极坐标与参数方程导学案1
极坐标参数方程导学案(一)
极坐标参数方程复习学案（一）【高考要求】：（1）坐标系①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。
理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义(2)参数方程①了解参数方程，了解参数的意义②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程【教学目标】：1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。
}2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。
3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实践能力。
【自主探究】已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l 被圆截得的弦长．)【巩固练习】1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。
,、2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合. )（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积..【课堂小结】【课后作业】已知极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρ=θ，曲线2C的参数方程为：x 2cos y =θ⎧⎪⎨θ⎪⎩（θ为参数），曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．。
极坐标与参数方程导学案
极坐标与参数方程导学案坐标系课前双基巩固1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．极坐标系(1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ).(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝________，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝________，tan θ＝________(x ≠0).3．常用简单曲线的极坐标方程课堂考点探究探究点一平面直角坐标系中的伸缩变换1 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标为________．(2)双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x 2y ′＝y 后所得曲线C ′的焦点坐标为____________．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．(2)在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系(即变换公式)．另外还要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，变换公式也不同．探究点二 极坐标与直角坐标的互化2 [2017·新疆生产建设兵团二中月考]在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，P 为曲线C 上的动点，定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4. (1)将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程；(2)求P ，Q 两点间的最短距离．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．式题 [2016·郑州二模] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 简单曲线的极坐标方程及应用3 [2016·陕西安康三联] 在极坐标中，直线l 的方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝m (m >0)．(1)求直线l 与极轴的交点到极点的距离；(2)若曲线C 上恰好有两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互化公式是解决问题的关键．式题 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5，点P (2cos α，2sin α＋2)，参数α∈[]0，2π.(1)求点P轨迹的直角坐标方程；(2)求点P到直线l的距离的最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________参数方程课前双基巩固1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(*)，并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫作这条曲线的________，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称________.2．直线、圆、椭圆的参数方程(θ过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数).若M 1，M 2是l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，则 (1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)； (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝|t 1＋t 2|2； (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 [2016·辽宁丹东二模] 在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出此最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 几种常见曲线的参数方程：(1)直线的参数方程．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆的参数方程．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (4)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)． (5)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 式题 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 和直线l 的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，5ρcos(θ＋α)＝2其中 tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求圆C 和直线l 的直角坐标方程；(2)设圆C 和直线l 相交于点A 和点B ，求以AB 为直径的圆D 的参数方程.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点二 参数方程与普通方程的互化2 [2016·广东中山模拟] 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos αy ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)当α＝π3时，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程；(2)若直线AB 的斜率为54，点P (2，3)，求|PA |·|PB |的值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思] (1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致．式题 [2016·河南许昌、新乡、平顶山三调] 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1被C 2截得的线段的长； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，当α变化时，求A 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 直线的参数方程3 [2016·江西新余一中调研] 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，圆C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若P 点的直角坐标为(2，1)，求||PA |－|PB ||的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t 的绝对值表示对应的点到定点的距离．(2)根据直线的参数方程的标准形式中t 的几何意义，有如下常用结论：①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②若定点M 0是线段M 1M 2(点M 1，M 2对应的参数分别为t 1，t 2，下同)的中点，则t 1＋t 2＝0； ③设线段M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22.