GL1-小结与习题课

1 1 C. + 2 π
1 D. 3
解：对事件有利的样本 点落在阴影部分， 点落在阴影部分，故概 率为： 率为：
1 2 1 2 a + πa 1 1 2 4 P= = + 1 2 2 π πa 2
a
P( AB ) 1 P( B ) = = P( A B ) 4
7.发射台将编码分别为 ，0的信息传递出去，接收站收 发射台将编码分别为1， 的信息传递出去 的信息传递出去， 发射台将编码分别为 到时1被误收成 的概率是0.02，0被误收成 的概率是 被误收成0的概率是 被误收成1的概率是 到时 被误收成 的概率是 ， 被误收成 0.01，信息 与0发出的概率为 ：1，若接收站收到的信 发出的概率为2： ，信息1与 发出的概率为 息是1 问发出信息确是 的概率. 信息确是1 息是1，问发出信息确是1的概率.
解：
P( A − B) = P ( A) − P ( AB ) = 0.3 P ( AB ) = 0.4 P ( AB ) = 1 − P ( AB ) = 0.6
3. 5双不同的手套，任取 只，求4只都不配对的概率 双不同的手套， 只都不配对的概率. 双不同的手套 任取4只 只都不配对的概率 解：
解：A : 这种动物活到了 岁 这种动物活到了20岁 B : 这种动物活到了 岁 这种动物活到了25岁
P( AB) P(B) 0.4 P(B A) = = = P( A) P( A) 0.8 1 1 1 6.已知 P ( B A) = ， P ( A) = ，P ( A B ) = 已知 3 3 4
解：设需配 n 门高射炮 Ai ：第 i门高射炮击中敌机
P ( A1 U A2 U L An ) ≥ 99%
即
1 − P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) ⋅ L ⋅ P ( An ) ≥ 99%
1 − (0.4)n ≥ 99%
解得 n≥6 11.甲乙丙三人向同一个目标射击，设各击中目标的概 甲乙丙三人向同一个目标射击， 甲乙丙三人向同一个目标射击 率分别为0.4， ， 如果只有一个人击中目标， 率分别为 ， 0.5，0.7.如果只有一个人击中目标， 则 如果只有一个人击中目标 目标被击毁的概率是0.2；如果有两个人同时击中目标， 目标被击毁的概率是 ；如果有两个人同时击中目标， 则目标被击毁的概率是0.6；如果三个人同时击中目标， 则目标被击毁的概率是 ；如果三个人同时击中目标， 则目标一定被击毁.求目标被击毁的概率 求目标被击毁的概率. 则目标一定被击毁 求目标被击毁的概率
4 C5 ⋅ 24 8 P= = 4 C10 21
4. 50只电子管随机地取来，用在 个电子电路板上， 只电子管随机地取来， 个电子电路板上， 只电子管随机地取来 用在10个电子电路板上 其中有3只电子管是次品 每个电路板用3只电子管 只电子管是次品， 只电子管。 其中有 只电子管是次品，每个电路板用 只电子管。 若将3只次品都安装在一个电路板上， 若将3只次品都安装在一个电路板上，则这个电路板是 废品，问发生电路板是废品的概率是多少？ 废品，问发生电路板是废品的概率是多少？ 解：
例题： 例题： 1. 证明关于事件的等式 B − A = ( AB ) − ( AB )
证明： 证明：
( AB ) − ( AB ) = ( A U B) I A I B = ( A I B) U ( B I A I B) = AI B = B − A
2. 设 A, B 为两事件。且 P ( A) = 0.7, P ( A − B ) = 0.3. 为两事件。 求 P ( AB ) .
