均匀设计与均匀设计表之欧阳家百创编

第一章试验设计和均匀设计

欧阳家百（2021.03.07）

1.1试验设计

在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优

产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，要通过试验来摸索工艺条件或配方。如何做试验，其中大有学问。试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。

本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇尔(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。随后，F.Yates,R.C.

Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。田口玄一的方法对

我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响，70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进行试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果，出版了许多成果汇编，举办了不少成果展览会。

在广泛使用试验设计方法的洪流中，必然会出现一些新的问题，这些总是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决，特别是当试验的范围较大，试验因素需要考察较多等级（在试验设计中这些等级称之为水平）时，用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验，常使得试验者望而生畏。许多实际问题要求一种新的试验方法，它能有效地处理多水平的试验，于是王元和方开泰于1978年提出了均匀设计（见文献「1－3」），该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内，使得能用较少的试验点获得最多的信息。10多年来，均匀设计在国内得到了广泛应用，并获得不少好的成果。

试验设计在工业生产和工程设计中能发挥重要的作用，例如：

1）提高产量；

2）减少质量的波动，提高产品质量水准；

3）大大缩短新产品试验周期；

4）降低成本；

5）延长产品寿命。

在自然科学中，有些规律开始尚未由人们所认识，通过试验设计可以获得其统计规律，在此基础上提出科学猜想,这些猜想促进了学科的发展，例如遗传学的许多发现都藉助于上述过程。

材料工业是工业中的栋梁，汽车拖拉机的制造离不开各种合金钢，钛合金的发明和发现使飞机制造工业产生飞跃。超导的研究和超导材料的配方息息相关。配方试验又称混料试验（Experiments with Mixtures），不仅出现于材料工业，而且在人们生活和其它工业中处处可见，例如在中药、饮料、混凝土的配方中。由于在配方中各种材料的总和必须为100％，其试验设计必须考虑到这个约束条件，由于这个原因正交试验设计等方法不能直接用于配方设计。针对配方设计的要求，Scheffé于1958年提出了单纯形格子点设计，随后于1963年他又提出了单纯形重心设计。Cornell[27]对配方试验设计的各种方法作了详尽的介绍和讨论。显然，均匀设计的思想也能用于配方试验，王元和方开泰[9]给出了配方均匀设计的设计方法和有关的讨论。本书第五章将系统介绍配方试验设计和配方均匀设计。

不论是均匀设计或配方均匀设计,其数据分析都要藉助于回归分析，要用到线性回归模型、二次回归模型、非线性模型，，以及各种选择回归变量的方法（如前进法、后退法、逐步回归、最优回归子集等）。有关回归分析的书籍成百上千，本书仅作梗概介绍。读者很容易找到各种参考书籍获得更详细的介

绍。

试验设计的方法很多，本书重点介绍均匀设计，这并不意味其它方法不重要，每种方法都有其优点，也有其局限性，根据实际情况选取合适的方法是应用统计的重要内容。

1.2试验的因素和水平

在工业、农业、科学研究和军事科学的研究中，经常需要作各种试验，以研究各种因素之间的关系，找到最优的工艺条件或最好的配方。让我们先看一个例子：

例1 在一个化工生产过程中，考虑影响得率（产量）的三个因素：温度(A)，时间(B)和加碱量(C)。为了便于试验的安排，每个因素要根据以往的经验来选择一个试验范围，然后在试验范围内挑出几个有代表性的值来进行试验，这些值称做该因素的水平。在该例中，我们选择的试验范围如下：

温度：77.5℃～92.5℃

时间： 75分～165分

加碱量： 4.5%～7.5%

然后在上述范围内，每个因素各选三个水平，组成如下的因素水平表：

表1 因素水平表

选择因素和水平关系到一个试验能否成功的关键，下列的注意事项和建议对使用试验设计的人员可能是有益的。

1．在一个生产过程中，有关的因素通常是很多的，例如在例1的化工生产工艺中，有催化剂的品种，催化剂用量，加碱时的速度，容器中的压力等。但根据这次试验目的，除了温度（A），时间（B），和加碱量（C）各取三个水平外，其余因素是固定的，或者讲，他们只取一个水平。为了方便，通常这些固定的因素在试验方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素。

2．在一项试验中，如何从众多的有关因子中挑选出试验方案中的因素？我们建议课题的领导者应当要请有经验的工程师、技术员、工人共同讨论决定。在一次试验中，因素不宜选得太多（如超过10个），那样可能会造成主次不分，丢了西瓜，拣了芝麻。

