D4_5积分表的使用

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第五节积分表的使用

a
dx 2 abac r oa tbta x n C bcosx abab ab 2
将 a5 , b 代入得4
541cosxdx3 2arco3tta2 xnC.
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5
【例3】求
x
dx . 4x2 9
1
第五节积分表的使用
一、关于积分表的说明二、例题
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2
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接
或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册
现在 a3, b4于是
3 x x 4 2 d x 1 9 ln |3 x 4 | 3 x 4 4 C .
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4
【例2】求
1 dx. 被积函数中含有三角函数
54cosx
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5 , b 4a 2 b 2选公式（105）
对积分sin2 x使d用x公式（93）
sin2
xdxx1sin2xC 24
sin4xdxsin3x4coxs432x14sin2xC.
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9
【说明】初等函数在其定义区间上原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.
［例］
ex2 dx,
sinnxdxsin n 1n xco x snn 1sin n 2xdx
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式.

第五节积分表的使用

4
4
再用公式93
sin3 x cos x 3 x 1 sin 2x C .
4
42 4
第五节积分表的使用
一般来说，查积分表可以节省计算积分的时间，但是只有掌握了基本积分方法才能灵活地使用积分表．对于正在学习高等数学的学习者来讲，我们不提倡用查表的方法来计算积分．本教材设置积分表的目的是为在校生在学习其他课程时，快速计算碰到的积分，也为职场工作者快速计算工作中碰到的积分．
查得于例公是3式求105 (Pd38x1) .（需先做变换，再查表得结果）
a 解bdxco积s x(分3xx表ax 24中4)bx2查2dxaa不9到bb91 相arlnc关t|a3n的x 公4aa式|，bb3tx需a4n做42x 变形CC .．(a2 b2 ).
于是
dx
dx 2
2 1 5 4 dx
第五节积分表的使用
最后需要指出的是：尽管连续函数一定存在原函数，但有些初等函数的原函数不一定是初等函数．例如
ex2 dx ,
sin x
x
dx
,
dx ln x
,
, 1 x4
它们的原函数都不是初等函数．
2
.5 4
x
第五节积分表的使用
例4 求 ssiinn44xxddxx..（递推公式的应用）
解在积分表（十一）中查得公式95 (P380)
sinn xdx sinn1 x cos x n 1 sinn2 xdx .
n
n
于是
sinn xdx sin3 x cos x 3 sin2 xdx
x 4)22
dx . （直接查表可得结果）
解被积函数中含第五有节a积x 分+表b，的使在用积分表（一）中查得

第四节积分表的使用方法

x
dx
2
9x 4
2

1 t2 9
1 dt dt 3 , 2 2 2 3 2 t t 2 t 4
上式右端积分的被积函数中有 t 2 22 , 在积分表当 a = 2(x 相当于 t)时， (五)类中，查到公式 39，得
dt
2
t
t 2 22
t2 4 C 4t
5 2 x 4 arctan tan C . 3 2 5 3
2.先进行变量代换，再查表
例3
9x2 4 解该积分在积分表中直接查不到，要进行变
2
查表求
x
dx
.
1 1 量代换， x t , 令 3 x = t，则 dx dt , 于是有 3 3
9x2 4 C. 12x
代入原积分中，得
x
dx
2
9x2 4
3
t2
9x2 4 C. 4x t 2 22 dt
3.用递推公式
例4
解
dx . 查表求 4 sin x
被积函数中含三角函数，在积分表(十一)
类中查到公式 97，递推公式为
1 cos x n2 dx dx sin n x n 1 sin n1 x n 1 sin n2 x ,
等，都不能用初等函数表示.
第四章不定积分பைடு நூலகம்
第四节
例1 查表求
积分表的使用方法

dx . 2 x( 3 2 x )
1.在积分表中能直接查到的
解被积函数含 a + bx 因式，在积分表(一)类中，查到公式 9 ，当 a = 3，b = 2 时，得

D54定积分的分部积分法-PPT精选文档

4 4 tan x sec xtan x0 0 xdsec

2 2 xsec xdx 2 4 sec x 1sec xdx 2 4 tan 0
0

2 4 sec3 xdx 4 sec xdx

0

0
4 2 1 2 14 x dx sec xdx ln sec xtan x sec 0 2 2 2 2 0 2 1 ln 2 1 P154 2 2
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b b ( udv uv vdu ) a a a
b
例. 计算
0 arcsinxdx.
1 2
1 2
x 解: 原式 = x arcsin

0
0
1 2
x 1 x
2
dxΒιβλιοθήκη 1 π 11 2 2 2 2 ( 1 x) d ( 1 x) 0 12 2 1 1 π 2 (1 x2)2 12 0 π 3 b b b 1 uv vdu 12 2 a udv a a
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 证:
两端在 [ a ,b ]上积分
b b b u ( x ) v ( x ) d x u ( x ) v ( x ) d x u (x )v (x ) a a a b b b (x u (x )v (x )d x )v (x )d x u ( x ) v ( x ) u a a a
t
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例计算 0 4 cos x dx.