1 3 3 3 C10C47C44 LC23 10 1 P= 3 3 3 = 3 = 3 C50C47C44 LC23 C50 1960
5.某种动物活到 岁的概率为 ，活到 岁的概率为 某种动物活到20岁的概率为 某种动物活到 岁的概率为0.8，活到25岁的概率为 0.4.问现在的年龄为 岁的这种动物活到 岁的概率 问现在的年龄为20岁的这种动物活到 岁的概率. 问现在的年龄为 岁的这种动物活到25岁的概率
= P ( A ) ⋅ P ( B ) + P ( A) ⋅ P ( C ) − P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) = P ( A)[ P ( B ) + P (C ) − P ( BC )] = P ( A) ⋅ P ( B U C ) P ( A( B − C )) = P ( ABC ) = P ( AB − ABC ) = P ( AB ) − P ( ABC ) = P ( A) ⋅ P ( B ) − P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C )
P ( BC ) = P ( B ) ⋅ P (C ) P (CA) = P (C ) ⋅ P ( A) 1 P ( ABC ) = ≠ P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) 4 注：此题表明三个事件的相互独立和两两独立不 等价
13.在区间 在区间(0,1)中随机地取出两个数，则事件 中随机地取出两个数， 在区间 中随机地取出两个数 17 6 {两数之和小于 } 的概率是 25 . 两数之和小于 5 解：如下图对事件有利的样本点落在阴影区域故概率 为：
1 4 4 1− ⋅ ⋅ 2 5 5 = 17 P= 1 25
1 1
14.随机地向半圆 0 < y < 2ax − x 2 ( a为正常数) 随机地向半圆
内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积 内掷一点， 成正比， 成正比，则原点和该点连线与 x 轴正向的夹角小于
π
4 的概率为 C 1 1 A. B. π 2
P( AB) 7.条件概率：P(B A) = 条件概率： 条件概率 P( A)
8.全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式 n P( A) = ∑P(Bi )P( ABi ) i =1 P(Bj )P( ABj ) P(Bj A) = n ∑P(Bi )P( ABi ) i =1 9.事件的独立性：P( AB) = P( A)P(B) 事件的独立性： 事件的独立性
分别表示甲， 解：A, B , C 分别表示甲，乙，丙三人击中目标
0.2( P ( A BC ) + P ( A BC ) + P ( ABC )) + 0.6( P ( ABC ) + P ( A BC ) + P ( ABC )) + P ( ABC ) = 0.2( 0.4 ⋅ 0.5 ⋅ 0.3 + 0.6 ⋅ 0.5 ⋅ 0.3 + 0.6 ⋅ 0.5 ⋅ 0.7 ) + 0.6( 0.4 ⋅ 0.5 ⋅ 0.3 + 0.4 ⋅ 0.5 ⋅ 0.7 + 0.6 ⋅ 0.5 ⋅ 0.7 )
= P ( A)[ P ( B ) − P ( BC )] = P ( A) ⋅ P ( B − C )
9.若 A1 , A2 ,L An 相互独立，求证： 若 相互独立，求证： P ( A1 U A2 U L An ) = 1 − P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) ⋅ L ⋅ P ( An ) 证明： 证明：
求 P ( AB ) ， P ( AB )， ( A B ) P 解：
P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B A) =
1 12
11 P( AB) = 1 − P( AB) = 12 P( A B ) P( A B ) = P( B )
1 − P( A U B ) = 1 − P( B ) 1 − P( A ) − P(B ) + P( AB ) = 1 − P( B ) 2 = 3
解： A : 收到信息为 收到信息为1
B : 发出信息为 发出信息为1 P( AB) P( B A ) = P( A )
P( B ) ⋅ P( A B ) = P( B ) ⋅ P( A B ) + P( B ) ⋅ P( A B )
196 = 197
独立， 相互独立， B 8.设 A, B, C 相互独立，证明 A与B U C 独立， − C 与 A 设 也独立. 也独立. 证明： 证明： P ( A I ( B U C )) = P ( AB U AC ) = P ( AB ) + P ( AC ) − P ( ABC )
第一章习题课 一、本章基础知识 1. 样本空间、随机事件的概念 样本空间、随机事件的概念. 2.事件的运算：和、差、积;互斥事件、对立事件 事件的运算： 斥事件、对立事件. 事件的运算 非负性 3.概率的概念和性质: 规范性 概率的概念和性质: 概率的概念和性质 可列可加性 两个原理 无放回 4.排列和组合： 排列 排列和组合： 排列和组合 有放回 组合 5.等可能概型 等可能概型. 等可能概型 6.几何概型 几何概型. 几何概型
+ 0 .4 ⋅ 0 .5 ⋅ 0 . 7 = 0.2(0.06 + 0.09 + 0.21) + 0.6(0.06 + 0.14 + 0.21) + 0.14 = 0.2 ⋅ 0.36 + 0.6 ⋅ 0.41 + 0.14 = 0.458
12.设有四张卡片上分别标以 12.设有四张卡片上分别标以1,2,3,4。今取2张.设： 设有四张卡片上分别标以 。今取2 为取到1或 ； 为取到1或 ； 事件 A为取到 或2；事件 B为取到 或3；事件 C为 取到1或 试验证 试验证： 取到 或4.试验证：
P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B ) P ( BC ) = P ( B ) ⋅ P (C ) P (CA) = P (C ) ⋅ P ( A) 但 P ( ABC ) ≠ P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C ) 1 证明： 证明： P ( AB ) = = P ( A) ⋅ P ( B ) 4 同理