数理方程题库
数理方程试题及解答二
数理方程试题二一、填空：（10×2分=20分）1.边界条件2.初始状态3.定解条件.4.边值问题5.拉普拉斯方程的连续解6.狄利克莱问题7.牛曼问题8.()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩ⋅-∂∂=∇dV gradv gradu dS n vudV v u 2 9.()()()0001114M M M M u M u m u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰10.()()()()01!21220≥++Γ-=++∞=∑n m n m x x J m n mn mm n二、选择题：（5×4分,共20分）1．A; 2. B; 3. C; 4. C; . 5. D ．三、（7分）解定解问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤='=><<=''-''=.0,,0,0;0,,0,;0,0,002t l u t u l x x g u x f x u t l x u c u t t xx tt解：令()()()()()()()2,0X x T t u x t X x T t X x c T t λ''''=≠⇒==-，()()()()20,0T t c T t X x X x λλ''''+=+=由方程()()()()000X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨==⎪⎩解出()()sin 1,2,3,n n n X x B x n l π== 由方程()()20T t c T t λ''+=解出：()()cos sin 1,2,3,.n nn n ct n ctT t C D n l lππ''=+= -----------4分 从而有：()(),cos sin sin 1,2,3,n n n n ct n ct n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 叠加起来：()()11,,cos sin sin ,n n n n n n ct n ct n x u x t u x t C D l l l πππ∞∞==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑ 代入初始条件确定,n n C D 有：()()002sin 2sin l n l nn C x xdx l ln D x xdx n c l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ ------------------------------------3分四、（7分）证明: ()[]()x xJ x xJ x01d d= 证明: ()()()()(),!21!32!2221222266244220 +-++-+-=k x x x x x J k k k()()().!1!21!4!32!3!22!22212127755331 ++-++⋅⋅-⋅⋅+⋅-=++k k x x x x x x J k k k---------------------4分将()x J 1乘以x 并求导数，得()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⋅-=++ !1!21!222d d d d 12223421k k x x x x x xJ x k k k()()+-++-=+221233!212k x x x k k k()()()(),!21!32!222122226624422⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-= k x x x x x k k k即()[]()x xJ x xJ x01d d=---------------------------------------------------------------3分 五、（7分）由定解问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞='+∞<<-∞=''=''==x x u x x u u a u t t t xx tt ,,;002ψϕ导出达朗贝尔公式。
最新数理方程期末试题-07-08-2-B-答案
最新数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ _________________姓名 _______________ 学号一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示.初速度为零，又没有外力作用.求弦做横向振动时的位移(,)u x t .[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n h n n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解.5． 用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法.][ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x ln πsin ，其解可以表示成1(,)()sin n n l n u x t v t x π∞==∑把原问题中非齐次项t x t x f l a l ππ22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数∑∞===122sin )(sin sin ),(n l n n l a l xt f tx t x f πππ因此有⎩⎨⎧===,...4,3,1,0;2,sin )(2n n t t f l a n π利用参数变易法，有,...5,4,3,1,0),()cos sin ()(sin sin),(222402222==-=-=⎰n t x v t t t d t t x v n l a l a a l a l tl a l a a l πππππππτττ于是x t t t t x u l l a l a a l a l πππππ22224sin )cos sin (),(-=6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-=+∞<=<<∂∂+∂∂=∂∂====0|,1||,0|0),(00012222222t R r t r R r r t u u u u R r r u r u a t u [ 解 ] 用分离变量法求解.