安徽省阜阳市第三中学2020高一数学 3.1数乘向量导学案
人教版高中数学高一A版必修4导学案 向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量m a＋n b.2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．②对任意非零向量a，则向量a|a|是与向量a同向的单位向量．③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则()A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝________；(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝______＝______，λ(a－b)＝______.在△ABC中，D是BC的中点，则有AD→＝12(AB→＋AC→)．【做一做2】3(2a－4b)等于()A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b 3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．(1)向量共线的条件：当向量a＝0时，a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍，即|b|＝λ|a|，那么当b 与a 同方向时b ＝λa ，当b 与a 反方向时b ＝－λa .(2)如果向量a 与b 不共线，且λa ＝μb ，那么λ＝μ＝0.已知三点A ，B ，C 共线，O 是平面内任意一点，则有OC →＝λOA →＋mOB →，其中λ＋m ＝1. 【做一做3】 已知P 是线段MN 的中点，则有( ) A.MN →＝2NP → B.MP →＝12MN →C.PN →＝12NM → D.MP →＝NP →4．向量的线性运算向量的____、____、______运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝________.向量λ(μ1a ＋μ2b )可以用平行四边形法则作出，如图所示，OE →＝λ(μ1a ＋μ2b )．【做一做4】 在ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2a ＋3b D ．2a －3b答案：1．向量 相同 0 相反【做一做1】 C ∵a ＝4b,4＞0，∴|a |＝4|b |. ∵4b 与b 的方向相同，∴a 与b 的方向相同．2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb －(λa ) λ(－a ) λa －λb 【做一做2】 D 原式＝3×2a －3×4b ＝6a －12b . 3．b ＝λa【做一做3】 B 如图所示，MN →＝－2NP →，PN →＝12MN →，MP →＝PN →，则选项A ，C ，D 不正确，很明显MP →＝12MN →，则选项B 正确．4．加 减 数乘 λμ1a ±λμ2b【做一做4】 C AC →＝AB →＋AD →＝2a ＋3b .共线向量定理的应用剖析：共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数λ满足b ＝λa (λ∈R )，那么a ∥b . 性质定理：如果a ∥b ，a ≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .(1)判定定理的结论是a ∥b ，那么用共线向量定理可以证明两向量共线．即证明向量a ∥b ，只需找到满足a ＝λb 或b ＝λa 的实数λ的值即可．(2)判定定理的结论是a ∥b ，则有当OA →＝a ，OB →＝b 时，有O ，A ，B 三点共线，即用共线向量定理可以证明三点共线．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．(3)判定定理的结论是a ∥b ，当a 和b 所在的直线分别是直线m 和n 时，则有直线m ，n 平行或重合．即用共线向量定理可以证明两直线平行．例如：如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，并且AD=xAB ，AE=xAC ，0＜x ＜1.求证：DE ∥BC ，且DE=xBC. 证明：∵AD=xAB ，AE=xAC ， ∴AD →=x AB →，AE →=x AC →. ∴DE →=AE →－AD →=x(AC →－AB →)=x BC →. ∴DE ∥BC 且DE=xBC.(4)性质定理的结论是b =λa ，则有|b |=|λ|·|a |，当OA →=a ，OB →=b 时，|OB →|=|λ|·|OA →|，从而OB=|λ|OA.即用共线向量定理可以证明两平行线段间的长度关系．例如：平行四边形OACB 中，BD=13BC ，OD 与BA 相交于E.求证：BE=14BA.证明：如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′=14BA.设OA →=a ，OB →=b ，则BD →=13a ，OD →=b +13a .∵BE →=OE ′→－b ，=a －OE ′→,3BE ′→=，∴3(OE ′→－b )=a －OE ′→.∴OE ′→=14(a +3b )=34(b +13a )，∴OE ′→=34OD →.∴O ，E ′，D 三点共线，即E ，E ′重合．∴BE=14BA.由此可见，证明两平行线段的长度关系可转化为证明这两条线段构成的向量共线．题型一 化简向量关系式【例1】 计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 分析：综合运用实数与向量的运算律解题．反思：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．题型二 用已知向量表示未知向量【例2】 已知ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若AM →＝e 1，AN →＝e 2，试用e 1，e 2表示DB →，AO →.分析：由于DB →∥MN →，则用e 1与e 2表示MN →可得DB →；在△AMN 中，AO 是MN 边上的中线，则可用AM →，AN →表示AO →.反思：用已知向量表示未知向量时，通常要结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当选择向量的加法、减法和数乘运算来求解．有时，可借助于共线向量来解决(如本题求DB →)．题型三 已知向量a ，b ，求作向量m a ＋n b【例3】 已知向量a ，b ，如图所示，求作向量2a －3b .分析：分别作出有相同起点的向量2a 与3b ，利用三角形法则作出向量2a －3b . 反思：已知a ，b ，求作向量m a ＋n b 时，先作出向量m a 与n b ，借助三角形法则或平行四边形法则作出m a ＋n b .题型四 共线问题【例4】 已知向量a ，b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b . (1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．分析：(1)由于AC →与AB →有公共点，则转化为证明AC →∥AB →，根据共线向量定理，只需找到满足AC →＝λAB →的实数λ即可；(2)由于k a ＋b 与a ＋k b 共线，根据共线向量定理，存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，借助于等式两边a 与b 的系数，列方程组解得k 的值．反思：(1)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所表示的向量共线，如本题(1)．