【卓越学案】2017高考理科数学新课标一轮复习练习：7.4基本不等式.doc
高三数学一轮复习精品学案1：7.4 基本不等式及其应用
7.4 基本不等式及其应用『考纲解读』1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．基本不等式一直都是热点，涉及范围较广，且常考常新，但一般不外乎以下四个层次：①直接考：即对“一正二定三相等”这一基本特征的考查，属基础知识型测试；②变化考：即考查学生能否通过使用加“0”、乘“1”、升(降)幂、取倒数、换元等手段将原问题转化成①，属知识、技能型测试；③灵活考：即从题面上看不一定是考查基本不等式，但若能灵活应用基本不等式，往往能突破题目难点，优化解题思路，避免分类与整合等，多为解答题，属能力型测试；④综合考：如综合各种数学思想，或与其他学科、背景综合等，属较高能力要求． 『考点梳理』1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．『基础自测』设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．2 2D ．26若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b 2D ．v ＝a ＋b 2下列函数中，最小值为4的是________．①y ＝x ＋4x； ②y ＝sin x ＋4sin x(0＜x ＜π)； ③y ＝4e x ＋e －x ；④y ＝log 3x ＋log x 3(0＜x ＜1)．点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是 ．『典例解析』类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞－1)的值域．(2)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R )(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1t 的最小值为 ．(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(Ⅰ)xy 的最小值；(Ⅱ)x ＋y 的最小值．类型二 利用基本不等式求有关参数范围若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有()A ．2∈M ，0∈MB ．2∉M ，0∉MC ．2∈M ，0∉MD ．2∉M ，0∈M已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2』∪『4，＋∞)B ．(－∞，－4』∪『2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．『名师点津』1．在利用基本不等式求最值时，要注意使用口诀：一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．2．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值．3．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．答案『考点梳理』1. a ＋b 22.ab3.2ab4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 22『基础自测』解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B . 解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立．故选A.解：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0， ∴v ＞a .故选A.解：注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，①的定义域为x ∈R ，且x ≠0，函数没有最小值；②若sin x ＝4sin x取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；③符合一正、二定、三相等，且最小值为4；④没有最小值．故填③.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号， ∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.『典例解析』(1)解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m＝m ＋4m ＋5≥2m ·4m＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9. 又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是『9，＋∞)．(2)解：A 中，x 2＋14≥x ⎝⎛⎭⎫当x ＝12时，x 2＋14＝x . B 中，sin x ＋1sin x≥2(sin x ∈(0，1』)； sin x ＋1sin x≤－2(sin x ∈『－1，0))． C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R )．D 中，1x 2＋1∈(0，1』(x ∈R )．故C 一定成立， 故选C.『评析』这里(1)是形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c x ＋d的最值问题，只要分母x ＋d ＞0，都可以将f (x )转化为f (x )＝a (x ＋d )＋e x ＋d＋h (这里ae ＞0；若ae ＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值．(2)中不等式条件较复杂，要逐一分析，牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在．(1)解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥－2， 当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.(2)解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8y y －2， ∵x ＞0，∴y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18， 当且仅当y －2＝16y －2， 即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8y x＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．解法一：求出不等式的解集：(1＋k 2)x ≤k 4＋4⇒x ≤k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2⇒x ≤⎣⎡⎦⎤（k 2＋1）＋5k 2＋1－2min ＝25－2 (当且仅当k 2＝5－1时取等号)．解法二(代入法)：将x ＝2，x ＝0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R .故选A .『评析』一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .解：∵x ＞0，y ＞0且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y＝8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min ＞m 2＋2m ，即8＞m 2＋2m ，解得－4＜m ＜2.故选D.解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x， 所以y ＝225x ＋3602x－360(x ≥2)． (2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10800， ∴y ＝225x ＋3602x－360≥10440， 当且仅当225x ＝3602x，即x ＝24时等号成立． 答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．『评析』建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝k ab， 其中k 是比例系数且k ＞0.依题意要使y 最小，只需ab 最大．由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0)．∵a ＋2b ≥22ab ，∴22·ab ＋ab ≤30，得0＜ab ≤3 2.当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3. 故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少．解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2，代入y ＝k ab 求解．。
7.4 热点题型三 基本不等式-2017年高考数学(理)热点+题型全突破含解析
热点题型三 基本不等式【基础知识整合】1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=(1）调和平均数：12111nnnH a a a =+++（2）几何平均数:2nnGa =(3）代数平均数：12nna a a An+++=（4)平方平均数：2nn a Q n++=2、均值不等式：nn n n HG A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2ab+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1)),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭:多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）222ab ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量，例如:当0,x >求23y x x=+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥右侧依然含有，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x=+为了乘积消掉,则要将3x拆为两个2x，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。
则考虑变积为和后保证能够消掉,所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭(3）等:若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点:① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A 版第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥□012ab (a ，b ∈R )(当且仅当□02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：□03a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当□04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的□05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的□06几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当□07x ＝y 时，x ＋y 有□08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当□09x ＝y 时，xy 有□10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A.1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立.故选C.3.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.322答案 B解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－a a ＋6＝0；当－6<a <3时，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．4．(2019·南昌摸考)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.5．(2019·大连模拟)函数y ＝2x ＋2x(x <0)的最大值为________．答案 －4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4(当且仅当－2x ＝－2x，即x ＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a＋18b ≥22a8b ＝22a －3b ＝22－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)， ∴2a＋18b 的最小值为14.核心考向突破考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0 解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.即时训练 1.已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8x ＋2y ＋4的最小值为________．答案 12解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2x ＋2y ＋4，即1x ＋2y ＋4≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8x ＋2y ＋4≥816＝12. 角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab·b a＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1.3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值.即时训练 2.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2C ．18D ．16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. (2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.触类旁通通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．即时训练 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b a的最小值为________．答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b＋3ba的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6.故选C.触类旁通1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.即时训练 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16答案 D 解析32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.即时训练 6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，由于ab >0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练 已知a >b >0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a 2＝64a2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16ba －b的最小值为16.。
2017届新课标高考总复习·数学课件：第7章 第4节 基本(均值)不等式
D．120 件
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[听前试做] 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费 用是80x0元，仓储费用是x8元，总的费用是80x0＋x8≥2 80x0·x8＝20， 当且仅当8x00＝x8，即 x＝80 时取等号．
答案：B
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②因为 x>0，所以 x 1＋y2＝ 2
x212＋y22≤ 2x2＋212＋y22.
