第四章债券价格波动性及其衡量第二部分
– 资产组合价值 = 负债组合价值 – 资产组合久期 = 负债组合久期
• 目标：市场利率变动下，组合价值变动 = 负债价值变动
• 任何久期不相匹配，调整组合构成
– 市场利率变化 – 组合情况变化 – ……
利用久期进行利率风险免疫 – 例1
单一负债免疫。假定一个投资人10年后必须偿还 1931元，到期收益率曲线是水平的，为10%。负 债的现值是745元，负债的久期是10。市场上现有 一只债券，期限20年，面值1000元，票面利率7%， 一年附息一次，价格745元。如何利用这只债券对 负债进行免疫？
利用久期进行利率风险免疫 – 例2
投资者负债是5年期分期付款，每年支付100元。 假设现有一年期债券，票面利率是6%，1年支付1 次；4年期债券的票面利率是8%，1年支付1次。
即期利率是10%。如何对负债进行免疫？
债券 5年期债券 4年期债券 1年期债券
Dm 2.81 3.56
1
构建方程式： w1+w4=1 w1*1+w4*3.56=2.81
166.85
债券在7.5年时刻的价格讨论
情形二：债券购买后，市场利率上升为10%
债券价格 7 *1.16.5 7 *1.15.5 ... 7 *1.10.5
7 (1.1)0.5
7 (1.1)1.5
107 1.12.5
166.71
利用久期进行利率风险免疫 Immunization Techniques
2
C (1 r)2
...
n
C (1 r)n
n
M (1 r)n
1 P
Dm
1 P
t
n 1
t
C (1 r)t
n
M (1 r)n
久期与债券平衡点 – 从期限的角度
• 债券比率久期代表着大约在该时间点
– 无论市场利率如何变化
• 债券的价格风险与再投资风险抵消，债券价值保持基本稳 定
• 在持有期限等于久期时，债券价格对市场利率 活动反映不敏感
第四章 债券价格波动性及其衡量/债券风险 的度量和度量工具 –知识点
• 债券价格的波动性及其原因 • 债券价格与市场利率的基本关系 • 债券价格对市场利率变动的敏感性及其影响因素分析
• 久期 • 久期的计算 • 久期的应用 • 久期的性质
• 凸性 • 凸性的计算 • 凸性的应用 • 凸性的性质
久期与凸性的进一步应用：债券利率免疫与套期保值
• 如何使投资价值不随市场利率变动而变动
– 投资组合对于市场利率波动不敏感
利率变动情况下 – 基金经理人往往并不是通过利率预测去追求超额回
报，而是通过组合的构建，在回避利率波动风险的 条件下实现既定的收益率目标
• 方法之一
– 利用久期对投资组合进行利率免疫
期限（年）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
到期收益率
7.0% 7.0% 7.0% 7.0% 7.0% 7.0% 7.0% 7.0% 7.0% 7.0%
贴现因子
0.9346 0.8734 0.8163 0.7629 0.7130 0.6663 0.6227 0.5820 0.5439 0.5083
债券/债券组合久期匹配的免疫策略
风险收益
/
价格
风险损失
风险
•计划投资期等于债券比率久期，债 券价格效应等于再投资效应，债券 价值对利率变动免疫
•计划投资期小于比率久期，债券价 格效应大于再投资效应，利率上涨 再投资 是风险
风险
•反之，则利率下降是风险
A：计划 持有期限
期限
利用久期进行利率风险免疫基本思路
险管理
久期 – 从期限的角度理解
• 债券的久期是债券本息支付时间的加权平均
– 现金流/本息支付的平均时间 – 权重：每一笔现金流的现值/P（债券现值/价格） – 以年为单位
• 需要慎重对待以期限含义理解久期
– 结构类债券产品久期可能大于其期满期限现象
定义：
Macaulay久期
1
C (1 r)
现金流量
7 7 7 7 7 7 7 7 7 107
现值
6.54 6.11 5.71 5.34 4.99 4.66 4.36 4.07 3.81 54.39 100.00 Dm对应的金额久期
dP/dr
Dm
MD
t倍现值 6.54 12.23 17.14 21.36 24.95 27.99 30.51 32.59 34.27 543.93 751.52 7.52
风险收益
/
价格
风险损失
风险
再投资 风险
A：计划 持有期限
期限
久期与债券平衡点 – 从期限的角度 - 例1
假设某只债券：
rc
7%
M
100
N
10
n
10
r