(2)已知向量m a ＋n b 与k a ＋p b (a 与b 不共线)共线求参数的值的步骤： ①设m a ＋n b ＝λ(k a ＋p b )；②整理得m a ＋n b ＝λk a ＋λp b ，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λk ，n ＝λp ；③解方程组得参数的值．如本题(2)．答案：【例1】 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c . 【例2】 解：∵M ，N 分别是DC 和BC 的中点， ∴MN12BD . ∵MN →＝e 2－e 1，∴DB →＝2MN →＝2e 2－2e 1. 又AO 是△AMN 的中线， ∴AO →＝12(AN →＋AM →)＝12e 2＋12e 1.【例3】 解：步骤如下；(1)作向量OA →＝2a ，OB →＝3b .如图所示．(2)连接BA ，则BA →就是所求作的向量．【例4】 解：(1)证明：∵OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ， ∴AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ，∴AC →＝2AB →，∴AC →∥AB →.又AC 与AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)∵(k a ＋b )∥(a ＋k b )，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋kλb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝kλ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，∴k ＝±1.1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．aC ．a －6bD ．a －8b2．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 3．已知两个非零向量e 1和e 2不共线，且k e 1＋2e 2和3e 1＋k e 2共线，则实数k ＝__________.4．已知向量a ，b 如图所示，求作向量12a ＋2b . 5．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示DE ，BF ，CG .答案：1．D 原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b . 2．A AD ＝AC ＋CD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3AB ， ∴A ，B ，D 三点共线．3． ∵k e 1＋2e 2和3e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使得k e 1＋2e 2＝λ(3e 1＋k e 2)．∴k e 1＋2e 2＝3λe 1＋kλe 2，∴3,2,k k λλ=⎧⎨=⎩解得k ＝±6.4．解：步骤如下： (1)作向量OA ＝12a ，OB ＝2b ，如图所示．(2)以OA ，OB 为邻边作OACB ，则向量OC 就是所求作的向量． 5．解：DE ＝DC ＋CE ＝AB ＋12CB ＝AB －12AD ＝a －12b ； BF ＝BC ＋CF ＝AD ＋12CD ＝AD －12AB ＝12-a ＋b .如图所示，连接BD ，则G 是△BCD 的重心，连接AC 交BD 于点O ，则O 是BD 的中点，点G 在AC 上． ∴CG ＝23CO ＝2132CA ⨯＝13AC -＝1()3AB AD -+＝1()3-+a b ．。
安徽省阜阳市第三中学高一数学平面向量小结导学案
平面向量小结【学法指导】1.阅读探究课本的基础知识和例题（15分钟），完成课后练习和习题。
自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；2.完成预习自学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1．建立平面向量知识之间的结构框图，从而更好地理等解本章知识；2．能整理出本章知识的主要内容，并能理解和掌握；3、能理解平面向量运算的几何意义和坐标表示，以及向量与代数、几何、三角函数、物理等方面的联系与应用。
一、问题导学1.向量、向量的各种运算以及向量的有关定理之间存在什么逻辑关系？请你在弄清这些关系的基础上，画出本章的知识结构框图。
2.什么是向量？它的物理背景和几何表示是什么?3.向量的运算法则是什么？满足什么运算定律？它们的坐标表示是什么？4.平面向量基本定理的内容是什么？5.向量共线定理的内容是什么?运用这个定理可以将哪些几何关系转化为向量关系来处理？6．比较向量运算与实数运算，它们有什么联系和区别？【我的疑惑】【我的收获】二、合作探究例1.设1e、2e是两个不共线的向量，已知AB =122e ke+，123CB e e=+，122CD e e=-，若,,A B D 三点共线，求k的值.例2.已知向量()()4,3,1,2a b==-，求⑴求a与b的夹角θ；⑵若向量a bλ-与2a b+垂直，求λ的值.拓展1. 若12,e e是夹角为60的两个单位向量，则122a e e=+；1232b e e=-+的夹角为多少？例3. 如图，已知P 、Q 是ABC ∆的BC 边上的两点，且BP=CQ ，求证：AB+AC=AP+AQQPBA例4.若点D 是ΔABC 内一点，且2222AB AC =DB DC --,求证：AD BC.⊥例5.在平面指教坐标系中，O 为坐标原点，A B C 、、三点满足12OC=OA+OB 33. （1）求证：A B C 、、三点共线；（2）已知A(1,cosx)，B(1sin ,cos )x x +,0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎦⎣,22()OA OC (2)AB 3f x m =-+的最小值为12，求实数m 的值.例6.已知()()21,2,2,2a x y x y b =-++-=-， ①当y x 、为何值时，a 与b 共线？②是否存在实数y x 、，使得a b ⊥,且=a b ？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由。
高中数学数乘向量教案
高中数学数乘向量教案
教学目标：
1. 理解数乘向量的概念。
2. 掌握数乘向量的运算法则。
3. 能够应用数乘向量解决实际问题。
教学重点：
1. 数乘向量的定义和性质。
2. 数乘向量的运算法则。
教学难点：
1. 能够熟练地进行数乘向量的运算。
2. 能够灵活运用数乘向量解决实际问题。
教学准备：
1. 教学资料：教材、讲义、习题集等。
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过引入向量的概念，引出数乘向量的定义，并提出学习数乘向量的目的和意义。
二、讲解（15分钟）
1. 数乘向量的定义和性质。
2. 数乘向量的运算法则。
三、示范（10分钟）
教师通过示范例题，演示如何进行数乘向量的运算，并让学生跟着一起做练习。
四、练习（15分钟）
学生进行课堂练习，巩固数乘向量的运算方法，解决相关问题。
五、拓展（10分钟）
教师通过拓展练习，帮助学生深入理解数乘向量的应用，并激发学生的学习兴趣。
六、总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数乘向量的重要性和实际应用。
七、作业布置（5分钟）
布置相应作业，激发学生的学习兴趣，巩固今天所学知识。
教学反思：通过这节课的教学，学生能够初步掌握数乘向量的概念和运算法则，并能够灵