式题 在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ，求线段AB 的长度．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点四 圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 [2016·山西长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中一联] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．式题 [2016·陕西汉中二模] 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________答案 坐标系考试说明1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.教学参考【课前双基巩固】知识聚焦2. (1)极径 极角 (2)ρcos θ x 2＋y 2 y x【课堂考点探究】例1 (1)(1，－1) (2)(－5，0)，(5，0) [解析] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求． (2)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0)．例2 [思路点拨] (1)首先按两角差的正弦公式展开，然后两边同时乘ρ，利用转化公式ρ2＝x 2＋y 2, x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，转化为直角坐标方程；(2)圆外一点与圆上一点距离的最小值为圆心与圆外这点的距离减半径．解：(1)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin θ－2cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(2)在直角坐标系中，易知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，又曲线C 的圆心为(－1，1)，半径为2， ∴|PQ |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12－2＝3－ 2. 变式题 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即ρ＝2cos θ.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，1＋2或1－ 2.例3 解：(1)令θ＝0，可得ρ(3cos 0－4sin 0)＝2，∴直线l 与极轴的交点到极点的距离为ρ＝23. (2)直线l 的直角坐标方程为3x －4y －2＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝m 2，曲线C 表示以原点为圆心，m 为半径的圆，且原点到直线l 的距离为25.若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，则15<m <35. 变式题 解：(1)设点P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋2，且参数α∈[0，2π]， ∴点P 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5， ∴12ρsin θ－32ρcos θ＝5，即ρsin θ－3ρcos θ＝10， ∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋10＝0.由(1)知点P 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝4，是圆心为(0，2)，半径为2的圆，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋10|（3）2＋12＝4，∴点P 到直线l 的距离的最大值为4＋2＝6.教师备用例题[备选理由] 例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，意在考查基本运算能力，转化与化归思想、方程思想与数形结合思想．例2主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用等基础知识，综合性较强．例1 [配例2使用] 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)O 为极点，A ，B 为圆C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求||OA ＋||OB 的最大值． 解：(1)∵圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ，即x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)不妨设点A 的极角为θ，则点B 的极角为θ＋π3，则||OA ＋||OB ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝43sin θ，∴当θ＝π2时，||OA ＋||OB 取得最大值4 3.例2 [配例3使用] 在直角坐标系xOy 中，点M (0，4)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，直线l 过点M 且斜率为－2.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的标准参数方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)由ρsin 2θ－4cos θ＝0得，(ρsin θ)2＝4ρcos θ，∵y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－2，∴α为钝角，由平方关系可解得，cos α＝－55，sin α＝255，∴直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t(t 为参数)，代入y 2＝4x 整理得t2＋55t ＋20＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－55，t 1t 2＝20，则|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（－55）2－4×20＝3 5.参数方程考试说明1. 了解参数方程，了解参数的意义.2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.教学参考【课前双基巩固】 知识聚焦1. 参数方程 参数 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用坐标变换写出C 2的直角坐标方程，再写出其参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式写出l 的直角坐标方程；(2)设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式将问题转化为三角函数的最值问题求解．解：(1)由题意知，曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2)设P (3cos φ，2sin φ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos φ－2sin φ－6|5＝|4sin （60°－φ）－6|5，当sin(60°－φ)＝－1时，d 取最大值25，此时取φ＝150°，则点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1. 变式题 解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，转化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，由于tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，极坐标方程5ρcos(θ＋α)＝2转化成直角坐标方程为x －2y －2＝0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋y 2＝1，x －2y －2＝0，解得A (2，0)，B 25，－45，设点M (x ，y )是圆D 上的任意一点，则＝(x －2，y )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25，y ＋45，·＝0.所以(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋45＝0，整理得5x 2＋5y 2－12x ＋4y ＋4＝0，转化成标准形式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＝45，转化成参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65＋255cos θ，y ＝－25＋255sin θ(θ为参数). 例2 [思路点拨] (1)先求直线的普通方程，再化为极坐标方程；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义求解．