7.0%
问题：该债券比率久期数量是多少？从期限看比率久 期，试证明无论市场利率现在发生怎样的变化，该债
券在比率久期代表的时间，债券价值基本不变。
久期与债券平衡点 – 从期限的角度 - 例1
负债的现值为$379.07，所以$111.21投资于1年期债券,$267.86 投资于4年期债券
利用久期进行利率风险免疫 – 例3
• 假设到期收益率曲线如下表。目前，投资人的资产包括 305个单位的3年期零息债券，面值是11522.6元。投资人 的负债包括300个单位的20年期附息债券，该附息债券面 值是1万元，票面利率是6.162%。投资人希望持有这个20 年期的债券，但愿意调整3年期零息债券资产的头寸，投 资人希望购买或者发行20年期的零息债券加入资产组合， 该20年期零息债券的面值是34940.6元。
7.02
7.52%
7.02%
债券比率久期作为投资期限下， 投资总收益对利率变动免疫
债券在7.5年时刻的价格讨论
情形一：债券购买后，市场利率下降为4%
债券价格 7 *1.046.5 7 *1.045.5 ... 7 *1.040.5
7 (1.04)0.5
7 (1.04)1.5
107 1.042.5
非附权债券价格波动性（价格-收益率关系）
价格P
1. r 上升，P下降
2. 瞬时变化 Instantaneous change
3. 凸性convex
P
n t 1
C (1 r)t
M (1 r)n
必要报酬率 Required yield
债券久期和凸性的进一步应用
• 债券久期与债券平衡点 • 使用久期进行债券/债券组合免疫 • 使用久期进行债券/债券组合套期保值 • 使用久期，凸性和债券时间效应进行风
市场收益率 资产债券价值
10%
745.00
6%
1114.70
8%
901.82
12%
626.53
负债债券价值
745.00 1078.26 894.43 621.73
资产债券Dm 10.00 11.79 10.88 9.17
负债债券Dm 10.00 10.00 10.00 10.00
如果与负债久期不相匹配，则需要调整资产规模和构成
什么是债券市场的波动性模型如何应用
什么是债券市场的波动性模型如何应用在金融领域，债券市场的波动性是一个备受关注的重要概念。
理解债券市场的波动性模型及其应用，对于投资者、金融机构和政策制定者都具有至关重要的意义。
首先，让我们来搞清楚什么是债券市场的波动性。
简单来说，它指的是债券价格或收益率的变动程度。
这种变动并非是随机的，而是受到多种因素的影响，如宏观经济状况、货币政策、市场供求关系、信用风险等。
债券市场的波动性可以用一些量化指标来衡量，比如标准差、方差等。
那么，债券市场的波动性模型又是什么呢？常见的波动性模型有ARCH 模型（自回归条件异方差模型）和 GARCH 模型（广义自回归条件异方差模型）。
ARCH 模型认为，当前的方差取决于过去的误差项的平方。
这意味着，如果过去的价格波动较大，那么当前的波动性预期也会较高。
GARCH 模型则是对 ARCH 模型的扩展，它不仅考虑了过去的误差项平方，还考虑了过去的方差。
这使得 GARCH 模型能够更好地捕捉到波动性的长期记忆特征。
接下来，我们探讨一下债券市场波动性模型的应用。
对于投资者而言，波动性模型可以帮助他们评估投资组合的风险。
通过对债券历史价格数据的分析，利用波动性模型预测未来的价格波动范围，从而调整投资组合的结构，降低风险暴露。
比如，一位投资者持有多种债券。
通过波动性模型的分析，如果发现某些债券未来的波动性可能较大，他可以适当减少这些债券的持有比例，增加那些预期波动性较小的债券，以实现投资组合的稳健性。
金融机构在管理资产和负债时，也会用到波动性模型。
银行等金融机构需要对其债券投资进行风险管理，以确保资产负债表的平衡和稳定。
假设一家银行拥有大量的债券资产，利用波动性模型预测市场波动，提前做好资金准备，应对可能出现的损失，保障银行的稳健运营。
在货币政策制定方面，波动性模型也能发挥作用。
中央银行需要密切关注债券市场的波动性，以评估货币政策的效果和市场的反应。
如果债券市场的波动性过大，可能意味着市场对货币政策的预期不稳定，央行可能需要调整政策工具或沟通策略，以稳定市场预期。
久期与债券价格波动ppt课件
例1:附息票债券内在价值的计算
❖ 01三峡债(120102 )面值为100元,发行时期限为15 年,息票率5.21%,每年付息一次.若投资者要求的 收益率为5%,求该债券的内在价值.