活运用解决问题。
同时，通过拓展练习，能够启发学生的思维，提高他们的数学应用能力。
高一数学向量的数乘运算教案
高一数学向量的数乘运算教案教案标题：高一数学向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念及其性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学重点：1. 向量的数乘运算的概念及性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。
教学难点：1. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学实例、教学素材；2. 学生准备：教材、练习册。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入向量的数乘运算的概念，通过实例说明数乘运算的意义和作用。
2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？Step 2：向量的数乘运算的性质1. 介绍向量的数乘运算的性质，如数乘运算的交换律、结合律等。
2. 通过示例演示和讲解，帮助学生理解和掌握这些性质。
Step 3：向量的数乘运算的计算方法1. 讲解向量的数乘运算的计算方法，即将向量的每个分量与数相乘。
2. 通过例题演示，引导学生掌握向量的数乘运算的计算方法。
Step 4：练习与巩固1. 给学生提供一些练习题，让学生在课堂上进行练习。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
Step 5：拓展与应用1. 引导学生应用向量的数乘运算解决实际问题，如力的合成、速度的计算等。
2. 提供一些实际问题的例子，让学生思考并运用向量的数乘运算解决。
Step 6：归纳总结1. 通过讨论和总结，归纳向量的数乘运算的要点和注意事项。
2. 教师对本节课的内容进行总结，并展示相关的课堂笔记。
Step 7：作业布置1. 布置一些练习题作为课后作业，巩固学生对向量的数乘运算的理解和掌握。
2. 鼓励学生自主学习，提出问题并及时解答。
教学反思：1. 教学过程中，要注意与学生的互动，引导学生积极思考和参与讨论；2. 针对学生的不同理解程度，灵活调整教学方法和策略，确保每个学生都能够理解和掌握向量的数乘运算；3. 给予学生充分的练习机会，加强对向量的数乘运算的巩固训练；4. 鼓励学生运用向量的数乘运算解决实际问题，提高学生的应用能力。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案《向量数乘运算及其几何意义》(含答案解析)
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一 向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案为：向量.思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案为： 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同. －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反. 思考3 λa 的几何意义是什么？答案为：λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩.当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍.梳理向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|.(2)λa (a≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；特别地，当λ=0或a=0时，0a=0或λ0=0.知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案为： 结合律，分配律.梳理向量数乘运算律(1)λ(μa)=(λμ)a； (2)(λ＋μ)a=λa＋μa； (3)λ(a＋b)=λa＋λb.知识点三 向量共线定理思考1 若b=2a ，b 与a 共线吗？答案为：根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线.如果有一个实数λ，使b=λa(a≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa.思考2 若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b=λa？若b 与向量a 共线呢？答案为：若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b=λa；若b 与向量a 共线，当a=0，b≠0时，不存在λ满足b=λa.梳理 (1)向量共线定理向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa. (2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.类型一 向量数乘的基本运算例1.(1)化简：14[2(2a ＋4b)－4(5a －2b)].(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式： 3x －2y=a ，－4x ＋3y=b ，求向量x ，y.反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1.(1)计算：(a ＋b)－3(a －b)－8a.(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y)＋b=0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y=________.类型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2.已知非零向量e 1，e 2不共线.(1)若a=12e 1－13e 2，b=3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线.(2)若AB →=e 1＋e 2，BC →=2e 1＋8e 2，CD →=3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线.反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线. (2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b=λa(a≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点.跟踪训练2.已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →=e 1＋2e 2，BC →=－5e 1＋6e 2，CD →=7e 1－2e 2， 则共线的三个点是________.命题角度2 利用向量共线求参数值例3.已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使ke 1＋e 2和e 1＋ke 2共线，试确定k 的值.反思与感悟利用向量共线定理，即b 与a(a≠0)共线⇔b=λa，既可以证明点共线或线共线问题， 也可以根据共线求参数的值.跟踪训练3.已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →=xOA →＋yOB →，则x ＋y=________.