极限思想的产生与发展精编WORD版
浅析极限思想的产生与发展9(1)汇编
题 目： 浅析极限思想的产生与发展学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 班 级：2011级1班 姓 名：季满 学 号： 20110501005 指导教师： 曹志军2015 年 5月 20 日毕 业 论 文浅析极限思想的产生和发展【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。
由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。
极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。
极限思想是一种重要的数学思想，是辩证法在数学中的完美体现。
本文阐述了对极限思想的辩证理解，阐述了通过极限这一工具，如何从有限认识了无限，从对事物的近似认识到精确认识，从事物的多样性变化中认识了统一性的变化，在直与曲的对立中认识了统一。
【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一The emergence and development of the limit idea 【Abstract】limit thought is an important mathematical idea. It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the further development with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics. The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize the infinite from limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognize the unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.【Key Words】limit thought ；development ；dialectics ；dialectical unity目录1 引言 (1)2极限思想的发展分期 (1)2.1极限思想的萌芽时期 (1)2.2极限思想的发展时期 (2)2.3极限思想的完善时期 (2)3极限思想的本质探索 (3)3.1有限运算的规律不能用于无限运算 (3)3.2极限概念的代数化 (3)3.3极限概念的本质 (4)4极限思想的辩证理解 (4)4.1有限与无限的辩证统一 (4)4.2量变与质变的辩证统一 (5)4.3多样性与统一性的辩证统一 (5)4.4直与曲的辩证统一 (5)结论 (6)参考文献 (6)致谢 (7)石家庄学院毕业论文1引言极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。
极限思想的产生和发展
极限思想的产生和发展摘要：极限谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。
本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题。
关键词：极限思想产生发展完善思维功能1.极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
2.极限思想的发展正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。
英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。
这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
3.极限思想的完善到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。
其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。
”它接近于极限的正确定义。
然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。
事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。
极限思想的产生与发展
极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。
关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。
是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。
极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。
这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。
公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。
对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。
极限
极限一、前言1、数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。
”2、极限思想的历史源远流长，一直可以上溯到2000多年前。
二、发展过程1、萌芽阶段（1）概观：1）人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的、精准的概念。
2）也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上（物理直观），还是一种模糊的概念，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限思想解释现实问题。
（2）代表人物：极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。
（3）历程：1）提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。
阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯（希腊的神学太保，以跑步快而闻名）不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。
然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。
从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。
”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。
2）无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。