解：(1)当α＝π3时，直线AB 的普通方程为3x －y －3＝0，即直线AB 的直角坐标方程为3x －y －3＝0，∴直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＝3，即2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 3. (2)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ的普通方程是x 24＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程，整理得 (cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0.∴|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α＝12（cos 2α＋sin 2α）cos 2α＋4sin 2α＝12（1＋tan 2α）1＋4tan 2α，又直线的斜率为54，即tan α＝54，代入上式可求得|PA |·|PB |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5161＋4×516＝7.变式题 解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以C 1被C 2截得的线段的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. (2)将C 1的参数方程代入C 2的普通方程得t 2＋2t cos α＝0， ∴A 点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝－cos α，∴A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)．故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2α，y ＝－sin αcos α(α为参数)．因此，A 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故A 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆．例3 [思路点拨] (1)利用互化公式进行两种方程之间的转化；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义和韦达定理求解．解：(1)易得直线l 的普通方程为y ＝x －1.因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0(或写成(x －2)2＋(y －2)2＝8)．(2)点P (2，1)在直线l 上，且在圆C 内，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t 代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，得t 2－2t －7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－7<0，即t 1，t 2异号． 所以||PA |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝ 2.变式题 解：由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，得C 的普通方程是x 24＋y 2＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则线段AB 的长度|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56132－4×4813＝81013. 例4 [思路点拨] (1)由代入消元或加减消元，将直线l 的参数方程化为普通方程，由ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)求直线被圆所截得的弦长，可利用垂径定理，即|AB |＝2r 2－d 2，先根据圆心到直线的距离公式求得d ，再代入计算|AB |.解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)方法一：曲线C ：x 2＋(y －2)2＝4是以点(0，2)为圆心，2为半径的圆，易得圆心(0，2)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝24－12＝14. 方法二：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B .将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－4y ＝0并化简整理可得t 2＋2t －3＝0，从而⎩⎨⎧t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝（t A ＋t B ）2－4t A t B ＝14. 变式题 解：(1)∵圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2，∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)圆心C (3，－4)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|3－4－2|2＝322＞2，即直线与圆C 相离． 由于M 是直线上任意一点，则|MC |≥d ＝322. ∴四边形AMBC 的面积S ＝2×12·|AC |·|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2.∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.教师备用例题例1 [配例2使用] [2017·广东海珠区调研] 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：(1)曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x2＋y 2－4x ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程x 2＋y 2－4x ＝0，化简得ρ＝4cos θ.∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)∵直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y －4＝0，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，(4，0)， ∴弦长为（2－4）2＋（2－0）2＝2 2.例2 [配例4使用] 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ2＝151＋2cos 2θ，直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝ 3. (1)判断曲线C 与直线l 的位置关系，写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求|AB |的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 25＋y 215＝1，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，与y 轴的交点为P (0，3)，将P (0，3)代入椭圆方程左边得0＋15<1，故点P (0，3)在椭圆的内部，所以直线l 与曲线C 相交．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x25＋y 215＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，有3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32t 2＝15，即t 2＋2t －8＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 2＋t 1＝－2，t 2t 1＝－8. ∴|AB |＝（t 2＋t 1）2－4t 2t 1＝（－2）2－4×（－8）＝6。
极坐标与参数方程教案
1
极坐标
极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做_____，引一条射线Ox ，叫做____，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的_____，θ叫做点M 的____，有序数对_______就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①_______②_____；③_________；④__________．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标.
极坐标与直角坐标的不同是，___________________________________________ 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
ϕ
θ=θ
ρcos a
=
θ
ρcos a -
=θ
ρsin a
=
图4
θ
ρsin a -
=图5
)
cos(ϕθρ-=
a 图1
2
