复杂二次分式函数极值的快速解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。
本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。
一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。
3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。
4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。
5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
6.x和y的值就是二次函数的最值。
二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。
3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
4.x和y的值就是二次函数的最值。
三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。
四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。
通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。
关于函数极值的高效解题技巧
关于函数极值的高效解题技巧在数学的学习中，函数极值问题是一个重要且具有一定难度的知识点。
掌握高效的解题技巧不仅能帮助我们在考试中取得好成绩，更能提升我们的数学思维能力。
下面，让我们一起来探讨一下函数极值的高效解题技巧。
一、函数极值的定义与概念首先，我们要明确函数极值的定义。
函数的极值是指在函数定义域内的某一点，其函数值大于（或小于）该点附近所有点的函数值。
极大值和极小值统称为极值。
理解极值的概念需要注意以下几点：1、极值是局部概念，是在某个局部区间内的最大值或最小值。
2、极值点不一定是导数为零的点，导数为零的点也不一定是极值点。
3、函数在区间端点处一般不考虑极值。
二、求函数极值的必要条件要找到函数的极值点，通常需要先求出函数的导数。
导数为零的点可能是极值点，但这只是必要条件，而非充分条件。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³，其导数 f'（x) ＝ 3x²，当 f'（x) ＝ 0 时，x ＝ 0 。
但 x ＝ 0 并不是函数的极值点。
三、判断极值点的充分条件在求出导数为零的点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。
常用的方法有：1、一阶导数判别法设函数 f(x) 在 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0 。
若在 x₀的左侧导数为正，右侧导数为负，则 x₀为极大值点；若在 x₀的左侧导数为负，右侧导数为正，则 x₀为极小值点。
2、二阶导数判别法设函数 f(x) 在 x₀处二阶可导，且 f'（x₀) ＝ 0 ，f'＇（x₀) ≠ 0 。
若 f'＇（x₀) ＜ 0 ，则 x₀为极大值点；若 f'＇（x₀) ＞ 0 ，则 x₀为极小值点。
四、求函数极值的步骤下面是求函数极值的一般步骤：1、求出函数的定义域。
2、对函数求导，得到导函数 f'（x) 。
3、令 f'（x) ＝ 0 ，求出导函数的零点。
4、利用上述判别法判断这些零点是否为极值点。
高考数学如何解决复杂的函数极值问题
高考数学如何解决复杂的函数极值问题在高考数学中，函数极值问题是一个重要的考点。
解决复杂函数极值问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
本文将从数学知识的应用和解题方法两个方面，介绍如何解决复杂的函数极值问题。
一、数学知识的应用在解决复杂函数极值问题时，我们需要运用以下数学知识：1. 导数的概念和性质：导数可以表示函数在某一点的变化率，通过导数可判断函数在某一点的极值和临界点。
掌握导数的计算、导数的性质和导数的应用是解决函数极值问题的基础。
2. 极值的判定条件：对于给定的函数，如果函数在某一点的导数等于零或不存在，那么这个点可能是函数的极值点。
通过求导并令导数等于零，可以找到函数极值点的候选值。
3. 函数的单调性：在函数的极值问题中，还需要考虑函数的单调性。
如果函数在某个区间上单调递增或单调递减，那么该区间的端点可能是函数的极值点。
以上是解决复杂函数极值问题所必须掌握的数学知识，下面将介绍解题方法。
二、解题方法解决函数极值问题可以分为以下几个步骤：1. 确定函数的定义域：首先需要确定函数的定义域，即函数存在的取值范围。
对于定义域内的函数，才能进行极值的分析和计算。
2. 求函数的导数：根据函数的表达式，求出函数的导数。
导数代表函数在某一点的变化率，可以给出函数的极值点的候选值。
3. 求导数为零的点：将函数的导数等于零，求解方程得到导数为零的点。
这些点称为函数的临界点，它们可能是函数的极值点。
4. 判断极值点：通过判断函数在临界点附近的单调性，确定临界点是否为函数的极值点。
对于单调递增的函数，极小值点可能在临界点的左侧；而对于单调递减的函数，极大值点可能在临界点的右侧。
5. 确定极值：根据函数的定义域以及在临界点处的极值情况，确定函数的极值。
通过以上步骤，我们可以解决复杂的函数极值问题。
需要强调的是，在解题过程中，要注意对函数的定义域、导数和极值点进行合理的分析，灵活运用数学方法，尽量简化计算，提高解题的效率。
高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧
高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧二次函数是高中数学中一个重要的内容，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
求解二次方程和求取二次函数的极值是解决二次函数问题的两个基本技巧。
本文将介绍一些在高中数学中用于求解二次方程和求取二次函数的极值的常用技巧，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、求解二次方程的技巧一般来说，二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。
我们可以通过以下技巧来解决二次方程问题。
1.使用因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以利用这一性质来求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其写成(x - 2)(x - 3) = 0的形式，从而得到方程的两个解x = 2和x = 3。
2.使用配方法对于那些无法直接因式分解的二次方程，我们可以使用配方法来求解。
