空间中的平行四面体的性质
30.四面体
四面体与平行六面体一、一般四面体的性质性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。
内切球与四面体四个面内切。
若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径3A B C DVr S S S S =+++.性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。
外接球通过四面体四顶点。
性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。
性质4.四面体体积公式一：11113333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1||||sin ,6V AB CD d AB CD =⋅⋅⋅<> （其中d 为AB 、CD 距离）性质6.四面体体积公式二：2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BDS S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BDθθθθθθ======二、特殊四面体的性质（1） 正四面体：各边均相等；（2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。
三、平行面体像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。
性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。
推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。
推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的14。
立体几何中的平行四面体
立体几何中的平行四面体平行四面体是立体几何中的一种特殊形状，由四个平行的三角形构成，具有一些独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨平行四面体的定义、性质以及与其他形状的关系。
一、定义与性质平行四面体是由四个平行的三角形所围成的立体。
它具有以下性质：1. 四个面都是平行的：平行四面体的四个面平行于另一个面，且互相平行。
2. 所有边的长度相等：平行四面体的四条边长度相等，因此它是一个等边四面体。
3. 所有角度相等：平行四面体的四个顶点所形成的内角都是相等的。
4. 对角平分：平行四面体的对角线相交于一个点，并且这个点所在的直线平分对角线。
二、与其他形状的关系1. 与立方体的关系：平行四面体可以被看作是一个正立方体的一半。
当一个正立方体沿着一条对角线剖分时，剩余的两个部分就构成了一个平行四面体。
2. 与正四面体的关系：平行四面体与正四面体是两个不同的立体形状。
平行四面体具有平行的底面和顶面，而正四面体的四个面是等边的三角形。
3. 与长方体的关系：平行四面体可以被视为一个长方体的一部分。
当一个长方体沿着一条对角线剖分时，剩余的两个部分就构成了一个平行四面体。
三、实际应用与意义平行四面体在实际生活中有着广泛的应用和意义。
以下是一些例子：1. 建筑设计：平行四面体的形状常被用于建筑设计中，用于创造独特的外观和视觉效果。
2. 晶体结构：某些晶体的结构可以被近似地看作是平行四面体的形状，这对于研究材料的物理和化学性质非常重要。
3. 几何学教育：平行四面体是几何学教育中重要的概念之一，通过学习和理解平行四面体的性质，可以提高学生的空间想象力和几何思维能力。
结论平行四面体是立体几何中的一种特殊形状，由四个平行的三角形组成。
它具有独特的定义和性质，与其他形状如立方体、正四面体和长方体有一些关联和区别。
在实际应用中，平行四面体在建筑设计、晶体结构研究以及几何学教育等领域发挥着重要的作用。
通过深入理解和学习平行四面体，我们能够更好地探索立体几何的奥秘。
(完整版)四面体的性质
1四面体的性质不在一直线上的三点可以连成一个三角形，不共面的四点可以连成四个三角形，这四个三角形围成的几何体叫做四面体（如图1）.它有四个顶点，六条棱,四个面.研究四面体的有关性质可以加深对四面体,空间四边形的知识的理解，有利于提高熟练运用知识的能力。
性质1：四面体中相对的棱所在的直线是异面直线。
如图1中AB 和CD ，BC 和AD ，AC 和BD 都是异面直线。
性质2：四面体中，若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心,则四面体的三组对棱分别互相垂直.证明：如图2的四面体中，设顶点A 在面BCD 内的射影H 是BCD △的垂心。
AH BCD ⊥平面。
连结BH ，CH ，DH,则BH CD ⊥，CH BD ⊥,DH BC ⊥.根据三垂线定理得AB CD ⊥，AC BD ⊥，AD BC ⊥.性质3：四面体中，若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也互相垂直。
证明：设四面体ABCD 中,AB CD ⊥，AC BD ⊥，过A作AH BCD ⊥平面，H 为垂足（如图2）.连结BH ，CH ，则BH 为AB 在平面BCD内的射影，根据三垂线定理的逆定理,BH CD ⊥；同理CH BD ⊥，所以H 是BCD △的垂心。
由性质2知AD BC ⊥.根据性质2，3立即可以得到：性质4：四面体中，若一个顶点在它对面内的射影是这个面的中心,则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心。
利用全等三角形的判定和性质,可以证明下面两条性质：性质5：四面体中，若交于同一顶点的三条棱相等，则这个顶点在对面内的射影是这个三角形的外心，且这三条棱和顶点所对面所成的角相等。
反之也真。
特别地，若这个顶点所对的面是一个直角三角形，则这顶点的射影是直角三角形斜边的中点。
性质6：四面体中，若一个顶点在对面内的射影是这个三角形的内心,则顶点到对面三角形三条边的距离相等，且以这三角形三角形三条边为棱的三个二面角相等.性质7:四面体中，若交于同一点的三条棱两两互相垂直，则这个顶点所对面是一个锐角三角形。
初中数学竞赛专题-第二十二章一般四面体的性质及应用
第二十二章一般四面体的性质及应用【基础知识】四面体是三角形在空间的直接推广,三角形的很多性质及其证法可以推广到四面体上去．四面体的许多性质可以借助于平行六面体来证．性质1任意四面体六个内二面角的平分面交于一点,这点到四面体四个面的距离相等,该点称为四面体的内切球球心（简称四面体的内心）．内切球与四面体四个面内切． 若四面体ABCD 的体积为V ,顶点A 所对的侧面面积为A S ,类似地有B S ,C S ,D S （后面所设均同此）,其内切球半径记为r ,则3A B C DVr S S S S =+++．性质2任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点,这点到四面体四顶点的距离相等,该点称为四面体的外接球球心（简称四面体的外心）．外接球通过四面体四顶点． 若四面体ABCD 的体积为V ,其三对对棱的长分别为1a ,a ；1b ,b ；1c ,c ,其外接球半径为R ,则1624Q R V V==注其中Q 即为以三对对棱乘积为边的三角形面积． 性质3任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点,而且每条中线从各该顶点算起都被这点分为31∶之比,这点称为四面体的重心． 性质4任意四面体的共顶点的（二面角的棱共顶点）三个内二面角的平分面与另三个内二面角的补（或外）二面角的平分面交于一点,这点到四面体四个面的距离相等,该点称为四面体的旁切球球心（简称四面体的旁心）,且一个四面体有四个旁心,旁切球与四面体的一个侧面外切,与其他三个侧面的延展面相切．若与四面体ABCD 的顶点A 所对的面外切,与其余三个侧面的延展面相切的旁切球半径记为A r ,类似地有B r ,C r ,D r ,其他记号同前,则 3A B C D A V r S S S S =++-,3B A C D B Vr S S S S =++-,3C A B D C V r S S S S =+++,3D A B C DVr S S S S =+++．性质5（射影定理）四面体任意一个侧面的面积等于其他三个侧面在这个侧面上的射影面积之和．即在四面体ABCD 中,若记AB θ为棱AB 所在的内二面角的大小,其余类同,则有 cos cos cos A B CD C BD D BC S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅, cos cos cos B C AD D AC A CD S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅, cos cos cos C D AB A BD B AD S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅, cos cos cos D A BC B AC C AB S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅．性质6（余弦定理）四面体任意一个侧面的面积的平方,等于其他三个侧面的面积的平方和减去这三个侧面中每两个面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍之和．即在四面体ABCD 中,有22222cos 2cos 2cos A B C D B C AD C D AB B D AC S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅,22222cos 2cos 2cos B C D A C D AB C A BD D A BC S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅,22222cos 2cos 2cos C A B D A B CD A D BC B D AC S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅,22222cos 2cos 2cos D A B C A B AB A C BD B C AD S S S S S S S S S S θθθ=++-⋅⋅-⋅⋅-⋅．注顺次用A S ,B S ,C S ,D S 去乘射影定理中各式并相加整理即得以上第一式,其余各式类同．性质7（体积公式一）四面体体积13=倍底面面积与底面上的高的乘积．即11113333A AB BC CD D v S h S h S h S h =⋅=⋅=⋅=⋅．性质8（体积公式二）四面体的体积等于它的任意两个面的面积及其所夹二面角正弦之积的三分之二,除以这两个面的公共棱长．即对四面体ABCD ,有2sin 2sin 2sin 2sin 3333C D AB A D BC A B CD B C DAS S S S S S S S V AB BC CD DAθθθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====2sin 2sin 33B DAC A C BDS S S S AC BDθθ⋅⋅⋅⋅=． 注由2111sin sin 3332C C C AB C AB h AB V S h S h S ABθθ⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅斜高斜高2sin 3C DAB S S AB θ⋅⋅等即证得． 性质9（体积公式三）四面体的体积等于共顶点的三条棱长乘积与该顶点三面角的特征值乘积的六分之一,即对于四面体ABCD ,若共顶点A 的三条棱长分别为a ,b ,c ,顶点A 处的三个面角分别为α,β,γ则有()1166v abc S A =⋅=16abc =()12ωαβγ=++． 其中()S A =A的三面角的特征值． 注由111sin sin 332V S h ab C γβ=⋅=⋅⋅⋅⋅,即得上述结论．性质10（体积公式四）若记1P ,2P ,3P 分别为四面体相对两棱（互为异面的两条棱）的积的平方,再乘以另外四条棱的平方和与这对棱的平方和的差所得的积；P 为四面体每个面上三条棱的积的平方和,则四面体的体积V =性质11（正弦定理一）在四面体ABCD 中,有（1）sin sin sin sin C D AB A D BC B C DA B D AC AB BC DA ACS S S S S S S S θθθθ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2sin sin 3A B CD A C BD CD BD S S S S Vθθ===⋅⋅⋅⋅；（2）22sin sin sin sin sin sin 9A B C D AB CD AD BC AC BD S S S S AB CD AD BC AC BDVθθθθθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⋅；（3）若()sin A 表示顶点A 处的三棱中,任意两棱上的二面角的正弦与这两条棱夹角的正弦三者的积,余类同,则()()()()22sin sin sin sin 9C A B C D A B DS S S S S S S S A B C D V====．注此性质由性质8即证．性质12（正弦定理二）四面体中各个面上三条棱长的积与其所对三面角的特征值之比都相等,该比值等于六条棱长的积与体积的六倍之比,即对四面体ABCD ,有 ()()()()BC CD BD AC CD AD AB BD AD AB BC ACS A S B S C S D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===6AB BC CD BD AC ADV⋅⋅⋅⋅⋅=．注此性质由性质9即证,性质13（对棱所成角公式）四面体一对对棱所成角的余弦等于其他两对对棱平方和之差的绝对值与这对对棱乘积的二倍之比．即对四面体ABCD ,有 ()cos ,AB CD =()()22222BC AD AC BD AB CD+-+⋅；()cos ,BC AD =()()22222AB CD AC BD BC CD+-+⋅；()cos ,AC BD =()()22222BCAD AB DC AC BD+-+⋅；注其证明可参见第18章中例1或补成平行六面体,运用三角形余弦定理及平行四边形的对角线平方和等于四边平方和即证．性质14（对棱距离公式）若a 和1a ,b 和1b ,c 和1c 是四面体的三对对棱长,三对对棱之间的距离分别记为()1,d a a ,()1,d b b ,()1,d c c ,则 ()112,Vd a a =；()1,d b b =()1212,Vd c c =．注补成平行六面体证．性质15若四面体的一对对棱长分别为a ,1a ,这对对棱间的距离为d ,对棱所成的角为θ,则四面体的体积V 为11sin 6V aa d θ=⋅． 性质16（二面角平分面定理）四面体二面角的内（或外）平分面分所对的棱得两条线段和这个二面角的两个面的面积对应成比例．性质17（空间张角公式）设过四面体ABCD 的棱BC 的截面EBC 交所对的棱AD 于E ,二面角A BC E --,E BC D --的大小分别为1θ,2θ,则()1212sin sin sin EBCDBC ABCS S S θθθθ+=+△△△． 性质18（空间莱布尼兹公式）设四面体ABCD 的六条棱长分别为a ,b ,c ,d ,e ,f ,G 为其重心,P 为空间中任一点,则()()2222222222211416PG PA PB PC PD a b c d e f =+++-+++++ 性质19（空间塞瓦定理）设E ,F ,G ,H ,M ,N 分别为四面体ABCD 的棱CD ,DB ,BC ,AD ,AB ,AC 上的点,若六个平面ABE ,ACF ,ADG ,BCH ,CDM ,DBN 共点,则 1CE DH AM BGED HA MB GC⋅⋅⋅= 性质20（空间梅涅劳斯定理）平面KLMN 交四面体ABCD 的棱AB ,BD ,CD ,AC 于K ,L ,M ,N ,则1AK BL DM CNKB LD MC NA⋅⋅⋅=． 证明设四边形KLMN 是四面体ABCD 被平面α所截的截面,1AA ,1BB ,1CC ,1DD 是平面α的垂线（1A ,1B ,1C ,1D 分别为垂足）．考察棱AB 与平面α相交的部分,显然11AA K BB K △△≌,则11AA AK KB BB =．同理,11BB BL LD DD =,11DD BM MC CC =,11CC CN NA AA =． 以上四式两边相乘即证．性质21（空间斯特瓦尔特定理）在四面体ABCD 中．AD BC ⊥,过棱BC 作截面BCE 交棱AD 于E ,则222214BCE ABC BCD DE AE S S S BC AE DE AD AD =⋅+⋅-⋅⋅△△△．证明如图221-,作AF BC ⊥于F ,连BF ,DF ．注意到AD BC ⊥,知BC ⊥面ADF ,所以BC EF ⊥,BC EF ⊥．记AEF α∠=． 在AEF △中,由余弦定理,有2222cos AF EF AE AE EF α=+-⋅⋅． 上式两边同乘以2BC 后,整理得222244cos 4BCE ABCBCES BC AE S AE BC S α+⋅-=⋅⋅△△△． 同理在DEF △中,有222244cos 4BCE BCDBCES BE DE S DE BC S α+⋅--=⋅⋅△△△．由上述两式消去α,整理便证得结论．推论1当ABC BCD S S =△△时,有22214BCE ABCS S BC AE DE =-⋅⋅△△． 推论2当E 为AD 中点时,有222221112216BCE ABC BCD S S S BC AD =+-⋅△△△ 推论3当面BCE 平分二面角A BC D --时,有2214BCE ABC BCD S S S BC AE DE =⋅-⋅⋅△△△． 事实上,由ABC EABC BCD EBCD S V AE S V DE ==△△,有BCD ABC BCD S DE AD S S =+△△△,ABC ABC BCD S AECD S S =+△△△．由此即证．推论4当AEk ED=时,有 ()222222111141BCE ABC BCD k k S S S AD BC k k k =+-⋅⋅⋅+++△△△． 