类型三 用已知向量表示其他向量例4.在△ABC 中，若点D 满足BD →=2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC → C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB →反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练4.如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →=3a ，CB →=2b ，求CD →，CE →.1.已知a=5e ，b=－3e ，c=4e ，则2a －3b ＋c 等于( )A.5eB.－5eC.23eD.－23e2.在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C.2AM → D.MA →3.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m=－e 1＋ke 2 (k∈R)与向量n=e 2－2e 1共线，则( )A.k=0B.k=1C.k=2D.k=124.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →=AB →，则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在AB 边上或其延长线上 D.P 在AC 边上5.如图所示，已知AP →=43AB →，用OA →，OB →表示OP →.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量a|a|表示与向量a 同向的单位向量.3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →=mOA →＋nOB →(m ，n∈R)，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n=1. 课时作业一、选择题1.下列说法中正确的是( )A.λa 与a 的方向不是相同就是相反B.若a ，b 共线，则b=λaC.若|b|=2|a|，则b=±2aD.若b=±2a，则|b|=2|a|2.在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →=a ，BE →=b ，那么BC →等于( ) A.23a ＋43b B.23a －23b C.23a －43b D.－23a ＋43b3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →=a ，AC →=b ，则AD →等于( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b4.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →=13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.13B.23C.12D.345.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=3CD →，则( ) A.AD →=－13AB →＋43AC → B.AD →=13AB →－43AC →C.AD →=43AB →＋13AC →D.AD →=43AB →－13AC →6.已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的是( )①m(a－b)=ma －mb ；②(m－n)a=ma －na ；③若ma=mb ，则a=b ；④若ma=na ，则m=n. A.①④ B.①② C.①③ D.③④二、填空题7.已知AB →=a ＋5b ，BC →=－2a ＋8b ，CD →=3(a －b)，则________三点共线.8.设向量a ，b 不平行，向量λa＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ=____________.9.(a ＋9b －2c)＋(b ＋2c)=________.10.在▱ABCD 中，AB →=a ，AD →=b ，AN →=3NC →，M 为BC 的中点，则MN →=________.(用a ，b 表示)三、解答题11.如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →=14AB →＋13AC →，AN →=25AB →＋12AC →，求△ABM 的面积与△ABN 的面积之比.12.若非零向量a 与b 不共线，ka ＋2b 与3a ＋kb 共线，试求实数k 的值.13.在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →=c ，AN →=d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.四、探究与拓展14.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m)b 共线， 则实数m 的值为________.15.已知在四边形ABCD 中，AB →=a ＋2b ，BC →=－4a －b ，CD →=－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形.答案解析例1.解： 14[2(2a ＋4b)－4(5a －2b)]=14(4a ＋8b －20a ＋8b)=14(－16a ＋16b)=－4a ＋4b. (2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式： 3x －2y=a ，－4x ＋3y=b ，求向量x ，y.解：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ， ①－4x ＋3y ＝b ， ②由①×3＋②×2，得x=3a ＋2b ，代入①得3×(3a＋2b)－2y=a ， 所以x=3a ＋2b ，y=4a ＋3b.跟踪训练1.解：(a ＋b)－3(a －b)－8a=(a －3a)＋(b ＋3b)－8a=－2a ＋4b －8a=－10a ＋4b.(2)答案为：29a －29b ＋19c ；解析：因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y)＋b=0，3y －23a ＋23b －13c=0，所以y=29a －29b ＋19c.例2.(1)解：∵b=6a，∴a 与b 共线.(2)证明：∵AB →=e 1＋e 2，BD →=BC →＋CD →=2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2=5(e 1＋e 2)=5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A、B 、D 三点共线.跟踪训练2.答案为：A ，B ，D ；解析：∵AB →=e 1＋2e 2，BD →=BC →＋CD →=－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2=2(e 1＋2e 2)=2AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A，B ，D 三点共线.例3.解：∵ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线，∴存在实数λ，使ke 1＋e 2=λ(e 1＋ke 2)， 则(k －λ)e 1=(λk－1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk－1＝0，∴k=±1.跟踪训练3.