令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得⎩⎨⎧==+0)0('0)()(")(22T t T a t T I β 以及⎩⎨⎧=∞<=++0)(,)(0)()(')(")(0222ρρρρβρρρρR R R R R II设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为)()()(0022ρρβρλρλnn J R n n ==问题（I ）的解为t C t T na n n 0cos )(ρλ=于是原问题的解是∑∑==tJ C t T R t u nn a n n n 0cos)()()(),(0ρλρλρρρ由初始条件2021)0,(ρρρ-=u得到)(8)()(422)(20)(213212222212002022120)()()1(nn nn n nnn n J J J n J J n J d J C λλλλλλρλρρρλρρλρλρρρ==⋅=-=⎰而且又有的零点，也即是由于,0)()(00=n n J x J λλ)()()(1220x J x J x J x =+故nn n J J λλλ2)()(12=于是最后得到原问题的解是∑∑∑===t J tJ C t T R t u n n nn n n na J J a n n n 00212200cos )(cos )()()(),(0)()(40ρλρλλλλρλρλρρρρ二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式⎰⎰⎰∂∂∂∂-=∇-∇Cn v n u D ds u v d v u u v )()(22σ其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分.[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有⎰⎰⎰-=-∂∂∂∂CDy P x Q ds P Q d )cos cos ()(βασ再设u ，v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令yvx v u P u Q ∂∂∂∂-==, 得到⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∇Cnv Cyv x v Dyvy u xvx uDdsuds u d vd u )cos cos ()(βασσ交换u ，v ，得到⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∇Cnu Cyu x u Dyv y u x v x u Ddsvds v d ud v )cos cos ()(βασσ上面第二式减去第一式，得到⎰⎰⎰∂∂∂∂-=∇-∇Cn vn u Dds u v d v u u v )()(σ证毕.8． 证明关于Bessel 函数的等式：1220100()d ()(1)()(1)()d n n n n x J x x x J x n x J x n x J x x --=+---⎰⎰。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
数理方程资料
一． 判断题（每题2分）. 1.2u u xy x yx∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4.(,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12uu 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12uu -是0u ∆=的解.( )二． 填空题（每题2分）. 1.()sin t xx yy u u u xt-+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3.2x的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5.[]()____________.at mL e t s =三．求解定解问题（12分）2sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2）230, 1.tt t y y y e yy =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
数理方程模拟试题1X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。
数学方程式题库及答案
数学方程式题库及答案# 数学方程式题库及答案题目1：一元一次方程解下列方程：\[ 3x - 7 = 2x + 5 \]答案：首先将方程两边的同类项合并，得到 \( 3x - 2x = 5 + 7 \)，简化后得到 \( x = 12 \)。
题目2：一元二次方程解下列方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]答案：这个方程可以通过因式分解来解，即 \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，所以 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
题目3：二元一次方程组解下列方程组：\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = -3 \end{cases} \]答案：使用加减消元法，将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加，得到 \( 5x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{5} \)。
将 \( x \)的值代入任意一个方程，解得 \( y = \frac{8}{5} \)。
题目4：分式方程解下列方程：\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} = 1 \]答案：首先消去分母，得到 \( 2(x - 1) + 3x = x(x - 1) \)，简化后得到 \( x = 1 \)。
检验后发现 \( x = 1 \) 是增根，所以原分式方程无解。
题目5：线性方程组解下列方程组：\[ \begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 4x - y = -1 \end{cases} \]答案：使用代入法，从第二个方程解出 \( y = 4x + 1 \)，然后代入第一个方程，得到 \( 3x + 2(4x + 1) = 11 \)，解得 \( x = 1 \)。
将 \( x \) 的值代入 \( y \) 的表达式，得到 \( y = 5 \)。
题目6：不等式解下列不等式：\[ |2x - 3| < 5 \]答案：首先将不等式分为两部分，\( 2x - 3 < 5 \) 和 \( -(2x - 3) < 5 \)。
数理方程期末试题及答案
带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、 求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数； （3） 将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。 答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、 简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、 简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2
