指数式与对数式的互化式
指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.
指数性质： (1)1、1p
p
a
a
-=
； （2）、0
1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r
s
r s
a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)
、m n
a = ；
指数函数：
(1)、 (1)x
y a a =>在定义域内是单调递增函数；
（2）、 (01)x
y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：
(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a
M
M N N
-= ； (3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m n a a n
b b m
=
? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a b
a b =
对数函数：
(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；
（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或
(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
对数恒等式：log a N
a
N =(0a >,且1a ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m
=
(0a >,且1a ≠, 0N >). 对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n
a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m
n a a n
N N n m R m
=∈。
和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
m .
sin cos a b αα+
)α?+
(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?= ). 二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=22tan 1tan α
α
=
+.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+=
=
三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||
T π
ω=；函数tan()y x ω?=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=
. 三角函数的图像：
正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=
余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.
（2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
a r 与
b r 的数量积(或内积)：a r ·b r =|a r ||b r
|cos θ。
平面向量的坐标运算：
(1)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r +b r
=1212(,)x x y y ++.
(2)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r -b r
=1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r
.
(4)设a r =(,),x y R
λ∈，则λa r
=(,)x y λλ.
(5)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r ·b r
=1212()x x y y +.
两向量的夹角公式：
cos ||||
a b
a b θ
?==
?r r r r (a r
=11(,)x y ,b r =22(,)x y ).
平面两点间的距离公式：
,A B d =||AB =u u u r =11(,)x y ，B 22(,)x y ).
向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则： a r ||b r ?b r =λa r
12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）
a r ⊥
b r (a r ≠
0r )? a r ·b r
=012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）
常用不等式：
（1）,a b R ∈?2
2
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +
∈?
2a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号) 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2
ax bx c ++同号，则其解集
1+r 2
r 2-r 在两根之外；如果a 与2
ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：
121212()()0()x x x x x x x x x <
121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或.
含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
22x a x a a x a
22x a x a x a >?>?>或x a <-.
斜率公式 ：
21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
直线的五种方程：
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).
两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）
(4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、)
（5
）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
点到直线的距离 ：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
（1）圆的标准方程 222
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 2
2
0x y Dx Ey F ++++=(22
4D E F +-＞0).
点与圆的位置关系：点00(,)P x y
与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
若d =d r >?点P 在圆外;
d r =?点P 在圆上; d r
直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
(22B
A C Bb Aa d +++=):
0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .
两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：
条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ;
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线
方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数：
(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1
()()n n x nx
n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1
)(ln ='；1(log )log a a x e x
'=.