答案为：1；解析：由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得AP →=λAB →，即OP →－OA →=λ(OB →－OA →)， ∴OP →=(1－λ)OA →＋λOB →.∴x=1－λ，y=λ，则x ＋y=1. 例4.答案为：D ；解析：示意图如图所示，由题意可得AD →=AB →＋BD →=AB →＋23BC →=AB →＋23(AC →－AB →)=13AB →＋23AC →.跟踪训练4.解： ∵CA →=3a ，CB →=2b ，∴AB →=CB →－CA →=2b －3a ，又∵D，E 为边AB 的两个三等分点，∴AD →=13AB →=23b －a ，∴CD →=CA →＋AD →=3a ＋23b －a=2a ＋23b ，CE →=CA →＋AE →=3a ＋23AB →=3a ＋23(2b －3a)=a ＋43b.1.答案为：C ；解析：2a －3b ＋c=2×5e－3×(－3e)＋4e=23e. 2.答案为：C ；解析：如图，作出平行四边形ABEC ，M 是对角线的交点，故M 是BC 的中点，且是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →=AE →=2AM →，故选C.3.答案为：D ；解析：当k=12时，m=－e 1＋12e 2，n=－2e 1＋e 2.所以n=2m ，此时，m ，n 共线.4.答案为：D ；解析：∵PA →＋PB →＋PC →=PB →－PA →，∴PC →=－2PA →，∴P 在AC 边上.5.解：OP →=OA →＋AP →=OA →＋43AB →=OA →＋43(OB →－OA →)=－13OA →＋43OB →.1.答案为：D ；解析：显然当b=±2a 时，必有|b|=2|a|. 2.答案为：A ；解析：由题意，得BC →=BE →＋EC →=b ＋12AC →=b ＋12(AD →＋DC →)=b ＋12a ＋14BC →，即BC →=b ＋12a ＋14BC →，解得BC →=23a ＋43b.3.答案为：D ；解析：连接CD ，OD ，如图所示.∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，∴AC=CD，∠CAD=∠DAB=13×90°=30°.∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO=30°.由此可得∠CAD=∠ADO=30°，∴AC∥DO. 由AC=CD ，得∠CDA=∠CAD=30°，∴∠CDA=∠DAO，∴CD∥AO，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →=AO →＋AC →=12AB →＋AC →=12a ＋b.4.答案为：B ；解析：∵A，B ，D 三点共线，∴13＋λ=1，λ=23.5.答案为：A ；解析：∵BC →=3CD →，∴AC →－AB →=3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →=3AD →，∴AD →=－13AB →＋43AC →.6.答案为：B解析：①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m=0，则不能推出a=b ，错误； ④中，若a=0，则m ，n 没有关系，错误. 7.答案为：A ，B ，D ；8.答案为：12；解析：∵向量a ，b 不平行，∴a＋2b≠0，又∵向量λa＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b=μ(a＋2b)成立，即λa＋b=μa＋2μb，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ=μ=12.9.答案为：a ＋10b ；10.答案为：14b －14a ；解析：如图，MN →=MB →＋BA →＋AN →=－12b －a ＋34AC →=－12b －a ＋34(a ＋b)=14(b －a).11.解：如图所示，设AP →=14AB →，AQ →=13AC →，则AM →=AP →＋AQ →.由平行四边形法则知，MQ∥AB，∴S △ABM S △ABC =|AQ →||AC →|=13.同理S △ABN S △ABC =12.∴S △ABM S △ABN =23.12.解：∵ka＋2b 与3a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使得ka ＋2b=λ(3a＋kb)， ∴(k－3λ)a ＋(2－λk)b=0， ∴(k－3λ)a=(λk－2)b.∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0λk－2＝0，∴k=± 6.13.解：如图，设AB →=a ，AD →=b. ∵M，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →=12b ，DM →=12a.∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d. ②①×2－②，得b=23(2c －d)，②×2－①，得a=23(2d －c).∴AB →=43d －23c ，AD →=43c －23d.14.答案为：－1或3； 15.证明：如图所示.∵AD →=AB →＋BC →＋CD →=(a ＋2b)＋(－4a －b)＋(－5a －3b)=－8a －2b=2(－4a －b)， ∴AD →=2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|=2|BC →|. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD=2BC.∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形.。
高一数学 3.1数乘向量导学案
3.1 数乘向量【使用说明】1.自学课本，仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA完成所有题目，BB完成除（**）外所有题目，CC完成不带（*）题目。
2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。
【学习目标】1、通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律；2、理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行；3、通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用。
一、问题导学1、已知非零向量a，请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，你得到什么结论？a2、你能对你的探究结果作出解释，并说明数乘向量的几何意义是什么?3、实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，a、b为向量，那么（1）（2）（3）4、引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？5、向量共线的（1）判定定理：（2）性质定理：二、合作探究1、判断下列各小题的向量a、b是否共线c25-3,c32(3)ee,e2-e-2(2)e23-,e312121abababa==+====）（2、ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，你能用a、b表示MC、、MB、MA和MD吗?3、如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?4、、已知OA和OB是不共线向量AP=t AB(t∈R)，试用OA、OB表示OP。
