高三等比数列复习专题

一、等比数列选择题

1．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *

∈，m n m n a a a +=?，若

1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8

B ．8±

C ．8-

D ．1

3．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11

0,,22

n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ）

A ．30,4?? ???

B ．20,3?? ???

C ．30,4?? ???

D ．20,3?? ???

5．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3-

C ．3

D ．8

6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ）

A ．40

B ．81

C ．121

D ．242

7．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，

1021031

01

a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）

A ．102

B ．203

C ．204

D ．205

8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n

n S a b n =---?+，*n N ∈，则

存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）

A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列

B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列

C ．·

n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·

n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =

B ．72

3

S =

C ．7623

S =

D ．7127

3

S =

10．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝

1

4，且a n ＝1n n

b b +，则b 2020＝（ ）

A ．22017

B ．22018

C ．22019

D ．2202011．题目文件丢失！

12．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989

B ．46656

C ．216

D ．36

13．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）

A ．3

B ．12

C ．24

D ．48

14．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35

124

a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,

2??

????

B ．()3,+∞

C ．73,

2?

? ???

D ．[

)3,+∞

15．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则

5678a a a a +++=（ ）

A ．80

B ．20

C ．32

D ．

255

3

16．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．

19

B ．

17

C ．

13

D ．7

17．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8

B ．﹣8

C ．±8

D ．98

18．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*

3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）

A ．

19

B ．9

C ．

13

D ．3

19．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092

B ．2047

C ．2046

D ．1023

20．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（ ）

A ．15

B ．10

C ．5

D ．3

二、多选题21．题目文件丢失！

22．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）

A ．数列{}n a 为等比数列

B ．数列{}n S n +为等比数列

C ．数列{}n a 中10511a =

D ．数列{}2n S 的前n 项和为

2224n n n +---

23．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ??

?

???

为等差数列 B ．数列{}2

n

a 为等比数列

C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=

D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 24．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）

A ．{}n a 为单调递增数列

B ．6

3

9S S = C ．3S ，6S ，9S 成等

比数列

D ．12n n S a a =-

25．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121

4

a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．531

4

S =

C ．公比4q =或

14

D ．14a =或

14

26．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34

-

B ．23

-

C ．43

-

D ．32

-

27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

1,

01

a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．681a a >

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T

28．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()

*

12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．1

3n n S -=

B ．{}n S 为等比数列

C ．1

23

n n a -=?

D ．2

1,

1,23,2n n n a n -=?=??≥?

29．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ??

????

的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n n

S n a -=-? B ．212

n n S S =

C ．2311222

n n n S S ≥

-+ D ．212

n n S S ≥+

30．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516

S =

C ．当12

p =

时，()*

,m n m n a a a m n N +?=∈ D ．3856a a a a +=+ 31．已知数列{}n a 的首项为4，且满足(

)*

12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）

A ．n a n ??

?

???

为等差数列 B ．{}n a 为递增数列

C ．{}n a 的前n 项和1

(1)24n n S n +=-?+

D ．12n n a +??????的前n 项和2

2

n n n T +=

32．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得

64m n a a =，则（ ）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．22

212413

n

n a a a -++

+=

D ．m n +为定值

33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n

n n

a a n N a +=

∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ??

+?

???

为等比数列

B ．{}n a 的通项公式为1123

n n a +=-

C ．{}n a 为递增数列

D ．1n a ???

???

的前n 项和2

234n n T n +=-- 34．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列

C ．S 8＝510

D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列

35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a

B ．8a

C ．15S

D ．16S

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．C 【分析】

令1m =，可得112+=?=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】

因为对任意的,m n N *

∈，都有m n m n a a a +=?，

所以令1m =，则112+=?=n n n a a a a ， 因为10a ≠，所以0n a ≠，即

1

2n n

a a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以2(12)6212

n -=-，解得n =5，

故选：C 2．A 【分析】

分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则2

750a a q =>，

由等比中项的性质可得2

75964a a a ==，因此，78a =.

故选：A. 3．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 4．A 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1

102n q -?>，

1

(1)

221n q q

-<-，即可求出参数q 的取值范围；

【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠． 11

0,2

n a a >=

，2n S <， ∴1

102n q -?>，1

(1)221n q q

-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得3

4

q

． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4

?? ??

?

．

故选：A ． 【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 5．A 【分析】

根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2

326a a a =，

即2

(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)

661(2)2422

S a d ?-?-=+=?+?-=-. 故选：A 6．C 【分析】

根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出

5S 的结果.

【详解】

因为12234,12a a a a +=+=，所以23

12

3a a q a a +=

=+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113

a q S q

--===--， 故选：C. 7．C 【分析】

由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】

由10210310a a ->，即1021031a a >，则有2

1021a q ?>，即0q >。

所以等比数列{}n a 各项为正数， 由

1021031

01

a a -<-，即102103(1)(1)0a a --<， 可得：1021031,1a a ><， 所以10220412203204102103()1T a a a a a a =??