该方法通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0的形式，从而得到方程的解x = -3。
3.使用求根公式当无法使用因式分解或配方法时，我们可以使用求根公式来求解二次方程。
二次方程的通解可以通过公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来表示。
例如，对于方程x^2 - 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1、b = -2、c =-3，利用求根公式计算得到方程的两个解x = 3和x = -1。
二、求取二次函数的极值的技巧二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
我们可以通过以下技巧来求取二次函数的极值。
1.使用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式表达式为x = -b / (2a)，y = f(-b / (2a))，其中x表示顶点的横坐标，y表示顶点的纵坐标。
顶点是二次函数的极值点，通过这一公式可以直接计算出极值点的坐标。
高考高频考点2二次型分式函数求最值
第2讲 二次型分式函数求最值知识与方法我们把y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.典型例题【例题】函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()2211111113t t t t y t tt t +−++++===++≥+=，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法2（判别式法）：将211x x y x −+=−变形为()211y x x x −=−+，整理得：()2110x y x y −+++=①，将式①看出关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y ∆=+−+≥，解得：1y ≤−或3y ≥，因为1x >，所以10x −>，210x x −+>，从而0y >，故3y ≥，注意到当2x =时，3y =，所以函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法3（求导法）：设()211x x f x x −+=−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 23f x f ==.【答案】3 变式1 函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()22111131111t t y t t t t t t ===≤=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13.解法2（判别式法）：将211x y x x −=−+变形成()211y x x x −+=−， 整理得：()2110yx y x y −+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y y ∆=−+−+≥⎡⎤⎣⎦，解得：113y −≤≤，注意到当2x =时，13y =，所以函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13. 解法3（求导法）：设()211x f x x x −=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()012f x x '>⇔<<，()02f x x '<⇔>，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()max 123f x f ==.【答案】13变式2 函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()()22222112211111x x x x x x y x x x x x x −+−−−+−===−−+−+−+，令1t x =−，则0t >，1x t =+，且()()221211111131111t t y t t t t t t =−=−=−≥=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法2（判别式法）：将22221x x y x x −+=−+变形为()22122y x x x x −+=−+，整理得：()()21220y x y x y −+−+−=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()()224120y y y ∆=−−−−≥，解得：223y ≤≤()1y ≠， 注意到当2x =时，23y =，所以函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法3（求导法）：设()22221x x f x x x −+=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 223f x f ==. 【答案】23【反思】从上面的几个例子可以看到，y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案. 变式3函数y =的最大值为________.【解析】设t ，则1t ≥，221x t =−，且211444t y t t t ===≤=++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数y =14.【答案】14变式4函数y =________.【解析】设t ，则2t ≥，224x t =−，且222115411t y x x t t t====+++++， 易得函数()1t t tϕ=+在[)2,+∞上，所以()()min522t ϕϕ==，故函数25y x =+的最大值为25. 【答案】25强化训练1.（★★）函数21x y x =−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =−，则0t >，1x t =+，且()22212112241t x t t y t x t t t +++====++≥=−，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法2（判别式法）：将21x y x =−变形成()21y x x −=，整理得：20x yx y −+=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式240y y ∆=−≥，所以0y ≤或4y ≥，因为1x >，所以0y >，从而4y ≥，注意到当2x =时，4y =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法3（求导法）：设()21x f x x =−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x >⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 24f x f ==.