【课堂小结】1.知识方面2.数学思想方法※自我评价你完成本节导学案的情况为（） A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差我的疑问：我的收获与发现：。
平面向量数乘运算导学案
高一数学必修4导学案课题：向量数乘运算及其几何意义（新课）【本节课要求】1、理解向量数乘的概念；2、理解并掌握向量数乘的运算律；3、理解并掌握共线向量定理。
【使用说明及学法指导】1、阅读课本第87页——89页，完成核心知识构建及构建反馈；2、用时30分钟完成导学案的探究部分，书写规范；3、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑。
【学习目标】一、知识回顾：1、向量的加法运算法则： ； 。
2、向量的减法运算法则:： ；3、相等向量： ；4、相反向量： ；5、共线向量： ；二、核心问题探究探究1、已知非零向量a ，请作出a a +，a a a ++，a a a a +++和)()(-+-，)()()(a a a -+-+-，并指出所作向量的长度和方向与a 有何关系？向量数乘的定义：我们规定实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：长度：方向：当0>λ时， ； 当0<λ时， ； 特别地：当0=λ时，=λ ；探究2：（1）已知非零向量，求作2(3a 与6，并观察2(3a 与6有何关系？（2）已知非零向量与，求作)(2+与22+，并观察)(2+与22+有何关系？类比实数乘法的运算律，向量的数乘运算律为： 设、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有（1）结合律：（2）分配律：特别地，我们有)()()(a a a -=-=-λλλ【基础自测】计算：（1）a 4)3(⨯- （2）a b a b a ---+)(2)(3 （3）)33()32(b a b a +-+探究3、（1）引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量λ与原向量之间的位置关系吗？（2）如果λ=)(≠)(为实数λ，那么与b 共线吗？为什么？（3）若b 与非零向量a 共线，那么是否存在唯一个实数λ使得a b λ=成立？为什么？向量共线定理： 思考：如果没有0≠a 的限制，会有什么结果？【基础自测】1、点C 在线段AB 上，且25=CB AC ，则= ，= 。
2020-2021学年高中数学第二章平面向量3.1数乘向量学案北师大版必修4
3．1 数乘向量内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．知识点1 数乘向量的概念与运算律(1)数乘向量：①定义：λa是一个向量；②长度：λ|a|；③方向：(2)数乘向量的运算律：①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若λa＝0则λ＝0.(×)(2)若a、b是非零向量，λ，μ∈R.那么λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.(√)(3)0·AB→＝0.(×)知识点2 向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . 【预习评价】1．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？提示 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．2．如果向量a ，b 共线，一定有b ＝λa (λ∈R )吗？ 提示 不一定．当a ＝0，b ≠0时，λ不存在.题型一 向量数乘的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与3a 的方向相反，且－2a 的模是3α模的23倍；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量． 解 (1)真命题．∵2a ＝a ＋a 与a 方向相同， 且|2a|＝|a ＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题．∵－2a ＝(－a )＋(－a )与－a 同方向，3a ＝a ＋a ＋a 与a 同方向，由于－a 与a 反方向，故－2a 与3a 反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是3a 模的23倍．(3)真命题．∵－2a ＋2a ＝(－2＋2)a ＝0，故－2a 与2a 是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．规律方法对数乘向量的四点说明(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练1】已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有( )①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；③λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；④λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．答案D题型二向量的线性运算【例2】计算下列各式：(1)4(a＋b)－3(a－b)；(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；(3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )．解 (1)4(a ＋b )－3(a －b )＝4a －3a ＋4b ＋3b ＝a ＋7b . (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c ) ＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c .(3)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．【训练2】 若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )的结果为( ) A ．－a B ．－4b C ．cD ．a －b解析 3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝(3－2)a ＋(6－6－2)b －2c ＝a －2(b ＋c )＝a －2a ＝－a . 答案 A方向1 证明向量共线【例3－1】 已知两个非零向量a 与b 不共线，如果AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD→＝2a －4b ，求证：A 、B 、D 三点共线．证明 因为BD →＝BC →＋CD →＝(2a ＋8b )＋(2a －4b )＝4a ＋4b ＝4(a ＋b )＝4AB →，所以根据平行向量基本定理，BD →与AB →共线．又因为BD →与AB →有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． 方向2 利用向量共线求参数值【例3－2】 若a 、b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则实数t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？