式与方程整理和复习
式与方程整理和复习
教学目标：
1、使学生进一步理解用字母表示数的优越性；熟练掌握用字母表示公式、计算法则和常见的数量关系以及计算方法等。
2、进一步认识理解并区别方程的意义、方程的解和解方程等概念。
3、熟练正确地用方程解答简单问题，促进学生的智力发展。
教学重点：
明确字母表示数的意义和作用；会灵活的用方程解答两步简单的实际问题。
教学难点：
找等量关系式，用方程解决实际问题。
教学过程：
一、创设情景揭示课题
1、师出示字母卡片，问：看到这些字母你能立刻想到什么？
字母卡片如下：CCTV sos UFO cm NBA
2、师说：同学们的课外知识真丰富，那么我们今天要学习的课内知识你们有信心学好吗？
3、师接着说：好，那我们今天就围绕字母所涉及到的式与方程的知识进行整理和复习。
4、师板书课题：式与方程的整理和复习
二、沟通联系建构网络
1、复习用字母表示数
（1）师问：同学们，你们先想一想，我们学过哪些式与方程的知识呢？点名回答。
（2）师依次板书学生回答内容：用字母表示数、认识方程和解方程、用方程解决实际问题。
（3）师说：同学们，今天我们就围绕这三个方面来整理和复习。大家先想想，我们在小学六年里，用字母表示过什么呢？请跟小组同学说一说吧！
（4）小组互说，师巡视。
（5）师问：大家都想好了吗？谁来说说？生答后师板书：用字母表示数量关系。
接着让学生举例来说明，师根据学生的回答板书：s=vt
（6）师再问：还可以表示什么呢？生答：还可以表示计算公式。师板书：计算公式。师接着问：你能举个例子吗？生举例，师板书：s=ah c=4a
(7)在简写时我们要注意什么呢？点名回答。师鼓励：说得太精彩了，给他点掌声吧！
（8）师说：刚才我们用字母表示了数量关系、计算公式，字母还可以表示什么呢？你能举例说明吗？学生思考片刻后，师点名回答，并板书：运算定律，（a+b）+c=a+(b+c)
（9）师说：下面老师来写个式子，你们瞧瞧：b/a乘d/c=b乘d/a 乘c（a、b、c、d是不为0的自然数）让学生说说这是用字母表示的
什么？生答后师板书：计算方法
（10）小结：为什么要用字母来表示这些式子呢？表示这些式子有什么样的好处呢？
（11）点名回答：容易记住，更加简便，可以表示一些未知的量。
（12）小练习：出示书中81页题目，在书上完成，师巡视辅导。
（13）完成后，同桌互相检查，集体订正。
(14)完成82页1题
2、复习方程
（1）师说：请同学们先想想，什么叫方程呢？点名答后，师板书：含有未知数的等式叫方程。
（2）师说：如果给你一些式子，你能判断它是不是方程呢？
（3）课件出示题（题略），师读题，先跟小组同学商量商量。
（4）点名说，集体订正。
（5）师接着问：你们会解这些方程吗？
（6）生在随堂本上完成，师巡视。
（7）点名说解题步骤，集体订正。
（8）小结解方程的方法和注意的问题。
三、巩固联系深化理解
1、书上81页做一做。
2、书上83页9题、10题。
3、补充练习题。
四、课堂小结
师：这节课我们复习了哪些知识？你有什么收获？（下节课继续复习用方程解决实际问题）
附板书设计
式与方程的整理和复习
数量关系：s=vt
计算公式:s=ah c=4a
用字母表示数运算定律（a+b)+c=a+(b+c)
计算方法: b/a乘d/c=b乘d/a乘c（a、b、c、d是不为0的自然数）
认识方程和解方程含有未知数的等式叫方程
圆与方程知识点整理
最新整理 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程 ()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式 圆心在原点() 2220 x y r r +=≠ 过原点()()() 2222220 x a y b a b a b -+-=++≠圆心在x轴上()() 2220 x a y r r -+=≠ 圆心在y轴上()() 2 220 x y b r r +-=≠ 圆心在x轴上且过原点()() 2220 x a y a a -+=≠ 圆心在y轴上且过原点()() 2 220 x y b b b +-=≠ 与x轴相切()()() 2220 x a y b b b -+-=≠ 与y轴相切()()() 2220 x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()() 2220 x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ?