相反地，

因素也不宜选得太少，（如只选定一、二个因素），这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作用，使试验的结果达不到预期的目的。例如，有这样的故事，原计划试验方案中只有三个因素，而利用试验设计的方法，可以在不增加试验数目的前提下，再增加一个因素，既然不费事何乐而不为呢？试验的结果发现，最后添加的这个因素是最重要的，从而发现了历史上最好的工艺条件，正是“有心栽花花不成，无意插柳柳成荫。”

3．试验的范围应当尽可能大一点。如果试验在试验室进行，试验范围大比较容易实现；如果试验直接在生产中进行，则试验范围不宜太大，以防产生过多次品，或产生危险。试验范围太小的缺点是不易获得比已有条件有显著改善的结果。历史上有些重大的发明和发现，是由于“事故”而获得的，也就是说试验的范围大大不同于有经验的范围。

4．若试验范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些。

5．水平的间隔大小和生产控制精度是密切相关的。若在例1中

温度的控制只能作到

±3℃,且我们设定控制在85℃,于是在生产过程中温度将会在85°±3℃,即82—88℃波动。不难看到，这时设定的三个水平80℃,85℃,90℃之间是太近了，应当加大，例如80℃,90℃,100℃。如果温度控制的精度可达±1℃,则例1如设定的三个水平是合理的。

6．因素和水平的含意可以是广义的。例如五种棉花用于织同一种布，要比较不同棉花影响布的质量的效应，这时“棉花品种”可设定为一个因素，五种棉花就是该因素下的五个水平。1.3因素的主效应和因素间的交互效应

根据试验的目的，要预先确定一项或多项试验指标，为简单计，本书仅讨论只有一项试验指标（记作Y）的情形。如例如1的试验Y是得率。在数理统计中，称试验指标为响应（response）为通俗起见，本书中就叫试验指标。

考察一个因素对试验指标的影响是试验的目的之一。若在一项试验中，考察温度和得率Y之间的关系，并取温度五个水平，其相应Y值如下：

我们看到，温度每增加10℃得率增加5%这5%就是温度的效应。上述试验可以表成一个线性数学模型

5,,1, =+=i Y i i αμ (1.1)

其中i Y 为第i 次试验结果，μ为温度从50℃到90℃范围内Y 的平均

值。通常可以用五次试验的平均值来估计，记作μ

?，即 i α表示温度取第i 个水平时i Y 的值与之μ差。不难发现，它们的估计值为

这里51,,αα 称为温度在五个水平下的主效应，51?,,?αα

为它们的估计值。

由于试验中总存在一些偶然因素的干扰，如室温的变化，电压的波动，材料的不均匀性，这些偶然因素总称为随机误差。由于试验误差的存在，不可能产生上例那么理想的情况。其实际数据可能为

这时数学模型为

5,,1, =++=i Y i i i εαμ (1.2)

这里i ε为第i 次试验的试验误差。这时试验必须有重复才能估计出i α和i ε.

实际上，当试验的水平和相应的Y 为连续变量时，其数学模型也可以用回归方程来表达，例如，用线性回归方程

εβα++=X Y (1.3)

其中X 表示温度，α和β是回归系数，ε为随机误差。在第二章将介绍，α和β可以用最小二乘法由试验数据估出，由上述温度和得率的数据可得回归方程

X Y

46.080.7?+= (1.4) 这里Y

?为试验结果Y 的估计值。利用方程(1.4)可以估出五次试验的结果如下：

其中I

I Y Y -

并可用它作回归诊断，更详细讨论请看第二章。

方程(1.4)中，X 的回归系数0.46有明确的实际含意，它表示温度每增加一度，其得率Y 平均增加0.46%，于是0.46反映了X 对Y 的效应，这里可以称为线性回归效应。

有一点是必须注意的，无论是模型(1.2)中的主效应{}i α，还是模

型(1.3)中的线性回归效应β，都强烈地依赖于试验条件，尤其是X 的试验范围，也就是说，这两个模型只适用于X 的试验范围内。

否则，当X 为210°时，Y

?的估值为104.4%，这是不可能的，因为得率总是小于100%的。

显然，模型(1.2)和(1.3)是最简单的情形，实际情况是多种多样的，例如X 和Y 之间可能有非线性回归关系，或其它相关关系。这些将在以后讨论。

现在我们来介绍因素间交互作用的概念。首先，设有两个因素A 和B 它们各取两个水平21,A A 和21,B B 。这时共有四种不同的水平

组合，其试验结果列于图1。当1B B =时，1A 变到2A 使Y 增加30-

10=20；类似地，当2B B =时，1A 变到2A 使Y 也增加40-20=20。这

就是说A 对Y 的影响与B 取什么水平无关。类似地，当B 从1B 变

到

B时，Y增加20-10（或40-30=10），与A取的水平无关。这2

时，我们称A和B之间没有交互作用。判断和之间有没有交互作用,选用图2的作图方法更为直观。当图中的两条线平行时（或接近平行时），判断A和B之间没有交互作用.图3和图4给出了一个有交互作用的例子，它们的含意和作图方法与图和图2是一样