解 由题设易知，存在唯一实数λ，使a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b，化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－t b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ－1＝0，λ3－t ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，三向量的终点共线．方向3 共线向量在平面几何中的应用【例3－3】 如图所示，已知D ，E 分别是边AB ，AC 的中点． 求证：DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.证明 DE →＝AE →－AD →，BC →＝AC →－AB →.∵D ，E 分别为边AB ，AC 的中点， ∴AE →＝12AC →，AD →＝12AB →，∴DE →＝12(AC →－AB →)＝12BC →， ∴DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.规律方法 应用向量共线定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线.课堂达标1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3bC ．|3a |D.1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量． 答案 C2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 答案 C3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 答案 24．若AC →＝2CB →，AB →＝λBC →，则λ＝________. 解析 ∵AB →＝AC →＋CB →＝2CB →＋CB →＝3CB →，∴λ＝－3. 答案 －35．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB→表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →. 课堂小结1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.基础过关1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a |解析 显然b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 答案 D2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误． 答案 B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC→ B.12AD →C.AD→ D.12BC →解析 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案 C4．已知向量a ＝e 1＋3e 2，b ＝－12e 1－32e 2，则a 与b 的关系是________．解析 ∵a ＝－2b ，∴a∥b . 答案 a∥b5．若2⎝⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析 据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .答案 421a －17b ＋17c6.如图，已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解 分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC (如图)．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC →＝OC →－OA→＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ， 所以A 、B 、C 三点共线．7．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →. ∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)． 能力提升8．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( )A.r R B ．－r RC ．－R rD.R r解析 ∵b ＝λa ，∴|b |＝|λ||a |.又a 与b 反向，∴λ＝－Rr.答案 C9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 解析 ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →. ∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB→＝b ，联立得：AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )， ∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .答案 D10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ的值为________．解析 CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →. 答案 2311．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p ＝________.解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 设AB→＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 －112.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b . 又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )， ∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ，∴C 、M 、N 三点共线．13．(选做题)过△ABC 的重心G 任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →，且xy ≠0，试求1x ＋1y的值．解 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AG →＝23AM →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋b ＝13(a ＋b )．∴GD →＝AD →－AG →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ，ED →＝AD →－AE →＝x a －y b .∵GD →与ED →共线，∴GD →＝λED →，∴⎝⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ＝xλa －yλb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝λx ，13＝λy ，消去λ得x －1313＝x y，即1x ＋1y＝3.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
安徽省阜阳市第三中学高一数学 向量加法及几何意义导学案