❖ 解:
15 .2 5% 1(1 5.52% 12)(110 5% .2511)5
10.128
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8
例2:零息票债券内在价值的计算
p0
ct (1YTM)t
❖ 上例李四的到期收益率为:
1Y5TM (1Y5T)M 2(11Y0T5)M 3 102
YTM 4.28 %
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16
运用到期收益率时假设
❖ 1.利息本金能准时足额获得 ；
❖ 2.投资者买入债券后一直持 有到期；
❖ 3.所得利息的再投资收益等 于YTM。
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17
课堂练习:到期收益率的计算
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19
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20
❖ 简称″03＇上海轨道债″ ❖ 发行总额：人民币40亿元。 ❖ 发行价格：平价发行,以1000元人民币为一个认购单位 ❖ 债券期限：15年（2003年2月19日～2018年2月19日）。 ❖ 债券利率：固定利率,票面年利率4.51%。 ❖ 还本付息方式：每年付息一次,最后一期利息随本金一并支
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6
内在价值的计算：现金流贴现模型(DCF)
❖ 无论是买入-持有模式（buy-and-hold）还是到期 前卖出模式,债券估价公式相同。
IV1c1r1(1r1c)21(r2)IV (1r1)1(cnr2)p n (1rn) IV c1 c2 cnpn
1r (1r)2 (1r)n
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7
Ch05 债券价值分析
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测算债券价格波动性的方法
测算债券价格波动性的方法债券投资者需要对债券价格波动性和债券价格利率风险进行计算。
通常使用的计量指标有基点价格值、价格变动收益率值和久期。
（一）基点价格值基点价格值是指应计收益率每变化1个基点时引起的债券价格的绝对变动额。
我们知道，对于收益率的微小变动，不论是上升还是下降，特定债券的价格将大致呈相同幅度的百分比变动。
因此，应计收益率每下降或上升1个基点时的价格波动性是相同的。
例14-2：基点价格值的计算可以用表14-3来加以说明。
每一种债券的初始价、应计收益率每增加1个基点后的价格（如从9.00％到9.01％）以及每一基点的价格值如表14-3所示。
（二）价格变动收益率值投资者使用的另一个估算债券价格波动率的指标是价格变化的收益率值。
要计算该指标，首先需要计算当债券价格下降x元时的到期收益率值。
新的收益率与初始收益率（价格变动前的收益率）的差额即是债券价格变动x元时的收益率。
其他条件相同时，债券价格收益率越小，说明债券的价格波动性越大。
（三）久期久期是测量债券价格相对于收益率变动的敏感性指标。
其中最重要的一种久期是1938年弗雷德里克·麦考莱首先提出的麦考莱久期，其次是修正的麦考莱久期。
假设市场中存在某种无内含选择权的债券，半年付息一次。
那么其价格计算公式为：要确定当收益率微小变动时债券价格的变动值，由上一公式可得：这表明应计收益率的微小变动引起的债券价格的近似变动值。
两边除以P，则得出价格变动的百分比近似值：中括号内的部分是截至到期日时的债券现金流量的加权平均期限值。
以括号内的部分除以价格，即被称为麦考莱久期，即：麦考莱久期和（1+y）的比率通常称为修正的麦考莱久期，即：附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期小于其到期期限。
对于零息债券而言，麦考莱久期与到期期限相同。
我们知道，在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越大。
对于普通债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越大（这一特点不适用于长期贴现债券）。