的。1

交互作用在实际中是大量存在的，例如化学反应中催化剂的多少与其它成分的投入量通常是有交互作用的。水中各种金属含量太多，对人体健康会造成危害，金属之间对人体的危害也存在交

互作用（参见例5）。

当因素A，B 及其它们的试验指标Y都为连续变量时，可以建立Y和A；B之间的回归方程。若回归方程为

β

α+

γ

ε

A

Y（1.5）

=B

+

+

时，A对Y的影响由回归系数β完全决定，不受B取哪个水平的影响；类似地，B对Y的影响由回归系数γ完全决定，不受A取哪个水平的影响；类似地，对的影响由回归系数完全决定，不受取哪个水平的影响。这时A和B没有交互作用。

当A和B之间有交互作用时，回归模型不可能为线性的，其中一定有非线性的。最常见的模型之一为

β

α+

γ

δ

ε

A

Y（1.6）

B

+

+

+

=AB

其中δ

α,

β

γ

,为回归系数，ε为随机误差。这时若δ>0，称A和B ,

之间有正交互作用；若δ<0,称A和B之间有负交互作用.请看如下两个例子

当A=3.5,B=4.10时，相应两个回归方程的试验指标列于图5和图6。我们看到两种情形均有交互作用，且一个为正交互作用，另一个为负交互作用。

两个因素之间有交互作用时，其回归模型不一定呈(1.6)形式，更详细讨论可参见第二章第三节。多个因素之间（超过二个因素）也可能有交互作用,该问题也将在第二章讨论。

1.4全面试验和多次单因素试验

在一项试验中，当因素和水平确定后，如何设计该项试验呢？下面两种方法是最容易想到的：

1、全面试验

该方法将每一个因素的不同水平组合做同样数目的试验，例如将每个因素的不同水平组合均作一次试验。

在一项试验中若有m 个因素, 它们各有m l l ,,1 个水平, 则全面

试验至少需做m l l l ??? 21次试验。例如，在例1中，3321===l l l 则全面试验至少做27333=??次试验。当因素的个数不多，每个因数的水平数也不多时，人们常用全面试验的方法，并且通过数据分析可以获得较为丰富的结果，结论也比较精确。当因数较多，水平数较大时，全面试验要求较多的试验。例如，有六个因素，每个因素都是五水平，则至少需1562556=次试验，这个数目太大了，对绝大多数场合，做这么多次试验是不可能的。因此，我们需要

一种试验次数较少，效果又与全面试验相近的试验设计方法。

2、多次单因素试验

这个方法在工程和科学试验中常被人们所采用，现以例1来说明这个方法。例1试验的目的是要寻找好的工艺使得化学反应后的得率最高。为介绍简单计，设试验误差较小，故不作重复试验（即在同一试验条件下将试验重复多次）。

设先将时间和加碱量固定，变化温度，试验结果如下:

B＝90分80℃85℃90℃

C＝5% 33% 70% 64%

其中33%，70%和64%为得率，三次试验中，以70%为最高，故温度85°为最佳。第二步

固定温度和加碱量，变化时间，其试验结果如下：

A=85℃ 90分 120分 150分

C=5% 70% 73% 59%

以反应时间为120分最佳。下一步是固定时间和温度，变化加碱量，获得如下结果:

A＝85℃ 5% 6% 7%

B＝120分 73% 75% 68%

以加碱量75%为最佳，于是有人就得出结论：最佳工艺为A＝80℃，B＝120分，C＝6%。

当因素之间没交互作用时，这个结论是正确的；当因素之间有交互作用时，该结论一般不真，今设例1的因素间有交互作用，在上述试验的基础上，若我们固定B＝120分，C＝6%，变化因素A 并获得如下结果：

B＝120分80℃85℃90℃

C＝6% 46% 75% 78%

发现有更好的工艺条件。这时我们发现温度的效应是依赖于因素B 和C的，当B＝90分,C＝

5%时，温度以85℃为佳，而当B＝120分，C＝6%时，温度以90℃为佳，这种现象表明温

度和其他两因素间有交互作用。当因素间有交互作用时，用上述方法不一定能选到最好的工艺条件。例如，例1的试验应当继续按原来的方法做下去：

A＝90℃ 90分 120分 150分

C ＝6% 73% 78% 84%

发现工艺条件A ＝90℃， B ＝120分，C ＝6%为最优工艺条件且似乎已不能改进。如果我们将27个工艺组合进行全面试验，发现当工艺条件为A ＝90℃，B ＝150分，C ＝7%时得率可达82%，而这个工艺条件没有为上面的试验方法所发现。因此，多次单因素试验法有局限性。特别是，当因素的数目和水平数更多时，常常会得到错误的结论，不能达到预期的目的。