- 1 -向量加法及几何意义【学法指导】1.阅读探究课本P74-P76的基础知识和例题（15分钟），完成课后练习。
自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；2.完成预习自学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1. 掌握向量加法的定义.2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算. 【学习过程】一 . 预习自学（我学习，我主动，我参与，我收获。
） 1，思考并回答以下问题:（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AB u u u r +BC u u ur =（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB u u u r +BC u u ur =（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移AB u u u r +BC u u ur =2、两个加法法则，如图已知非零向量r a 和r b ，做出r ra b +1）三角形法则： （2）平行四边形法则3.规定：对于零向量与任一向量a r ，都有_________0==+ρρa4.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律：（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =二.合作探究（我探究，我分析，我思考，我提高。
）探究一：梯形ABCD ，AD//BC,O 为对角线交点，则OA +AB u u u r +BC u u ur =探究二：已知平行四边形ABCD 中，,u u u r r u u u r r AB a AD b ==，试用,r ra b 表示,,,CD CB BD CA u u u r u u u r u u u r u u u r拓展 在四边形ABCD 中，AB AD AC u u u r u u u r u u u r+=，则此四边形肯定为 形探究三：在矩形ABCD 中，31u u u r u u u r AB BC ==，，则向量()u u u r u u u r u u u rAB AD AC ++的长度等于探究四：一艘船从A 点出发以23/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
高一数学《向量数乘运算及其几何意义》导学案
第二章 平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、学习目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量共线的含义，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
【重点、难点】向量数乘的定义及其运算律和向量共线定理。
二、学习过程1.向量的数乘的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：_______；它的长度和方向规定如下：（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，_______________________；当0λ<时，_______________________；当0λ=时，_______________________；______________________________叫做向量的数乘2.向量的线性运算定义：___________________________________________统称为向量的线性运算；3.向量的数乘的作图：已知,a 作b a λ=当0λ>时，把a 按原来的方向变为原来的λ倍； 当0λ<时，把a 按原来的相反方向变为原来的λ倍；4.向量的数乘满足的运算律：设,λμ为任意实数，,a b 为任意向量，则（1）结合律______________________________________（2）分配律_______________________________________注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。
5. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使得bλa . 【典型例题】化简下列各式（1）13(6)9()3+-+a b a b(2) 1113(32)()2()2228⎡⎤+-+-+⎢⎥⎣⎦a b a b a b (3)()2543(3)7-+--+-a b c a b c a【变式拓展】：如图：已知3AD AB ，3DE BC ，试判断AC 与AE 是否平行．三、学习总结⑴实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．0a =0 ⑵运算律： ①()()a a λμλμ=； ②()a a a λμλμ+=+； ③()a b a b λλλ+=+． (3)0,a a a a a a a ≠则表示与同方向的单位向量，-表示与反方向的单位向量。
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3.1 数乘向量
【使用说明】1.自学课本，仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本； AA完成所有题目，BB完成除（**）外所有题目，CC完成不带（*）题目。
2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。
【学习目标】
1、通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律；
2、理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行；
3、通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用。
一、问题导学
1、已知非零向量a，请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，你得到什么结论？a
2、你能对你的探究结果作出解释，并说明数乘向量的几何意义是什么?
3、实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，a、b为向量，那么
（1）
（2）
（3）
4、引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的关系吗?
怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
5、向量共线的
（1）判定定理：
（2）性质定理：二、合作探究
1、判断下列各小题的向量a、b是否共线
c
2
5
-
3
,c
3
2
(3)
e
e
,
e2-
e
-2
(2)
e
2
3
-
,e3
1
2
1
2
1
a
b
a
b
a
b
a
）
（
2、ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，你能用a、b表示MC和吗?
3、如图，已知任意两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
4、、已知和是不共线向量AP=t AB(t∈R)，试用、表示。
【课堂小结】
1.知识方面
2.数学思想方法
※自我评价你完成本节导学案的情况为（） A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
我的疑问：我的收获与发现：。