第五章_债券价格波动性的衡量
收益率
息票现值（元） 面值现值（元） 债券价格（元）
6.0%
388.88
661.12
1000.00
第一节 债券价格波动的特征
收益率
息票现值（元） 面值现值（元） 债券价额（元）
5.5% 6.0%
344.73 388.88
684.00 661.12
1028.73 1000.00
第一节 债券价格波动的特征
债券
A（5年） B（10年） C（15年）
10% 价格 92.28 87.54 84.63
上升2个百分点 变动% -7.72 -12.46 -15.37
8% 价格 100 100 100
6% 下降2个百分点 价格 变动% 108.53 8.53 114.88 14.88 119.60 19.60
随着到期时间增加，利率下降时价格波动增加的速度 比利率上升时价格波动减慢的速度更大
问题：如何确切地表达收回债券本息现金流的有效到 期时间？
第三节 利率敏感性的测量
麦考利〔1938〕引入一种现金流的平均到期时间来统 计债券的有效到期时间--久期。
每一付息期限或债券本金偿付期限的加权平均，每次 偿付时间相关的权重与债券价值偿付的“重要性〞有 关，即每次偿付的现值除以债券的价格。
第三节 利率敏感性的测量
例1 面值为100元，票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次， 下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期
时间（期数）t 现金流CFt 现金流的现值（元） 权重Wt
WtXt
1 2 3 4 5 6
第三节 利率敏感性的测量
例1 面值为100元，票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次， 下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期
金融市场学课后习题答案
③有利于全球金融体制与融资结构的整合。金融全球化促进全球金融体制的整合，有 利于金融机构加速改革和重组，提高金融体系的效率。首先，促使一些国家的专业银行制 度逐步向全能银行制度转变。其次，促进了以银行为主导的间接金融为主转向以直接金融 为主导的金融结构转变。
6、金融全球化的影响。
答：金融全球化的影响具有双重性：一方面，金融全球化提高了国际金融市场的效 率，高效地配置资源，促进了世界经济金融的发展，有利于增进全球福利。另一方面，全 球化也带来了一些消极影响，对各国金融体系的稳定性提出了挑战。
一、 金融全球化的积极意义
①有利于资金在全球范围内的高效配置。金融资本跨国界流动的增加，使有限的资金 在全球范围内得到了更合理的分配，起到了及时调剂资金余缺的作用。
2、金融中介的基本功能是什么？ 答：①充当信用中介。信用中介是指商业银行等金融机构从社会借入资金，再贷给
借款人，金融机构在社会货币供需过程中起着一种桥梁，或者说中介作用。信用中介是 金融中介最基本的职能，通过间接融资方式实现借贷者之间的资金融通。
②提供支付机制。如今，大多数交易并不使用现金，而是使用支票、信用卡、借记 卡和电子转账系统。这种付款方式称为支付机制，一般是由特定的金融中介提供的。
④反映功能。金融市场历来被称为国民经济的“晴雨表”，是公认的国民经济信号系 统。这实际上就是金融市场反映功能的写照。
从微观层面来讲，金融市场的功能还包括价格发现、提供流动性、降低交易成本、 示范作用等等。
4、金融创新的动因是什么？ 答：金融创新的动因归结为以下三个方面：
①顺应需求的变化。利率剧烈波动导致经济环境变化，激励人们创造一些能够降低利 率风险的新的金融工具。
债券价格与到期收益率之间的关系
第四定律：到期收益率下降使价格上涨的幅度，高于到期 收益率上扬使价格下跌的幅度 到期收益率同样变动1%，当到期收益率下降1%造成 债券价格上涨的幅度，会比到期收益率上扬1%时造成债 券价格下跌的幅度高。以定律三债券甲为例，当到期收益 率由7%下跌为6.5%时（50bps），其价格上涨2.14%；而 当到期收益率由7%上扬到7.5%时（同为50bps），价格 却只下跌2.09%[=（95.842—93.840）/95.842]。因此， 投资者在利率下跌前买入债券获利会比利率同幅上升前卖 空债券的获利还高。 第五定律：低票面利率债券对利率变动的敏感性高于高票 面利率债券 其他条件相同，若有票面利率不同的两种债券，当利 率变动1%时，低票面利率债券价格之波动，会比高票面 利率债券价格波动大。例如债券甲为5年期债券，票面利 率为6%；债券乙为5年期债券，票面利率为8%。当到期 收益率从7%跌为6.5%时，前者的价格上涨2.14%，而后 者的价格只上涨了2.07%[=（106.317—104.158） /104.158]。
