考研复习资料大汇总

r复etu杂rn a度[p+分k-析1];
}; for
(
int
i
=
0;
i<T=((rn-p)-4)/5C; i2+n+)T
(n
C1 / 5)
T
(3n
/
4)
n 75 n 75
将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的T第(n3)小=O元(素n)
与a[p+i]交换位置;
上述//找算中法位将数每的中一位组数的，大r-p小-4即定上为面5所，说并的选n-取5 75作为是否作递归 调用Ty的pe分x =界Se点lec。t(a这, p,2p点+(保r-p-证4)/了5, T(r-(pn-)4的)/1递0);归式中2个自变量之和 n/5i+nt3in=P/4ar=ti1ti9onn(/a2,p0,r=, xε)n, ，0<ε<1。这是使T(n)=O(n)的关键之 处。j=i当-p+然1;，除了5和75之外，还有其他选择。
分治法——大整数的乘法
请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算
小学的方法：O(n2)
效率太低
分治法:
X Y
=复杂度分析
=
T (n)
a c4T
(n
O(1) / 2)
O(n)
b
n
dn
1 1
T(n)=O(n2) 没有改进
X = a 2n/2 + b Y = c 2n/2 + d
XY = ac 2n + (ad+bc) 2n/2 + bd
动态规划——最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为 Z={z1,z2,…,zk} ，则 (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序 列。 (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
解向量为(x1, x2, x3)=(1, 0, 1)
动态规划——最长公共子序列
•若给定序列X={x1, x2, …, xm}，则另一序列Z={z1, z2, …, zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列 {i1, i2, …, ik}使得对于所有 j=1, 2, …, k 有：zj = xij。 例如，序列Z={B, C, D, B}是序列X={A, B, C, B, D, A, B}的子序列，相应的递增下标序列为{2, 3, 5, 7}。 •给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是 Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。 给定2个序列X={x1, x2, …, xm}和Y={y1, y2, …, yn}，找 出X和Y的最长公共子序列。
if (s[i]>=f[j]) { a[i]=true;
束时间存储于数组 s和
j=i;
f 中且按结束时间的非
count++;
减序排列
} else a[i]=false;
}
return count;
}
贪心法——活动安排问题
由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所 以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时 间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选 择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就 是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时 间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。
分治法——大整数的乘法
请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算
小学的方法：O(n2)
效率太低
分治复法杂:度分析
XY
=
ac
2Tn(n+) (a3Td(+nb/O2c()1)) 2On(n/2)
n
+n
1
b1d
✓ 为了降低T时(n间)=复O(杂nl度og3，) =必O须(n1减.59少) 乘较法大的的次改数进。
m(1, 6)=max{ m(2, 6),
m(2, 6-2)+1 } =6
m(3, 6)=5 m(3, 3)=0
m(3, 4)=5 m(3, 1)=0
m(2, 6)=max{ m(3, 6), m(3, 6-3)+2 } =5
m(2, 4)=max{ m(3, 4), m(3, 4-3)+2 } =5
元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5个。
递归调用select来找出这n/5个元素的中位数。如果
n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个
元素作为划分基准。
设所有元素互不相同。在这种情况下
，找出的基准x至少比3(n-5)/10个元
素大，因为在每一组中有2个元素小
于本组的中位数，而n/5个中位数中
void LCS(int i，int j，char *x，int **b)
for (i = 1; i <= m; i++) for (j = 1; j <= n; j++) { if (x[i]= =y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1;} else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2;} else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; }
{ if (i = =0 || j= =0) return; if (b[i][j]== 1){ LCS(i-1，j-1，x，b); cout<<x[i]; } else if (b[i][j]== 2) LCS(i-1，j，x，b); else LCS(i，j-1，x，b);
}
}
}
贪心法——活动安排问题
由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序 列的前缀的最长公共子序列。因此，最长公共子序列 问题具有最优子结构性质。
子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题 最优值的递归关系。 用 c[i][j] 记录序列和的最长公共子序列的长度。其中 ， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。当 i=0 或 j=0时 ，空序列是 Xi 和 Yj 的最长公共子序列。故此时 c[i][j]=0。其它情况下，由最优子结构性质可建立递 归关系如下：
0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。
n
max vi xi i 1
n
wi xi C
i 1
xi {0,1},1 i n
动态规划—— 0-1背包问题
设所给0-1背包问题的子问题
n
max vk xk
k i
n
wk xk j
k i
xk {0,1}, i k n
的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，
在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间 但可以证明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均时间内 找出n个输入元素中的第k小元素。
分治法——线性时间选择
如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得 按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少 为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那 么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任 务。
分治法——循环赛日程表
设计一个满足以下要求的比赛日程表： (1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次； (2)每个选手一天只能赛一次； (3)循环赛一共进行n-1天。 按分治策略，将所有的选手分为两半，n个选手的比赛日程表 就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用 对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定 就变得很简单。这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。
i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结 构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式如下。
m(i,
j)
max{m(i
1, j), m(i 1, m(i 1, j)
j
wi )
vi }

j wi 0 j wi
m(n, j) v0n
j wn 0 j wn
考虑下列实例： n=3, 物品重量 (w1, w2, w3)=(2, 3, 4), 物品价值(p1, p2, p3)=(1, 2, 5), 背包容量C=6 解：
例如，若ε=9/10，算法递归调用所产生的子 数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情 况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式 T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n) 。
分治法——线性时间选择
将n个输入元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能
有一个组不是5个元素。用任意一种排序算法，将每组中的
12345678
21436587
34127856
43218765
56781234
65872143
78563412
87654321
分治法——线性时间选择
给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找 出这n个元素中第k小的元素
template<class Type> Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k) {
1. XY = ac 2n + ((a-b)(d-c)+ac+bd) 2n/2 + bd
2. XY = ac 2n + ((a+b)(d+c)-ac-bd) 2n/2 + bd