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ：
5、极坐标与直角坐标互化公式：
x
⎩
（直极互化 图）
θ
ρcos 2a =
图2
θ
ρsin 2a =图4
θ
ρsin 2
a -=M
图5
θ
ρcos 2a -=a
=ρ图1
)
cos(2ϕθρ-=a 图6。
极坐标与参数方程教案
、教学过程设计一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一、教学过程设计 一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠极径为, r为, r,为的直线○θ○θ点,垂点,平＜0；当点。
极坐标与参数方程导学案1
专题复习 选修4-4 坐标系与参数方程（导学案）考纲要求1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。
3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。
4. 了解参数方程，了解参数的意义。
5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
$必备知识方法必备知识1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 3．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，)． !4．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．题型一极坐标方程及其应用例1 (2013·北京高考)在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．}注意：直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法． 变式探究1. (2012·江苏)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．￥题型二、极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程互化例2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .!(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．变式探究2．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． 》(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．题型三、参数方程及其应用 ）例3、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．变式探究3已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值为________．}内容小结：破解坐标系与参数方程的“雕虫小技”• 将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则．作业布置：二轮复习资料配套练习。
新人教版高中数学选修4-4《极坐标与参数方程》优质教案
（3.5学案）第1讲 极坐标系与参数方程(大题)教学目标1.会将参数方程，极坐标方程化为普通方程2.理解极坐标方程中ρ，θ含义，参数方程中直线中的t 的含义，圆与椭圆中θ几何意义，及应用教学重点：ρ，θ应用及直线参数方程中t 应用椭圆中θ应用 教学难点：椭圆中θ的含义题型一：极坐标.参数方程与普通方程互化 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.2．在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（1）．直线的参数方程过定点M(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t为参数)．（2）．圆的参数方程圆心为点M(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数)．（3）．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．（4）．(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍．例1、（1）方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.（2）、设P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由满足的方程来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数法”.（3）、极坐标方程表示的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.（4）、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A． B． C． D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：，因此选C.点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.通关练习一1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（）A. B. C. D.2．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．3．下列在曲线上的点是（）A． B． C． D．4．将参数方程化为普通方程为（）A． B． C．D．5．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（） A． B． C． D．7．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆8．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A． B． C． D．9. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为10 若A，B，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）11. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.一、选择题：1.A 解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D 解析：3．B 解析：转化为普通方程：，当时，4．C 解析：转化为普通方程：，但是5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线6．D 解析：，得，因此中点为7．C 解析：，则或8、C 解析：距离为9、解析：如下图，设圆上任一点为P（），则10、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，11. 解析：，，，，题型二极坐标，参数方程综合应用例2 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ)(ρ>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2. 设Q(ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 由题意知ρA ＝4sinπ6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝3.例 3 (2019·六安质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，过点P(－2,0)作斜率为k 的直线l 与圆C交于A ，B 两点．(1)若圆心C 到直线l 的距离为455，求k 的值；(2)求线段AB 中点E 的轨迹方程．解 (1)由题意知，圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即圆C 的圆心为C(2,0)，半径r ＝2.依题意可得过点P(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 设圆心C(2,0)到直线l 的距离为d ， 则d ＝|2k ＋2k|1＋k 2＝|4k|1＋k2＝455， 解得k ＝±12.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，代入圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，得t 2－8tcos θ＋12＝0. 设A ，B ，E 对应的参数分别为t A ，t B ，t E ， 则t E ＝t A ＋t B2， 所以t A ＋t B ＝8cos θ，t E ＝4cos θ. 又点E 的坐标满足⎩⎨⎧x ＝－2＋t E cos θ，y ＝t E sin θ，所以点E 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos 2θ，y ＝4sin θcos θ，即⎩⎨⎧x ＝2cos 2θ，y ＝2sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，化为普通方程为x 2＋y 2＝4(1<x ≤2)．例4在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值． 