线性微分方程组的基本理论
微分方程组的基本概念
控制工程中的微分方程组
总结词
微分方程组在控制工程中用于描述系统的动 态特性，如机械系统、航空航天系统等。
详细描述
在控制工程中，微分方程组被用于描述各种 系统的动态特性，例如，控制系统的稳定性、 响应速度和误差等。这些微分方程组可以帮 助工程师设计和优化控制系统，提高系统的 性能和稳定性。
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数值解法
要点一
总结词
通过数值计算方法求解微分方程组的近似解。
要点二
详细描述
数值解法是一种求解微分方程组的常用方法，其基本思想 是通过数值计算方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微 分方程组的近似解。这种方法适用于无法直接求解解析解 的微分方程组，通过将微分方程转化为差分方程，然后进 行迭代计算，可以得到满足一定精度要求的近似解。数值 解法在科学计算、工程技术和实际应用中具有广泛的应用 价值。
04
微分方程组的实际应用
经济模型中的微分方程组
总结词
微分方程组在经济模型中用于描述经济系统的动态变化，如经济增长、通货膨胀、就业 等。
详细描述
经济学家通过建立微分方程组来模拟和分析经济系统的各种复杂现象，例如，菲利普斯 曲线模型使用微分方程组来描述通货膨胀和失业率之间的关系，索洛模型使用微分方程 组来预测经济增长。这些模型可以帮助政策制定者更好地理解经济系统的运行机制，并
生物系统中的微分方程组
总结词
微分方程组在生物系统中用于描述生物种群的变化、疾病的传播等动态过程。
详细描述
在生物学中，微分方程组被广泛应用于种群生态学和流行病学等领域。例如，Logistic方程可以描述 种群数量的增长规律，而SIR模型和SEIR模型则可以用于预测疾病的传播趋势。这些微分方程组对于 保护生态环境和制定公共卫生政策具有重要意义。
5.2 线性微分方程组的一般理论5.2.1
c1 x + c2 x 2 + L + cn x n ≡ 0 从而
显然它的零点不会多于n 显然它的零点不会多于n个,矛盾. 矛盾.
问题:利用定义判断显然不方便, 问题:利用定义判断显然不方便,那么有什么简便办法来判别向量 函数的线性无关性？ 函数的线性无关性？
定义 设有 个定义在区间
上的向量函数
，…， 由这 个向量函数构成的行列式
证明下列n 例 证明下列n个向量函数在任何区间上都是线性无关的
x2 xn x 0 0 0 Y1 = , Y2 = ,L , Yn = M M M 0 0 0
det(Φ (t )) = e ≠ 0
2t
基解矩阵
Y 若不然， 证 若不然，1 , Y2 ,L , Yn 线性相关，则由线性相关的定义知， 线性相关，则由线性相关的定义知，
必存在不全为零的n个常数 c1 , c2 ,L cn ，使得 不全为零的n
xn x x2 0 0 0 ≡ 0 +c c1 +L+cn M M 2 M 0 0 0
定理 方程 (2))的 n 个解 x1 ( t ), x 2 ( t ), L , x n ( t ) 在 [ a , b ]上 (5
线性无关的充要条件为 W ( t ) ≠ 0 , t ∈ [ a , b ].
解的结构: 解的结构:
定理 齐线性微分方程组一定有n个线性无关解. 齐线性微分方程组一定有n个线性无关解. 定理 若x1(t),x2(t),…,xn(t)是齐线性微分方程组的 是齐线性微分方程组的n 是齐线性微分方程组的 个线性无关解，则其任一解 ( ) 个线性无关解，则其任一解x(t)可表示成 x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t) 这里c 是常数。 这里 1，c2，…，cn是常数。 定理 齐线性微分方程组的线性无关解的最大个数等于 . 齐线性微分方程组的线性无关解的最大个数等于n. 定义 (2)的n个线性无关的解称为 的一个基本解组 (2)的 个线性无关的解称为 的一个基本解组 个线性无关的解称为(2)的一个 对于（2）来说（n个方程），利用初值问题解的存在 个方程）， 对于（ 来说（ 个方程），利用初值问题解的存在 唯一性定理可以证明，(2)的所有解构成了一个n维线 的所有解构成了一个n 唯一性定理可以证明，(2)的所有解构成了一个 性空间，也就是存在一个由n个解组成的基本解组. 性空间，也就是存在一个由n个解组成的基本解组.