”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。
这更是从直观上体现了极限思想。
我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。
所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍地增多，多边形的面积An就越来越接近于圆的面积πR2。
极限概念的产生与发展
但他们当时也还没有完全弄清楚极限的概念，没能把他们 的工作建立在严密的理论基础上，他们更多的是凭借几何和物 理直观去开展研究工作。
到了 18 世纪，数学家们基本上弄清了极限的描述性定义。 例如牛顿用路程的改变量 s 与时间的改变量 t 之比s t 表示物体的平均速度，让 t 无限趋近于零，得到物体的瞬时 速度，那时所运用的极限只是接近于直观性的语言描述：“如
lim f (x) A。这
xx0样的定义是严格Fra bibliotek，至今还被所有微积分的教科书（至少是
在本质上）普遍采用。
极限理论的建立，在思想方法上深刻影响了近代数学的
发展。
一个数学概念的形成经历了这样漫长的岁月，大家仅从
这一点就可以想像出极限概念在微积分这门学科中显得多
么重要了。
极限概念的产生与发展
极限概念的形成经历了漫长的岁月。 早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有 一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出 了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽。 我国三国时期的大数学家刘徽（约 225 年～295 年）的割 圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽 计 算 了 圆 内 接 正 3072 边 形 的 面 积 和 周 长 ， 从 而 推 得 3.141024< π <3.142704。在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹 才算到同样精确度的小数。"π"这扇窗口闪烁着我国古代数学家 的数学水平和才能的光辉。 16 世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了 生产力和自然科学的发展。17 世纪，牛顿（Newton）和莱布尼 兹（Leibniz）在总结前人经验的基础上，创立了微积分。
果当自变量 x 无限地趋近于 x0时，函数 f (x)无限地趋近于 A， 那么就说 f (x)以 A 为极限”。这种描述性语言虽然人们易于接 受，但是这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联 系，不能作为科学论证的逻辑基础。正因为当时缺少严格的极 限定义，微积分理论受到人们的怀疑和攻击。起初微积分主要 应用于力学.天文学和光学，而且出现的数量关系比较简单， 因此在那个时候，极限理论方面的缺限还没有构成严重障碍。
极限思想的产生和发展
想 的 问 题 ：
关键 词 ： 限 思 想 产 生 发 展 完 善 思 维功 能 极
１极 限思 想 的产 生 ． 与 一 切科 学 的思 想 方 法 一 样 ，极 限 思想 也是 社 会 实 践 的 产 物 。 限 的思 想 可 以追 溯 到 古代 ， 徽 的割 圆 术 就是 建 立 在 极 刘 直 观 基 础 上 的一 种 原 始 的 极 限 思 想 的 应 用 ；古 希 腊 人 的穷 竭 法 也 蕴含 了极 限 思 想 ， 由 于希 腊 人 “ 无 限 的恐 惧 ” 他 们 避 但 对 ． 免 明 显 地 “ 极 限 ” 而是 借 助 于 间 接 证 法 — — 归 谬 法 来 完 成 取 ， 有 关 的证 明 。 到 了 ｌ 世 纪 ，荷 兰数 学 家 斯 泰 文 在 考 察 三 角 形 重 心 的 过 ６ 程 中 改进 了古 希腊 人 的穷 竭 法 ， 借 助几 何 直 观 ． 他 大胆 地运 用 极 限思 想 思 考 问题 ． 弃 了 归缪 法 的证 明 。如 此 ， 就 在无 意 放 他 中 “ 出 了把 极 限 方法 发展 成 为 一 个 实用 概 念 的 方 向 ” 指 。 ２极 限 思 想 的发 展 ． 极 限 思 想 的进 一 步 发 展 是 与 微 积 分 的 建 立 紧 密 相 联 系 的。ｌ世 纪 的 欧洲 处 于 资 本 主义 萌 芽 时 期 ， 产 力 得 到极 大 的 ６ 生 发 展 ，生产 和 技 术 中 大 量 的 问 题用 初 等 数 学 的方 法 已无 法 解 决 ， 求 数 学 突破 只研 究 常 量 的 传 统 范 围 ， 提 供 能 够 用 以 描 要 而 述 和 研 究 运 动 、 化 过 程 的 新 工 具 ， 是 促 进 极 限 发 展 、 立 变 这 建 微 积分 的社 会 背 景 。 起 初 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 以无 穷 小 概 念 为 基 础 建 立 微 积 分 ． ・ 后 来 因遇 到 逻辑 困难 ，所 以在 他 们 的晚 期 都 不 同 程度 地 接 受 了极 限 思 想 。 牛 顿用 路 程 的改 变 量 与 时 间 的 改 变 量之 比表 示 运 动物 体 的 平均 速 度 ， 无 限趋 近 于零 ， 让 对求 极 限得 到 物 体 的 瞬 时速 度 ， 由此 引 出导 数 概 念 和微 分 学 理 论 。 意识 到极 限 并 他 概 念 的 重要 性 ， 图 以极 限 概 念作 为 微 积 分 的基 础 。 说 ： 两 试 他 “ 个 量 和 量之 比 ， 如果 在有 限时 间 内不 断 趋 于 相 等 ． 在 这 一 时 且 间 终 止前 互 相 靠 近 ， 得 其 差 小 于 任 意 给 定 的 差 ， 最 终 就 成 使 则
极限思想2
极限思想的历史发展轨迹【摘要】 极限思想把对立统一的关系刻画得淋漓尽致，这种充满哲理的辩证关系对指导我们的工作、学习与科研都有着积极的意义.极限理论是微积分的重要理论基础，之后的导数、微分与积分等概念都是在此基础上推导出来的，如此重要的思想是怎么产生发展的呢？本文较详细地作了介绍.【关键词】 极限 微积分 无限趋近 变量一、极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物. 极限的思想可以追溯到古代，在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽，但从现在的史料来看，这种思想主要局限于哲学领域，还没有应用到数学上，当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题. 直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他的极限思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”．第一个创造性地将极限思想应用到数学领域. 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础． 刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了１６世纪，荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明。
