a b c =->， 解得2241a b ==，． 因为0a b >>，所以21a b ==，．（2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为2214x y +=，① 所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y =． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E 的坐标为(07-，．（3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+． 所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981a a -+=，解得119a =或49．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③ ②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤ ⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =． 若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =．代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是14p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤． 设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e-，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e． （3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分． C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 21c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y z y z x ++++≥，即()()()2222111111y x z x y zx y z y z x ++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP ，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，()010D ，，， 所以()111PC =-，，， ()101PB =-，，，()11PD =-0，，． 设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，101PB ，，，11PCλ，，，011PD，，．设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉=⨯，n n n n n n 1 cos120 2==， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）． 设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦． 而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤ ()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃） 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立），所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。
(完整word)2019年江苏高三数学模拟试题含答案,推荐文档
2019年高三数学模拟试题1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B =I ． 【答案】{0,7}2.已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ⋅= ．【答案】3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 【答案】84. 阅读下列程序，输出的结果为 ． 【答案】225．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号 盒子中各有1个球的概率为 ． 【答案】296．已知实数x ，y 满足132y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x 的取值范围是 ．【答案】]32,31[-7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为 ．【答案】48.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________14B答案：32 9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =，22cos cos cos A b C c B -=，则3122b c +-的最大值是 答案：2210.已知圆C 的方程为22(1)1x y ++=，过y 轴正半轴上一点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 交圆C 于A B 、两点，当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率k =________ 答案：1或711.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN P 平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6；④三棱锥ABC N -的体积为32=-ABC N V 。
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江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：
应用题
1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.问：对于任意α，上述
设计方案是否均能符合要求？
2、（南京市2019届高三第三次模拟）如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15m．把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m．该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)。