【答案】42.（★★）函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =+，则1x t =−，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且()()22211223443311t t x x t t y t x t t t −−−+−+−+====+−≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法2（判别式法）：将221x x y x −+=+变形成()212y x x x +=−+，整理得：()2120x y x y −++−=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()21420y y ∆=+−−≥，解得：7y ≤−或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x −+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法3（求导法）：设()221x x f x x −+=+()04x ≤≤，则()()()()2311x x f x x +−'=+，所以()014f x x '>⇔<≤，()001f x x '<⇔≤<，从而()f x 在[)0,1上，在(]1,4上，故()()min 11f x f ==.【答案】13.（★★★）函数2211x x y x x ++=−+的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()2222212121111x x x x x xy x x x x x x −++++===+−+−+−+，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x=++−，易求得12x x +≤−或12x x +≥， 所以113x x +−≤−或111x x +−≥，从而220131x x−≤<+−或20211x x <≤+−，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解法2（判别式法）：()22221111x x y y x x x x x x ++=⇒−+=++−+，整理得：()()21110y x y x y −−++−=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()221410y y ∆=+−−≥，解得：133y ≤≤()1y ≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）函数2sin 12sin x y x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为________.【解析】设sin t x =，则212t y t =+，因为02x π≤≤，所以01t ≤≤， 当0t =时，0y =；当01t <≤时，1142y t t=≤=+，当且仅当12t t =，即2t =时等等号，此时4x π=，所以函数2sin 12sin xy x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为4. 【答案】45.（★★★）函数22y x =+的最大值为________.【解析】设t =，则1t ≥，且211112t y t t t ====≤=++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数y =12.【答案】1 26.（★★★）函数y=的最小值为________.【解析】设1t=+，则1t≥，()211x t=−+，所以()22211124332444t t ty tt t t⎡⎤−+−−+⎣⎦====+−≥−=−，当且仅当32tt=，即t=y=的最小值为4.【答案】−4。
二次函数最值问题及其解决方法
二次函数最值问题及其解决方法首先，我们可以通过求导数的方法来找到二次函数的极值。
对于一个一般形式的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 $a \neq 0$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=2ax+b$。
通过求导数，可以得到函数的极值点。
当导数 $f'(x)$ 为零时，即 $2ax+b=0$，解出 $x$ 的值，并代入原函数$f(x)$ 中，即可得到函数在该点上的最大值或最小值。
举个例子来说明，设有一个二次函数 $f(x)=2x^2+3x-2$，我们可以先求出它的导数 $f'(x)=4x+3$。
将导数设置为零，得到 $4x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{4}$。
将 $x=-\frac{3}{4}$ 代入原函数 $f(x)$ 中，得到$f(-\frac{3}{4})=\frac{31}{8}$。
所以函数在 $x=-\frac{3}{4}$ 处取得最小值 $\frac{31}{8}$。
其次，我们也可以通过二次函数的图像特征来找到二次函数的最大值和最小值。
我们知道，二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
如果二次函数的系数$a>0$，那么它的抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值就是抛物线的顶点的纵坐标值；如果二次函数的系数$a<0$，那么它的抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值就是抛物线的顶点的纵坐标值。
下面我们以一个具体的例子来说明这种方法。
考虑一个二次函数$f(x)=x^2-4x+3$。
我们可以求出该二次函数的顶点坐标，并判断它的开口方向。
先求导数$f'(x)=2x-4$，将导数设置为零，得到$2x-4=0$，解得$x=2$。
将$x=2$代入原函数$f(x)$中，得到$f(2)=-1$。
所以函数的最小值为$-1$。
通过分析二次函数$f(x)$，我们可以发现系数$a=1>0$，所以抛物线开口朝上，这也验证了我们的结论。
高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析
高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析二次函数在高中数学中占据着重要的地位，它的求极值和最值是我们学习的重点内容之一。