解 (1)设曲线C 上任意一点N(2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5. (2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0， 设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516， 由t 的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t 1t 2＝2516. 通关练习二1．(2019·东莞调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．解(1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝34＋3t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为x －y －34＋a ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的普通方程中， 得到直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0.∵圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ3，π3，联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0， ∴ρ2＋ρ3＝3＋3 3. ∵点M 恰好为AB 的中点， ∴ρ1＝3＋332，即M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3()1＋32×1－32－34＋a ＝0，解得a ＝94.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m 的值． 解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x. 即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ， 得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m)>0，得m>－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m，解得m ＝－239，满足m>－3； 当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝24－4m解得m ＝33，满足m>－3. 综上，m ＝－239或33. 3．(2019·衡水中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知直线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，A 是C 3与C 1的交点，B 是C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，|AB|＝42，求α的值． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，又y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)知曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以其极坐标方程为ρ＝4cos θ.设点A ，B 的极坐标分别为(ρA ，α)，(ρB ，α)， 则ρA ＝4cos α，ρB ＝4sin α，所以|AB|＝|ρA －ρB |＝4|cos α－sin α| ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝42，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，即α－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得α＝k π＋3π4(k ∈Z )，又0<α<π，所以α＝3π4. 4．(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点．(1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l(即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α 化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k2<2， 解得k>1或k<－1.当k<－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4；当k>1时，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2， 因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t 1cos α，－2＋t 1sin α)，B(t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α， 即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数)．。
圆锥曲线----极坐标与参数方程(导学案)
圆锥曲线------ 极坐标系与参数方程【目标】:1、掌握点的极坐标与直角坐标的互化；2、掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、会把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题解决；4、掌握曲线的参数方程与普通（直角坐标）方程的互化；5、会参数方程解决曲线的交点与最值问题。
坐标系一、知识要点1. 对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，则ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，点M 的极坐标是 。
2. 极坐标与直角坐标的互化公式：x = ，y = ，2ρ = ， θtan = 。
3. 特殊的圆的极坐标方程: r,2cos ,2sin ,cos sin a a a b ρρθρθρθθ====+4. 特殊的直线的极坐标方程：sin ,cos ,(R),a a ρθρθθαρ===∈ 二、例题与练习1. 点M 的直角坐标是 (1-，则M 点的极坐标为（ ）2.(2,).(2,).(2,).(2,2),()3333A B C D k k Z πππππ-+∈2. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 .3. 在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．4. 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为______________.5. 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程是π4cos 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。
现以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则圆C 的半径是 ，圆心的直角坐标是 。
6.极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为 ．7. 在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是__ _ _.8. 已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,则圆心到直线距离为 ．9. 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；10. 在极坐标系中，直线π3θ=（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=+θ交于A 、B 两点，则AB = ．11. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是12. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 ，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是 ．13. 已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.14. 极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是_____．15. 在极坐标系中，过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为 ．参数方程一、知识要点1． 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 x f (t),y g(t),=⎧⎨=⎩,并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
参数方程与极坐标教学设计