又 x2＋12＋y22＝x2＋y22＋21＝32，
所以 x 1＋y2≤ 212×32＝3 42，
当且仅当 x2＝12＋y22，即 x＝ 23时，等号成立．
故(x
1＋y2)max＝3
4
2 .
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第二十一页，编辑于星期六：点 五十六分。
(2)将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决 此类问题的常用方法．(如角度二)
(3)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系， 然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多 元的问题，解决方法是消元后利用基本(均值)不等式求 解．(如角度三)
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恒成立，则 a 的取值范围是________．
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[听前试做] (1)由 32x－(k＋1)3x＋2>0 恒成立，得 k＋1<3x＋32x. ∵3x＋32x≥2 2，∴k＋1<2 2，即 k<2 2－1. (2)由 f(x)≥3 恒成立，得x2＋xa＋x＋1 11≥3， 又 x∈N*，∴x2＋ax＋11≥3(x＋1)，∴a－3≥－x＋8x. 令 F(x)＝－x＋8x，x∈N*，则 F(x)max＝F(3)＝－137， 即 a－3≥－137，∴a≥－83. 答案：(1)B (2)－83，＋∞
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用学案
§7.4基本不等式及不等式的应用考纲解读20152.分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.3.预计2019年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应引起高度重视.五年高考考点一基本不等式1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B2.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案84.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 45.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B.C.[-2,2]D.答案 A3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .答案-15.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案306.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)< f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.8.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.9.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.教师用书专用(10)10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解析设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一基本不等式1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )A.2B.4C.D.答案 D2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )A.2B.2C.4D.8答案 C3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为.答案[-2,-1)4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为. 答案55考点二不等式的综合应用5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为.答案6.(2017浙江宁波期末,16)若正实数a,b 满足(2a+b)2=1+6ab,则的最大值为.答案7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,则m的最小值是.答案28. (2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( )A. B.3 C.1 D.2答案 A二、填空题3.(2018浙江镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;4.(2018浙江杭州二中期中,14)已知实数x,y满足则z=y+2x的最小值为;当实数u,v满足u2+v2=1时,ω=ux+vy的最大值为.答案;25.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>0,且x+y=k,则使不等式≥恒成立的k的最大值为.答案26.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.答案9-327.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则+的最小值为.答案 3C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,15)已知x>0,y>0,x y=x+2y,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m 的取值范围是.答案[-4,2]方法2 不等式综合应用的解题策略2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知正实数x,y满足x++2y+=6,则xy的取值范围为.答案。
【卓越学案】高考理科数学新课标一轮复习练习：7.4基本不等式(含答案解析)
一、选择题1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[导学号35950511] 解析：选A.由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.2.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D ．322[导学号35950512] 解析：选B.法一：因为－6≤a ≤3， 所以3－a ≥0，a ＋6≥0， 则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92， 当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：－aa ＋＝－a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >2ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab[导学号35950513] 解析：选C.因为ab >0，所以{ a b >0或{ ab <0，排除A ，B ；由于a 2＋b 2≥2ab 恒成立，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 错误；在C 中，ab >0时，b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ×a b＝2，故选C.4．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时， 3x ＋27y 的最小值是( ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．5D ．6[导学号35950514] 解析：选D.∵x ＋3y ＝2，∴3x ＋27y ≥23x ·27y ＝23x＋3y＝6，当且仅当x ＝3y ＝1时取等号，故3x ＋27y 的最小值是6，故选D.5．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋by )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)[导学号35950515] 解析：选D.因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )(a x ＋by )＝a ＋b ＋ay x ＋bxy≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4， 当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy ，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，故选D.6．已知x >1，y >1，且 14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e[导学号35950516] 解析：选C.∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y＝14≤⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][导学号35950517] 解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，故选D.8．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[导学号35950518] 解析：选B.若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B.9．设x >y >z ，且1x －y ＋1y －z ≥nx －z (n ∈N )恒成立，则n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[导学号35950519] 解析：选C.因为x >y >z ，所以x －y >0，y －z >0，x －z >0，不等式1x －y ＋1y －z ≥n x －z 恒成立，等价于n ≤(x －z )(1x －y ＋1y －z )恒成立． 因为x －z ＝(x －y )＋(y －z )≥ 2x －yy －z ，1x －y ＋1y －z≥21x －y ×1y －z ， 所以(x －z )(1x －y ＋1y －z )≥2x －yy －z ×21x －y ×1y －z＝4，当且仅当x －y ＝y －z 时取等号， 则要使n ≤(x －z )(1x －y ＋1y －z )恒成立，需使n ≤4(n ∈N )，故n 的最大值为4，故选C.10．(2016·山东青岛质检)在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a ∈R ，a *0＝a ；②对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)． 则函数f (x )＝(e x )*1e x 的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[导学号35950520] 解析：选B.依题意可得f (x )＝ (e x )*1e x ＝e x ＋1e x ＋1≥2e x ·1ex ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x )*1ex 的最小值为3，故选B.二、填空题11．若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________． [导学号35950521] 解析：∵log m n ＝－1， ∴m －1＝n ，∴mn ＝1，∵n >0，m >0且m ≠1， ∴3n ＋m ≥23mn ＝23， 当且仅当3n ＝m ，即n ＝33，m ＝3时等号成立． 