性质22四面体ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别在棱AB ,BC ,CD ,DA 上,且1AE EB λ=,2BFFCλ=, 3CG GD λ=,4DHHA λ=,则内接四面体EFGH 的体积与四面体ABCD 的体积之间有关系式 ()()()()1234123411111EFGH ABCDV V λλλλλλλλ⋅⋅⋅-=⋅++++．证明连ED ,BG ,得四棱锥E FBDG -,G EBDH -．在CBD △,ABD △中,有 ()()33232311111CFG CBD S CF CG S CB CD λλλλλλ⋅==⋅=⋅++++△△, ()()11141411111AEH ABD S AF AH S AB AD λλλλλλ⋅==⋅=⋅++++△△, ()()23223111FBDG CBD CFG CBD CBD S S S S S λλλλλ-++==++△△△△, ()()14414111ABD AFH EBDH ABD ABD S S S S S λλλλλ-++==++△△△△． 又()()()2321231111G FBDG FBDG ACBD CBD V S BE V S AB λλλλλλ-++=⋅=+++△ ()()()1441341111G EBDH EBDH CABD ABD V S GD V S CD λλλλλλ-++=⋅=+++△, ()()13111EBDG BDG ABDC BDC V S BE DG BE V S AB DC AB λλ=⋅=⋅=++△△． 设六面体EGFBDH 的体积为V ',则()()()()124224142324241231411111E FBDG G EBDH EBDG V V V V λλλλλλλλλλλλλλλλλλ--+++++++'=+-=++++设六面体FHEACG 的体积为V '',则()()()()123134121334131231411111F GCAH H FCAE HACF V V V V λλλλλλλλλλλλλλλλλλ--+++++++'=+-=++++当B ,F 在平面EHG 的同侧时,有()EFGH ABCD V V V V '''=+-． 当C ,F 在平面EHG 的同侧时,有()EFGH ABCD V V V V '''==+． 综合,得()EFGH ABCD V V V V '''=-+．即证． 注由此性质可得E ,F ,G ,H 共面的充要条件是1AE BF CG DH EB FC GD HA⋅⋅⋅=． 【典型例题与基本方法】例1已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形,A 点在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心,二面角H AB C --的平面角等于30︒,SA =求三棱锥S ABC -的体积．（1999年全国高中联赛题）FOCBE HS图22-2A解如图222-,由题设,知AH ⊥面SBC ,作BH SC ⊥于E ,则由三垂线定理知SC ⊥面ABE ．设S 在面ABC 的射影为O ,则SO ⊥面ABC ．由三垂线定理的逆定理,可知CO AB ⊥于F ．同理,BO AC ⊥．故O 为ABC △的中心,从而SA SB SC ===又CF AB ⊥,CF 是EF 在面ABC 上的射影,由三垂线定理知EF AB ⊥,所以EFC ∠是二面角H AB C --的平面角,故30EFC ∠=︒,cos 6030OC SC =⋅︒=︒,tan 603SO OC =⋅︒=．又OC AB =,则3AB ==,所以,21333S ABC V -=⋅= 例2证明：任意一个四面体总有一个顶点,由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边．（IMO 10-试题）证明利用反证法来证,设四面体ABCD 中AB 是最长的棱,如果任意一个顶点出发的三条都不能构成一个三角形,则对由A 出发的三条棱,有AB AC AD +≥．又对由B 出发的三条棱,有BA BC BD +≥．两式相加,得2AB AC AD BC BD +++≥．()*但在ABC △与ABD △中,有AB AC BC <+,AB AD BD <+．此两式相加,有 2AB AC AD BC BD <+++． 上式与()*式矛盾,故原结论获证．注和这道试题类似的命题还有（1）任意四面体的三组对棱之和可以构成一个三角形的三边； （2）任意四面体的三组对棱之积可以构成一个三角形的三边；（波兰1975～1976年竞赛题）（3）任意四面体的三组对棱的平方和可以构成一个三角形的三边．例3若一个四面体恰有一棱之长大于1,求证这四面体的体积18V ≤．图22-3BC证明如图223-,设AB 是这个四面体的最长的棱,则ACD △,BCD △的边长不大于1．作BCD △的高BE 和ACD △的高AF ,则BE,AF 不大于（其中1a ≤表示CD 的长度）,四面体的高AO h AF =-≤所以111332BCD V h S a =⋅△≤()21424a a =-, 而()()()()22431213a a a a a -=---+-≤,故当1a =时,()24a a -取最大值3,故31248V =≤． 例4证明：在四面体中至多有一个顶点具有如下性质：该顶点处的任何两个平面角之和都大于180︒．（第22届莫斯科竞赛题）证明假定顶点A 和B 都具备所述的性质,则有180CAB DAB ∠+∠>︒及180CBA DBA ∠+∠>︒,但是作为CAB △和DAB △的全部6个内角之和也只有180180︒+︒,此为矛盾,从而原结论获证．例5设d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值,h 是四面体的最小高的长．证明2d h >．（第24届全俄竞赛题）图22-4H G lF EBDAC证明如图224-,为确定起见,假定h 是四面体ABCD 中由顶点A 所引出的高,而d 是棱AB 和CD 之间的距离．经过顶点B 引直线l CD ∥,过点A 作平面垂直于棱CD 交CD 于F ,交l 于E ,于是AEF △的高AH 和FG 就分别等于h 和d ．由于AEF △的第三条高等于四面体ABCD 的某一条高,所以其值不小于h ,因此AF EF ≤,且2h AH AE AF FE d FG FE FE+==<≤,此即为所证． 例6试证：过四面体相对棱的中点的任一截面平分四面体的体积．（IMO 29-预选题）OF E P QNMA BCD图22-5证法1如图225-,设M 和P 分别是四面体ABCD 的棱AC 和BD 的中点,MNPQ 是四面体ABCD 的一个包含线段MP 的截面,因为P 为BD 的中点,则BCP CDP S S =△△,即有ABCP ACDP V V =．因此,要证截面MNPQ 将四面体ABCD 分成体积相等的两部分,只要证明AMNP V 与OMPQ V 相等就可以了．由N 和Q 分别作平面APC 的垂线,垂足分别为E ,F ,如图225-．因为M 为AC 的中点,则有APM CPM S S =△△,故要证AMNP CMPQ V V =,只要证NE FQ =即可．设MP 与NQ 交于点O ,易证E ,O ,F 三点共线．要证NE FQ =,只要证明NO OQ =就可以了（通过Rt Rt NEO QFO △△≌得到）． 为此,考察两个平行平面,异面直线AB 和CD 分别在这两个平面上（如图226-）．N OP M QBDCA图22-6因为MP 是连接AC ,BD 中点的线段,所以它在与上述两平面平行的平面上,这个平面到两已知平面的距离相等．由于线段NQ 与MP 相交于O ,所以O 等分线段NQ ,即有NO OQ =．故结论获证． 注上述证明中,没有对截面MNPQ 的形状进行讨论．若对其形状进行讨论,则有下述两种证法． 证法2如图227-,设M ,P 分别是四面体ABCD 的对棱AC ,BD 的中点．图22-7ADG当截面是平行四边形或特殊三角形时,证明比较简单（略）． 当截面是一般四边形MNPQ 时． 由AM CM =,有A MNPQ C MNPQ V V --=又在ABC △中,对截线MNG 应用梅涅劳斯定理,有1AM CG BNMC GB NA⋅⋅=． 从而,有1CG BNGB NA⋅=． 同理,在BCD △中,有1BP DQ CG PD QC GB ⋅⋅=,即1DQ CGQC GB ⋅=． 于是BN DQ NA QC =,得BN DQBA DC=． 又1C BPN Q APD V BN CDV BA QD--⋅==⋅,即C BPN Q APD V V --=． 故C MNPQ C BPN A MNPQ Q APD V V V V ---+=+一．证毕．证法3前面同证法2,下证截面为一般四边形MNPQ 时的情形．记A d 表示顶点A 到截面MNPQ 的距离（其余类同）,设N 分AB 的比为m n ∶．则由M ,P 分别是AC ,BD 的中点,可知Q 点分CD 的比C A D B d d CQ AN mQD d d NB n ====． 由A C d d =,有A MNPQ C MNPQ V V --=．又13113APD Q APDQ APD C BPNBPN C APD S d V AB QD m n n V NB CD n m n S d ----⋅+==⋅=⋅=+⋅△．即Q APD C BPN V V --=．故C MNPQ C BPN A MNPQ Q APD V V V V ----+=+．例7如图228-,设四面体1234A A A A 的外接球与内切球的半径分别为R 与r ,则3R r ≥．