2008年高考数学试题分类汇编——立体几何

2008年高考数学试题分类汇编立体几何一．选择题：1．（上海卷13） 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 2.（全国一11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ B ） A ．13B．3C．3D ．233.（全国二10）已知正四棱锥S A B C D -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则A E SD ，所成的角的余弦值为（ C ） A ．13B3C3D ．234.（全国二12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．25.（北京卷8）如图，动点P 在正方体1111ABC D A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）7.（四川卷８）设,M N 是球心O 的半径O P 上的两点，且N P M N O M ==，分别过ABCD MN P A 1B 1C 1D 1,,N M O 作垂线于O P 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,98.（四川卷９）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( B )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条9.（天津卷5）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是C（A ）βαβα⊥⊥,//,b a （B ）βαβα//,,⊥⊥b a （C ）βαβα//,,⊥⊂b a （D ）βαβα⊥⊂,//,b a10.（安徽卷4）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（D ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖11.（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是D (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π 12.（江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦。

半径为4的球的两条弦A B 、C D 的长度分别等于、M 、N 分别为A B 、C D 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦A B 、C D 可能相交于点M ②弦A B 、C D 可能相交于点N ③M N 的最大值为5 ④M N 的最小值为1 其中真命题的个数为CA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 13.（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为B A.38π B.328π C. π28 D.332π14，（湖南卷5）设有直线m、n和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( D )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α⊥β，m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β，m⊥β，m⊄α,则m∥α15.（湖南卷9）长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是( C )C.2D.416.（陕西卷9）如图，l A B A Bαβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l的距离分别是a和b，A B与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，A B在αβ，内的射影分别是m和n，若a b>，则（ D ）A．m nθϕ>>，B．m nθϕ><，C．m nθϕ<<，D．m nθϕ<>，17.（陕西卷14）长方体1111ABC D A B C D-的各顶点都在球O的球面上，其中1::1:1:AB AD AA=A B，两点的球面距离记为m，1A D，两点的球面距离记为n，则mn的值为．1218.（重庆卷 9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是DABablαβ（A ）V 1=2V (B) V 2=2V（C ）V 1> V 2（D ）V 1< V 219.（福建卷6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为DA.3B.55520.（广东卷5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是G H I △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）21.（辽宁卷11）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ D ） A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条22.（海南卷12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ C ）A. 22B. 32C. 4D. 5223.（海南卷15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______43π二．填空题：1.（天津卷13）若一个球的体积为π34，则它的表面积为________________．12π2.（全国一16）E DIA H GBC ED AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ．BEC ．BED ．等边三角形ABC 与正方形A B D E 有一公共边A B ，二面角C A B D --的余弦值为3，M N，分别是A C B C ，的中点，则E M A N ，所成角的余弦值等于 ．613.（全国二16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）（两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．）4.（四川卷15，且对角线与底面所成角的余弦值为3，则该正四棱柱的体积等于_______2_________。

5.（安徽卷16）已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB=AC =8A D =,则,B C两点间的球面距离是43π6.（江西卷16）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。

如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）。

有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： B,D （写出所有真命题的代号）．7.（福建卷15，则其外接球的表面积是 . 9π8.（浙江卷14）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于___________。