本文将通过具体的例题，详细介绍解二次函数求极值和最值的技巧和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
首先，我们来看一个简单的例题：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的最小值。
要求函数的最小值，我们需要先找到函数的极值点。
根据二次函数的性质，当二次函数的导数等于0时，函数的极值点就出现了。
所以，我们首先需要求出f(x)的导数。
f'(x) = 2x - 2。
将f'(x) = 0带入，得到2x - 2 = 0，解得x = 1。
这就是函数f(x)的极值点。
接下来，我们需要判断这个极值点是函数的最小值还是最大值。
这可以通过二次函数的凹凸性来确定。
二次函数的凹凸性由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，函数开口向上，为凹函数，极值点为最小值；当二次项系数小于0时，函数开口向下，为凸函数，极值点为最大值。
回到我们的例题，函数f(x) = x^2 - 2x + 1的二次项系数为1，大于0，因此函数是凹函数，极值点x = 1是最小值。
通过这个例题，我们可以总结出求二次函数极值和最值的一般步骤：1. 求出函数的导数；2. 令导数等于0，解方程得到极值点；3. 判断二次函数的凹凸性，确定极值点是最小值还是最大值。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例题：已知函数g(x) = -2x^2 + 4x + 3，求g(x)的最大值。
同样地，我们首先求出函数g(x)的导数。
g'(x) = -4x + 4。
令g'(x) = 0，得到-4x + 4 = 0，解得x = 1。
这是函数g(x)的极值点。
然后，我们需要判断这个极值点是最大值还是最小值。
由于函数g(x)的二次项系数为-2，小于0，所以函数是凸函数，极值点x = 1是最大值。
通过这个例题，我们可以看到，求二次函数极值和最值的步骤是相同的，只是需要注意函数的凹凸性来确定极值点的性质。
二次函数的极值求法攻略
二次函数的极值求法攻略求二次函数的极值是中考热点，往往出现在压轴题中，多与面积、利润、成本等相结合。
其攻略途径为：第一，写出二次函数的解析式并化为顶点式；第二，确定自变量的取值范围，画出大致形状，范围内的用实线，外的用虚线；第三，判定x =ab2-是否在其范围内，若在，则极值为顶点纵坐标；若不在，就要根据其增减性求极值。
y=a x 2+b x +c (a,b,c 是常数，且a ≠0)= 2)2(ab x a -+a b ac 442-，顶点坐标为（-a b 2，a b ac 442-），对称轴为x =-ab2。
一、当x =-a b 2在自变量范围内时，当x =-ab2时，最值为y =a b ac 442-。
二、当x=-ab2不在自变量范围内时1、 若≤≤x m n 〈-ab2（n m 〈）（1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。
（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。
2、若-ab2〈≤≤x m n （n m 〈） （1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的右边y 随x的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。
（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。
三、举例1、当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．3、当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．4、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623,3054=-≤≤．m x x(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？2、（湖北武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?3、（安徽省中中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。
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复杂二次分式函数极值的快速解法在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间.二次分式函数具有形式22(,()0)Ax Bx Cy f x Dx A Ex B F++==++不同时为. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性20Dx Ex F ++=当方程有解,设12122,0(=Dx Ex x x x x F ++≤)是两个根 .则函数定义域12{|}x x x x x ∈≠∧≠R .当122211220,lim 0,lim x x x x Ax Bx C Ax Bx C →→++≠=∞++≠=∞或.此时函数无界.当221122=0=0Ax Bx C Ax Bx C ++++且,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如2211x y x -=- ).所以通常当240E DF -≥ ,二次分式函数是无界的.12,x x x x == 是函数的渐近线.当240E DF -<,函数定义域为R .函数有界. 2. 单调性,极值,值域 当240E DF -<,20Dx Ex F ++≠,可以将函数化为()22=.y Dx Ex F Ax B x x C ++++的方程 .()()2B 0x Dy A x Ey Fy C -+-+-=即.对于值域中的每一个y,方程都有实数解,0,=00,,Dy A Dy A -≠-∆≥当验当证是否有解 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入()()2B 0xDy A x Ey Fy C -+-+-=函数解出x ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.lim ()x A f x D →∞=,根据极值与A D的大小即可判断单调区间.240E DF -<这种情况最多有三个单调区间.当240E DF -≥,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y ∈R .出现这种情况,求解20Dx Ex F ++=和20Ax Bx C ++= .