椭圆及其标准方程(第一课时)
2 2
2
(3). 点P是椭圆上的一点，且满足：
PF1 6, PF2 14, F1F2 16.
x y 1, 100 36
2 2
x y 1 36 100
2
2
范例分析
x y 例题3. 过椭圆 100 36 1, 的右焦点F2作垂
疑难破解 问题1. 曲线的方程 平方并整理得：
c ( x c) y a x a
2 2
2 2 2
a
2
c
2
x
2
2
a y a a c
2 2
x y 2 2 1 2 a a c
2
疑难破解 问题2. 关键字母的几何意义 a 表示线段 PF1 . c 表示线段 OF1 .
2 2 2 2
③
疑难破解 问题1. 求曲线方程的方法
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a ① c 2 2 2 2 ( x c) y ( x c) y 2 x ③ a
①+③得：
c ( x c) y a x a
2 2
例题1. 计算题 2 2 x y 1 的焦点在 y 轴上， ③ 椭圆 m 1 3 m
范例分析
则m的取值范围是 1<m<2
m 1 0 提示：由题意得 3 m 0 3 m m 1
.
范例分析
例题2. 求椭圆的标准方程：
x 2 y 1 (1). a=4，b=1，焦点在x轴上; 16
② 焦点在x轴上：
2
2
x F1
y 2 x2 2 1, (a b 0) 2 a b
例题1. 口答题
2 2
范例分析
x y 1 的焦点在 x 轴上， ① 椭圆 25 16 a= 5 , b= 4 , c= 3 , 焦点坐标为 (3,0),(-3,0) ；焦距是 6 .
② 椭圆 25x2 16 y2 400的焦点在 y 轴上， a= 5 , b= 4 , c= 3 , 焦点坐标为(0, 3),(0, -3) ；焦距是 6 .
2.2.1 椭圆及 其标准方程
疑难破解 问题1. 求曲线方程的方法 直接法“建设限代化”化简方法？
( x c ) y ( x c ) y 2a
2 2 2 2
① ②
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 t
c ①X②得： 2 x t a c ( x c) y ( x c) y 2 x a
a2 c2 表示线段 OP
y
P a b x c O F F1 2
.
设 a c =b, 则
2 2
a,b,c 的大小关系是 a>b, a>c, b与c不定 .
问题3. 不同建系椭圆方程一样吗？
① 焦点在y F2 O F2
设 a 2 c 2 =b, 则
x y 2 1, (a b 0) 2 a b
2 2
直于x轴的直线AB，与椭圆交于A,B， F1是
左焦点 .
(1)求△F1AB的周长.
y
A
x
F1
(2)若AB不垂直于x轴，
△F1AB的周长会变
F2
化吗？为什么？
B
课后作业
1. 复习本节课内容，理清脉络；
2. 作业本P19 1--11.
【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程
人A数学选择性必修1
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[例 3] (1)方程k－x24＋10y－2 k＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的
取值范围是( C )
A．(4，＋∞) B．(4,7)
C．(7,10)
D．(4,10)
分析：(1)根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数范围时，考虑两个分 式对应的分母都大于0，然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大 小．
人A数学选择性必修1
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[解析] (1)由 a＝4，c＝ 15，得 b2＝a2－c2＝1， ∵焦点在 y 轴上，∴其标准方程为1y62 ＋x2＝1. (2)法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a ＞b＞0)． 由椭圆的定义知 c＝2，
2a＝ 52＋22＋－322＋ 52－22＋－322＝2 10，
C．94
D．14
解析：依题意a＝10，且|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝20⇒|PF2|＝14.
人A数学选择性必修1
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3．适合条件a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ___1x_62_＋__y_2_＝__1______． 解析：由已知，所求方程为：4x22＋1y22＝1，即1x62 ＋y2＝1.