式与方程的整理与复习
＜式与方程整理与复习》教学设计 【教学内容】 《义务教育教科书?数学（六年级下册）》98?100页。 【教学简析】 本版块是对小学阶段学习的代数初步知识进行整理，包括用字母表示数、简易方程及用方程解决实际问题，主要让学生进一步认识用字母表示数的意义，理解方程与等式的关系，熟练地运用等式的性质解方程，能掌握用方程的思路解决问题的一般方法，积累数学活动经验，提升数学素养。【教学目标】 1.知识与能力目标：通过整理与复习，进一步理解字母表示数的意义，会用字母表示数和简单的数量关系，感受用字母表示数的重要作用；理解方程的意义，能熟练地用方程解决简单的实际问题。 2.过程与方法目标：经历知识回顾和整理的过程，使所学知识系统化、条理化，学会整理知识的方法。 3.情感态度价值观目标：. 进一步体会数学的抽象性与概括性，感受数学的简洁美和符号化思想，发展学生的数感、符号感；进一步渗透“转化”的数学思想，提高逻辑思维能力和类比的能力
4.德育目标：在学生自主整理的过程，获得成功的体验，增强学生学好数学的 信心。 【教学重点】 沟让学生比较系统的掌握有关式与方程的知识，能正确、熟练地解决实际问题。【教学难点】 能根据实际情况选择合适的方法解答问题。 【教学用具】 多媒体课件 【教学过程】 一回顾呈现梳理归纳 谈话：这节课我们一起来整理复习式与方程的有关知识。（板书课题：式与方程的整理与复习） 谈话：先想一想，我们学过哪些有关式与方程的知识呢？指名回答。 根据学生回答板书：用字母表示数、认识方程和解方程、用方程解决实际问题。 谈话：今天我们就围绕这三个方面来整理和复习。请把你课前整理的材料跟小组 同学交流一下！
高三总复习直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
数学人教版六年级下册《式与方程的整理与复习》教学反思
《式与方程的整理和复习》教学反思 庆云小学孙惠琴 本节课的主要目标是帮助学生比较系统地掌握有关方程的基础知识，会解学过的方程，并能用方程解决生活中的简单问题。并从中体会方程的应用价值，从中获得价值体验。这节课主要体现以下优点点： １、突出复习的整体结构。复习中采用提纲的方式，突出复习内容的整体结构。这个整体结构不但呈现了复习的全部内容，还沟通了这些内容的内在联系，使复习的内容更加系统化。提纲还反映了知识的整体与部分的关系，学生按照这样的线索进行复习，把每块复习的知识装入提纲这样的知识系统中，能有效提高学生对这些内容的掌握水平。 ２、突出学生在整理知识过程中的主体作用。课前布置预习作业，通过学生完成预习作业来整理“式与方程”的知识，虽然有部分学生不能完整地整理所学知识，但仍可对某部分知识进行简单的整理，通过这种整理知识的方式，引导学生思考这些知识之间的联系，在学生有自己的一些想法的基础上，教师再综合学生整理的知识形成一个较为完整的复习内容，这样突出学生在整理知识过程中的主体作用，不仅能调动学生的学习积极性，还能加深学生对知识的理解，增强复习效果。 上完这节课，我觉得有如下不足之处： 我在课前检查预习作业时，发现大部分同学能完整地整理所学知识，甚至有些同学还有较独特的见解。但也有些同学不能完整地整理所学知识，主要体现在两个问题，一是学生举例用字母表示数时，有学生书写不规范，如a+b=b+a,有些学生只写a+b；二是有些学生会解方程但不知是应用什么知识，也就是知其然而不知其所以然。因此我想在课堂上汇报的过程中让学生进行讨论交流，大家取长补短。但是课堂中没有达到自己的预期目标，整堂课显得较沉闷，多数同学没有主动交流的欲望，甚至有些同学课堂纪律散漫。自己花了不少精力和时间设计的一堂课却出现这样的状况！自己琢磨一番觉得有以下原因：一是内容涵量较大，课堂节奏跳跃较大，有些问题也没有充分的时间给学生思考；二是采用生本理念教学模式，但是自己对生本理念其实还存在很多的困惑。 改进的措施及今后的设想： 1、自己要不断学习新课标的理念，用新课标理念指导自己备课上课。 2、教学设计一定要考虑学生的实际情况，要从学生的已有经验出发，不能以自己的经验代替学生实际情况。
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）
六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用
圆知识点总结及归纳
第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? ? + ? PB = PB = PA = PA = 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程: ( x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 二、一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (D 2 + E 2 - 4F > 0) 1. Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆方程则 ? ? A = B ≠ 0 ? A = B ≠ 0 ? ? ?C = 0 ? ?C = 0 ?? D ? 2 ? E ?2 - 4 ? F > 0 ? D 2 + E 2 - 4 AF > 0 ? A ? A ? A ?? ? ? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。 3. D 2 + E 2 - 4F > 0 常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1. 判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小： d < r ? 点在圆内； d = r ? 点在圆上； d > r ? 点在圆外 2. 涉及最值：（1）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值 min max BN = BM = BC - r BC + r （2）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值 min AN = r - AC max AM = r + AC 四、直线与圆的位置关系 1. 判断方法（ d 为圆心到直线的距离）：（1）相离? 没有公共点? ? < 0 ? d > r ；（2）相切? 只有一 个公共点? ? = 0 ? d = r ；（3）相交? 有两个公共点? ? > 0 ? d < r 。 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2. 直线与圆相切 （1） 知识要点：①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径 r （2） 常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点 第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程 （1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当042 2 >-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ? --2,2 E D ，半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离 为2 2B A C Bb Aa d +++= ，则有相离与C l r d ?