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
13
函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论
第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时）一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念.二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式.三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩(3.6)则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ⊂ 上连续.为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及12()()()()n f x f x F x f x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式()()dY A x Y F x dx=+ (3.7)如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成()dY A x Y dx= (3.8)我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组.如果(3.8)与(3.7)中()A x 相同, 则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似, 我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理.定理 3.1′ 如果(3.7)中的()A x 及()F x 在区间[],I a b =上连续, 则对于[],a b 上任一0x 以及任意给定的0Y , 方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在[],a b 上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成. 它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间[],a b 上存在.2. 一阶线性齐次方程组的一般理论⑴一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.定理3.2 如果11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()m m m n n nm y x y x y x y x y x y x Y x Y x Y x y x y x y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是方程组(3.8)的m 个解，则1122m m Y C Y C Y C Y =+++ (3.9)也是(3.8)的解，其中12,,,m C C C 是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解.证明 因为(1,2,,)i Y i m = 是(3.8)的解，即()()()i i dY x A x Y x dx = (1,2,,)i m =成立. 再由1122[()()()]m m d C Y x C Y x C Y x dx+++ 1212()()()m m dY x dY x dY x C C C dx dx dx=+++ 1122()()()()()()m m C A x Y x C A x Y x C A x Y x =+++ 1122()[()()()]m m A x C Y x C Y x C Y x =+++这就证明了(3.9)是(3.8)的解. 定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念.定义3.1 设12(),(),,()m Y x Y x Y x 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数. 如果存在m 个不全为零的常数12,,,m C C C ，使得1122()()()0m m C Y x C Y x C Y x +++= 在区间I 上恒成立, 则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关, 否则称它们在区间I 上线性无关.显然，两个向量函数12(),()Y x Y x 的对应分量成比例是它们在区间I 上线性相关的充要条件. 另外, 如果在向量组中有一零向量, 则它们在区间I 上线性相关.若12(),(),,()n Y x Y x Y x 是(3.8)的n 个解, 称下面的矩阵为这个解组对应的矩阵[]12()(),(),,()n x Y x Y x Y x Φ=111212122212()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦它的第i 个列向量为()i Y x . 如果这组解是线性无关的, 则称此矩阵为(3.8)的基本解矩阵例1 向量函数它21cos ()1,x Y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22sin 1()1x Y x x ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在任何区间(a , b )上是线性相关的. 事实上取121C C == 有1122()()0.C Y x C Y x +≡例2 向量函数3313(),x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 6626()2x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦在(-∞,+∞)上线性无关. 事实上，要使得1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞成立，或写成纯量形式，有3123123120,20,0,x x x C C e C C e C C e ⎧+=⎪-=⎨⎪+=⎩ (,)x ∈-∞+∞显然, 仅当120C C == 时, 才能使上面三个恒等式同时成立, 即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3 向量函数212()0,x x e Y x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2220()x x Y x e e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在(,)-∞+∞上线性无关. 