2012-2013高三数学第一轮复习教案

一．课题：集合的概念

二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，

掌握集合问题的常规处理方法． 三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、

集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．集合、子集、空集的概念；

2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （二）主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析：

例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2

{|1}E x y x ==+，

2

{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ D ）

()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G = 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．

例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．

解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．

（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．

当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，

由P Q =得2

2

0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或2

20

y y y y y -=-??=?≠?? ②

由①得1y =-，由②得1y =，

∴{01x

y ==-或{

01

x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．

例3．设集合1{|,}24

k M x x k Z ==

+∈，

1{|,}4

2

k N x x k Z ==+

∈，则（ B ）

()A M N

= ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ=

解法一：通分； 解法二：从

14

开始，在数轴上表示．

例4．若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ?，求实数

a 的取值范围．

解：（1）若A φ=，则240a ?=-<，解得22a -<<；

（2）若1A ∈，则2110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意； （3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52

a =-，此时5

{2,}2

A =，不合题意；

综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．

例5．设2()f x x px q =++，{|()}A x x f x ==，{|[()]}B x f f x x ==， （1）求证：A B ?；

（2）如果{1,3}A =-，求B ．

解答见《高考A 计划（教师用书）》第5页．

（四）巩固练习：

1．已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N

M ?，则适合条件的

实数m 的集合P 为1{0,2,}3

-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个． 2．已知：2()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-．

3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃

药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ． 4．设数集3

{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3

N x n x n =-

≤≤，且M

、N 都是集

合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是

112

．

五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．

一．课题：集合的运算

二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能

利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法． 三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．交集、并集、全集、补集的概念；

2．A B A A B =?? ，A B A A B =?? ；

3．()U U U C A C B C A B = ，()U U U C A C B C A B = ．

（二）主要方法：

1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．

（三）例题分析：

例1．设全集{}|010,U x x x N *

=<<∈，若{}3A B = ，{}1,5,7U A C B = ，

{}9U U C A C B = ，则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8．

解法要点：利用文氏图．

例2．已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若

{}|02A B x x =<≤ ，{}|2A B x x =>- ，求实数a 、b 的值．

解：由32320x x x ++>得(1)(2)0x x x ++>，∴21x -<<-或0x >，

∴(2,1)(0,)A =--+∞ ，又∵{}|02A B x x =<≤ ，且{}|2A B x x =>- ， ∴[1,2]B =-，∴1-和2是方程20x ax b ++=的根，

由韦达定理得：{1212a b -+=--?=，∴{1

2

a b =-=-．

说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．

例3．已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|

0}

2

y B x y x -==-，则A B = φ；

A B = {(,)|(2)(1)0}x y x y y --=；（参见《高考A 计划》考点2“智能训练”第

6题）．

解法要点：作图．

注意：化简{(,)|1,2}B x y y x ==≠，(2,1)A ∈．

例4．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合

2

2

2

{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，2

15{|,03}2

2

B y y x x x ==

-+

≤≤，

若A B φ= ，求实数a 的取值范围． 解答见教师用书第9页．

例5．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合

{}2

(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤， 若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围． 分析：本题的几何背景是：抛物线22y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．

解法一：由{

2

2010x mx y x y +-+=-+=得2(1)10x m x +-+= ①

∵A B φ≠ ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，

首先，由2(1)40m ?=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-． 设方程①的两个根为1x 、2x ，

（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ?=知1x 、2x 都是负数，不合题意； （2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ?=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数，

故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，

综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

解法二：问题等价于方程组

{

2

2

1

y x m x y x =++=+在[0,2]上有解，

即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，

令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，

∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ①

或2

2

(1)40

1022(2)22(1)10

m m f m ?=--≥?-?

<? ② 由①得32m ≤-，由②得3

12

m -<≤，

∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．

（四）巩固练习：

1．设全集为U ，在下列条件中，是B A ?的充要条件的有 （ D ） ①A B A = ，②U C A B φ= ，③U U C A C B ?，④U A C B U = ， ()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个

2．集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B 为单元素集，实数

a 的取值范围为[1,1]- ．