>； 相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 圆与方程 2、1圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2、2点与圆的位置关系： 1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： (1)点在圆上 d=r ； (2)点在圆外 d ＞r ； (3)点在圆内 d ＜r ． 2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 2、3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心? ?? ??--2,2 E D C ，半径2 42 2F E D r -+= . 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点?? ? ? ?- - 2,2 E D . 当0422<-+ F E D 时，方程无图形（称虚圆）. 注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0 =B 且 ≠=C A 且 042 2 AF E D -+. 圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A 2、4 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 （1）若2 2 B A C Bb Aa d +++= ，0相离r d ； （2）0=???=相切r d ； （3）0>???<相交r d 。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组???=++++=++0 2 2 F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解 的个数来判断： （1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交； 高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d 圆与方程知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（ 此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2 E D C ，半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? <式与方程整理与复习》教学设计 【教学内容】 《义务教育教科书·数学（六年级下册）》98～100页。 【教学简析】 本版块是对小学阶段学习的代数初步知识进行整理，包括用字母表示数、简易方程及用方程解决实际问题，主要让学生进一步认识用字母表示数的意义，理解方程与等式的关系，熟练地运用等式的性质解方程，能掌握用方程的思路解决问题的一般方法，积累数学活动经验，提升数学素养。 【教学目标】 1.知识与能力目标：通过整理与复习，进一步理解字母表示数的意义，会用字母表示数和简单的数量关系，感受用字母表示数的重要作用；理解方程的意义，能熟练地用方程解决简单的实际问题。 2.过程与方法目标：经历知识回顾和整理的过程，使所学知识系统化、条理化，学会整理知识的方法。 3.情感态度价值观目标：.进一步体会数学的抽象性与概括性，感受数学的简洁美和符号化思想，发展学生的数感、符号感；进一步渗透“转化”的数学思想，提高逻辑思维能力和类比的能力。 4.德育目标：在学生自主整理的过程，获得成功的体验，增强学生学好数学的信心。【教学重点】 沟让学生比较系统的掌握有关式与方程的知识，能正确、熟练地解决实际问题。【教学难点】 能根据实际情况选择合适的方法解答问题。 【教学用具】 多媒体课件 【教学过程】 一回顾呈现梳理归纳 谈话：这节课我们一起来整理复习式与方程的有关知识。（板书课题：式与方程的整理与复习） 谈话：先想一想，我们学过哪些有关式与方程的知识呢？指名回答。 根据学生回答板书：用字母表示数、认识方程和解方程、用方程解决实际问题。 谈话：今天我们就围绕这三个方面来整理和复习。请把你课前整理的材料跟小组同学交流一下！ 小组交流，师巡视。 集体交流，师生梳理。 （一）整理用字母表示数 首先交流有关用字母表示数的知识。学生小组交流时，引导学生将整理的内容填写在下表中： 直线和圆--知识总结 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程()()22 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，②利用平面几何性质 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 22 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()22 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()() ()2 2 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2222 000 04040 A B A B C C D E AF D E F A A A ??=≠=≠???? =?=????+->??????+-?> ? ???? ??? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.22 40D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PB BN BC r ==- min PA AN r AC ==- max PB BM BC r ==+ max PA AM r AC ==+ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ?（2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程:()()222x a y b r -+-= 二、一般方程：() 2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2222000 04040A B A B C C D E AF D E F A A A ??=≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ??????? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。3.22 40D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r ?点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离?没有公共点?0d r ?；（2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?=；（3）相交?有两个公共点?0d r ?>?<。 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点：①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->]圆与方程知识点总结#(优选.)
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第四章 圆与方程知识点总结及习题答案
圆与方程知识点小结
高中数学圆与方程知识点
圆与方程知识点总结
圆方程知识点总结典型例题
式与方程的整理与复习-
直线和圆的方程知识点汇总
圆与方程知识点整理教学提纲
高中数学直线与圆的方程知识点总结
圆与方程知识点整理