结构自振频率的几种计算方法

通过算例表明,运用这些方法计算梁的自振频率和振动形式与 ansys 计算结果基本一致。 关键词：自振频率 复杂质量 振形 中图分类号：TU311.4
1．引言
在建筑工程、水利工程、煤炭、仪表装配等多层工业厂房中，在楼层上常常安装有压缩 机、离心机、通风机、破碎机、电动机、振动筛等旋转式(也有往复式的) 动力机器。由于 动力机器上楼，避免不了对楼层梁进行竖向振动分析。分析振动问题，首先要计算其自振特 性包括频率和振型。因为在实际工程中，楼层梁的布置首先要满足工艺设备布置的要求，因 此在一根梁上经常布置有数台设备(包括动力机器) 和支承着几根次梁,还支承着楼板传递的 荷载。总之，梁上作用的静和动荷载是比较复杂的。同时荷载的取值与实际的大小也不可能 完全相符,还有不确定性。另外梁的端部支承条件不完全是理论上的铰接或刚接，因此要精 确地计算其自振频率和振型是困难的，而在实际工程中进行复杂的分析一般必要性也不大。
换算系数 K j 时，首先确定连续梁第 2 ,3……n 振型集中质量作用处的值 y j ，然后按式(5) 计 算 K j [3]。
3．算例分析
计算下图等截面悬臂梁的自振频率和振形，截面尺寸为 500mm × 500mm。
图 1 悬臂梁示意图 Fig1 The sketch of cantilever
梁自由振动时的最大动能则为：
最大动能为：
∫ ∑ U max
=
1 2
ω
2
(
L 0
mu
y
2 (x
)
dx
+
n
m
j
y
2 j
)
j =1
由式(1) 得：
∫ Wmax
=
1 2
L EI ( d 2 y(x)
0
dx 2
)2 dx
由此得：
∫ ∑ ∫ 1
2
ω
2
L
(
0
mu
y
2 (x
)
dx
+
n
m
j
y
2 j
)
=
j =1
1 2
L 0
∫y
2 (x
)
dx
∫y
2 (x
)
dx
0
0
从而得：
∑ ∫ = mu
+1 L
n
mj
j =1
y
2 j
1 L
L 0
y2 (x)
dx
令
Kj =
y
2 j
∫ 1
L
L 0
y
2 (x
)
dx
则有
∑ m =
mu
+
1 L
n
mjK j
j =1
(4)
对标准振形
∫L
0
y(2x) dx
=
L 2
K j = 2 yi2
(5)
2.2 单跨梁的质量集中到梁上任一点的方法
j =1
式中：n 为连续梁的跨数,其他符号同前。
计算两端简支边界条件下的多连续梁第 1 频率时，K j 值可取表 1 中两端简支梁ω1 对
-4-

应的 K j 值。表 1 中αj为集中质量j 离左边支座距离 x j 与梁的跨度L 之比, 对于中间跨内
集中质量的x 值，仍为集中质量离本跨左边支座的距离。计算第 2 ,3……n频率的集中质量
EI
(
d
2 y( dx 2
x)
)2
dx
ω2 =
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
L
n
(2)
∫ ∑ mu
y
2 (x)
dx
+
m
j
y
2 j
0
j =1
对于仅具有均布质量 m 的梁，振动时最大动能为：
最大动能为： 同样由式(1) 得：
∫ U max
= 0
my(2x) dx
∫ Wmax
ma = 0
j =1
y a2
取
∫L
mu
y
2 (x)
dx
0
=
mu
L 2
得
∑ ma
=
mu
L 2
n
+ m j yi2
j =1
ya2
2.3 将连续梁的质量化为均布质量的方法
在此仅介绍各跨刚度相同的等跨连续梁。把梁上的集中和均布质量化为均布质量的换算
公式的形式同式(4) ，即：
∑ m
=
mu
+
1 nL
n
mjK j
三阶振型
50.109 49.663 0.890
通过以上算例表明，运用本文的方法计算梁的自振频率和振动形式与 ansys 计算结果基
本一致。
参考文献
[1] 赵光恒．结构动力学．中国水利水电出版社．1996． [2] 钱陪风．结构动力学．中国工业出版社．1966． [3] 张子明等．结构动力学．河海大学出版社．2001．
梁上除具有均布质量外，常常有多个集中质量,，把质量集中到一个较大集中质量处按
单自由度进行计算，所求得的自振频率与原体系的第一频率比较接近。如果需要计算梁上动
力机器作用处的振动位移时，为便于自由振动和强迫振动分析，质量集中到动力机器作用处
是必要的。集中到梁上任一点的方法仍是采用能量法原理[2]。
具有均布质量和集中质量梁的自振频率表达式即为公式(2) 。
)
2
dx
同时假定U max = Wmax 得：
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
ω2 = 0
dx 2
ma
y
2 a
(6)
令式(2) 与式(6) 的固有频率相等，即：
由此得：
L
n
∫ ∑ mu
y
2 (x)
dx
+
m j yi2
=
ma
y
2 a
0
j =1
L
n
∫ ∑ mu
y
2 (x
)
dx
+
m j yi2
=
1 2
L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
-2-

∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
ω2 = 0
dx 2
L
(3)
∫ my(2x)dx
0
令式(2) 和式(3) 的自振频率相等，则：
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
0
dx 2
L
n
∫L EI ( d 2 y(x) )2 dx
=0
dx 2
L
∫ ∑ mu
y2 (x)
dx
+
m
j
y
2 j
∫ my(2x)dx
0
j =1
0
L
L
n
∫ ∫ ∑ my(2x)dx = mu y(2x)dx +
m
j
y
2 j
0
0
j =1
即有：
L
n
∫ ∑ y
2 (x
)
dx
m
j
y
2 j
m
=
mu
0 L
+ j =1 L
T 3 = 2π = 0.0200s；f 3 = 1 = 50.109HZ
ω3
T3
Y ZX
(a)一阶振型图
Y ZX
(b)二阶振型图
-5-

Y ZX
(c)三阶振型图 图 2 ansys 计算振型图 Fig2 The figure of Vibration with ansys

结构自振频率的几种计算方法
袁明亮
河海大学土木学院，江苏南京 （210098）
E-mail：mingliang_yuan9@
摘要：本文从实际工程出发,介绍了计算梁自振频率的几种简化处理实用方法,即把梁上分布 复杂的质量等效地化为均布的或者集中到任一点上的和集中到“特定”位置上的质量的方法。
采用理论计算，算出各阶自振频率理论值为：
ω1
=
3.5160 L2
EI M
T1 =
2π ω1
=
0.3502s；f 1 =
1 T1
= 2.856HZ
ω2
=
22.0345 L2
EI M
T 2 = 2π = 0.0557s；f 2 = 1 = 17.896HZ
ω2
T2
ω3
=
61.6972 L2
EI M
采用 ansys 计算，结果如下：
= ωy(x) cos(ωt + φ)
∫ ∑ U
=
1 2
L 0
mu
(
∂y( x,t) ∂t
)
2
dx
+
1 2
n j =1
m
j
( ∂y(x,t) ∂t
)2
∫ ∑ =
1ω2 2
cos2 (ωt
L
+ φ ) mu y(2x) dx +
0
1 2
n
m jω 2 cos2 (ωt
j =1
+
φ
)
y
2 j
式中： y j 为集中质量 m j 处的振型曲线值，L ω 2 cos2 (ωt + φ ) 为梁的跨度。
-3-

假定把梁的质量集中于 a 点，集中后的质量为 ma ，这样就简化为以质量为 ma 的单自
由度体系，振动最大动能为：
U max
=
1 2