第二章数学发现的基本方法

1) x 1 x 4 1 0
2) x 1 x 4 1 0
3) x 8 2 x 5 0
§2 联想
• 联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现；联想是 回忆旧知识，发现新知识的重要手段
• 一、联想的意义和作用
现代心理学认为：联想是主体和客体相互作用的过程中 产生的，它是按照一定的规律形成心理之间的一种联系， 这个联系反映着客观世界事物与现象以及各种事物之间的 联系。
求p3 p2 p的值.
• 例3 化简
1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 1) 1 (1 1 )(1 1)(1 1) ab a c a b d a b c (1 1 )(1 1)(1 1)(1 1 )
abcd
• 例4 不解方程，判断下列方程是否有解：
求ABC的最大角。
• 四、逆反转换，灵活解题
• 逆反转换是指沿着解题的习惯思维 方向的相反方向进行探索，即顺推不 行时，考虑逆推，直接解决不易时考 虑间接解决，从正面入手有困难时， 就从反面入手等等。
1、倒推法
倒推法就是把问题发生的顺序到过来，逐步 还原。
例12 五个猴子相约到海滩上去分香蕉，第一 个猴子早到，它将香蕉等分为五份，多出的一 个吃掉了，留下一份，拿着其它四份找同伴去 了；第二个猴子到了海滩，又将香蕉等分为五 份，多出的一个吃掉了，留下一份，拿着其它 四份去找同伴；第三个、第四个猴子都如此办 理，最后第五个猴子来到海滩，同样将香蕉等 分成五份，吃掉多出的一个，拿走四份，这时 海滩上只留下了一只香蕉，问最初海滩上有多 少只香蕉？
2、数形转换
例9已知不等式2 x ax b的解集是 1 x 4,求a,b的值.
例10
已知x1满足2x+2x
=5，x2满足x+log
(x-1)=
2
5 2
.
求x1
+x 的值. 2
3、横向求索
例11.在ABC中，已知
a2