人A数学选择性必修1
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[例1] (1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是
(B)
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．线段
(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是( D )
A．圆
B．椭圆
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
高中数学_椭圆的标准方程(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
椭圆及其标准方程（第1课时）导学案一．【学习目标】：1、知识与技能：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。
2、过程与方法：通过教师和学生共同协作完成教学试验、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归 纳问题的能力.3、情感、态度和价值观：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新和锲而不舍的精神。
增强主动与他人合作与交流的意识。
二．【学习重点】：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。
三．【学习难点】：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。
四．【学习过程】：（一）探究一: 椭圆的定义1．创设问题情景：观察生活中的椭圆图片，演示椭圆形成过程．2．动手实验:学生分组画椭圆.思考：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？实验结果:若将常数记为2a ，两定点21,F F 间的距离记为2c ，椭圆定义： 椭圆的定义用集合语言叙述为： ①当||221F F a >时，其轨迹为 ， ②当||221F F a =时，其轨迹为 ，③当||221F F a <时，其轨迹 . 探究二：椭圆标准方程的推导1.回顾：求曲线方程的一般步骤：2.思考：如何建系，使求出的椭圆方程最简单？3.推导过程：① 建系：② 设点：③ 列方程：④ 化简：讨论与思考：1.在图中，请你从中找出表示2.如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是 ，椭圆的标准方程是 ．3.如何由椭圆标准方程判断椭圆焦点位置？（二）学以致用【思考辨析 判断正误】1.已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆.( )2.已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.( )3.平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( )【求椭圆的标准方程】例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是()0,2-，()0,2，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23-25，，求它的标准方程.想一想：你还能用其它方法求它的标准方程吗？解题小结：【变式练习】1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是 .2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）轴上；焦点在x b a ,1,4==（2）.,15,4轴上焦点在y c a ==例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程.解题小结：（三）学习小结：（四）巩固检测：1、已知椭圆的方程为22218x ym+=，焦点在x轴上，则其焦距为（）（A）（B）C）（D）2、若△ABC的两个顶点坐标是A（-4,0），B（4,0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是（）（A）221259x y+=（B）221259y x+=(C)221(0)169y xy+=≠(D)221(0)259x yy+=≠3、已知点（3,4）是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，求椭圆的方程。
高中数学选择性必修一课件：椭圆及其标准方程(第1课时)
4．椭圆方程中的 a，b 以及参数 c 有什么意义，它们满足什么关系？ 答：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的 一半，可借助图形(如图)帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个 直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距，a， b，c 始终满足关系式 a2＝b2＋c2.
2．求椭圆的标准方程时，应先判断焦点位置再设出标准方程，若不能确定 焦点的位置，可分两类设出椭圆方程或设两种椭圆方程的统一形式．
3．两种椭圆方程的统一形式为：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)或xm2＋yn2＝ 1(m>0，n>0，m≠n)．
课后巩固
1．设定点 F1(0，－3)，F2(0，3)，动点 P 满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 方 法 一 ： 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ （4－0）2＋（3 2＋2）2 ＋ （4－0）2＋（3 2－2）2＝6＋ 2＋6－ 2＝12，解得 a＝6. 又 c＝2，所以 b＝ a2－c2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为ay22＋ bx22＝1(a>b>0)．
(2)如果椭圆的中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上， 那么椭圆方程可以设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解．
3．怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 答：看 x2，y2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的 分母是 a2，较小的分母是 b2.如果 x2 的分母大，那么焦点就在 x 轴上；如果 y2 的 分母大，那么焦点就在 y 轴上．
高中数学 2.1.1椭圆的定义与标准方程(一)课件 湘教版选修11
(4)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n＞0 且 m≠n)，
由94m＋245n＝1，得 3m＋5n＝1，
m＝16，n＝110，
所以，椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
第二十二页，共27页。
题型三 椭圆标准方程的应用 【例 3】 方程2mx－2 1＋3－y22m＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 求 m 的取值范围． 解 由题意得 3－2m>2m－1>0， 即23m－－2m1>>20， m－1，解得12<m<1. 点评 判断椭圆焦点在 x 轴，y 轴的依据是标准方程中的 x2， y2 对应的分母，焦点在分母大的对应轴上．
第二页，共27页。
自主探究 1．椭圆的定义中为何要使“常数大于|F1F2|”？若改为等
于|F1F2|或小于|F1F2|，点的轨迹是什么？ 提示 若缺少了“常数大于|F1F2|”这一条件，点的轨迹不 一定是椭圆．当距离(jùlí)之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线 段F1F2，当距离(jùlí)之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
（ （－a322a）2 23＋）（2＋－bb1222＝）12＝ ，1，解得ab22＝ ＝155. ， 所以椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
第十六页，共27页。
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 根据题意有（ a12＋－a（22 ）－22＋b2 （3）b232＝）12，＝1，解得ab22＝ ＝51， 5. 因为 a＜b，所以方程无解．综上①②知，所求椭圆的标准方 程为1x52 ＋y52＝1.