3、债券基本估价公式的简化公式 如果计算的年限很长，直接用基本公式计算 附息债券的现值就比较麻烦，这是可以用等比数 列求和公式将复利计算公式转化为：
1 (1 r ) M P C [ ] n r (1 r )
r 2 n 1 (1 ) C M 2 P [ ] r r 2n 2 (1 ) 2 2
[例5-2]，某投资者面临以下投资机会，从现在起 的7年后收入500万元，其间不形成任何货币收入， 假定投资者希望的年利为10%，则投资现值为： P0= 5000000÷（1+10%）7 =2565791（元） 或 P0=5000000÷（1+10%×7） =2941176.4（元） 可见，在其它条件相同的情况下，按单利计息的 现值要高于用复利计息的现值。根据未来值求现 值的过程，被称为贴现。
债券市场波动性与利率变动的相关性分析
债券市场波动性与利率变动的相关性分析一、债券市场波动性的概念及影响因素债券市场波动性是指市场上债券价格的波动程度，它反映了债券投资风险的变化。
债券价格的波动性与利率变动密切相关，不同利率环境下，债券价格会有不同的变化。
首先，债券价格与市场利率呈现反向关系。
当市场利率上升时，新发行的债券利率会提高，此时，原有的低息债券价格相对降低，因为投资者更愿意买入高息债券。
相反，当市场利率下降时，债券价格会上升。
其次，债券的剩余期限也对债券价格的波动性产生影响。
通常情况下，长期债券的价格波动性较大，而短期债券的价格波动性较小。
这是因为长期债券的现金流未来的时间跨度较长，其价格更容易受到利率变动的影响。
最后，债券的付息方式也会对其价格波动性产生影响。
相比于固定利率债券，浮动利率债券的价格波动性更小。
因为浮动利率债券的利率会根据市场情况进行调整，能够对冲市场利率的变化，减少价格的波动。
二、利率变动对债券市场波动性的影响利率变动是影响债券市场波动性最重要的因素之一。
当市场利率上升时，债券市场会出现供大于求的情况，投资者更倾向于买入高息债券，导致债券价格下降，市场波动性增加。
同时，高息债券的发行也会增多，进一步加剧了市场供给过剩的情况。
相反，当市场利率下降时，低息债券更受欢迎，投资者纷纷购买，导致债券价格上升，市场波动性减小。
此时，债券发行量可能会相对减少，市场出现供给不足的情况。
利率变动对债券市场波动性的影响还与债券的剩余期限相关。
长期债券的价格波动性相对较大，利率变动对其影响更为显著。
而短期债券的价格波动性相对较小，利率变动对其影响较为有限。
三、债券市场波动性对投资者的影响债券市场波动性的增加会给投资者带来更大的风险。
如果投资者在高市场利率时购买了长期债券，当市场利率上升时，其债券价格会下降，如果投资者迫不得已需要卖出债券，可能会亏损较大。
因此，对于投资者而言，理解债券市场波动性的变化对于投资决策至关重要。
债券市场波动性的增加也给金融机构带来一定的挑战。
债券价格变动的影响因素及市场波动
债券价格变动的影响因素及市场波动债券价格作为金融市场的重要指标，对于经济运行和投资者来说都具有重要的意义。
然而，债券价格并不是固定不变的，它会受到多种因素的影响而波动，这些因素既有宏观经济因素，也有市场自身的因素。
下面就对债券价格变动的影响因素及市场波动做出分析。
一、宏观经济因素1、货币政策货币政策是国家宏观经济政策的重要组成部分，它通过调节货币供给量来影响经济运行。
如果央行采取紧缩的货币政策，会导致货币流通量减少、利率上升，从而使得债券价格下降。
反之，央行实施宽松货币政策，则债券价格上升。
2、经济增长经济增长的水平对债券价格也有影响。
当经济增长加速时，资本市场的吸引力会增强，投资者会将资金从债券市场转移到股票市场，从而导致债券价格下降。
反之，当经济增长放缓时，投资者则更愿意将资金投入债券市场，从而导致债券价格上升。
3、通货膨胀通货膨胀是指国民经济总量持续增长，而货币供给量相对增长幅度较大，导致货币贬值，物价水平持续上涨的一种经济现象。
当通货膨胀加速时，债券的实际收益率下降，让投资者更愿意将资金投入股票市场，从而导致债券价格下降。
反之，当通货膨胀放缓时，投资者则更愿意将资金投入债券市场，从而导致债券价格上升。