数理方程6
4、用分离变量法求解定解问题
ut a 2u xx , 0 x l, t 0 u |x 0 0, ux |x l 0 u | ( x) t 0
得到的级数形式的解 u ( x, t )
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
a e
n 1 n
[
1
1 ] （s 3） ( s 1)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是（ A、只有三维波存在“无后效现象” B、只有二维波存在“无后效现象” C、三维波出现“弥散现象” D、二维波出现“惠更斯原理” 5、下列对拉普拉斯变换的式子错误的是（ ） A、 L[sin wt ] =
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
7、下列说法错误的是（ ） A、强极小函数一定是弱极小函数 B、弱相等意义下
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
3v v ( x v) xv 2 f ( x, y, z ) 是( 3 x z
B、二阶 C、 三阶
(ax) a ( x)
(a 0)
)偏微分方程 C 、 )型偏微分方程
六、 （13 分）用 Fourier 变换法求解定解问题
2 x R, t 0 utt a u xx u |t 0 x , ut |t 0 0
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
u M0
1 4 a 2
udS
a
五、 （14 分）用本征函数展开法求解定解问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章定义和方程类型1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 1、22(,,)vxy v g x y z z∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶1、33232(,,)v v vv xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程A 、 一阶B 、二阶C 、 三阶D 、 四阶 2、2(,)txx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 2、2(,)ttxx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合2、22(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 2、(,)xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u uf x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u ua x tb x t x x t抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）A(,)(,)0u uxy f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?C 22(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 34330v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x ln π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x ln π 3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(|),(|0|,0|0,0,0002x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ时，得到的固有函数系为( B )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πB 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,002x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ时，得到的固有函数系为( A )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、,...2,1,2)12(sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。
A 、一B 、二C 、三D 、四5、一个定解问题，如果解存在、 唯一 、稳定，则此定解问题称为适定的。
6、方程160xx yy u u -=化标准型时，所做的两个特征变换为4,4y x y x ξη=+=-。
6、方程90xx yy u u -=化标准型时，所做的两个特征变换为 3,3y x y x ξη=+=-1、Tricomi 方程22220u uyx y ∂∂+=∂∂，当0y <时，有两族实征线为3/23/2121222(),()33x y c x y c --=+-=（c ,c 为任意常数）。
1、方程xx yy u xu +=，当x <时，有两族实特征线为3/23/2121233(),()(,)22y x c y x c c c +-=--=为任意常数五、试确定方程03103=++yyxy xx u u u 是什么类型的方程，并将它化为标准形式。
解:判别式016>=∆ 所以方程为双曲型，特征方程为031032=+-⎪⎭⎫⎝⎛dx dy dx dy解得特征曲线为03=-y x ，03=-y x令y x y x -=-=3,3ηξ则ηξηξu u u u u u y x --=+=3,3ηηξηξξu u u u xx 96++= ηηξηξξu u u u xy 39103---=ηηξηξξu u u u xx ++=69将上面的各个偏微导数代入原方程，则得0=ξηu此时取,,t s t s -=+=ηξ则tt ss u u u -=ξη，所以方程的标准形式为0=-tt ss u u第二章 分离变量法4、用分离变量法求得定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩的级数形式的解2(21)[]21(21)(,)cos[]2n a t ln n n u x t a ex l ππ-∞-=-=∑，则n a = 02(21)()cos 2l n x xdx l l πϕ-⎰四、（用分离变量法或者本征函数展开法求解）2000,0,0|0,|0|cos ,|0tt xx x x x x t t t u a u x t u u u x u