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如()()()()2221121311221222x x x x y x x x x x x x x-+-+-+====-≠≠--++-++++且 {}1,0,0.|1x y y y y ==≠≠取所以函数值域且分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.223325x x x y x +--++=.首先定义域2{|50}x x x -++≠ 解得((111){|(1}22x x x ∧≠≠.分离分子中的二次项得261335x y x x +=-+-++ . 13613,6t t x x -=+=令 .代入得 ()()222135613131151313636136732361367836369y x x x t t tt t t t t =-+-+++=-++-+--+=-+-+-=--+-()0131336782136369671313,,363666013133678213636967,,3636t y t t t t t x t t y t t t t x t >-+=--≥--=+--====<+=-+≤-+=--++-===当当当当函数值域(-)∞∞Ç根据2233m2l 35i x x x x x →∞+-++=--, 3126731267-21321+-<+-<671312167131216262+--+-<<< 可判断出单调区间()()()()()()()()1111(-,1367),(1367,121),(121,+) 66221111(1367,121),(121,1367)6226∞∞---+++-----+增区间减区间共有5个单调区间顺便再算一下函数零点()()212113320=333,=33366x x x x +----+解得= 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.二次分式函数极值公式很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数.22()Ax Bx C f x Dx Ex F++=++ ()()22'22222(2)()()(2D )()()2()Ax B Dx Ex F Ax Bx C x E f x Dx Ex F AE BD xAF CD x CE BFDx Ex F +++-+++=++-+--+=++我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子()()22AE BD x AF CD N x CE BF -+--+= .函数取极值时'()0,N 0f x ==即 .我们只需解方程()()220AE BD x AF CD x CE BF -+--+=即可得到函数取极值时的x值.为了防止错误,最好验证的得到的x 值是否在定义域.将方程系数与22Ax Bx CDx Ex F++++比较.发现N 可以写成三阶行列式. 212x x N AB C DEF-= .这样就很容易记住了. 对于上面的例子223325x x x y x +--++=,2212332011517266x xN x x +-+-===-解得((1211=13,=1366x x --.这种方法比分离变量快多了. 要求单调区间,由于N 的符号和'()f x 相同,大致画出y N = 的图像,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5个单调区间.如果要求极值,把x 代入函数(((((221121313121213)11651313636(f -+--+--+---=- 计算量很大,对于x 很复杂的情况建议用判别式求值域.想到取极值时的x 值可用方程0N =表示,我们也找到一个关于y 的方程.联立()()22220Ax Bx Cy Dx Ex FAE BD x AF CD x CE BF ⎧++=⎪++⎨⎪-+--+=⎩,消去x 整理得 ()()()22244240EDF y AF CD BE y B AC -++-+-=2244E DF B AC --二次项系数和常数项正好为分母和分子的判别式 .我们只需特别记住一次项系数()42AF CD BE +-.比较22Ax Bx CDx Ex F++++发现这一项也挺好记的:二次项系数与常数项系数积的和的4倍减一次项系数积的两倍对于上面的例子,将系数代入该方程得2336220=1y y ++ 解得((121131,312121y y =--=-+ . 根据已求出的单调区间, 比较AD 和极值的大小即可区分极大值和极小值.我们重新回顾判别式求值域的方法. ()()2B 0xDy A x Ey Fy C -+-+-=()()()24=0Ey B Dy A Fy C ---- 的解即为极值.重新整理方程可得()()22244244=0B AC CD BE AF y E DF y -+-++- 和刚才的到的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.在考试中,我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值.再用=0N 和渐近线求出单调区间进而求出值域.下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题.(2013)如图,点P(0,1)- 是椭圆12222:1(0)b x y C a b a +>>= 的一个顶点,1C 的长轴是圆222:4C x y += 的直径.12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆221,, D.C A B l C 与两点交椭圆与与另一点(1) 求椭圆1C 的方程; (2) 求ABC 面积取最大值的直线1l 的方程;第一问222:14x C y += 设121:1(R) ,:1l y kx k l y x k=-∈=-- O 到AB 距离21d k =+222342241k AB d k ==+-+ . 21224C 1410x x k l ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭代入得 设1122(,),(,)P x y D x y(2:0l x ky k ++=套用圆锥曲线硬解定理)122122121222222840()1||1()42(1)4(4)=(81=kx x k x x DP x x x x kk k k k -+=+⋅==++-⋅+⋅+-+形式而已套用圆锥曲线硬解定理2211||||2244S DP AB k k ===++接下来是关键了,用我们的公式来算.224t=k (t k S =+≥=令2212043464001816t t N t t -==--+=5,20,2t t k >==±1:12l y x =±- 现在算最大面积.284163y t t t =+++ 代公式()()()22244240E DF y AF CD BE y B AC -++-+-=max 4130(1264)160y y S ====+-+。