二、市场自身因素1、市场供需关系市场供求关系对债券价格的影响很大。
债券价格的高低取决于供求关系，供过于求时，价格会下降；需过于供时，价格会上升。
2、公司财务状况债券的价格还取决于债券发行人的财务状况。
如果发行人的风险评级下调，或者出现财务危机等情况，投资者就会认为债券违约的风险较大，从而对债券的需求下降，债券价格就随之下降。
3、利率变动债券价格与市场实际利率也有很大的关系。
债券的现金流量包括利息和本金。
当市场利率上升时，新发行债券的利息收益率就会提高，而老债券的利息收益率就相对降低，从而导致其价格下降。
反之，当市场利率下降时，债券的实际收益率提高，从而导致债券价格上涨。
以上是影响债券价格变动的主要因素，但不排除还有其他的因素也会对债券价格产生影响。
债券价格的利率敏感性(ppt87张)
第一节 债券价格变化的特征来自债券价格与收益率的关系： 债券价格与收益率呈反向变动
问题：债券价格与收益率呈怎样的反向变动？
第一节 债券价格变化的特征
例1 一种债券的面值为1000元，票面利率为6%，2009 年10月15日到期，每年的4月15日和10月15日分别支 付一次。计算该债券在2002年10月15日的价格。
章债券价格的利率敏感性
债券价格的变动会受很多因素影响
发行人的信用质量 经济的周期 债券的供求关系
利率的变动
第四章 债券价格的利率敏感性
利率变动是引起债券价格变化的最常见因素
基本问题： 利率变化是如何引起债券价格波动？ 如何测量债券价格的波动？
第四章 债券价格的利率敏感性
第一节 债券价格变化的特征
债券价格与到期时间的关系： 当票面利率大于市场利率时，期限越长，债券发行 价格越高； 当票面利率小于市场利率时，期限越长,债券发行价 格越低； 当票面利率等于市场利率时，期限不影响债券发行 价格。
第二节 利率敏感性及其特性
价格风险----是指由于利率变动引起债券价格的下 降而导致投资者的资本损失。 价格的利率敏感性----是指相对利率变动一定百分 比时价格变动的百分比。
第二节 利率敏感性及其特性
债券
价 格
息票 10% 10% 4% 4%
价 格 收 益 率 曲 线
收益率
-
第一节 债券价格变化的特征
收益率-价格曲线的解释： 当收益率水平很高时，债券价值会很低，价格也低； 当收益率水平很低时，债券价值会很高，价格也高； 当收益率接近于零时，债券价值接近于现金流的总 和。
第四章债券定价.ppt
P c c c M
1rw 1r1w 1rn1w 1rn1w
n
c M
t1 1rt1w 1rn1w
精精选选文档
21
〔三〕特殊形式债券定价 1、等额摊还债券的定价
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P
A
t1 (1 r)t
2、永久债券的定价
A A
P
t1 (1r)t r
精精选选文档
22
第三节 债券定价影响因素和定价原理
精精选选文档
29
〔5〕汇率和国际间利差的变化。
对于开放型的一国金融市场来说，当本国货币 升值时，国外资金会流入本国市场，从而增加 对本币债券的需求，促使债券价格上升；反之， 当本国货币贬值时，国内资金会流出本国市场， 从而减少对本币债券的需求，促使债券价格下 降。
另外，如果不同国家的市场利率有差异，那么 资金会流向高利率的国家和地区，这样也会导 致国内债券市场供求发生变化。
41
二、利率二叉树构建
〔一〕利率二叉树含义 利率二叉树是基于利率波动的某些假设条件下，
利率变化的一种图形描述和数值计算。 这一模型的假设包括：第一，下一期的利率波动
只有上升或下降两种情况。第二，利率上升或 下降的概率在每次变动时是一样的。第三，利 率的运动服从对数正态过程。第四，各期利率 的波动率保持不变。
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利率二叉树
r0 N0
ruu Nuu ru Nu rud Nud rd Nd rdd Ndd
根据该模型的假设，每次上升后的利率与下降 后的利率的比值为e2σ，即有公式:
ru rde2
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如果各节点的利率得知，我们就可以计算各节 点的债券价格。假定节点Nuu的债券现金流 是利率上升的债券价值加利息，节点Nud的 债券现金流是利率下降的债券价值加利息，那 么节点Nu的债券价值就是它们的现金流现值 的平均数，即公式：