事实上，由于1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞相当于纯量形式212222120,0,0,x x x x C e C e C e C e ----⎧≡⎪⎪≡⎨⎪--≡⎪⎩ (,)x ∈-∞+∞由此可以看出：仅当120C C ==时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组. 这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.下面介绍n 个n 维向量函数组12(),(),,()n Y x Y x Y x (3.10)在其定义区间I 上线性相关与线性无关的判别准则.我们考察由这些列向量所组成的行列式111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x W x y x y x y x =通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronsky)行列式.定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I 上线性相关，则它们的朗斯基行列式()W x 在I 上恒等于零.证明 依假设，存在不全为零的常数12,,,n C C C ,使得1122()()()0,n n C Y x C Y x C Y x +++≡x I ∈把上式写成纯量形式, 有111212112122221122()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++≡⎧⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ x I ∈这是关于12,,,n C C C 的线性齐次代数方程组，且它对任一x I ∈，都有非零解12,,,n C C C .根据线性代数知识，它的系数行列式W (x )对任一x I ∈都为零.故在I 上有W (x )≡0.证毕.对于一般的向量函数组, 定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数1(),0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22()0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论.定理3.4 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是方程组(3.8)的n 个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W (x )在I 上恒不为零. 证明(反证法) 如果有0x I ∈使得0()0W x =，考虑线性齐次代数方程组111021201012102220201102200()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式0()0W x =, 所以它存在非零解21(,,,)T T n C C C C =, 即1102200()()()0n n CY x C Y x C Y x +++=考虑函数 1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++由定理3.2知函数()Y x 是(3.8)的解，而且它满足初始条件0()0Y x ≡.另一方面，()0Y x ≡也是方程(3.8)的满足初值条件()0Y x =的解. 因此，根据定理3.1′有()0,Y x x I ≡∈即1122()()()0,n n CY x C Y x C Y x +++≡ x I ∈因为11,,,n C C C 不全为零，从而12(),(),,()n Y x Y x Y x 在I上线性相关，这与假设矛盾，定理证毕. 由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推论.推论3.1 如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W (x )在区间I 上的某一点0x 处不等于零，即0()0W x ≠, 则向量组(3.10)在I 上线性无关.实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题.推论3.2 如果方程组(3.8)的n 个解的朗斯基行列式W (x )在其定义区间I 上某一点0x 等于零，即0()0W x =, 则该解组在I 上必线性相关.实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题.推论3.3 方程组(3.8)的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W (x )在I 上任一点不为零.条件的充分性由推论3.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕．3. 一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n 个线性无关解称为它的基本解组. 显然基本解组对应的矩阵中基本解矩阵.例4 易于验证向量函数11()1,()1tx t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦222()1()2t x t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 是方程组 ,xy = 2y x y =+的基本解组.定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组.证明 由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件10200100010(),(),,(),000001n Y x Y x Y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x I ∈(3.11)的n 个解12(),(),,()n Y x Y x Y x . 由于它们所构成的朗斯基行列式()W x 在0x x = 处有010000100()100001W x ==≠因而，由推论3.3知 12(),(),,()n Y x Y x Y x 是基本解组.满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组. 标准基本解组对应的矩阵称为标准基本解矩阵. 显然, 标准基本解矩阵在0x=时的值为单位阵. 下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了.定理3.6 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++(3.12)是齐次方程组(3.8)的通解,其中12,,,n C C C 为n 个任意常数.