图22-843A 2A证明设O 为四面体的外心,i A 所对的面的面积为(14)i S i ≤≤,球心O 到i A 所对的面的距离为(14)i d i ≤≤,四面体体积为V ,过顶点1A 的高11A H h =,则易知1111d OA d R h +=+≥,从而()111113S d R S h V +⋅=≥,即1111133S d S R V ⋅+⋅≥．同理2221133S d S R V ⋅+⋅≥,3331133S d S R V ⋅+≥, 4441133S d S R V +⋅≥． 以上四式相加,并注意()1122334413S d S d S d S d V ⋅+⋅++⋅=, 有4113i i V R S V =+⋅∑≥4,即419i i R S V =⋅∑≥．因4113i i V r S ==⋅∑,从而44113i i i i R S r S ==⋅⋅∑∑≥,即3R r ≥．例8在四面体1234A A A A 中,顶点i A 所对的面的面积为(14)i S i ≤≤,侧面面积为k S ,j S 的两侧面所夹的内二面角的大小记为,k j()14k j <≤≤,棱k j A A 的中点记为kj M ,含点kj M 与另两顶点（不含顶点k A ,j A ）的三角形称为四面体的一个中线面（或一棱与对棱中点的面）,这个中线面的面积记为kj S ()14k j <≤≤,则()22212cos ,4kj k j k j S S S S S k j =++⋅⋅,其中k ,j 满足14k j <≤≤．证明对四面体1234A A A A ,由性质6,有223434131423242cos 3,4cos 1,3cos 1,42,32,4S S S S S S S S S S S S +=⋅⋅++⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅及221212131423242cos 1,2cos 1,3cos 1,4cos 2,3cos 2,4S S S S S S S S S S S S +=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅．亦即13142324cos 1,3cos 1,4cos 2,3cos 2,4S S S S S S S S ⋅⋅++⋅+⋅⋅+⋅⋅2212122cos 1,2S S S S =+-⋅⋅．对四面体13412A A A M 和四面体23412A A A M 分别运用性质6,有2222123423411112cos 3,44422S S S S S S =++-⋅⋅⋅-3242112cos 2,32cos 2,422S S S S ⋅⋅-⋅⋅⋅,2222123413411112cos 3,44422S S S S S S =++-⋅⋅⋅-3141112cos 1,32cos 1,422S S S S ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅上述两式相加,并将前面结果代入,有()22222123412131412cos 1,3cos 1,42S S S S S S S S S =+++-⋅⋅-⋅-232434cos 2,3cos 2,4cos 3,4S S S S S S ⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2212131411cos 1,3cos 1,422S S S S S S =+-⋅⋅-⋅-232411cos 2,3cos 2,422S S S S ⋅⋅-⋅⋅()222212121212cos 1,22S S S S S S =+-+-⋅ ()2212121cos 1,22S S S S =++⋅． 故()22212121212cos 1,24S S S S S =++⋅⋅． 同理,得()22212cos ,4kj k j k j S S S S s k j =++⋅⋅． 注由性质5,有421412cos ,k j t k j i S S k j S =⋅⋅=∑∑≤≤≤,则推知()22214141412cos ,4kj k j k jk j k j k j S S S S S k j <<⎡⎤=++⋅⋅⎢⎥⎣⎦∑∑∑≤≤≤≤≤≤≤ 444222111134i i i i i i S S S ===⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑∑ 例9设G 为四面体1234A A A A 的重心,则222222221232434213143444GA A A A A A A GA A A A A A A +++=+++ 222222223121424412132344GA A A A A A A GA A A A A A A =+++=+++21434k j k j A A =∑≤≤≤．43图22-9证明如图229-,连A ,G 并延长交面234A A A 于点1G ,则1G 是234A A A △的重心,连21A G 并延长交34A A 于M ,则M 是34A A 的中点．连1A M ,对12A A M △及点1G 应用斯特瓦尔特定理,有2221121211212211AG A M A A MG A M A G A M A G MG ⋅=⋅+⋅-⋅⋅．而21121A G G M =∶∶,则2222111212122339AG A A A M A M =+-．()* 由三角形中线公式,有 ()224211212341124A M A A A A A A =+-,()222222324341124A M A A A A A A =+-, 并将其代入()*,有()()2222222111213142324341139AG A A A A A A A A A A A A =++-++． 从而()()222222232221111213142324342324343314164GA A G A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫==+++++-++ ⎪⎝⎭． 故22222123243414344k j k j GA A A A A A A A A <+++=∑≤≤．同理可证其他三式均等于例10设R ,r 分别为四面体1234A A A A 的外接球半径与内切球半径,i h 为顶点i A 到所对面的距离,内切球切各顶点i A 所对的面于i A '(1234)i =，，，．求证： （Ⅰ）21416k j k j A A R <∑≤≤≤；（Ⅱ）4214194k j i k j i A A h <=∑∑≤≤≤（Ⅲ）422164i i h r =∑≥；（Ⅳ）141419nk j k j i k j k j i A A A A X <<=''∑∑∑≤≤≤≤≤．证明（Ⅰ）设O ,G 分别为四面体1234A A A A 的外心和重心,延长1A G ,交面234A A A 于1G ,则1G 为234A A A △的重心,连21A G 交34A A 于M 点,则M 点为34A A 中点,如图229-．由例9中证明,知2222222111213142324341[3()()]9AG A A A A A A A A A A A A =++-++．同理,在四面体234OA A A 中,有222222212342324341[3()()]9OG OA OA OA A A A A A A =++-++．()222223243419R A A A A A A =-++由于G 为四面体重心,由性质3,知1131A G GG =．于是,在11AOG △中,对点G 应用斯特瓦尔特定理,有 ()222211111[433]16OG OG OA AG =+- 2222222121314232434116()()16R A A A A A A A A A A A A ⎡⎤=-++-++⎣⎦． 由于20OG ≥,故21416k j k j A A R <∑≤≤≤．（Ⅱ）显然11AG h ≥,则()()22222221121314232434139h A A A A A A A A A A A A ⎡⎤++-++⎣⎦≤． 同理,对2h ,3h ,3h 也有类似于上述的不等式． 此四式相加,得4214194k j i k j i A A h <=∑∑≤≤≤．（Ⅲ）由13i i V S h =()1,2,3,4i =,则有4411113i i i iS h V ===∑∑又由4113i i V S r ==⋅∑,则4111i ih r ==∑．由14411234114i i h h h h h =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑≥,有()412344h h h h r ≥． 故()()()114222222212341234448h h h h h h h h r r ⎡⎤+++=⎣⎦≥≥4．（Ⅳ）四面体1234A A A A ''''的外接球半径记为R ',则214116k j k j R A A <'''∑≤≤≥． 又四面体1234A A A A ''''的外接球半径恰是四面体1234A A A A 的内切球半径,故R r '=．于是42222141199********k j ik j i R A A h r R <='=∑∑≤≤≥≥≥≥14k j k j A A <''∑≤≤．故214149k j kj k j k j A A R A A <<'''∑∑≤≤≤≤≥8≥． 例11四面体1234A A A A 中,外接球半径为R ,体积为V ,过顶点k A ,j A 的中线面为()14kj S k j <≤≤．