9π2图12图9.（辽宁卷14）在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BCA ，C两点的球面距离为3，则球心到平面ABC 的距离为_________．32三．解答题：1.（全国一18）（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A B C D E -中，底面B C D E 为矩形，侧面A B C ⊥底面B C D E ，2B C =，CD =A B A C=．（Ⅰ）证明：AD C E ⊥；（Ⅱ）设C E 与平面A B E 所成的角为45 ，求二面角C A D E --的大小．解：（1）取B C 中点F ，连接D F 交C E 于点O ，A B A C =，∴AF BC ⊥，又面A B C ⊥面B C D E ，∴A F ⊥面B C D E ，∴AF C E ⊥．tan tan 2C ED FD C ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠=，即C E D F ⊥， C E ∴⊥面A D F ，C E A D ∴⊥．（2）在面A C D 内过C 点作A D 的垂线，垂足为G ．C G AD ⊥，CE AD ⊥，A D ∴⊥面C EG ，E G A D ∴⊥， 则C G E ∠即为所求二面角的平面角．3AC C D C G AD==，3D G =，3EG ==，C E =222cos 210C G G E C EC G E C G G E+-∠==-，πarccos 10C G E ⎛⎫∴∠=- ⎪ ⎪⎝⎭，即二面角C A D E --的大小πarccos 10⎛- ⎪⎝⎭． 2.（全国二19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上DEAB A 1B 1C 1D 1且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A D E B --的大小．解法一：依题设知2A B =，1C E =．（Ⅰ）连结A C 交B D 于点F ，则B D A C ⊥．由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ···················································································· 3分 在平面1A C A 内，连结E F 交1A C 于点G ，由于1A A A C F CC E==故1R t R t A AC FC E △∽△，1AA C C FE ∠=∠，C F E ∠与1FC A ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线B D E F ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ······························································································· 6分 （Ⅱ）作G H D E ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H D E ⊥，故1A HG ∠是二面角1A D E B --的平面角．································································· 8分EF ==C E C F C G E F ⨯==，3EG ==．13E G E F=，13E F F D G H D E⨯=⨯=又1A C ==，113A G A C C G =-=．11tan A G A H G H G∠==所以二面角1A D E B --的大小为arctan ··································· 12分ABC D EA 1B 1C 1D 1FH G解法二：以D 为坐标原点，射线D A 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)D E D B == ，，，，，，11(224)(204)A C DA =--=，，，，，． ················································································ 3分 （Ⅰ）因为10A C DB = ，10A C DE =，故1A C BD ⊥，1A C D E ⊥． 又DB DE D = ，所以1A C ⊥平面D BE ． ······························································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1D A E 的法向量，则DE ⊥n ，1D A ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ······························································ 9分 1A C ，n 等于二面角1A D E B --的平面角，4214cos =∙=C A n ．所以二面角1A D E B --的大小为arccos42． ························································· 12分3．（北京卷16）如图，在三棱锥P A B C -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，P C A C⊥．（Ⅰ）求证：P C A B ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A P B 的距离．解法一：（Ⅰ）取A B 中点D ，连结P D C D ，．AP BP = ， PD AB ∴⊥．A CBC = ， CD A B ∴⊥．PD CD D = ，ABDPACBPAB ∴⊥平面PC D ．P C ⊂ 平面PC D ， P C A B ∴⊥．（Ⅱ）A C B C = ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又P C A C ⊥，P C B C ∴⊥．又90ACB ∠= ，即A C B C ⊥，且AC PC C = ，BC ∴⊥平面PAC ．取A P 中点E ．连结B E C E ，．AB BP = ，BE AP ∴⊥．E C 是B E 在平面PAC 内的射影， C E A P ∴⊥．B EC ∴∠是二面角B A P C --的平面角．在B C E △中，90BCE ∠= ，2B C =，2BE AB ==sin 3BC BEC BE∴∠==．∴二面角B A P C --的大小为arcsin3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PC D ， ∴平面A P B ⊥平面PC D ． 过C 作C H PD ⊥，垂足为H ．平面APB 平面P C D P D =， C H ∴⊥平面A P B ．C H ∴的长即为点C 到平面A P B 的距离．由（Ⅰ）知P C A B ⊥，又P C A C ⊥，且AB AC A = ，PC ∴⊥平面ABC ． C D ⊂ 平面ABC ， P C C D ∴⊥．在R t PC D △中，12C D A B ==，2PD PB ==2PC ∴==．332=⨯=PDCD PC CH ．ABE P ABDPH∴点C 到平面A P B的距离为3．解法二：（Ⅰ）A C B C = ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又P C A C ⊥，P C B C ∴⊥．AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂ 平面ABC ，P C A B ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB == ，2t ∴=，(002)P ，，．取A P 中点E ，连结B E C E ，． AC PC = ，AB BP =，C E A P ∴⊥，BE AP ⊥．B EC ∴∠是二面角B A P C --的平面角．(011)E ，，，(011)E C =-- ，，，(211)EB =--，，，33622cos =⨯==∠BEC ．∴二面角B A P C --的大小为arccos3．（Ⅲ）A C B C P C == ，C ∴在平面A P B 内的射影为正A P B △的中心H ，且C H 的长为点C 到平面A P B 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE = ， ∴点H 的坐标为222333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．3C H ∴= ．x∴点C 到平面A P B 的距离为3．4.（四川卷19）．（本小题满分12分）如，平面ABEF ⊥平面A B C D ，四边形ABEF 与A B C D 都是直角梯形，90,BAD FAB BC∠=∠=//=12A D，B E//=12A F（Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面；（Ⅱ）设A B B C B E ==，求二面角A ED B --的大小；【解1】：（Ⅰ）延长D C 交A B 的延长线于点G ，由B C//=12A D 得12G B G CB C G AG DA D === 延长F E 交A B 的延长线于'G 同理可得''''12G E G B BE G FG AAF===故''G B GB G AGA=，即G 与'G 重合因此直线C D E F 、相交于点G ，即,,,C D F E 四点共面。