证明 我们仅需证明如下两点.首先，由定理3.2，对任意一组常数12,,,n C C C ,(3.12)是齐次方程组(3.8)的解.其次，证明：对于任何满足初始条件(3.2)′的齐次方程组(3.8)的解()Y x ，都可找到常12,,,n C C C ,使得1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++为此，作方程组11022000()()()()n n C Y x C Y x C Y x Y x +++=或写成纯量形式11102120101012102220202011022000()()(),()()(),()()(),n n n n n n n nn n C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(3.13)这是一个线性非齐次代数方程组，它的系数行列式恰是线性无关解12(),(),,()n Y x Y x Y x 的朗斯基行列式()W x 在0x x =处的值，由定理3.4知0()0W x ≠，从而方程组(3.13)有唯一解21(,,,)T T n C C C C =令1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++显然，()Y x 是(3.8)的一个解，且与()Y x 满足同一个初始条件，由解的唯一性，()()Y x Y x ≡定理得证.推论3.4 线性齐次方程组(3.8)的线性无关解的个数不能多于n 个.实际上，设121(),(),,()n Y x Y x Y x +是(3.8)的任意n +1个解. 现任取其中n 个解，如果它们线性相关，这时易证n +1个解当然也线性相关.如果它们线性无关，从而构成(3.8)的基本解组，由定理3.6，余下的这个解可由基本解组线性表出，这就说明这n +1个解是线性相关的.至此，我们证明了一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解的全体构成一个n 维线性空间. 4．刘维尔公式齐次方程组(3.8)的解和其系数之间有下列联系. 定理3.7 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的n 个解，则这n 个解的朗斯基行列式与方程组(3.8)的系数有如下关系式11220[()()()]0()()xnn x a t a t a t dtW x W x e+++⎰=(3.14)这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.证明 仅证n = 2情形，n 的情形类似．11111222211222()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （3.15）设11121()(),()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12222()()()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是（3.15）的两个解，它们的朗斯基行列式11122122()()()()()y x y x W x y x y x =1112111221222122()()()()()()()()()dy x dy x y x y x dW x dx dx dy x dy x dxy x y x dxdx=+因为12(),()Y x Y x 分别是（3.15）的解，所以有 11111112212121112221()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ,12111212222221122222()()()()dy a x y a x y dx dy a x y a x ydx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩分别代入()dW x dx中，然后对每一个行列式进行化简，第一个行列式的第二行乘以12()a x -再与第一行相加，第二个行列式的第一行乘以21()a x -再与第二行相加，具体计算如下1111122111121222111221222111222121122222()()()()()a y a y a y a y y x y x dW x y x y x a y a y a y a y dx++=+++1111111211121122212222212222()()()()()()a y a y y x y x a a W x y x y x a y a y =+=+即1122()[()()]()dW x a x a x W x dx=+11220[()()]()xx a t a t dtW x ce+⎰=或11220[()()]0()()xx a t a t dtW x W x e+⎰=在代数学中，1()nkkk ax =∑称为矩阵()A x 的迹，记作()trA t ，因此刘维尔公式可表为0()0()()xx trA t dtW x W x e⎰=从公式（3.14）可以有显看出，齐次方程组（3.8）的几个解所构成的朗斯基行列式()W x 或者恒为零，或者恒不为零． 本讲要点：1． 一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间．2． 向量函数组和向量解组相关性判定 向量函数组 向量解组线性相关()0W x ⇒≡ 线性相关()0W x ⇔=线性无关0()0W x ⇐≠ 线性无关()0W x ⇔≠3． 齐次线性方程组通解基本定理解空间是n 维线性空间．4． 刘维尔公式解与系数关系．作业：练习3.3 1., 2., 3.。
§4.1 线性微分方程的一般理论
a ≤ t ≤ b上线性无关, 则它们Wronsky的行列式在[a, b] 上任何点都不等于零, 即W (t ) ≠ 0(a ≤ t ≤ b)
证明: “反证法” 证明
由定理4易得下面结论 推论1 推论 设x1 (t ), x2 (t ) L , xn (t )是方程(4.2)在区间
dϕ (t0 ) d ϕ (t0 ) (1) ( n −1) = x0 , L , = x0 ϕ (t0 ) = x0 , n −1 dt dt
( n −1)
二、齐次线性方程的解的性质和结构
先讨论n阶齐线性方程
n n −1
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 ( 4. 2) n dt dt 的一般理论, 假设ai (t )(i = 1,2, L n)在a ≤ t ≤ b上连续.
d nx d n −1 x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = f (t ) ( 4.1) n dt dt 其中ai (t )(i = 1,2, L n)及f (t )都是a ≤ t ≤ b的连续函数.