参数方程与极坐标合肥北城中学 徐松一 、知识回顾1、极坐标点M 的直角坐标 点M 的极坐标 M( ) M( ) 直角坐标化极坐标 极坐标化直角坐标 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a, π2)，半径为a ：ρ＝2a sin θ． 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M (b, π2)且平行于极轴：（由学生完成）。
4.几种常见曲线的参数方程(1)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．二．典例剖析例．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ．(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解析过程：解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1． 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．感悟升华：极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．例：(2017·全国卷Ⅰ)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．活动：找一位同学板演，其余同学独立思考、合作交流，教师适当启发，最后根据学生板书情况给予恰当点评；三：变式训练1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk ，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22ty ＝5－22t (t 为参数)若以O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．3.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ．(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．活动：由学生独立思考、合作交流，教师适当启发，然后提问学生，并给予恰当点评；四：课堂总结：本节课你有哪些收获？请从知识、技能、思想方法等方面分别加以总结。
极坐标与参数方程学案
极坐标与参数方程专题复习一、教学目标1、理解坐标系(de)作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形(de)变化情况；2、会在极坐标系中用极坐标刻画点(de)位置,能进行极坐标和直角坐标(de)互化；3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点(de)直线、过极点或圆心在极点(de)圆）表示(de)极坐标方程.4、了解参数方程,了解参数(de)意义；5、能选择适当(de)参数写出直线、圆和椭圆(de)参数方程；6、掌握直线(de)参数方程及参数(de)几何意义,能用直线(de)参数方程解决简单(de)相关问题.二、重点难点1、教学重点：能进行极坐标与直角坐标(de)互化、参数方程与普通方程(de)互化；2、教学难点：能进行极坐标与直角坐标(de)互化、参数方程与普通方程(de)互化；三、教学策略与方法师生互动法、自主学习法、小组讨论探究、一帮一导师制四、教学过程（一）、高考目标导航：（二）、课前自主导学：1、要点梳理：(1)点(de)极坐标与直角坐标(de)相互转化公式,当极坐标系中(de)极点与直角坐标系中(de)原点重合,极轴与x 轴(de)正半轴重合,两种坐标系中取相同(de)长度单位时,点(de)极坐标与直角坐标(de)相互转化公式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx x ≠0.(2)柱坐标、球坐标与直角坐标(de)互化公式： ①柱坐标化为直角坐标公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z②球坐标化为直角坐标公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ（3）参数方程：①参数方程(de)定义：在取定(de)坐标系中.如果曲线上任意一点(de)（1）这里T 公共定义域.并且对于t(de)每一个允许值.由方程（1）所确定(de)都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线(de)参数方程,辅助变数t 叫做参数.参数方程（It 为参数）（i）通常称（I参数方程(de)标准形式.其中t数量.t>0时,pt<0时,p ,t=0时,p.（ii ）直线(de)参数方程(de)t 为参数）.当且仅当b>0时. （1）中(de)t 才具有（I ）中(de)t 所具有(de)几何意义.③圆(de)参数方程:r(de)圆(de)④ 参数方程参数方程t 为参数）（4）坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系.（5）“坐标法”是解析几何学习(de)始终,同学们在不断地体会“数形结合”(de)思想方法并自始至终强化这一思想方法.（6）热门考点高考题中这一部分主要考查简单图形(de)极坐标方程,极坐标与直角坐标(de)互化,直线、圆和圆锥曲线(de)参数方程,参数方程化为直角坐标方程等.热点是极坐标与直角坐标(de)互化、参数方程化为直角坐标方程.冷点是推导简单图形(de)极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程.盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点(de)位置(de)方法,摆线在实际中(de)应用,摆线在表示行星运动轨道中(de)作用.涉及较多(de)是极坐标与直角坐标(de)互化及简单应用.2、基础自测：（1）点M (de)直角坐标是(－1,3),则点M (de)极坐标为( ) (k ∈Z)（2）已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角α＝π6,直线l (de)参数方程为_____________________．（3）在极坐标系中,点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2(de)距离为 .（三）、课堂典例讲练：题型一 极坐标与直角坐标(de)相互转化：例1：①在极坐标系中,点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3到圆ρ＝2cos θ(de)圆心(de)距离为()A ．2②若曲线(de)极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则改曲线(de)直角坐标方程为______________________解析：1极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2cosπ32sinπ3,即(1,3)．圆(de)极坐标方程ρ＝2cos θ可化为ρ2＝2ρcos θ,化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ,即(x －1)2＋y 2＝1.所以圆心坐标为(1,0)．则由两点间距离公式d ＝ 1－1 2＋ 3－0 2＝ 3.故选D.2解析：根据已知ρ＝2sin θ＋4cos θ＝2·y ρ＋4xρ,化简可得：ρ2＝2y ＋4x ＝x 2＋y 2.所以解析式为：x 2＋y 2－4x －2y ＝0点拨：本题考查极坐标(de)知识及极坐标与直角坐标(de)相互转化,一定要记住两点：①x ＝ρ·cos θ,y ＝ρ·sin θ；②ρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝yx.即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易,只是将公式x ＝ρ·cos θ,y ＝ρ·sin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2(de)形式,进行整体代换,其中方程两边同时乘以ρ及方程两边平方是常用(de)变形方法．跟踪练习：极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ(de)两个圆(de)圆心距为____.题型二 参数方程与普通方程(de)相互转化：例2：已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t2y ＝t(t∈R ),它们(de)交点坐标为___________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝sin θ表示椭圆x 25＋y 2＝1(－5<x ≤5且0≤y ≤1).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t2y ＝t 表示抛物线y 2＝45x .联立方程组⎩⎨⎧x 25＋y 2＝1(－5<x ≤5且0≤y ≤1)y 2＝45xx 2＋4x －5＝0 x ＝1或x ＝－5(舍去)．又因为0≤y ≤1,所以它们(de)交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12 55.点拨：常见(de)消参数法有：代入消元(抛物线(de)参数方程)、加减消元(直线(de)参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆(de)参数方程)等．经常使用(de)公式有sin 2α＋cos 2α＝1.在将曲线(de)参数方程化为普通方程(de)过程中一定要注意参数(de)范围,确保普通方程与参数方程等价．