如此，他在无意中将极限发展成为一个实用概念。
二、极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
极限思想的起源以及它的大意
§1.0 序 论一、极限思想的起源以及它的大意极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。
【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。
设原槌之长为一个单位长，用 n x 表示第 n 次截取之后所剩下的长度，则x n n =12。
显然，当n 无限地增大时，n x 趋近于零。
所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。
对 n x 的这一变化趋势，我们一般采用记号0lim =x 来表示。
x -1，【例3】( 芝诺悖论 )龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。
其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了12的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了122距离，…，如此下去。
这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。
最初龟兔之间的相距11=x第一段路程兔子所用时间为t 112=，龟兔之间还相距x 212= 第二段路程兔子所用时间为t 2212=，龟兔之间还相距x 3212=………第n 段路程兔子所用的时间为t n n =12，龟兔之间还相距x n n +=112前n 段路程兔子所用时间的总和为)(1211211212121212112n T n n n n 对任意的<-=--=+++=+显然，当n →∞时，1→n T ，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。
在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离 x n n +=112无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。
三、极限思想在数学史上所取得的成就在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。
因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。
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极限思想的产生与发展精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】毕业论文题目极限思想的产生与发展专业数学教育院系数学系学号 131002145姓名指导教师二○一三年五月定西师范高等专科学校2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：一.论文题目：极限思想的产生与发展目录内容摘要： ............................................................................................................... (4)关键词： (4)引言： (5)一、极限思想的产生 (6)二、极限思想发展的分期 (6)（一）极限思想的萌芽时期 (6)（二）极限思想的发展时期 (8)（三）极限思想的完善时期 (8)三、极限思想与微积分 (9)（一）微积分的孕育 (10)（二）牛顿与微积分 (11)（三）莱布尼茨与微积分 (12)（四）微积分的进一步发展 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
关键词极限；无穷；微积分引言极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。
极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。
纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。
而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。
从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。
极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。
极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。
理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。
对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。
一、极限思想的产生限思想的产生和其他科学思想一样，是经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，因此它也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊认的穷竭法也蕴含了极限思想，但希腊人对“无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的归谬法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术，代数和初等几何的简单方法来解决的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果”。
两千多年前可以称作是极限思想的萌芽阶段。
其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够系统而清晰的利用极限思想解释现实问题。
极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺、中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。
我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝竿会越来越短，长度越来越趋于零，但又有缘不会等于零。
这更是从直观上体现了极限思想。
我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。
所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的面积S就越来越接近于圆的面积πR。
在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能到达近似的程度。
