四川绵阳市2022-2023学年高三二诊模拟考试理科数学试题

可得 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减，
则有 ，
根据零点存在性定理可知， 在区间 上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线 和 的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得 ，根据抛物线的焦半径公式可得 ，
故有： ，
设点 的坐标为 ：，则有： ，
令 ，可得 ，
再次求导可得： ，故 在 上单调递增，
8．D
【分析】根据分布列所有概率之和为1，且 可得 的值，再根据和事件概率的加法公式即可得出结果.
【详解】由题意知， ；
由 ，即 ，
得 ；
由 ，即
整理得
联立①②③解得 ；
又因为
所以 .
故选：D.
9．B
【分析】分类讨论 与 两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得 的取值范围.
【详解】因为 有最小值，
A． B．
C． （ ）D．
4．已知双曲线 的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B．
C． D．
5．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度 (单位: )满足d(x)＝9lg .一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）
A．3.15B．3.14C．3.13D．3.12
11．已知点P在以 ， 为左、右焦点的椭圆 上，椭圆内存在一点Q在 的延长线上，且满足 ，若 ，则该椭圆离心率取值范围是（）
A． B． C． D．
12．对于函数 ，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域是 ；
（2）当且仅当 时，该函数取最大值 ；
（3）该函数的最小正周期为 ；
四川绵阳市2022-2023学年高三二诊模拟考试
理科数学试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．“直线 与直线 相互垂直”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知正数x，y满足： （ ），则下列关系式恒成立的是（）
【详解】由题意，得 ，则 ， ，
即 ，
所以
.
故答案为：2
16．①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求 的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点 的坐标，根据 轴，进而建立目标函数 ，然后研究该函数单调性即可.
【详解】因为 ，
当 时， ，满足 ，故 ；
当 时， ，满足 ，故 ；
当 时， ，不满足 ，故 ；
所以 .
故选：A.
2．B
【分析】根据两直线垂直，求出 的值，则可判断充分性和必要性.
【详解】因为直线 与直线 相互垂直，
所以 ，
所以 ．
当 时，直线 与直线 相互垂直，
而当直线 与直线 相互垂直时， 不一定成立，
①直线l： 是曲线 和 的公切线：
②曲线 和 的公切线有且仅有一条；
③ 最小值为 ；
④当 轴时， 最小值为 .
三、解答题
17．已知数列 的首项 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 ，求使不等式 成立的最小正整数n.
18．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．
C．若事件 与事件 互斥，则事件 与事件 独立
D．若样本数据 ， ，… 的方差为2，则数据 ， ，…， 的方差为16
8．若离散型随机变量X的分布列如下，若 ，则 =（）
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
A． B． C． D．
9．若函数 有最小值，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
10．蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特·卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率 的值，每次用计算机随机在区间 内取两个数，共进行了2000次实验，统计发现这两个数与3能构成以3为最长边的钝角三角形的情况有565种，则由此估计 的近似值为（）
10．C
【分析】根据给定条件画出几何图形，借助几何概型计算作答即可.
【详解】设x，y是区间 内的任意两个数，于是有 ，点 所在的平面区域是边长为3的正方形OABC的内部，如图，
数字x，y与3能构成钝角三角形，则有点 在满足 的条件下有 ，
此时点 在以O为圆心，OA长为半径的圆在第一象限部分与直线AC所围的阴影区域（不含边界）内，
【详解】因为 ，
所以， ，
对于（3），
，所以，函数 为周期函数，
作出函数 的图象（图中实线）如下图所示：
结合图形可知，函数 的最小正周期为 ，（3）对；
对于（1），由图可知，函数 的值域为 ，（1）错；
对于（2），由图可知，当且仅当 或 时，函数 取得最大值 ，（2）错；
对于（4），由图可知，当且仅当 时， ，（4）对.
故选：B.
13．
【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算．
【详解】 ．虚部为-2.
故答案为： ．
14． ##
【分析】由 得 ，计算 在 方向上的投影即可.
【详解】因为 ， 为单位向量
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
在 方向上的投影为 ，
故答案为： .
15．2
【分析】由 得 ，利用裂项相消求和即可
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
故选: B.
6．A
【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.
【详解】 的二项展开式的通项为 ，
当 时， 的展开式中含 项为 ；
当 时， 的展开式中含 项为 ；
所以 的展开式中含 项的系数为 .
故选：A.
7．B
【分析】根据插空法即可判断选项A，由计算可判断选项B，根据互斥事件和独立事件的概念可以判断选项C，由方差的计算公式可以判断选项D.
又 ，可得：当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
故 ，则 ，故 ，故③正确；
对于④，当 轴时，设 ，则 ，则有： ，
记 ，则有 ，令 ，解得： ，
故当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增；
故有 ，故 ，故选项④正确.
故答案为：①③④.
17．(1)证明见解析
当 时， ，显然 在 上单调递增，且 ，即 在 上没有最小值；
当 时， ，易知 在 上必有最小值，
因为 开口向上，对称轴为 ，
当 时， ，易知 ，
故 不是 在 上的最小值，则 在 上没有最小值，不满足题意；
当 时， ，
要使得 是 在 上的最小值，则 ，即 ，
解得 或 ，所以 ；
综上： ，即 .
故选：B.
22．已知 的极坐标方程为 ，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，
(1)求 的直角坐标方程，
(2)过 作直线l交圆 于P，Q两点，且 ，求直线l的斜率．
23．已知 ．
(1)解不等式 ．
(2)记 的最小值为m，若 ，求 的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】利用整数集的概念化简集合 ，再利用代入检验集合 中元素与集合 的关系，从而求得 .
所以“直线 与直线 相互垂直”是“ ”的必要而不充分条件，
故选:B．
3．D
【分析】由对数函数的单调性可得 ，根据正弦函数的性质可判断A，根据不等式的性质可判断BCD.
【详解】由 （ ）得 ,
因为正弦函数为周期函数，故 的大小无法确定，故A错误，
由 得 ,故B错误，
因为 ，所以 ，当 时， ，故C错误，
(3)12,10,2
【分析】（1）直接利用频率和为1计算得到答案.
（2）直接利用平均数和中位数的公式计算即可.
（3）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.
【详解】（1） ，解得 .
（2） ，故中位数为 .
平均数为 .
（3） ，
[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽人数分别为：
(1)求角 的大小；
(2)若角 的内角平分线交 于 ，且 ，求 的最小值．
20．已知函数 ．
讨论函数 的极值点的个数；
若函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
21．在 中，已知点 与 边上的中线长之和为6.记 的重心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若圆 ，过坐标原点 且与 轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ，直线 与曲线 的另一个交点分别是点 ，求 面积的最大值.
【详解】解：因为 ， ，不妨设 ， ， ，
由椭圆定义可知： ， ，
由勾股定理可知： ，即 ，化简可得： ，
点 在 延长线上，且在椭圆内部，所以 ， ，解得： .
令 在 上单调递增，所以 ，解得： ， ，又 ，且 在椭圆内部，所以 ，则 ， .
故选B．
12．B