如果f (t ) ≡ 0, 则方程(4.1)变为
d x d x + a1 (t ) n −1 + L + an (t ) x = 0 n dt dt
"
=0
3 伏朗斯基(Wronsky)行列式 定义2 定义 定义在[a, b]上k个可微k − 1次函数x1 (t ), x2 (t ) L ,
xk (t )所作成的行列式
线性微分方程组
线性微分方程组线性微分方程组是一组微分方程，它们具有相同的结构，可以用一般的线性微分方程来解释。
它们是研究动力学系统状态与其变化间重要手段，因此它们在数学、物理、工程、生物学、经济学等许多学科中都有重要应用。
线性微分方程组的基本元素是微分方程，它是用相关变量的变化率进行建模的函数的导数的形式。
用个别微分方程表达的变量可以是实数，但它们也可以是复数。
的变量可以是常数，也可以是连续的函数或定义在某个区域上的函数，甚至可以是多元函数，也可以是某种定义在空间上的函数。
线性微分方程组可以用一个向量表示，一般地，一个微分方程组可以用下面的基本形式表示：$$frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$$其中，x是向量，t是时间变量，A是位置矩阵，并且f是一个不同于时间变量的函数。
线性微分方程组的解可以通过常规的数值方法和分析方法来求解。
数值方法的一般意义是，利用计算机程序将线性微分方程组的近似解计算出来。
常见的数值方法包括：*拉法：这种方法将线性微分方程组写成一阶微分方程，然后计算给定初始值时间t的解。
*跃法：这种方法是将线性微分方程组分解成一组一阶差分方程，然后利用差分方程的解计算出线性微分方程组的解。
*步逼近法：这种方法是用一步一步的方法找到线性微分方程组的近似解，它可以给出精确的解，也可以给出一定程度的近似解。
如果确定线性微分方程组的初始条件，则可以用分析方法解决这一问题。
常见的分析方案包括：*可比法：用一组复数幂函数解决线性微分方程组，这些复数幂函数具有一定的关系，并且可以用初始条件计算出相关系数。
*分法：用变分法求解线性微分方程组，它可以形式化地写出线性微分方程组的解，同时也可以求解非线性微分方程组的解。
*征值理论：主要是利用特征值理论求解线性微分方程组，它可以把线性微分方程组分解成一组数学表达式，然后根据表达式的系数来求解线性微分方程组。
线性微分方程组在数学、物理、工程、生物学、经济学等诸多学科中都有重要应用，也可以用于动力学系统的状态变化模拟。
第3节 线性微分方程(组)的一般理论(1)
§ 3 线性微分方程(组)的 线性微分方程 组 的 一般理论
1
线性微分方程(组 的一般理论 §3 线性微分方程 组)的一般理论 2. 函数组的 函数组的Wronsky行列式 行列式 (1) 数值函数组的 数值函数组的Wronsky行列式 行列式 上的n个 次可微的 定义2 定义在区间I上的 定义 定义在区间 上的 个n −1次可微的 数值函数： 数值函数：y1(x) , y2(x) , ··· , yn(x) 构成的行列式： 构成的行列式：
上线性相关 ∴ 存在不全为零的常数 Ci (i=1, 2, ··· , n)， ，
7
使得 C1 y1( x) + C2 y2( x) +⋯+ Cn yn( x) ≡ 0, ( x∈ I —区间 ∈ ) ∴ ∀ x0 ∈ I , 有
C1 y1( x0 ) + C2 y2( x0 ) +⋯+ Cn yn( x0 ) = 0,
( x∈ I ), 则 n 元向量函数组： ∈ 元向量函数组： y1( x), y2( x), ⋯ yn( x) ,
在区间I上线性无关 在区间 上线性无关. 上线性无关
10
定理2 定理 ( 数值函数组线性相关与向量函数组 线性相关的关系) 线性相关的关系 n −1次可微的数值函数组： 次可微的数值函数组： 次可微的数值函数组 y1(x) , y2(x) , ··· , ym(x) ( x∈I ) ∈ 在区间I上线性相关 在区间 上线性相关 ⇔ 向量函数组
( x∈ I ) ∈
构成的行列式： 构成的行列式：
4
W( x) = W[ y1( x), y2( x),⋯, yn( x)]
=
y11( x) y12( x) ⋯ y1n( x) y21( x) y22( x) ⋯ y2n( x) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ yn1( x) yn2( x) ⋯ ynn( x)
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
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c x (t )
i 1。
证明: 因 xi (t )(i 1,2,, m) 是方程(5.15) 的解, 则有
dxi A(t ) xi (t ) (i 1,2,, m). dt
所以
d [c1 x1 c2 x2 cm xm ] dt dxm dx1 dx2 c1 c2 cm dt dt dt
推论 方程组（5.15）的任一解组 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )
的 W (t ) 在 [a, b] 上或恒不为零，或恒为零.