?=?>，

103205122032042051031T a a a a a a =??

??=<，

故使得1n T >成立的最大自然数n 的值为204，

故选：C 【点睛】

关键10220412203204102103()1T a a a a a a =??

?=?>点点睛：在分析出1021031a a >，

1021031,1a a ><的前提下，由等比数列的性质可得102204102103()1T a a ==?>，

1032051031T a =<，即可求解，属于难题.

8．D 【分析】

由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：

(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，

∴当1n =时，有110S a a ==≠；

当2n ≥时，有1

1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0

1()2a a b b a =-+?=也适合上式，

1()2n n a a bn b -∴=-+?，

令n b a b bn =+-，1

2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，

故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；

因为11

()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{

}1

2

n bn -?即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,2

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 9．D 【分析】

利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】

n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，

∴21410(1)

11(1)

51q a q q

a q q ?

?>?

?-?=?

-??-?=-??，解得113a =，2q ，

771

(12)

1273123

S -∴==

-．

故选：D ． 10．A 【分析】

根据已知条件计算12320182019a a a a a ????的结果为

2020

1

b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1

n n n

b a b +=

，所以3201920202020

24

12320182019123

201820191

b b b b b b a a a a a b b b b b b ????=

????

?=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()

()123

201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ???=??????

22

22019

201910101010

1010101010102a a a a a =???==

所以20192020

12b b =，又114

b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

)*

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

11．无

12．B 【分析】

第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】

设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1

66

6n n n a -=?=

到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 13．C 【分析】

题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】

根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为

1a ，则有()717

1238112

a S ?-=

=-，解得13a =，中间层灯盏数3

4124a a q ==，

故选：C. 14．C 【分析】

由等比数列性质求得3a ，把35

124

a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】

因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53

32a =，解得32a =，则23511

4a a a a =

=，35

124

a a a +

+ 1111a a =++

，易知函数()1

f x x x

=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ??+

+∈ ???， 故选：C ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 15．A 【分析】

由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】

根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，

121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q

则()()4

56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.

故选：A 16．B 【分析】

根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2

174a a a =可求得7a 的值. 【详解】

在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，

由等比中项的性质可得2

4354a a a a ==，解得41a =， 17a =，2

1741a a a ==，因此，71

7

a =

.

故选：B. 17．A 【分析】

由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】

设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4

19q ?=，

解之可得8

3

d =

，23q =， ()22218

183

b a a q ∴-=??=.

故选：A. 18．D 【分析】

利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用2

1

a a 求出公比即可

【详解】

设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*

3()n n a n N +=∈，

则3

1327a ==，4

2381a ==，2

1

3a q a ∴

==， 故选：D 19．A 【分析】

根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】

因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12

,2n

n a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，

即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212

-=-.

故选：A. 20．A 【分析】

根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ?=，

则()()5

2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ???=+

?++=

()2475log 15a a =?=.

故选：A.

二、多选题 21．无

22．BCD 【分析】 由已知可得

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得

2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公

式，可判断C ；

由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】

因为121n n S S n +=+-，所以

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++．

又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；

所以2n n S n +=，则2n

n S n =-．

当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11

121a -≠-，故A 错误；

由当2n ≥时，1

2

1n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；

因为1

222n n S n +=-，所以2

3

1

1222...2221222...22n n S S S n ++++=-?+-?++-

()()()23122412122...2212 (22412)

2n n n n n n n n n ++--?

?=+++-+++=

-+=---??-?

? 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】

关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由

121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到

11222n n n n S n S n

S n S n

++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，

考查了推理运算能力，属于中档题, 23．ABC 【分析】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为

()

112

n n n S na d -=+

，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()

112

n n n S na d -=+

选项A. 11

2n S n a d n -=+，则+111

1+1222

n n S S n n d a d a d n n -????-=+-+= ? ?????（常数） 所以数列|n S n ??

?

???

为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122n a n d

a +-=,则112222n n n n

a a a d a ++-==（常数），所以数列{}

2n a

为等比数列，故B

正确.

选项C. 由,m n

a n a m ==，得()()1111m n a a m d n

a a n d m

?=+-=??=+-=?? ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-?-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112

n n n n S a d m -=+=，()112

m m m m S a d n -=+

=

将以上两式相减可得：()()()2212d

m n a m m n n n m ??-+

---=-?

?

()()()112

d

m n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠

所以()1112d a m n +

+-=-，即()1112

d

m n a +-=-- ()()()()()()()111112

m n m n m n d

S m n a m n a m n a m n +++-=++

=+++--=-+，所

以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应

用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m n a a m d n

a a n d m

?=+-=??=+-=??，从中解出1,a d ，从而

判断选项C ，由前n 项和公式得到()112

n n n n S a d m -=+

=，

()112

m m m m S a d n -=+

=，然后得出

()1112

d

m n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 24．BD 【分析】

根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，

逐项判断选项可得答案． 【详解】

由638a a =，可得3338q a a =，则2q

，

当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误； 由6

63

312912S S -=

=-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =?， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，

显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11

122121

n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；

故选：BD ． 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求

和公式. 25．BD 【分析】

设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121

14

a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，

因为2

153

1a a a ==，2311a a q == ， 所以

511151351515111111121

11114

a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =???=??或1142.

a q ?=??