1.5正交试验法（正交设计）

这是目前最流行，效果相当好的方法。统计学家将正交设计通过一系列表格来实现，这些表叫做正交表。例如表2就是一个正交表，并记为()493L ，这里“L ”表示正交表“9”表示总共要作9次试验，“3”表示每个因素都有3个水平，“4”表示这个表有4列，最多可以安排4个因素。常用的二水平表有()()()()

;2,2,2,2313215167834L L L L 三水平表有()();3,3132749L L 四水平表有()5164L ；五水平表有()6255L 等。还有一批混合水平的表在实际中也

十分有用，如()()()(),

24,24,32,2463163416131248????L L L L (),249216?L ()()()7188116121632,28,24???L L L 等。例如()631624?L 表示要求做16次试

验，允许最多安排三个“4”水平因素，六个“2”水平因素。

若用正交表来安排例1的试验，其步骤十分简单，具体如下：

（1）选择合适的正交表。适合于该项试验的正交表有()()()1327718493,32,3L L L ?等，我们取()4

9

3L ，因为所需试验数较少。 （2）将A ，B ，C 三个因素放到()493L 的任意三列的表头上，例如放在前三列。

（3）将A ，B ，C 三例的“1”，“2”，“3”变为相应因素的三个水平。

（4）9 次试验方案为：第一号试验的工艺条件为A 1 (80℃)，B 1 (90分)，C 1 (5%);

第二号试验的工艺条件为A 1 (80℃)，B 2 (120分)，C 2 (6%)…。这样试验方案就排好了。该例的进一步讨论请参考文献[25]。

表 3正交试验方案

在表3的正交试验设计中，可以看到有如下的特点：

1）每个因素的水平都重复了3次试验；

2）每两个因素的水平组成一个全面试验方案。这两个特点使试验点在试验范围内排列规律整齐，有人称为“整齐可比”。另一方面，如果将正交设计的9个试验点点成图（图7），我们发现9个试验点在试验范围内散布均匀，这个特点被称为“均匀分

散”。正交设计的优点本质上来自“均匀分散，整齐可比”这两个特点。有关正交设计的详细讨论可参看文献[24—26，30]。

1.6均匀设计

每一个方法都有其局限性，正交试验也不例外，它只宜于用于水平数不多的试验中。若在一项试验中有s 个因素，每个因素各有q 水平，用正交试验安排试验，则至少要作2q个试验，当q 较大时，2q将更大，使实验工作者望而生畏。例如，当q=12 时，2

q=144，对大多数实际问题，要求做144 次试验是太多了！对这一类试验，均匀设计是非常有用的。

所有的试验设计方法本质上就是在试验的范围内给出挑选代表点的方法。正交设计是根据正交性准则来挑选代表点，使得这些点能反映试验范围内各因素和试验指标的关系。上节我们提及正交设计在挑选代表点时有两个特点：均匀分散，整齐可比。“均匀分散”使试验点有代表性；“整齐可比”便于试验数据的分析。为了保证“整齐可比”的特点，正交设计必须至少要求做q2次试验。若要减少试验的数目，只有去掉整齐可比的要求。

均匀设计就是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设

计方法，其原理将在第三章给出。

均匀设计和正交设计相似 ，也是通过一套精心设计的表来进行试验设计的。附录Ⅰ给出了41个均匀设计表和相应的使用表。表

4、表5和表6就是其中的三个。每一个均匀设计表有一个代号()s n q U 或()s n q U *

，其中“U ”表示均匀设计，“n ”表示要做n 次试

验，“q ”表示每个因素有q 个水平，“s ”表示该表有s 列。的右上角加“*”和不加“*”代表两种不同类型的均匀设计表。通常加“*”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。例如()4*66U 表示要做次6试验，每个因素有6个水平，该表有4列。

每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。表7是()4*66U 的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，…，最后1列D 表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度越好。例如由附录A1.3和A1.4的两个均匀设计()4*77U 表和及它们的使用表来安排试验，今有两个因素，若选用()477U 的1,3列，其偏差D=0.2398,选用()4*77U 的1,3列，相应偏差D=0.1582，后者