定理5
线性齐次微分方程组（5.15）一定存在
n 个线性无关解.
证明: 由解的存在唯一性定理, 方程组(5.15) 一定存在满足初始条件
1 0 0 0 1 0 x1 (t0 ) , x2 (t0 ) ,, xn (t0 ) . 0 0 1
在 (, ) 上线性无关.
证明:要使 c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c3 x3 (t )
et e 2t 0 3t 3t c1 0 c2 e c3 e e t 0 1 0 tR
故 x1 (t ), x2 (t ) 在I上是线性相关的.
练习2 证明
e x1 (t ) 0 et
t
2t e 0 3t 3t x2 (t ) e x3 (t ) e 0 1
2e 0
4t
所以
c1 c2 c3 0
1
0
所以有 x1 , x2 , x3 线性无关.
朗斯基判别准则: 设有n个函数向量
x11(t ) x12 (t ) x1n (t ) x21(t ) x22 (t ) x2 n (t ) x1 (t ) , x2 (t ) , xn (t ) x (t ) x (t ) x (t ) n1 n2 nn x11(t ) x12 (t ) x1n (t ) x22 (t ) x2 n (t ) ,
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t [a, b].
故解组线性相关.
定理4 方程组(5.15)的解组 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在 [a, b] 线性无关，则它们的朗斯基行列式
W (t ) 0, t [a, b]
n n常数矩阵,则 (t )C
也是
方程组(5.15)在区间 [a, b] 上的基解矩阵.
推论2* 若 是(5.15)两个基解矩阵,则存 (t ), (t )
在非奇异常数矩阵C,使得 (t ) (t )C , t [a, b].
et (t ) et
证明:必要性.设 x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 在 [a, b] 上线性相关,则t0 [a, b], x1 (t0 ), x2 (t0 ) xn (t0 ) 均线性相关.所以 W (t0 ) 0 由 t0 的任意性有 W (t ) 0, t [a, b].
充分性.若 W (t ) 0,取
n个线性无关解，则方程组（5.15）的任一解
x(t ) 均可表示为 xi (t )(i 1,, n) 的线性组合.
证明：设 x(t ) 是方程组（5.15）任一解，并满足
x(t0 ) x0
因为 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )是n个线性无关解，
可知 x1 (t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 ) 线性无关，即它们
i 1 i i
m
线性相关及线性无关的定义 设 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )为 若有一组不全为 0的数 有
I
上的函数向量,
c1 , c2 , cn, t I
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0
成立，则称此组函数向量在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
t 3t c c e c e e 1 1 2 . t 3 t 3t c e c e e c2 2 1 3t
二、非齐次线性微分方程组解的结构
x A(t ) x F (t )
'
（5.14） （5.15）
x A(t ) x
是方程组
e3t e3t
2 1 x 1 2 x
解: 首先验证 (t ) 是解矩阵,
令 1 (t ) 表示 (t ) 的第一列, 因为
et 2 1 et et 1(t ) , et 1 2 et et 2 1 (t ) 故 1 1 2 1 (t ). 因此, 1 (t ) 是方程的一个解. 同理, 令
'
解的一些简单性质: 性质1 如果 (t ) 是 (5.14) 的解, (t ) 是 (5.14) 对应的齐次线性方程组 (5.15) 的解, 则 (t ) (t ) 是 (5.14) 的解.