五级积分法excel

五级积分法excel
五级积分法是微积分中的一种方法，可以用来求解函数的积分。

在Excel中，也可以使用五级积分法来计算函数的积分。

本文将介绍如何在Excel中使用五级积分法来求解函数的积分。

首先，需要定义一个函数。

假设要计算函数f(x)在区间[a,b]上的积分，可以在Excel中输入以下公式：
f(x)=sin(x)
a=0
b=π
Δx=(b-a)/5
x0=a
x1=x0+Δx
x2=x1+Δx
x3=x2+Δx
x4=x3+Δx
x5=b
接下来，可以计算函数f(x)在这五个点上的函数值，并将结果填入表格中。

具体方法是，在Excel中输入以下公式：
y0=f(x0)
y1=f(x1)
y2=f(x2)
y3=f(x3)
y4=f(x4)
y5=f(x5)
接着，可以使用五级积分法来计算函数f(x)在区间[a,b]上的积分。

具体方法是，在Excel中输入以下公式：
I=(Δx/90)*(7*y0+32*y1+12*y2+32*y3+7*y4)
最后，Excel将显示函数f(x)在区间[a,b]上的积分结果。

通过以上步骤，我们可以在Excel中使用五级积分法来计算函数的积分。

这种方法虽然比较繁琐，但是可以准确地计算函数的积分。

如果需要计算更复杂的函数积分，可以使用更高级的数学软件来求解。

第五章加积分表的使用及本章小结

结束
二、 “不可积”的类型
例如 ,
e
x2
dx
cos
2
x dx
e x dx ,
x
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例5. 求解: 原式 arctan e x d e x
x e e arctan e e x dx 2x 1 e
x x
2x 2x ( 1 e ) e e x arctan e x 1 e 2 x dx
2
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不定积分的计算方法小结
一、求不定积分的基本方法
二、“不可积”和类型
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一、求不定积分的基本方法
1. 直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
第一类换元法第二类换元法
(代换: x (t ))
注意常见的换元积分类型, 如掌握 P197 公式(14) ~(22)的推导方法
积分表的使用
积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分
的效率, 已把常用积分公式汇集成表,即积分公式表，以备查用. 来自分表的结构: 按被积函数类型排列
积分表的使用: 1) 注意公式的条件
2) 注意简单变形的技巧
注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple 等数学软件的符号演算功能求得 .
2 3 解: 原式 dx 2x 2x 3 2 2) x d ( 1 3 2 ln 3 1 ( 2 ) 2 x 3
x x
x 2 ( 3) 2x 2 1 ( 3)

一关于积分表的说明

1 du 2 u2
32
u
du u2 32
2
被积函数中含有 u2 32,
2019/9/19
5
在积分表（六）中查得公式（37）
x
dx x2 a2
1ln |x| C a a x2a2
u
du u2 32
1ln |u| C 3 3 u232
将 u2x代入得
x
dx 1ln 2|x| C. 4x2 9 3 3 4x29
2019/9/19
6
例4 求 sin4xdx.
在积分表（十一）中查得公式（95）
sinnxdxsin n 1n xco x snn 1sin n 2xdx
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式.
现在 n4于是
3 x x 4 2 d x 1 9 ln |3 x 4 | 3 x 4 4 C .
2019/9/19
3
例2 求541cosxdx.
被积函数中含有三角函数
adx 2 abac r oa tbta x n C bcosx abab ab 2
• 积分表共有十六类147个积分公式
2019/9/19
2
二查表方法例题
1 直接查表
例1 求
x (3x4)2dx. 被积函数中含有 axb
在积分表（一）中查得公式（7）
a x x b 2 d x a 1 2 ln |a x b | ab x b C
现在 a3, b4于是
2019/9/19
7
sin4xdxsi3n x 4coxs4 3si2n xdx 对积分sin2 xdx使用公式（93）

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例2. 求
解法2 令 u 4 x 2 9 , 则 u 2 4 x 2 9 , u du 4 x d x
du 4 x dx 2 2 原式 2 2 4 x 4x 9 u 3
( P363 公式 21 )
2 1 4 x 9 3 1 u 3 C ln C ln 6 6 u 3 4x2 9 3
第五节积分表的使用
第四章
积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分
的效率, 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.
如 P347附录Ⅲ . 积分表的结构: 按被积函数类型排列
积分表的使用: 1) 注意公式的条件
2) 注意简单变形的技巧
注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple 等数学软件的符号演算功能求得 .
2
t 2 x 1 2 tan t
x 1
1 x 2x 5 1 x 1 C 3 arctan ln 3( x 2 2 x 5) 2 x2 2x 5 1
作业
P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25
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2 x arctan 3 tan C 3 2
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例2. 求解法1 令 u 2 x , 则 1 du du 2 原式 u 2 2 2 2 u 3 u u 3 2
(P364 公式 37)
1 u 2 32 3 1 4x2 9 3 ln C ln Cd sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
(P363 公式21) (P363 公式19)
x2 2x 5
1 2 cos t sin t ln 3 arctan C 2 2 cos t 3
1 4x2 9 3 1 ( 4 x 2 9 3) 2 ln C ln C 2 3 2 x 6 2x
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例3. 求
解: 令 x 1 2 tan t , 则 dx 2 sec 2 t dt 原式
2 tan t 3
(4 tan t 3) 2 sec t
2
2 sec 2 t dt
2 sin t 3 cos t dt 2 2 t3 3 cos t 1) 2 4 (x (x 4 sin 1) 2 sin t dt cos t dt 2 3 2 2 4 sin t 3 cos t 4 sin 2 t 3 cos 2 t dcos t d sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
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dx . 例1. 求 5 4 cos x
解: 这里 a 5 , b 4 , 应使用P368 公式105 .
dx 5 4 cos x 2 5 （ 4 ）（ 4 ） x 5 arctan tan C 5 （ 4 ） 5 （ 4 ）（ 4 ） 2 5

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第五节积分表的使用

第五节 积分表的使用

第四节 积分表的使用方法

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