试证：141k j kjS <∑≤≤ 证明设1d ,2d ,3d 与1θ,2θ,3θ分别为三对对棱12A A ,34A A ；13A A ,24A A ；14A A ,23A A 的距离与夹角,则由性质15,有1234111sin 6V A A A A d θ=⋅⋅⋅,亦即113346V d A A A A ⋅≤．同理,有213246V d A A A A ⋅≤,314236Vd A A A A ⋅≥．取34A A 的中点M ,则121212112MA A S S A A d =⋅△≥,同理,可得关于kj S 的不等式,从而412113214323324234111111112k j kj S A A d A A d A A d A A d A A d A A d <⎛⎫+++++ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭∑1≤≤≤122141411633k j k j k j k j A A A A V V<<⎫⎪⎭∑∑≤≤≤≤≤)1221466163RRV=． 例12设四面体1234A A A A 的内心为I ,记k j A IA △的面积为kj S ',顶点i A 所对的面的面积为i S ．试证： 41416kj i k j i S S <='∑≤≤ 证明过I 作1IA '⊥面234A A A 于1A ',作34IN A A ⊥于N ,若记面积为k S ,j S 的两侧面夹角为()14kj k j θ<≤≤,则易见11212A NI θ'∠=．设r 为四面体1234A A A A 的内切球半径,则在1Rt IA N '△中,有121sin 2rIN θ=,则34121212sin 2A A r S θ⋅'=． 由性质8,有1212342sin 3S S V A A θ⋅⋅=,于是消去34A A ,得12121221cos 32S V S S θ'⋅=⋅,注意到4113i i V S r ==⋅∑,则1212124121cos 2ii S S S S θ='''=⋅∑．对上述两边取∑,并用canchy 不等式,有1241414121cos 2k j k j kj k j k j i i S S S S S S θ<<=⎫'=⋅⋅⋅⎪⎭∑∑∑≤≤≤≤ 12241414121cos 2k j k j kj k j k j i i S S S S S θ<<=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑≤≤≤≤≤．()* 注意到性质5,有1212313414cos cos cos S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅,即42213121423411cos cos cos 2222i i S S S S θθθ==⋅+⋅+⋅∑,对上式两边同乘以1S 后,再两边取∑,有241141cos 42kj i k j i k j S S S θ=<⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑∑≤≤．又由对称平均不等式,有1421141146i k j i k j S S S =<⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑∑≤≤ 于是,由()*式（将上述结果代入()*式）即有414114kj i k j i S S <='∑≤≤． 例13四面体1234A A A A 的三组对棱乘积的平方和不小于各侧面面积平方和的4倍,即若令12A A a =,34A A a '=,13A A b =,24A A b '=,14A A c =,23A A c '=,顶点i A 所对面的面积为()1234i S i =，，，,则222222222212344()a a b b C C S S S S '''+++++≥,其中等号当且仅当各对棱的平方和相等．证明对234A A A △应用海伦一秦九韶公式,有()24442222221122216S a b c a b a c b c '''''''''=---+++ 同理,()24442222222122216S a b c a b a c b c '''=---+++, ()2444222223122216S a b c a b a c b c '''=---+++, ()24442222224122216S a b c a b a c b c '''=---+++． 以上四式相加并整理,得22221234S S S S +++=()()()()()()(){}2222222222222222222221416a ab b a ac c b b c c a a b b c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'''''''''-+-+-+-+-+-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22222214a ab bc c '''++≤． 例14四面体1234A A A A 内一点P 到顶点i A 及i A 所对的面的距离分别为i l ,i d ,顶点i A 到所对的面的距离为()1234i h i =，，，,34k ≥ ．求证：41423ki ki i i l h d =⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑≥． 证明先证一个结论：设()01,2,3,4i x i >=,41i i x a ==∑,则4143ki k i i x a x =⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑≥．其中等号当且仅当1234x x x x ===时取得．事实上,由()443333()44i i i i x a x a x a x ⎡⎤+-⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤,有443343k kki i k i x x a x a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≥,从而4434444433314114443343k k k kk ii i i k ki i i x x x a x a a ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑≥≥ 下证原题：设四面体1234A A A A 的体积为V ,如图2210-,作11A H ⊥面234A A A 于1H ,作11PE A H ⊥于E ,作1PD ⊥面234A A A 于1D ,则11A P l =,11PD d =,111A H h =．A 3A 4图22-10设i A 所对面的面积为(1234)i S i =，，，,则 ()1111111113S l S d S A E d S h V ⋅+⋅+==≥,从而2341133PA A A S l V V ⋅-≥．同理,1342233PA A A S l V V ⋅-≥,1243333PA A A S l V V ⋅-≥,1234433PA A A S l V V ⋅-≥．从而()13412412322334493PA A A PA A A PA A A V S l S l S l V V V +++-+≥()234111632PA A A V V S h d =+=+, 即111112233442l S l h d S l S l S l '+++≥．同理,222221133442l S l h d S l S l S l +++≥,333331122442l S l h d S l S l S l +++≥,444441122332l S l h d S l S l S l +++≥．令()1,2,3,4i i i x l R i =⋅=,由前述结论,得4411423kki i k i i i i i l x h d a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∑∑≥≥． 【解题思维策略分析】1．解四面体的有关问题时,要善于与三角形类比例15一个球内切于四面体,将每个切点与该点所在面的三顶点连结起来,这样形成的每面的三个角（以切点为顶点）组成一个集合．试证这四个集合是相等的．（第16届普特南竞赛题）证明设四面体的顶点为()1234i P i =，，，,又设i Q 是正对着i P 的面与球相切的切点．用i ,j ,k ,l 表示{}1234，，，的不同元素,由于i j PQ 与i k PQ是从同一顶点向球所作的切线,故i j i k PQ PQ =． 同理,i j i k PQ PQ =,从而i j l i k l PQ p PQ P △△≌（边,边,边）．于是i j l i k l PQ P PQ P ∠=∠, 并用il θ表示这种角,即有il li θθ=.由于以i Q 为顶点的三个角相加是2π,故有2334422πθθθ++=,3441132πθθθ++=,4112242πθθθ++=,1223312πθθθ++=．将这些等式的前两个相加减去后两个,且利用ij ji θθ=．得3412220θθ-=,即1234θθ=． 又由对称性,得ij kj θθ=．()*以1Q 为顶点的角是23θ,34θ,42θ,由()*式,它们分别等于以2Q 为顶点的三个角,即41θ,34θ,13θ．