ππ====⎧=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 设解为)()(),(t T x X t x u =，代入方程并化简得2''()''()()()T t X x a T t X x λ==- 于是2''()()0''()()0T t a T t X x X x λλ+=+=由齐次边界条件得固有值问题 ''()()0'(0)'()0X x X x X X λπ+=⎧⎨==⎩于是得到固有值为2,0,1,2,...n n n λ==，固有函数系为{cos },0,1,2...nx n =将2nn λ=代入关于)(t T 的方程得 2''()()()0n n T t na T t +=解得 000()()cos sin ,1,2,...n n n T t A B tT t A nat B nat n =+⎧⎨=+=⎩利用叠加原理得 001(,)(cos sin )cos nnn u x t A B t A nat Bnat nx ∞==+++∑由初始条件得 0101cos cos 0cos n n nn x A A nx B B na nx∞=∞=⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑ 故 11,010,0,1,2...n n A A n B n ==≠⎧⎨==⎩，因此代入得解 (,)cos cos u x t at x = 用固有函数法求解定解问题2000(),0,0|0,|0|0,|0tt xx x x l t t t u a u x l x x l t u u u u ====⎧=+-<<>⎪==⎨⎪==⎩解：由于本征函数系为1sin n n x l π∞=⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故设解1(,)()sinn n n u x t T t xl π∞==∑代入方程得211[''()()()]sin ()sin n n nn n n a n n T t T t x x l x f x l l l πππ∞∞==+=-=∑∑ 其中2233024()sin [1(1)],1,2...l n n n l f lx x xdx n l l n ππ=-=--=⎰ 从而有 22334''()()()[1(1)]n n n n a l T t T t l n ππ+=--由初始条件得(0)0,'(0)0,1,2...n n T T n ===通解 为()cossin n n n n a n aT t A t B t l l ππ=+特解为 4*5524()[1(1)]n n n l T t C n a π==--于是 45524()cos sin [1(1)]n n n n n a n a l T t A t B t l l n a πππ=++--由(0)0n T =，得45524[1(1)]nn l A n a π=---由'(0)0n T =，得0n B =所以452514525141(,)[1(1)](1cos )sin81(21)(21)(1cos )sin (21)n n k l n at n xu x t a n l ll k at k x a k l l ππππππ∞=∞==-----=--∑∑四、（14分---难）长为l 的细杆，内部无热源，两个端点的温度保持C ο0，已知初始温度分布为l xπ2sin，求杆的温度分布。
（用分离变量法求解）定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><<====l x u u u t l x u a u t l x x xx t π2sin|0|,0|0,0,002设解为)()(),(t T x X t x u =，代入方程并化简得λ-==)()('')()('2x X x X t T a t T于是有0)()(''0)()('2=+=+x X x X t T a t T λλ 由齐次边界条件得固有值问题⎩⎨⎧===+0)()0(0)()(''l X X x X x X λ于是得到固有值为,...2,1,)(2==n l n n πλ，固有函数系为...2,1},{sin =n x l n π将2)(l n n πλ=代入关于)(t T 的方程得'2()()()0n n n a T t T t l π+=其通解为,...2,1,)(2)(==-n eC t T t la n n n π所以xl n eC t x u n t la n n ∑∞=-=1)(sin),(2ππ由初始条件得x l x l n C n n ππ2sin sin1=∑∞=故⎩⎨⎧=≠==⎰2,12,02sin sin 20n n xdx l x l n l C l n ππ因此22()2(,)sina t lu x t ex l ππ-=五、（13分---中等）用本证函数展开法求解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><<+====ωωA u u u t l x t A u a u t l x x x x xx t 002|0||0,0,sin解：固有函数系为 ,...)2,1,0(cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π， 令xl n t T t x u n n ∑∞==0cos)(),(π代入方程得'0()sin ,T t A t ω= （2分）2'()()()0,1,2...n n n a T t T t n l π+== （2分）由初始条件得,...2,1,0)0(,)0(0===n T A T n ω（1分）解得0()(2cos ),()0,1,2,...n AT t t T t n ωω=-== （2分）故)cos 2(),(t At x u ωω-==用固有函数法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<+=0)0,(0),(,0),0(0,0,sin 2x u t l u t u t l x t A u a u x x xx t ω解：由边界条件得，固有函数系为 ,...)2,1,0(cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π， （3分）令xl n t T t x u n n ∑∞==0cos)(),(π（2分）代入方程得 2200'()cos ()[()]cos sin ,n nn n n n n T t x T t a x A t l l l πππω∞∞===-+∑∑整理得20['()()()]cos sin ,n n n n a n T t T t x A t l l ππω∞=+=∑ 即()201['()()()]cos sin ,n n n n a n T t T t T t x A t l l ππω∞=++=∑比较系数得'0()sin ,T t A t ω= （2分）2'()()()0,1,2...n n n a T t T t n l π+== （2分）代入初始条件得0(0)0,(0)0,1,2,...n T T n === （1分）联立得'00()sin ,(0)0T t A t T ω⎧=⎪⎨=⎪⎩ 2'()()()0,1,2...