性质2 如果 1 (t ) 和 2 (t ) 是 (5.14) 的两个解,
则 1 (t ) 2 (t ) 是 (5.15) 的解. 性质3 设 F (t ) F1 (t ) F2 (t ) Fm (t ), 且 x j (t ) 是方程组 x A(t ) x F j (t ) 的解, 则 x 是 (5.14) 的解.
x (t )
n个线性无关解，则 x (t ) 是方程组（5.15）的通解， 其中
c x (t )
i 1 i i
c1 , c2 , cn 是任意常数.
基本解组: 称方程组(5.15)的n个线性无关解
x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 为一个基本解组 .
解矩阵: 如果 n n 矩阵的每一列都是(5.15) 的解, 称这个矩阵为 (5.15) 的解矩阵. 基解矩阵: 由基本解组组成的矩阵为基解矩阵. 定理1* 方程组(5.15)一定存在一个基解矩阵 (t ) 并若 (t ) 为其任一解,则
例1 证明
cos 2 t x1 (t ) 1 t
sin 2 t 1 , x2 (t ) 1 t
在任何区间I上都是线性相关的. 证明:取 c1 1 , c2 1 则
cos 2 t sin 2 t 1 0 c1 1 c2 1 0 t 0 t tI
构成n维线性空间的基，故对向量 x(t0 ) 一定 存在唯一确定的一组常数
c1 , c2 , cn 满足
x(t0 ) c1x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 )
考虑 x (t ) c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 由解的叠加原理知它为方程组的解，并满足
2 (t ) 表示 (t )的第二列, 可知 2 (t ) 也是
方程 的解, 因此 (t ) [1 (t ), 2 (t )] 是方程组
的解矩阵, 另外因 det (t ) 2e 4t 0, 故 (t ) 是方程组 的基本解组. 所以其通解为:
et x (t )c et
t 0 [ a, b ] ,有 W (t0 ) 0
则 x1 (t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 ) 线性相关，即存在不全为零
的数
c1 , c2 ,cn ,使得 c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0
考虑到 x(t ) c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) ,由解的叠加原理 知 x(t ) 是(5.15)的解,且满足 x(t0 ) 0 由解的存在唯一性定理知,x(t ) 0 ,即有
成立,显然只需下面方程成立
et 0 e t
因为
0 e 3t 1 et 0 e
t
e 2t c1 0 3t e c2 0 0 0 c 3 0 e
3t
t
e 2t e
3t
称
W (t )
x21(t )
xn1 (t ) xn 2 (t ) xnn (t )
为这些函数向量组的朗斯基行列式.
定理3 方程组(5.15)的解组 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在 [a, b] 线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式
W (t ) 0, t [a, b]
的解 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ), t [a, b]. 且以该组作出的Wronsky 行列式在 t0 处有
W (t0 ) 1 0 , 因此 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )
在 t [a, b] 上线性无关.
定理6
设 x1 (t ), x2 (t ) xn (t )是方程组（5.15）的
5.2 线性微分方程组的基本理论
考虑非齐次线性微分方程组
x' A(t ) x F (t )
解的结构问题.
(5.14)
先考虑(5.14) 对应的齐次线性微分方程组
x A(t ) x
'
(5.15)
解的结构问题.
一、线性齐次方程组解的结构
定理2 设 x1 (t ), x2 (t ), xm (t ) 是齐次线性方程组 (5.15)的 m 个解,则它们的线性组合