由对称性,在所有四个面上的中心角都有同样的情形．证毕, 注第26届IMO 由前苏联提供的预选题：“四面体ABCD 的内切球与面ABD 和DBC 分别相切于K 和M 点,证明：AKB DMC ∠=∠．”显然,这道试题是例15的特殊情形． 例16已知ABC △的面积力S △,外接圆半径为R ,过A ,B ,C 作平面ABC 的垂线,并在平面ABC 的同一侧的垂线分别取1A ,1B ,1C ,使1a AA h =,1b BB h =,1c CC h =,这里a h ,b h ,c h 分别表示边BC ,CA ,AB 边上的高．求四个平面11A B C ,11B C A ,11C A B ,ABC 所围成的四面体的体积． 解求解此问题的关键是确定这个四面体的四个顶点的位置．设平面11A B C 与直线AB 相交于K 点,则点K 在11A B 上．由11AA BB ∥知11a b h AA KA b ACKB BB h a BC====．因此,K 是BCA ∠的外角平分线与BA 的交点,从而平面11A B C 与ABC 的交线是BCA ∠的外角平分线． 同理,类似可得：平面11B C A 与ABC 的交线是CAB ∠的外角平分线．上述两条外角平分线的交点是ABC △的旁心B I ,因此B I 就是平面11A B C ,11B C A 与ABC 的公共点,即为所求四面体的一个顶点．这样,旁心A I ,B I ,C I 是所求四面体的三个顶点．设第四个顶点为P ,则P 是平面11A B C 和11B C A 的公共点,因而在直线1B B I 上,P 在平面ABC 上的射影在B BI 上,也在A AI 上,因而P 的射影就是ABC △的内心I ． 由相似三角形,1PI AA ∥,且1A P 与AI 相交于A I ,可得1a A a A ar rII PI PI AA h AI r -===,其中r 为ABC △的内切圆半径,a r 为劳切圆半径．设ABC △的周长为2l ,则11221a a a a r r S S l a l PE h r a l l a ---=⋅=⋅=-△． 由平面几何知识,易证A B C I I I △的面积为 ()1222a b c S a b c S S ar br cr l a l b l c ⎛⎫'=+++=+++ ⎪---⎝⎭△△△()()()2abc S l a l b l c ⋅=---△． 故所求体积()()()211332A B C PI I I S abc S V S PI l l a l b l c ⋅'=⋅=⋅⋅---△△△1433abc S R ==⋅△． 例17在四面体1234A A A A 中,顶点i A 所对的面的面积记为()1234i S i =，，，,以i j A A 为棱的二面角为il θ,则 （Ⅰ）2142cos 3ij k j θ<∑≤≤≥；（Ⅱ）6141cos 3ij k j θ<≤≤≤． 证明联想到在ABC △中,运用三角形射影定理并结合柯西不等式,有2223cos cos cos 4A B C ++≥, 31cos cos cos 2A B C ⋅⋅≤,于是有下述证法： （Ⅰ）由性质5,1234324423cos cos cos S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅, 由Cauchy 不等式,有221234324423(cos cos cos )S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅()()222222234342423cos cos cos S S S θθθ++++≤,从而22221342423222234cos cos cos S S S S θθθ++++≥． 同理,还有类似于上式的三个式子,四式相加,得2444222141112cos 4111i ii ij k j i i i i i i S x x S S x x θ<===⎛⎫==-++ ⎪---⎝⎭∑∑∑∑≤≤≥ ()1234141ix x x x x =-++++-∑()4411111641143133i i i i x x ==⎛⎫⎡⎤=-+-⋅-+= ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭∑∑≥．故2142cos 3ij k j θ<∑≤≤≥． （Ⅱ）由1234324423cos cos cos S SS S θθθ=⋅+⋅+⋅≥ 同理,还有类似于上式的三个不等式,此四式相乘,化简即得6141cos 3ij k j θ<∏≤≤≤． 注将三角形与四面体的上述两个不等式各统一为（Ⅰ）2111cos ,2k j n n i j n<++∑≤≤≥；（Ⅱ）()11211cos ,n n i j n i j n-+<+∏≤≤≤,其中2n =为三角形的,3n =为四面体的．2．善于将有关问题进行转化例18四面体ABCD 三个侧面ABD ,ACD ,BCD 上,由顶点D 引出的中线与底面ABC △对应边所成的角相等,证明：每个侧面的面积小于另外两个侧面面积之和．（1997年波兰竞赛题）COCDEGABDEFG(b)(a)图22-11证明设E ,F ,G 分别是边AB ,BC ,CA 的中点,连结DE ,DF ,DG 如图2211- （a ）．设DE 与AB 所成角为θ,则1sin sin 2DAB S DE AB DE FG θθ=⋅⋅=⋅⋅△,1sin sin 2DBC S DF BC DF GE θθ=⋅⋅=⋅⋅△,1sin sin 2DCA S DG CA DG EF θθ=⋅⋅=⋅⋅△．由于sin 0θ>,所要证明的命题转化为证明：在四面体DEFG 中,任意一组对棱的乘积小于另两组对棱乘积之和．为此,我们来证明： DE FG DF GE DG EF ⋅<⋅+⋅．将四面体DEFG 的面DFG △绕FG 翻转到底面所在的平面上,得D FG '△如图2211- （b ）．在四边形D FFG '中,显然,有D G DG '=,DF D F '=．由Ptolemy （托勒密）不等式,有 D E GF D F GE D G EF DF GE DG EF '''⋅++⋅=⋅+⋅≤．设D E '与GF 交于点O ,由DFG D FG '△△≌,得DO D O '=．在DOE △中, DE DO OE D O OE D E ''<+=+=．故DE GF D E GF DF GE DG EF '⋅<⋅⋅+⋅≤．从而原题得证．例19给出三个四面体()123i i i i A B C D i =，，,过点i B ,i C ,i D 作平面i α,i β,i γ() 123i =，，分别与棱i i A B ,i i AC ,i i A D 垂直()123i =，，．如果九个平面i α,i β,i γ()123i =，，相交于一点E ,而三点1A ,2A ,3A 在同一直线l 上,求三个四面体的外接球面的交集（形状怎样？位置怎样？）．（CMO 3-试题）解由于几何元素太多,画出准确的全图几乎不可能．为此,画出一个局部图．231B 1图22-12(a)(b)连1A E 与1B E 如图2212- （a ）,可知111A B B E ⊥,此表明以1A E 为直径的球过1A ,1B ,E 三点．同样可知,这球过1A ,1B ,1C ,1D ,E 五点,此表明中心在1A E 的中点1O ,直径为1A E 的球也正好是四面体1111A B C D 的外接球．类似地可定出四面体i i i i A B C D 的外接球直径和中心()123i =，，．于是问题转化为到直线123A A A 及其线外一点E 所决定的平面上来了．这个平面与三个球的交线是三个圆,它们有一个公共点E ,从E 向直线123A A A 作垂线,垂足为E ',显然E '是E 关于直线123O O O 的对称点,所以E 与E '是这三圆的公共点．由此知以EE '为直径且垂直于直线123A A A 的圆就是三个四面体的外接球的交集．当E 在直线123A A A 上时,此圆就退化为一个点E ．此时三个球面相切于E 点．例20如图22-13,过四面体PABC 的重心G 的任一直线l 与四个面分别相交于M ,N ,S ,T 四点．求证：11110GM GN GS GT+++=．（《数学通报》问题1362题） B 1lG 1C 1A 1G TPNMSAC B图22-13证明设1G 为ABC △的重心,连1PG ,并设直线L 与直线1PG 确定的平面α与侧面ABC 的交线分别与ABC △的三边交于1A ,1B ,1C ．连1PA ,1PB ,1PC ,在平面α内,直线l 与1PA ,1PB ,1PC ,11A B 的交点分别为M ,N ,S ,T ．因G 是四面体重心,1G 是ABC △的重心,由重心性质,知G 分1PG 所成的比为31∶,且 1112111110G A G B G C ++=． 图22-14以1G 为原点,以直线11G A 为x 轴,建立平面直角坐标系如图2214-．设()1,0A a ,()1,0B b ,()1,0C c ,(),P m n ,别由1112121110G A G B G C ++=,知1110a b c ++=,,44m n G ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由两点式得直线1PA ,1PB ,1PC ,11A B 的方程分别为()n y x a m a =--,()ny x b m b=--, ()ny x c m c=--,0y = 设直线l 的参数方程为 1cos 41sin 4x m t y n t αα⎧=+⋅⎪⎪⎨⎪=+⋅⎪⎩（α为倾斜角,t 为参数） 并设M ,N ,S ,T 对应的参数分别为1t ,2t ,3t ,4t ． 