1.1集合的概念(A)

集合的概念（A ）

知识要点：

一、集合的概念

1、定义：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对象称为该集合的元素，简称元。

2、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……

二、常用数集及记法

1、非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N

2、正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}

,3,2,1*=N 3、整数集：全体整数的集合记作Z , {}012Z =±±，

，， 4、有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数

=Q 5、实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R

三、元素对于集合的隶属关系

1、属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A

2、不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?

注意“属于”号∈与“不属于”号?，使用时不可反过来写！“A －6”与“A 8”的写法是

错误的。

四、集合中元素的特性

1、确定性：A a ∈和A a ?，二者必居其一，不能模棱两可．

集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．

例：能够组成集合的是（ ）

A ．与2非常接近的全体实数；

B ．很著名的科学家的全体；

C ．某教室内的全体桌子；

D ．与无理数π相差很小的数

2、互异性：若A a ∈，A b ∈，则.b a ≠集合中的元素是互异的．

这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个。例如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝。

3、无序性：｛a ，b ｝和｛b ，a ｝表示同一个集合．

集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。

五、集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

再用列举法表示集合时应注意以下四点：

①、 元素间用分隔号“，”； ②元素不重复； ③不考虑元素顺序；

④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法

（1）格式：{x ∈A| P （x ）}

（2）含义：它表示集合A 由具有性质p(x)的所有元素构成的。其中x 为该集合中元素的代号，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么”；p(x)为该集合中元素所具有的特征。 如：不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x

（3）在使用该方法是应注意以下六点：

①写清楚该集合中元素的代号 ②说明该集合中元素的特征；

③不能出现未被说明的字母； ④多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语言要力求简明、确切。

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法

4、何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}

六、集合的分类：

1、有限集：含有有限个元素的集合

2、无限集：含有无限个元素的集合

3、空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作?．空集是个特殊的集合，空集归 入有限集。如：}01|{2=+∈x R x 。

题型讲解：

例1：用符号“∈”或“?”填空．

（1）N ___31N,___3N,___1N,___0-； （2）R ___2___Q,Q,___2

1,___0π-?； （3）{}2___3≤x x ； （4）{}1),(____)2,1(+=x y y x

例2：用适当的方法表示下列集合，然后说出它是有限集还是无限集．

（1）由所有非负奇数组成的集合；

（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的数组成的集合；

（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；

（4）方程012=+-x x 的实数根组成的集合；

（5）由所有周长等于10cm 的三角形组成的集合．

例3：用列举法表示下列集合．

（1）不大于10的质数集合； （2）｛92|≤≤x x ，x 为偶数｝．

例4：用描述法表示下列集合．

（1）正偶数集合；（2）被3除余1的整数集合；（3）坐标平面内不在第一、三象限的点集．

例5： 以下说法中正确的个数有（ ）

①{}{})1,2()2,1(==N M 与表示同一个集合； ②{}2,1=M 与{}1,2=N 表示同一个集合； ③空集是唯一的； ④{}R x x y y M ∈+==,12与{}

R t t x x N ∈+==,12，则集合N M =。

A 、3个

B 、2个

C 、1个

D 、0个 随堂演练：

1、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数

（2）好心的人

（3）1，2，2，3，4，5．

2、设a,b 是非零实数，那么b b

a a

+可能取的值组成集合的元素是_ _

3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ）

（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素

4、、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

5、用列举法表示下列集合

①{x ∈N|x 是15的约数}

②{（x ，y ）|x ∈{1，2}

③?

??=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n ∈-=

⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+

⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x

6、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集

7、用描述法表示下列集合： (1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;

(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±17

4, ……}=