?=?，

当14a =，12q =时，5514131

21412

S ?

?- ?

??==-，数列{}n a 是递减数列；

当11

4

a =

，2q 时，531

4

S =

，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314

S =. 故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121

14

a a ++=，进而解方程计算. 26．BD 【分析】

先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-

数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中

∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中

又

数列{}n a 是公比为q 的等比数列，

∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，

54-，81或81，54-，36，24-.

∴363242

q ==--或2432

36q -=

=-. 故选：BD 27．AD 【分析】

分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.

【详解】

①671,1a a >>, 与题设

671

01

a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设

671

01

a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.

得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .

∴B ，C ，错误.

故选：AD. 【点睛】

考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1

*

1n n a a q n N -=∈.

28．ABD 【分析】

根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】

由题意，数列{}n a 的前n 项和满足(

)*

12n n a S n N +=∈，

当2n ≥时，12n n a S -=，

两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即

1

3,(2)n n

a a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以2

1

2a a =， 所以数列的通项公式为2

1,

123

2

n n n a n -=?=?

?≥?；

当2n ≥时，1

1123322

n n n n a S --+?===，

又由1n =时，111S a ==，适合上式，

所以数列的{}n a 的前n 项和为1

3n n S -=；

又由11333

n

n n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 29．CD 【分析】

根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：

22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.

【详解】

因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，

所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13

22122

?-?=，故错误； B. 令1n =时， 213122

S =+=，而 111

22S =，故错误；

C. 当1n =时， 213122

S =+

=，而 3113

2222-+=，成立，当2n ≥时，

211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以

11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)

n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n

-=+++++++，令()1111

...1232f n n n n n

=+++++++，因为

()11111

1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，

所以()()1

12

f n f ≥=，故正确；

故选：CD 【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 30．AC 【分析】

由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】

由122(2)n n S S p n --=≥，得22

p a =

. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，

又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1

2

的等比数列，故A 正确；

由A 可得1p =时，44111521812

S -

=

=-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +?=等价为212

1122

m n m n p p ++?=?，可得12p =，故C 正确；

3827

11

33||||22

128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??+=+=? ???

， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC. 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．BD 【分析】

由12(1)0n n n a na ++-=得

121n n a a n n +=?+，所以可知数列n a n ??

????

是等比数列，从而可求出12n n a n +=?，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于

1

11

222

n n n n a n n +++?==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +??????的前n 项和. 【详解】

由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=?+，所以n a n ??

????是以1141a a ==为首项，2为公比的

等比数列，故A 错误；因为11422n n n

a n

-+=?=，所以12n n a n +=?，显然递增，故B 正确；

因为23

112222n n S n +=?+?+

+?，342212222n n S n +=?+?+

+?，所以

23

1

2

1222

2

n n n S n ++-=?++

+-?(

)222122

12

n

n n +-=

-?-，故

2(1)24n n S n +=-?+，

故C 错误；因为1

11

222

n n n n a n n +++?==，所以12n n a +??????的前n 项和2

(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 32．BD

【分析】

由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数

列前n 项和公式，求出 1

22

212443

n n a a a +-++

+=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式

得到62642m n +==，所以选项D 正确. 【详解】

由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，

所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，

所以1

2n

n a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，

故选项A 错误，选项B 正确； 数列{}2

n

a 是以首项214a

=，公比14q =的等比数列，

所以()

()21

112221

2

1

141444114

3

n n n n

a q a a a q +-?--++

+=

=

=--，故选项C 错误；

6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.

故选：BD 【点睛】

本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 33．ABD 【分析】 由()*123n

n n

a a n N a +=

∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】 因为

112323n n

n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11

340a +=≠， 所以13n a ??+?

???

是以4为首项，2位公比的等比数列，1

1342n n a -+=?即1123n n a +=-，故

选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1

12

3

n n a +=

-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.

因为1

231n n

a +=-，所以 1n a ??????的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+

+-=++

+-

22(12)2312

234n n n n +-?-=?-=--.选项D 正确，

故选：ABD 【点睛】

本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 34．BC 【分析】

先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】

由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0． 根据根与系数的关系，可知

a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 12

a q

=

＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12

a q

=

=2．故选项A 不正确． a n ＝a 1?q n ﹣1＝2n ． ∵S n (

)21212

n -=

=-2

n +1

﹣2．

∴S n +2＝2n +1＝4?2n ﹣1．

∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．

∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．BC 【分析】

根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.