将直线l 的方程分别代入直线1PA ,1PB ,1PC ,11A B 方程,得 114sin 4cos 4sin 33m n t na n ααα-⋅-⋅=+, 214sin 4cos 4sin 33m n t nb nααα-⋅-⋅=+, 314sin 4cos 4sin 43m n t nc nααα-⋅-⋅=+,414sin t n α-=由1110a b c++=,得123411110t t t t +++=,故11110GM GN GS GT +++=． 3．适当构作辅助体例21求证：若四面体相对棱间的距离分别为1d ,2d ,3d ,则四面体的体积V 不小于13123d d d ． D B CA EFC 1D 1A 1B 1图22-15证明如2215-,过四面体ABCD 的三组对棱AB 与CD ,AD 与BC ,AC 与BD ,分别引三对相互平行的平面,得平行六面体（或以四面体ABCD 的棱为侧面对角线构作平行六面体）,各相对面的距离分别等于四面体三组对棱的距离,又易知该平行六面体的体积正好是四面体ABCD 体积的3倍．在底面11A DB C 中,作1EF CA ⊥于E ,则1EF B D ⊥．设垂足为F ,则EF 不小于平面11A AC C 与平面11DD BB 间的距离,即3EF d ≥．又12AC d ≥,所以1123A DB CSd d ⋅≥．又平面11A DB C 与平面11AD BC 的距离为1d ,因此,1111111123AD BC A DB C A DB CV Sd d d d -=⋅⋅⋅≥．Suoyi 12313ABCD V d d d ≥．例22设a ,b 为四面体ABCD 的一对对棱AB 与CD 的长,r 为四面体内切球半径,求证：()2abr a b <+．（第22届全苏竞赛题）GABCDHFE图22-16证明如图2416-,过AB 与CD 分别作ABEF 与CDGH ,使得AF CD ∥,CH AB ∥,连AC ,BH ,EG ,FD ,得一个平行六面体AFEB CDGH -（或以四面体ABCD 的三棱CA ,CB ,CD 为共顶点的棱构成平行六面体）．设AB 与CD 之间的距离为d ,它们所成的角为θ,则由性质15,知1sin 6V ab d θ=⋅⋅四面体．设a h 为ABD △中AB 边上的高,显然D 到AB 的距离大于D 到面AFEB 的距离,即a h d >,而1122ABD a S a h ad =⋅>△．同理,12ABC S ad >△,12ACD S bd >△,12BCD S bd >△．于是,四面体ABCD 的表面积()ABD ABC ACD BCD S S S S S a b d =+++>+△△△△表．注意到性质1,即13V S r =⋅表,得到()3sin 222V abd abd ab r S S S a b θ⋅==<+表表表≤ 4．注意运用向量知识求解例23设平面α,β,γ,δ与四面体ABCD 的外接球面分别切于点A ,B ,C ,D ．证明：如果平面α与β的交线与直线CD 共面,则γ与δ的交线与直线AB 共面．（1981年保加利亚竞赛题）证明设四面体ABCD 的外心为O ,半径为R ．令OA a =,OB =b ,OC c =,CD d =．对空间中任意一点X ,令OX x =,则222222R =====a b c b d ．因为OA α⊥,所以平面α上的点X 满足()0⋅-=a x a ,即2⋅a x =R ． 同理,平面β,γ,δ上的点X 分别满足2R ⋅=b x ,2⋅c x =R ,2R ⋅=d x ．注意到,对任意不同时为零的数λ,μ,有方程()()2R λλλμ⋅⋅+a b x =．给出了一个过平面α与β的交线l 的平面（因0λλ≠a +b ,且对任意X l ∈,有2R ⋅=⋅a x b x =．另外,对空间中任意一点X 也存在一对不同时为零的数λ,μ,使得()()220R R λμ⋅-+⋅-=a x b x ．即适当选取λ与μ,可使相应的平面过点X ．因此直线CD 与直线l 共面的充要条件是：关于未知数λ与μ的方程组()()()()22220,0,R R R R λμλμ⎧⋅-+⋅-=⎪⎨⋅-+⋅-=⎪⎩a c b c a c b c 有非零解,即有()()()()2222R R R R ⋅-⋅-=⋅-⋅-a c b c a b b c ． 同理可证,平面γ与δ的交线和直线AB 共面的充要条件为()()()()2222R R R R ⋅-⋅-=⋅-⋅-c a d b c b d a ．因为上面得到的两个条件是等价的,所以题中结论得证．例24设四面体ABCD 对应于各顶点的高分别为a h ,b h ,c h ,d h ,在各高线上分别取1A ,1B ,1C ,1D ,使1a k AA h =,1a k BB h =,1c k CC h =,1dkDD h =为任一实数．求证：四面体1111A B C D 的重心合于四面体ABCD 的重心．证明令AB b =,AC c =,AD d =,根据向量矢量积的意义,知同BD BC ⨯的方向是对应A 点高线的方向,而它的长度是BCD △面积的2倍． 设A 点对应高线的单位向量为i ,则 2BCDBD BCi S ⨯=△,而()()BD BC ⨯=-⨯-=⨯⨯⨯d b c d b d +d c +c b ．故2i S⨯⨯⨯=b d +d c +c d．同理,设B ,C ,D 点对应的高线的单位向量分别为j ,k ,l ,则 22ACD ACDAC AD S S ⨯⨯=△△c dj =,2ADB S ⨯△d b k =,2ABC S ⨯△b c l =．若设四面体ABCD 的体积为V ,因而()16a k kAA h V ==⨯⨯⨯i =b d +d c +c d ．同理,()16k BB V =⨯c d ,()16k CC V =⨯d b ,()16kDD V=⨯b c ． 因而,有11110AA BB CC DD +++=． 又设1O 为四面体1111A B C D 的重心,则()1111111114AO A B AC A D =++ ()11111114A A AB BB A A AC CC A A AD DD =++++++++ ()11111144A A AA BB CC DD =++++b +c +d + ()114A A =-b +c +d ． 而111AO AA AO =+,故()114AO AO ==b +c +d ,这表示1O 与O 重合． 【模拟实战】 习题A1．在三棱锥S ABC -的棱SA ,SB ,SC 上分别取点1A ,1B ,1C ,使得11SA SA SB SB ⋅=⋅1SC SC =⋅．证明：点A ,B ,C ,1A ,1B ,1C ．在同一球面上．（第15届全俄竞赛题） 2．在四面体ABCD 内求作一点P ,使四个四面体的体积比满足P BCD P CDA P DAB P ABC V V V V αβγδ----=∶∶∶∶∶∶,其中α,β,γ,δ为给定的正数．3．设P ,Q ,R 分别是四面体ABCD 的棱AC ,AD ,AB 或延长线上的点,E ,F 在BC 上,且BE EF FC ==,AE ,AF 分别与RP 交于点G ,H ．记四面体APQR 与AGHQ 的体积分别为V ,1V ．求证：13V V ≥,当且仅当RP BC ∥或RP 与BC 重合时等号取得．4．四面体ABCD 内接于半径为R 的球,且球心O 在四面体内部．求证：四面体ABCD 至少有一条棱长． 5．在四面体ABCD 中,P 为各棱长之和,V 为其体积,用()CD S 表示过四面体棱CD 及相对棱AB 中点的截面（即中线面）面积,其余中线面表示类同,求证：()()()()()()1111113CD AB BC AD BD AC P S S S S S S V+++++≤ 等号当且仅当四面体为正四面体时取得．6．四面体KLMN 的顶点在另一个四面体ABCD 的内部,在其面上或者棱上．证明：四面体KLMN 各棱长度的和小于四面体ABCD 各棱长度和的34．（第16届全苏竞赛题） 7．观察一切外切于已知球的四面体AXBY 证明：当确定点A ,B 后,空间四边形的角之和,AXB XBY BYA YAX ∠+∠+∠+∠不依赖于点X 和Y 的选择．（第20届全苏竞赛题）8．四面体ABCD 中,面ABC 与BCD 的夹角为30︒,ABC △的面积为120,BCD △的面积为80；10BC =．求此四面体的体积．（1992年美国竞赛题）9．在四面体ABCD 内部有一点O ,使得直线AO ,BO ,CO ,DO 与四面体的面BCD ,ACD ,ABD ,ABC 分别交于1A ,1B ,1C ,1D 四点,且1111AO BO CO DOk A O B O C O D O ====．求k 的所有可能的值．（1968年保加利亚竞赛题）10．如果两个四面体的四个面的面积对应相等,则它们的体积也一定相等．对否？。
空间几何中的平行四面体的性质
空间几何中的平行四面体的性质平行四面体是一种常见的几何体，具有一些特殊的性质。
本文将介绍平行四面体的定义、特征、性质和应用。
一、定义平行四面体是一个具有四个面，并且每两个面都平行的多面体。
它是空间中的一个四面体，其中相邻的面是平行的。
二、特征1. 面的性质：平行四面体的四个面都是平行的，其中相邻的面是平行的，而且任意两个非相邻的面之间也是平行的。
2. 边的性质：平行四面体有六条边，每条边和另外三条边都平行。
3. 顶点的性质：平行四面体有四个顶点，并且每个顶点都连接着三条边。
