2012上期末微积分试题

又1sin 0n n n n x x x x +-=-<，从而数列{}n x 是一个单调减少的有界数列。

根据单调有界准则lim n n x →∞存在，设lim n n x l →∞=。

则1lim limsin lim n n n n n n x x x l +→∞→∞→∞===，即sin l l =，得0l =，即lim 0n n x →∞=7、求极限22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 解 原式222222400sin sin lim lim sin x x x x x x x x x →→--==（等价无穷小替换）3330000sin sin sin sin sin lim lim lim 2lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→+-+--⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 12lim2lim 2lim 363x x x x x x x x x x →→→---====- 8、求极限()()()222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭解()()()2222221111lim lim 1212111n n n nn n n n n n n n n n →∞→∞⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()11221001111111lim 121211n n k dx n x x k n →∞=---====-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰ 三、 解答下列各题（每小题5分，共20分） 9、已知sin y x =，求dy dx解 ()()211ln ln 2ln 3ln ln sin 36y x x x x =--+++ 从而211111cos 23263sin y x x y x x x x'=-⋅++-+ ()()211cot sin 3233x y x x x x x ⎛' =-++ -+⎝ 10、设()2sin cos f x x x x =，求()()20130y解 ()21s i n 22fx x x =，由莱布尼茨公式 ()()()()()()()()20132012201120132120132012sin 220132sin 22sin 222f x x x x x x ⋅⎡⎤=+⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦()()()()20112013201100201320122013201220110sin 22sin 2222x x f x x π==⋅⎡⋅⎤⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 20112010201020132012112sin 5032201320122sin 201320122222πππ⋅⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、设()y y x =由参数方程()2ln 1arctan x x y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定，求dy dx解 222221,1111dx t dy t dt t dt t t==-=+++，从而2221122dydy t t t dt dx dx t t dt+==⋅=+ 12、写出()xf x xe =带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式解 ()()()()()1,12xx x xxxf x e x e x e f xe x e x e'''=+=+=++=+从而发现()()()n x fx n x e =+，()()()()11n x x x f x e n x e n x e +=++=++()()()()()00,01,02,,0n f f f f n '''==== ，由公式()()()()()()()()()2100001!2!!1!n n n n f f f f f x f x x x x n n ξ+'''=++++++ 得 ()()()32111,2!1!1!xn n n x xe x x x e x n n ξξξ+++=+++++-+ 在0与x 之间。

四、 计算下列各题（每小题5分，共10分）13、计算11cos dx x +⎰ 解 ()22211cos 1cos csc csc cot 1cos 1cos sin x x dx dx dx x x x dx x x x--===-+-⎰⎰⎰⎰ cot csc x x c =-++14、解 令tan ,arctan x t t x ==，则2tan sec sec tdt t t tdt td t ===⎰⎰sec sec sec ln sec tan t t tdt t t t t c =-=-++⎰，由辅助三角形sec t =原式)lnx x c =-+五、解答下列各题（每小题5分，共15分）15、设()f x 在[],ππ-连续，且()()[](),,0f x f x x ππ+=-∈-。

证明()0f x dx ππ-=⎰证 分段积分()()()0f x dx f x dx f x dx ππππ--=+⎰⎰⎰对()0f x dx π-⎰进行换元，令x t π+=，则,d x d t x π==-时0t =，,0x t x π=-=时t π=，从而()()00f xd x f td t πππ-=-⎰⎰，由已知()()[](),,0f x f x x ππ+=-∈-，即()()[](),0,ft f t t ππ=--∈，进而()()()0f x dx f t dt f x dx πππ-=-=-⎰⎰⎰因此()()()()()00f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ππππππ--=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰16、计算⎰解令t =()222ln 1,,ln 21tx t dx dt x t =+==+时1t =，0x =时0t =；则()1112200021212arctan 2121142t t dt dt t t t t ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 17、判别广义积分1ln 11ee x dx x --⎰的敛散性解 1x =为瑕点，1111ln 1ln 1ln 1111eeeex x x dx dx dx x x x ---=+---⎰⎰⎰()()()()22200111ln 1ln 111lim ln 1lim ln 1ln 1122eeex x dx dx x e x x εεεε→+→++--⎡⎤==-=--=-∞⎣⎦--⎰⎰ 从而1ln 11ex dx x --⎰发散，因此原式发散六、解答下列各题（每小题5分，共10分）18、求由1,ln3x y e x =-=和0y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积解 1,l n 3x y e x =-=交点为()ln3,2，1,0x y e y =-=交点为()0,0，0,ln3y x ==交点为()ln3,0，分清边界曲线的上下左右，作图（略）()()ln3ln3ln3222000112122xxxx x V e dx e e dx e e x πππ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰2ln3ln300ln91113932ln320236ln3ln3222222e e e e e ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+=-⋅+=-++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦19、求双扭线22cos 2r a θ=在圆2222a x y +=内部的图形的面积。

解 由转化公式cos ,sin x r y r θθ==，得圆2222a x y +=的极坐标方程为222a r =，从而双扭线22cos 2r a θ=与圆222a r =的交点处221cos 2,cos 2,2,2236a a ππθθθθ==⇒=±=±，交点2,62a π⎛⎫± ⎪⎝⎭关于极轴对称，分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略）从而看出264206114cos 2222a S d a d πππθθθ⎡⎤⎢⎥=⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰2222466sin 2sin sin 16236a a a a πππππππθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭七、证明题（每小题5分，共10分）20、设()f x 在[]0,1上可微，且()()1212f xf x dx =⎰。

试证：存在()0,1ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=证 由积分中值定理，()()()1211220,0,22xf x dx ff ηηηηη⎛⎫⎛⎫=-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而 ()()()()111,,1f f f ηηη⋅==也形成了一个区间。

令()()F x xf x =，由已知()F x ，在区间[],1η上连续，在(),1η内可导，又()()1F F η=， 由罗尔定理，得存在存在()(),10,1ξη∈⊂，使()0F ξ'=，即()()0ff ξξξ'+=21、设()f x 函数在闭区间[],a b 上连续，证明：()f x 在闭区间[],a b 上存在原函数 证 由于()f x 函数在闭区间[],a b 上连续，可设()()[],,xax f x dx x a b Φ=∈⎰由于()()()()()[],,x xxx xaaxx x x f x dx f x dx f x dx x x a b +∆+∆Φ+∆-Φ=-=+∆∈⎰⎰⎰从而()()()()()00011lim lim lim ,x xx x x x x x x x f x dx f x x x xξξ+∆∆→∆→∆→Φ+∆-Φ'Φ===⋅∆∆∆∆⎰位于x x +∆与x 之间，再由连续性，从而()()()()0lim lim x xx f f f x ξξξ∆→→'Φ===，由原函数的定义知()x Φ是()f x 在闭区间[],a b 上的一个原函数，因此()f x 在闭区间[],a b 上存在原函数。