a

2b

2c

0
a 2b 2c 3 0
可见，观察是认识主体通过感官对客体的认识（活动） 过程，如果说工具是人类四肢的延伸，科学仪器就是感 官的延伸。
• 例1 哥德巴赫猜想.
德国人哥德巴赫在1742年提出两个猜想：（一）每 个大于2的偶数都是两个素数之和；（二）每个大于5 的奇数都是三个素数之和.
• 例2.已知 y z x x y z z x y p xyz zxy yzx
1，2，3，对任何整数都不能使f( )=-1.
4.逆向联想 逆向联想是指从问题的正面想到问题的反面
例4 已知p,p+10,p+14是质数，求p
5.横向联想 横向联想是指数学各分支之间，乃至数学与物理，化学
第二章 数学发现的基本方法
数学是在解决问题中产生的，并在 解决问题的过程中不断发展起来的. 美国著名数学家哈尔莫斯（Halmos） 说过：“数学的真正组成部分是问 题和解”，“数学研究主要的就是 发现问题和解决问题.”
• 数学发现是以提出问题和解决问题为主要标 志的，而这方面的能力又是衡量一个人数学水 平的重要标志。
• 所谓感知，包括感觉和知觉.感觉是客观事物作 用于感觉器官而引起的，是人脑对直接作用于 感觉器官的客体个别属性的主观反映.知觉是在 感觉的基础上形成的，是客观事物直接作用于 感官时人脑产生的直接整体反映.
• 从信息论的观点看，观察应是外部环境的信息通过感官 输送到大脑皮层，经过加工处理，感知外部世界的过程
• 例1 甲、乙、丙、丁四人进行一次赛跑，最后分 出了高低。但这四人都是出了名的撒谎者，他们 所说的赛跑结果是：
甲：（1）我刚好在乙之前到达；（2）我不是第一名 乙：（3）我刚好在丙之前到达；（4）我不是第二名 丙：（5）我刚好在丁之前到达；（6）我不是第三名 丁：（7）我刚好在甲之前到达；（8）我不是第四名
求证：2x 2y 2z
8xyz
.
1 x2 1 y2 1 z2 (1 x2 )(1 y2 )(1 z2 )
2.既要开展控制联想，又要开展自由联想
例7 已知x,y,z,m,n均为正实数，且x2 +y2 =z2. 求证：mx ny z.
m2 n2
①从代数角度考虑，可以用柯西不等式来证； ②从三角的角度考虑，用正弦余弦来换元； ③从几何方面考虑，可用托勒密定理； ④从解析几何考虑，可结合距离公式做。
等学科之间的联想
例5.求代数式 x2 2x 2 x2 4x 13 的最小值.
练习： 求f(x)= x4 x2 6x 10+ x4 3x2 4的最小值.
• 三、联想能力的培养
1.重视基础知识，掌握知识之间的纵横联系，注意把已掌握 的知识系统化
例6 已知x,y,zR,x+y+z=xyz.
1、完全归纳法
完全归纳法是对某事物的全体对象的考察，发现它们都具 有某一种属性，从而得出这类事物都具有这种属性的一般 性结论的推理方法，完全归纳法又分为穷举归纳法和类分 法两种类型。
• （1）穷举法 穷举法是对有有限个对象的某类事物进行研究时，将
它的每个对象逐一进行考察的归纳推理. • 例1 在2×3的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为
2、反客为主 有些问题，把它的主要元素与某个次要元素倒过来，常
常能取得出人意外的效果。
例13.解方程x3 2 3x2 3x 3 1 0
§4 实验
• 实验是在观察的基础上，进一步发挥人的主观能动性， 从而进一步获得感性资料。
• 实验是观察的发展，在现代科学研究中，实验往往同 观察紧密地结合在一起，观察依赖于实验，而实验伴 随着观察，它们两者之间是相互依存的。
例4 设f(a)=a10 a5 a2 a 1
求证：对一切实数a，都有f (a) 0.
• 二、特殊化，寻找突破口
• 对于某些数学问题，先找出符合题意的特殊值、特殊图形、 特殊位置来进行试探，往往能得到启示，找到解题途径。
1、分析特例，寻找启示
例5 一列数1,1,2,3,5,8,13,21……从第三项开始每一项是前 两项之和，此数列的第2013项除以8的余数是多少？
• 实验方法比观察方法有更大的优越性。
• 数学试验具有科学试验的特点，属于科学实验的范畴，但 它又不同于一般的科学实验。
• 数学实验是为了获得某种数学理论，检验某个数学猜想， 解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在思维 的参与下，在典型的实验环境中或者特定的实验条件下所 进行的一种数学探索活动。
格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形共有（ ）个
A.24 B.38 C.46 D.50
（2）类分法
类分法是指具有无限多个对象的某类事物进行研究 时，将这类事物划分为互相排斥，且其外延之和等于 该类事物的几个子类，并分别对他们进行考察.
例2 某商店有3kg、5kg两种包装的糖果，数量极为充足， 保证供应，求证凡购买8kg以上整公斤的糖果时，都 可以不用拆包。
2.类比联想 类比联想又称为对比联想，主要是根据问题的具体情况，
从具有类似和相似特点的数、式、图形以及相近内容和性 质等进行联想
例2 求证：正四面体内任一点到各面的距离之和为定值。
3.关系联想 关系联想是根据知识之间的从属关系、一般关系、因果
关系以及其内在联系而进行的一种联想
例3一个整系数四次多项式f (x),若有四个不同的整数
例2、有80枚硬币，其中有一枚比标准重量重。用一架天 平，最少称几次可以找出其中的次品？
例3、设m,n是任意实数，试在平面上找出这样的点，它位 于下述方程所表示的每一条曲线上：
x2 y 2 2mx 2ny 4(m n 2) 0.
2、将复杂问题分解成几个简单问题 复杂的综合问题，往往是由一些比较简单的问题巧妙地糅 合而成的，因此，要善于通过观察，分解成几个小问题， 各个击破后再综合起来。
• 一、归纳法的原理、意义和类型 （一）归纳的原理
逻辑推理的方法有两种：一是演绎推理，即由一般到特殊 的推理；二是归纳推理，即由特殊到一般的推理。
（二）归纳法的意义
归纳法虽然是一种“似然”的“合情推理”，实际上，对 于数学的发展和创新而言，归纳推理的巨大作用，是论证 推理无法替代的。
• （三）归纳法的类型
• 三、变换角度，选择主攻方向 • 如果按照题意直接解题有很大困难，我们可以尝试变换一
个角度去看问题，或者变易论题，或者换用另一种数学内 容方法来求解。 1、变易论题
例8 已知二次方程ax2 2bx 1 0和cx2 +2dx+1=0
(ac 0)的系数a,bd,c组成等差数列。
求证：上述两个方程至少一个有实数根。
• 例1、如图是由9个小正方形组成的大正方形，小正方 形的每条边长都是1米，今有一个小虫子由 A点至B点， 不走重复路，试问（1）最少要走多少米？（2）最多 要走多少米？
B
A
§5 归纳猜测
归纳是人类探索真理和发现真理的主要工具之一 在研究数学问题时，我们常常在观察和实验等的基础 上，把一些特殊的问题一般化，从中发现新问题，有 时还可以发现新问题的解法，这种由特殊到一般的思 考就是归纳猜测。
3.运用联想把问题引申推广 不要满足于解完一道题，还应该把问题加以推广引申 拓展反思。
例8 在1到100这100个数中，任找10个数，使其倒数和为 1.
§3 尝试
• 通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从总体 上把握问题，形成初步的策略意识。尝试就是将初步 的策略意识付诸实施，试探是否可行，是否有进展， 是否可以接近目标，是否能缩小解答所在的范围等。
• 2、利用特例奠定基础
• 例6 将625枚围棋围成一个大圆圈，并依次编号为1~625号， 然后，按如下方法取棋子，拿走1,2号保留3号，再拿走4,5 号保留6号，……每次取2枚留下1枚，一直如此循环下去.问： 最后留下的一枚棋子原来的编号是几？