4. 高度的性质：平行四面体有四条高，每条高是从一个顶点垂直地下垂到另一个面上。
5. 体积的性质：平行四面体的体积可以通过计算底面积与高度的乘积来得到。
三、性质1. 平行四面体的对角线相交于一个点，该点被称为中心。
2. 平行四面体的每个角都是锐角或钝角，不存在直角和平角。
3. 平行四面体的底面积相等的两个平行四面体，它们的体积相等。
4. 平行四面体的两条对边相等的两个平行四面体，它们的体积相等。
5. 平行四面体的每个侧面都是一个平行四边形。
6. 平行四面体的平面对角面积比等于它们的底面积比。
四、应用1. 建筑工程：平行四面体可以用于建筑物的结构设计，例如某些立柱或桥梁的设计中。
2. 几何分析：平行四面体的性质在几何分析中具有重要意义，可以用于计算面积、体积等参数。
3. 空间定位：平行四面体可以用于空间定位和坐标系统的建立，有助于测量和定位目标位置。
总结：平行四面体是一个具有四个平行的面的几何体，具有特殊的性质。
它在建筑工程、几何分析和空间定位等领域都有着广泛的应用。
通过了解平行四面体的定义、特征、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一几何形体。
几何体的平行四面体
几何体的平行四面体平行四面体是一种特殊的多面体，具有一些独特的性质和特点。
在几何学中，平行四面体是指具有四个平行的面的多面体。
本文将介绍平行四面体的定义、性质和一些相关的应用。
一、平行四面体的定义平行四面体是一个四面体，它的四个面都是平行的。
具体来说，对于一个平行四面体，任意两个相邻面之间的平行线相交于一条公共直线，这条公共直线被称为平行四面体的高。
二、平行四面体的性质1. 面的平行性：平行四面体的四个面都是平行的。
这意味着这个几何体的上下底面是平行的，并且侧面也都是平行的。
2. 边的平行性：平行四面体的对边边平行。
也就是说，连接两个相对面的边都是平行的。
3. 高的关系：平行四面体的高是由相邻面间的平行线构成的。
这条高与底面的交点、底面上的一点和顶点构成一个平行四边形。
4. 相对边长比例：对于一个平行四面体，底面上的任意两条边与对应顶点的连线构成的三角形相似。
5. 体积计算：平行四面体的体积可以通过公式V = (1/3) * S * h来计算，其中S表示底面积，h表示高。
三、平行四面体的应用1. 建筑与工程：平行四面体被广泛应用于建筑与工程领域，特别是设计和建造金字塔形状的建筑物时。
例如，埃及的金字塔就是一个平行四面体结构。
2. 数学学科：平行四面体是数学学科中的一个重要概念，学生们在几何学和立体几何的学习中经常会遇到平行四面体相关的问题和计算。
3. 游戏和娱乐：平行四面体也被广泛应用于游戏和娱乐产业。
在一些游戏中，设计师会使用平行四面体来创建虚拟世界中的建筑和物体。
4. 科学和工业应用：平行四面体的概念也在科学研究和工业应用中得到了应用。
例如，在晶体学中，晶体的结构有时可以用平行四面体的概念来描述。
总结：平行四面体是一个具有四个平行面的几何体，它具有一些独特的性质和特点。
平行四面体在建筑、数学、游戏和科学领域中有着广泛的应用。
通过研究平行四面体的性质和应用，可以加深对立体几何学的理解，同时也可以拓宽我们的知识领域。
空间几何中的平行四面体与正四面体知识点
空间几何中的平行四面体与正四面体知识点在空间几何学中，平行四面体和正四面体是两种常见的多面体。
它们具有不同的特点和性质，下面将详细介绍这两种多面体的知识点。
一、平行四面体平行四面体是指四个面中的任意两个面平行的四面体。
它具有以下几个重要的性质：1. 对角线平行性质：平行四面体的任意两条对角线都是平行的。
这是因为平行四面体的两个相对面平行，因此连接相对顶点的对角线也是平行的。
2. 面积比例性质：平行四面体的相邻两个面之间的面积比等于相邻两个对角面的面积比。
具体而言，如果平行四面体的两个相邻面的面积分别为S1和S2，而另外两个对角面的面积分别为S3和S4，则有S1/S2 = S3/S4。
3. 体积计算公式：平行四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3) * S * h，其中V表示体积，S表示底面积，h表示底面到顶点的距离。
4. 平行四面体的类型：根据底面形状的不同，平行四面体可以分为正方形底面四面体、长方形底面四面体和菱形底面四面体等多种类型。
二、正四面体正四面体是指四个等边等角的三角形构成的四面体。
它具有以下几个重要的性质：1. 边长和面积：正四面体的边长相等，每个面都是等边三角形。
正四面体的面积可以通过以下公式计算：S = (sqrt(3) * a2) / 4，其中S表示面积，a表示边长。
2. 高度和体积：正四面体的高度可以通过以下公式计算：h = (sqrt(6) * a) / 3，其中h表示高度，a表示边长。
正四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (sqrt(2) * a3) / 12，其中V表示体积，a表示边长。
3. 正四面体的特殊点：正四面体有四个特殊的点，分别为顶点、底心、重心和垂心。
顶点是四个面的交点，底心是底面三角形三个高线的交点，重心是四个面重心连线的交点，垂心是底面三角形三条垂线的交点。
4. 对称性：正四面体具有四个三角对称面和六个对称轴。
四个三角对称面将正四面体分为等价的四个部分，而六个对称轴则是通过连接各个面的中点和顶点形成的。
空间几何中的平行四面体与棱锥
空间几何中的平行四面体与棱锥平行四面体是一种特殊的多面体，它具有四个面，并且每个面都平行于与其相邻的面。
而棱锥是一种由一个多边形底面与一个点（顶点）连接而成的多面体。
在空间几何中，平行四面体和棱锥是两个重要的概念，在数学中有着广泛的应用。
一、平行四面体平行四面体是一个有四个面的多面体，它的四个面都是平行的。
平行四面体的边沿着四条平行线，而且四面体的对边相互平行且相等长。
四面体的对角线相交于一点，这个点被称为四面体的重心。
平行四面体的底面是一个平行四边形，而顶面则是底面平移得到的平行四边形。
平行四面体的体积可以通过底面积和高来计算。
如果底面的面积为S，高为h，则平行四面体的体积为V=1/3×S×h。
此外，平行四面体的表面积也可以通过底面积和侧面积来计算，其中侧面积为底面积的两倍。
二、棱锥棱锥是由一个多边形底面和一个顶点连接而成的多面体。
棱锥的侧面是由顶点和底面上的各个顶点连接而成的三角形。
顶点到底面的距离被称为棱锥的高，而底面的周长被称为棱锥的底面周长。
如同平行四面体一样，棱锥的体积可以通过底面积和高来计算，即V=1/3×底面积×高。
棱锥的种类较多，根据底面的形状可以分为三角棱锥、四边形棱锥、五边形棱锥等。
而根据棱锥的高与侧棱的关系，可以将其进一步分为直棱锥和斜棱锥。
直棱锥是棱锥的高与底面平行的，而斜棱锥则是两者不平行。
三、应用与性质平行四面体和棱锥在几何学中有着广泛的应用。
在计算几何中，平行四面体和棱锥的性质被用来推导和证明各种定理。
此外，在物理学和工程学中，平行四面体和棱锥被用来描述和求解各种物理和工程问题，比如计算体积和表面积，求解质心和重心位置等。
平行四面体和棱锥的性质也非常重要。
例如，平行四面体的中线是通过四面体的两个底面中心且平行于顶面的线段，它们相交于一个点。
而棱锥的高可以通过使用勾股定理和正弦定理计算得到。
这些性质的理解和应用对于解决各种几何问题至关重要。
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空间中的平行四面体的性质平行四面体是一个特殊的多面体，它由四个平行的三角面构成。
在本文中，我们将探讨空间中平行四面体的性质和特点。
一、定义和基本性质
平行四面体是一个具有四个平行的三角面的多面体。
它的基本性质如下：
1. 四条边两两平行，相交于四个顶点。
2. 四个面都是三角形，且两两平行。
3. 任意两个相对的面是全等三角形。
4. 任意两个相邻的面之间的夹角相等。
二、四面体的种类
根据顶点的不同位置和性质，平行四面体可以分为以下几种种类：
1. 正四面体：四个面都是全等正三角形的平行四面体。
2. 斜四面体：四个面不全等，即至少存在两个不全等的面的平行四面体。
3. 直角四面体：存在一个直角的平行四面体。
4. 锐角四面体：所有面上的夹角均为锐角的平行四面体。
5. 钝角四面体：至少存在一个钝角的平行四面体。
三、平行四面体的性质
除了基本性质外，平行四面体还具有一些其他的性质和特点。
1. 高度和底面积关系：平行四面体的高等于它的底面的面积乘以底面到对立面的距离。
2. 体积计算公式：平行四面体的体积等于底面积乘以高度的一半。
3. 对角线关系：平行四面体的对角线分别为刚好连接两个对立顶点的线段，两个对角线的交点位于中心。
4. 对称性质：平行四面体对称于它的中心点。
四、平行四面体的应用
平行四面体的性质在实际应用中有重要的意义。
1. 体积计算：平行四面体的体积计算公式可以应用于建筑、工程等领域的体积计算。
2. 结构稳定性：平行四面体在一些结构中被用于提高稳定性和均衡性，例如桥梁和塔楼的设计。
3. 几何推理：平行四面体的性质可以用于几何推理和证明，对于数学学科具有重要意义。
结论：
空间中的平行四面体是一个具有四个平行的三角面的多面体，它具有诸多特点和性质，包括边的平行性、面的平行性、对称性以及体积
计算等。
平行四面体的性质在实际应用中具有重要的意义，对于建筑、工程和数学等学科都有一定的应用价值。
通过研究和理解平行四面体
的性质，我们可以拓展对立体几何的认识，并应用于实际问题的解决中。