(0)0n n n n a T t T t n l T π⎧+=⎪=⎨⎪=⎩解得 0()(1cos ),()0,1,2,...n AT t t T t n ωω=-== （2分）故(,)()cos(1cos )n n n Au x t T t x t l πωω∞===-∑在矩形域内求解下列定解问题：设代入边界条件：根据得：(n=1,2…)(n=1,2…), (n=1,2…)· , (n=1,2…)=>比较系数得111110b b a a C D C e D e ππ-+=⎧⎪⎨⎪+=⎩ ；0,10n n n b n b a a n n C D n C e D e ππ-+=⎧⎪≠⎨⎪+=⎩因此()1111,1;01n n bb b b aaaaC D C D n eeeeππππ--==-==≠--所以()11,1siny y a a b b b ba a a axu x y e e a e e e e πππππππ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=+-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦六、（13分---中等）求解定解问题22000sin ,0,0|,|sin |0,|tt xx x x l t t t x u a u t x l t l u t u t u u ωωωωω====⎧=-<<>⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩解：令(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+ 取恰当的(,)w x t 使00x x l v v ===则0,sin x x l w t w tωω==== …………①设(,)()()w x t A t x B t =+满足①式的定解条件 得sin (),()t tA tB t t l ωωω-==∴sin (,)t t w x t x t l ωωω-=+ ，sin (,)(,)t tu x t v x t x t l ωωω-=++将原定解条件化为关于(,)v x t 的定解问题2sin tt tt tu v tlωω=-xx xxu v =20000,00,000,00tt xx x x l t t t v a v x l t v v t v v x l ====⎧=<<>⎪⎪==>⎨⎪==≤≤⎪⎩L L L L L L L L L由分离变量法（或由物理意义）得0=v∴sin (,)t tu x t t l ωωω-=+用分离变量法求解定解问题2,0,0(0,)0,(,)035(,0)sin ,(,0)sin 22tt xx x t u a u x l t u t u l t u x x u x xl l ππ⎧⎪=<<>⎪==⎨⎪⎪==⎩解、设解为 )()(),(t T x X t x u =， （1分） 代入方程并化简得2''()''()()()T t X x a T t X x λ==- （1分）于是有 2''()()0''()()0T t a T t X x X x λλ+=+= 由齐次边界条件得固有值问题 ''()()0(0)'()0X x X x X X l λ+=⎧⎨==⎩于是得到固有值为221[],1,2,...2n n n l πλ-==（）固有函数系为(21){sin},1,2...2n x n l π-= 将2(21)[]2n n l πλ-=代入关于)(t T 的方程得221''()[]()01,2...2n n n a T t T t n lπ-+==（）所以有(21)(21)()A cossin 1,2...22n n n n a n aT t t B t n l lππ--=+=所以1(21)(21)(21)(,)(A cossin )sin 222n n n n n n u x t at B at x l l l πππ∞=---=+∑代入初始条件有11(21)3sin sin 22(21)(21)5sin sin 222nn n n n x A x l l n a n x B x l l l πππππ∞=∞=-⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩∑∑ （2分） 比较系数得21,0(2)n A A n ==≠ （1分）32,0(3)5n lB B n a π==≠ （1分）33255(,)cossin sin sin 22522at x l at x u x t l l a l l πππππ=+第三章行波法4、已知定解问题()200,,,0|0,|0tt xx t t t u a u f x t x t u u ==⎧=+-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为()t x u ,，若()τ;,t x w 是定解问题()2,|0,|,tt xx t t t w a w x t w w f x ττττ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩的解，则()t x u ,和()τ;,t x w 的关系为()t x u ,=()0,;tw x t d ττ⎰用行波法求定解问题 200,,0|0,|4tt xx t t t u a u x t u u ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩解：由D ’Alembert 公式有11(,)[()()]()22x atx at u x t x at x at s ds aϕϕψ+-=++-+⎰ 1442x atx atds t a +-==⎰初始位移2)(x e x -=ϕ ，初始速度x x sin )(=ψ 的无界弦作自由振动，求其振动规律),(t x u定解问题为220,,0||sin tt xx x t t t u a u x t u e u x -==⎧=-∞<<+∞>⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩由D’Alembert 公式得22()()11(,)[]sin 22x atx at x at x atu x t e e sdsa +-+---=++⎰22()()11[]sin sin 2x at x at e e x at a -+--=++三、求无界弦的自由振动规律，若此弦的初始位移为)(x ϕ，初始速度为)('x a ϕ- 、解：定解问题为20'0,,0|()|()tt xx t t t u a u x t u x u a x ϕϕ==⎧=-∞<<+∞>⎪=⎨⎪=-⎩ （3分）由D’Alembert 公式得'11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at a s dsa ϕϕϕ+-=++-+-⎰ （3分）11[()()][()()]22()x at x at x at x at x at ϕϕϕϕϕ=++--++-=-一长度为l 的均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长b 后静止，突然放手后任其振动，试写出振动方程和定解条件。