但可以想象，如果把这个过程无限次的继续下去，就能得到精确的圆面积。
二、极限思想发展的分期（一）极限思想的萌芽时期远在2000多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可回避的孕育在其中了。
在我国，著名的《庄子·天下篇》一书中记有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”墨家著作《墨子·经天下》中也有“非半弗，则不动，说在端。
”的论述。
从中可体现出我国早期对物质的无限可分性与连续性已有了相当深刻的认识，虽然这些认识属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽。
将无穷思想创造性地运用到数学中的是我国魏晋时期的数学家刘徽。
刘徽在注释《九章算术》中多次用到极限思想处理问题，运用的比较熟练，说明当时他已经对极限思想有了相当深刻的认识。
对极限的观念和方法已经有了直观基础上的运用。
正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率。
到公元五世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之（429—500年）的《缀术》中，同样运用“割圆术”推算出24576边形得到：3.1415926<π<3.1415927。
祖冲之这一成果领先世界近千年。
在国外，古希腊的巧辩学派—几何三大问题。
安提芬在研究画圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,而布莱森（约公元前450年）则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边形的面积来逼近圆的面积的思想。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”，这种方法假定量的无限可分性，并且以及下面命题为基础：“如果从任何量中减去一个不小于它的一半部的部分，从剩余部分中再减去不小于它的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量”。
应用穷竭法，欧多克斯(约公元前400—前347年）正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”。
他的穷竭法也已经体现出了极限论思想。
继欧多克索斯之后，阿基米德使用穷竭法求出了一系列几何图形的面积。
他用足够“内接”和“外切”扇形逼近螺线所围成的平面图形，这和我国的“割圆术”理论大相径庭，实质上是一种极限思想。
阿基米德（Archimedes，公元前287—前212年）生于叙拉古（现意大利西西里岛）。
他才智过人、成果卓著，被誉为古代最伟大的数学家和科学家。
他的传世名著有《圆的测量》、《论球体和圆柱体》、《论劈锥曲面体与球体》、《抛物线弓形求积》、《论螺线》、《砂粒计算》等。
他巧妙地把欧克多索斯与人的穷竭法与德·谟克利特的原子论观点结合起来通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线场，计算大量的计算问题。
他突破了传统的有限运算，采用了无限逼近的思想，将需要求积的量分成许多微小单元，再来用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较，他的无穷小概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础。
阿基米德的杰出成就丰富了古代数学内容，其思想的深度和论述的严密性在当时是极为罕见的，因而被人们称为“数学之神”,并与高斯、欧拉和牛顿并称为19世纪以前的“数学四杰”。
由此，我们可以看到数学无穷思想发展之初，古人已经在极限领域开创了光辉的起点。
（二）极限思想的发展时期14世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到15世纪中期，封建制度的解体，欧洲的生产力得到了迅速地发展，开始了“文艺复兴”时代。
由于生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，围绕着力学为中心，在天文学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究促进了相关科学的发展。
如哥白尼“日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等，他们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的发展奠定了基础，为极限思想和方法的发展及运用带来了机遇。
16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到了极大的发展。
生产力和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、受力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想，新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动，变化过程的新工具，这极大的促进了极限思想的发展。
众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，如笛卡尔、费马、巴罗、卡瓦列里、沃利斯等，并取得了一定成果，尤其是牛顿和莱布尼茨创立微积分的工作，他们都以不同的角度运用了极限的思想和方法，虽然他们的工作过多的依赖于直观，缺乏严密的逻辑基础，但在他们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基础。
（三）极限思想的完善时期18世纪微积分富有成果然而欠缺严密的基础，因而受到了人们的怀疑和攻击。
英国哲学家大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
正因为当时缺乏严密的极限定义，微积分理论才受到严峻的挑战。
弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身的需要，而且还有着认识论上的重大意义。
柯西的贡献几乎遍及所有数学领域，在他的7本专著和800篇论文中，可以看出他在微积分学、级数理论、微分方程、复变函数论、数论、行列式论、群论等方面都有研究和贡献。
1821年至1826年他的《无穷小计算在几何中的应用》和《无穷小分析讲义》等3部专著给出了分析学的一系列基本理论的严格定义，从而形成了现代微积分体系，他是近代微积分的奠基着。
在复变函数方面，柯西在《关于定积分理论的报告》中，从可交换积分顺序的二重积分着手，导出来积分于路径无关的柯西理论。
他证明了函数()f z 在极点1z 的留数为：1()()2c f z d z iπ⎰（其中c 为包含1z 的圆）。
并且他还证明了：如果曲线C 包围着函数()f z 的一些极点，则()f z 沿曲线C 的积分就是该函数在这些极点上留数之和的2i π倍。
在微积分方程理论中，柯西探讨了微分方程的存在性问题，证明了微分方程在不包含奇点的区域内存在着满足给定条件的解这一事实，从而使微分方程的理论得以进一步深化。