跟踪练习：已知圆C (de)圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝1＋t(t 为参数),与 x 轴(de)交点,且圆 C与直线 x ＋y ＋3＝0 相切,则圆 C (de)方程为题型三 极坐标与参数方程(de)综合应用：例3（2016年全国卷Ⅰ,22,10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1(de)参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t(t 为参数,a ＞0)．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴(de)极坐标系中,曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1(de)方程化为极坐标方程；(2)直线C 3(de)极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足tan α0＝2,若曲线C 1与C 2(de)公共点都在C 3上,求a . 解析试题分析：（I,圆（II公共弦所在(de)题型四易错、易混、易漏-----参数方程与普通方程互化时应注意参数(de)取值范围例4将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝2＋sin2θy＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为（）A．y＝x－2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：转化为普通方程：y＝x－2,且x∈[2,3],故选C.失误与防范在将曲线(de)参数方程化为普通方程时,不仅仅是把其中(de)参数消去,还要注意x,y (de)取值范围,也即在消去参数(de)过程中一定要注意普通方程与参数方程(de)等价性．本题很容易忽略参数方程中0≤sin2θ≤1 (de)限制而错选A.（四）、归纳与提升：1、方法与指导：解决极坐标、参数方程(de)综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练(de)情况下,我们可以先化成直角坐标(de)普通方程,这样思路可能更加清晰． (2)对于一些运算比较复杂(de)问题,用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给(de)限制条件及隐含条件．2、误区与防范：（1）极坐标与直角坐标之间可以进行互化,在没有充分理解极坐标(de)前提下,可以通过直角坐标解决问题．对于参数方程,同样遵循以上原则．（2）在将曲线(de)参数方程化为普通方程时,不仅仅是把其中(de)参数消去,还要注意x,y (de)取值范围,也即在消去参数(de)过程中一定要注意普通方程与参数方程(de)等价性．（五）、课后强化作业：1,参在以坐标原点为极点正半轴为极轴(de)极坐标系中, 曲线直角坐标方程;(Ⅱ) 求(de)距离(de)最大值.。
极坐标与参数方程教学设计
极坐标与参数方程教学设计教学目标:1.了解极坐标和参数方程的概念和特点。
2.掌握极坐标和参数方程的转换关系。
3.能够利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形。
教学内容:1.极坐标的引入极坐标是一种用极径和极角表示平面上点的坐标系统。
极坐标中，每个点由它到极点的距离和与极轴的夹角确定。
极点是坐标轴的原点，极轴是一条从极点到无穷远处的射线。
极径通常用正数表示，极角用角度或弧度表示。
2.参数方程的引入参数方程是一种用参数表示物体的坐标方程。
在参数方程中，坐标值都是由参数决定的表达式，用来描述一个曲线或曲面的运动或变化。
3.极坐标和参数方程的转换方法(1)极坐标转参数方程:已知点P的极坐标(r,θ)，则其对应的参数方程为x = rcosθ，y = rsinθ。
(2)参数方程转极坐标:已知参数方程x = f(t)，y = g(t)，则其对应的极坐标为r =√(f(t)²+g(t)²)，θ = tan^(-1)(g(t)/f(t))。
4.极坐标和参数方程的应用利用极坐标和参数方程可以描述和绘制很多有趣的图形，如圆、椭圆、心形线等。
教学步骤:步骤一:导入1.引出极坐标和参数方程的概念和特点。
2.通过示例和图示介绍极坐标和参数方程的基本表示方法。
步骤二:极坐标和参数方程的转换关系1.介绍极坐标和参数方程的转换关系，包括极坐标转参数方程和参数方程转极坐标的方法。
2.通过示例演示转换过程，让学生理解和掌握转换的思路和方法。
步骤三:极坐标和参数方程的绘制1.引导学生利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形，如圆、椭圆、心形线等。
2.通过实例演示和练习让学生掌握绘制图形的方法和技巧。
步骤四:综合应用1.引导学生利用极坐标和参数方程解决实际问题，如天文学中的行星运动、工程中的曲线绘制等。
2.通过实例和讨论，激发学生的兴趣和创造力，培养学生的实际应用能力。
步骤五:总结和拓展1.对极坐标和参数方程的知识进行总结归纳。
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专题复习 选修4-4 坐标系与参数方程（导学案）
考纲要求
1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。
3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。
4. 了解参数方程，了解参数的意义。
5. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
$
必备知识方法必备知识
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则
⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩
⎨
⎧
ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y
x x ≠0.
2．直线的参数方程
经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参
数)．P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →
的数量． 3．圆的参数方程
圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参
数，)．
!
4．椭圆的参数方程
椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
题型一极坐标方程及其应用
例1 (2013·北京高考)在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，π6到直线ρsin θ＝2的距
离．
}
注意：直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并
化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法． 变式探究1. (2012·江苏)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，π4，圆心为直线
ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π3＝－3
2与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
￥
题型二、极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程互化
例2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为
参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
!
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
变式探究2．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，π4，直线l 的极坐标
方程为ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．
》
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置
关系．
题型三、参数方程及其应用 ）
例3、已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2
＝1上
任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
变式探究3已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ(θ
为参数)．若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M
到直线C 3：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，
y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值为________．
}
内容小结：
破解坐标系与参数方程的“雕虫小技”
• 将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐
标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”
原则．
作业布置：二轮复习资料配套练习。