第二十七页，共27页。
(1)大前提是在平面上． (2)必须是到两定点距离的和． (3)常数与|F1F2|的关系．当常数与|F1F2|相等时，轨迹为线 段F1F2，当常数小于|F1F2|时，轨迹不存在，只有当常数大于
高二数学-椭圆及其标准方程(梁祥居)
板书设计
椭圆及其标准方程 2.2.1 椭圆及其标准方程 1、 椭圆的定义 2、椭圆的标准方程 标准方程的推导 (练习题解答) 作业题
关于教学策略选择的阐述 关于教学策略选择的阐述 教学策略选择
3
主要采用诱导探究策略，并辅以创设情景、动手操作、启发类比、当堂操练策略。 主要采用诱导探究策略，并辅以创设情景、动手操作、启发类比、当堂操练策略。 诱导探究策略 类比 策略 诱导探究策略： 探究策略 1、诱导探究策略：问题诱导－启发讨论－探索结果，充分发挥学生的主体作用和教师的主导 作用。 创设情景策略： 2、创设情景策略：多媒体演示几个生活中的椭圆图形及“嫦娥一号”绕月运行轨道，让学生 从感性上认识椭圆，感受椭圆在现实生活中和高科技中的应用，增强学好数学的信心，并自然地引 入课题。 动手操作策略： 3、动手操作策略：让学生拿出课前准备好的学具，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、 动手绘图，教师巡视，并请已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生感受成功的喜 悦. 教师进一步启发引导学生讨论，概括得出椭圆定义。 启发类比策略 类比策略： 4、启发类比策略：启发学生类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，根据椭圆的对称性选 择适当的坐标系推导椭圆的标准方程；启发学生通过类比焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，得出焦 点在 y 轴上的椭圆的标准方程。 当堂操练策略 策略： 5、当堂操练策略：教师设计 3 道有层次性、针对性的练习供学生当堂训练，并进行点评，以 及时检测教学目标的落实情况。
学习者特征分析
1、一般特征：学生是南安一中的高二（8）班学生，绝大部分学生学习数学的兴趣教浓，有较强的 一般特征： 特征 探究意识。 初始能力： 2、初始能力：学生对生活中的椭圆模型较熟悉，有较强的动手操作能力和一定的小组合作经验， 已初步掌握求曲线方程的一般方法，但未学过比较复杂的根式方程化简问题。 信息素养： 3、信息素养：学生已具备上网查找资料等信息素养，但大部分学生不熟悉几何画板。
椭圆及标准方程完整三课时
1的焦点坐标为
（
0 ，
3 20
）
4.椭圆 x2 y2 1的焦点为2，则m的值为 5或3
m4
英才园地
总结
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F 1-c,0， F 2c,0 F 10,-c， F 20,c
距离称为_焦__距__，记为_2_c__。若设M为椭圆
上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=__2a__
注：定义中对“常数”加上了一个条件，
即距离之和要大于|F1F2| (2a>2c,a>c>0)
注意：
M
F1
F2
.（1）平面上----这是大前提
.（2）动点 M与两个定点 F1、F2 的距离的和是等于常数 2a ；
设 也 是Pba(椭22x-c，圆xa=y的a 2)是标x椭准-c圆方2+上程y2任．意一点
O
x
焦的点设设垂 为|F直a以a 1：2F2 -平F- Fc2c 12 |1(=2 分= 、02x bc线2 ,2F，+ -c2b 为a )所则2 > 、y 0 2 y在有F= 轴得2a (直F2 0建1a 线(,2 -立c- c为c )，2 直0x角)、轴坐F，标2(线c系F，段1 ．0)F1F2
y2 a2
x2 b2
1(a
b
椭圆的简单几何性质(第一课时)
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A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
叫做椭圆的长轴和短轴。
B1 (0,-b)
它们的长分别等于2 a和2 b 。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 0 1 2 3 4 5 x
3、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)的顶点：
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ 0, ±b ）， 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个
y
B2 (0,b)
交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 y 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； Y
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，
图象关于原点 成中心对称。
P1（-x，y）
P（x，y）
坐标轴是椭圆的对称轴，
O
X
原点是椭圆的对称中心。
P2（-x，-y）
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
100 64
100 64
练习：书本48页第1、2、3题
标准方程 范围
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
高中数学教案——椭圆及其标准方程 第一课时
课题：8．1椭圆及其标准方程（一）教学目的：1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的 作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点 同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识 但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受 所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础 教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础 根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求 教学过程：一、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 二、讲解新课： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)三、讲解范例：例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） .838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案： 1.A2.C3.A4.1353622=+x y 5.Ｂ五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 022>>c a ；②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义 六、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，,2,3===c b a 2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围答案：0<<k4 化简方程：)3()3(2222=-++++y x y x答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______ 答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y七、板书设计（略）八、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+）(2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+。