答案：2 312．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是________．[导学号35950522] 解析：依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·(2a ＋b )＝3＋(ba ＋2ab)≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，所以1a＋1b的最小值是3＋2 2. 答案：3＋2 213．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为________． [导学号35950523] 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1，又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15，因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是27.答案：2714．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[导学号35950524] 解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m.又设该容器的造价为y 元， 则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10， 即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)． 因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”， 所以y min ＝80＋20×4＝160(元)． 答案：160三、解答题15．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值． [导学号35950525] 解：(1)行车所用时间t ＝130x(小时)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]，所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．16．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°(如图所示)，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x (米)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (米)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？ (3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)？并求此时外周长的值．[导学号35950526] 解：(1)93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2.由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6， ∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x <6) .(2)由y ＝18x ＋3x2≤10.5得3≤x ≤4.∵[3,4]⊂[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]． (3)y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为63米， 此时腰长x 为23米．。
高三数学一轮复习精品学案3：§7.4 基本不等式及其应用
§7.4 基本不等式及其应用考纲展示1.了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题． 考点1 利用基本(均值)不等式求最值 第1步 回顾基础 一、自读自填1.基本(均值)不等式a ＋b ≤a ＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥________(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________. 4．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最________值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最______值是p 24.(简记：和定积最大)二、易错问题1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．(1)函数y ＝x ＋1x 在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________． (2)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的最小值为________． 2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为________． (2)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 三、通性通法利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数． 已知0<x <1，则y ＝lg x ＋4lg x 的最大值是________．第2步 多角探明考情聚焦 利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容． 主要有以下几个命题角度： 角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值典题1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23(2)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．(3)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值． (4)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．点石成金1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式． 角度二通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值典题2 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．题点发散1 本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 题点发散2 本例的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．题点发散3 若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？题点发散4 若将本例变为：设a ，b ，c 均为正数，满足a －2b ＋3c ＝0，则b 2ac 的最小值是________．题点发散5 若将本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．点石成金 将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法． 角度三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值典题3 已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 点石成金消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本(均值)不等式求解． 考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题 第1步 师生共研典题4 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 点石成金1.a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ，a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .2.求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值)不等式的问题可考虑利用函数的单调性.第2步 跟踪训练已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0) ，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p ＝( ) A ．2 B.94 C ．4D.92考点3 基本(均值)不等式的实际应用 第1步 回顾基础 一、链接教材(1)现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是( ) A ．1 m B ．1.5 m C ．0.75 mD ．0.5 m (2)将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.(3)建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元． 第2步 师生共研典题5 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 点石成金 解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 第3步 跟踪训练某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件课堂总结 方法技巧1.基本(均值)不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本(均值)不等式的切入点．2．对使用基本(均值)不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x (m >0)的单调性．易错防范1.使用基本(均值)不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2.连续使用基本(均值)不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．——★ 参 考 答 案 ★——考点1 利用基本(均值)不等式求最值 第1步 回顾基础 一、自读自填1. (1)a >0，b >0 (2)a ＝b 2． (1)2ab (2)23．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4． (1)x ＝y 小 (2)x ＝y 大 二、易错问题 1. (1)『答案』 2 －2『解析』 当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，故y 的最小值为2. 当x <0时，－x >0，y ＝x ＋1x＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2(－x )×⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2， 当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时取等号，故y 的最大值为－2. (2)『答案』 5『解析』 y ＝sin x ＋4sin x≥2sin x ·4sin x ＝4，当sin x ＝4sin x时，sin x ＝±2，显然取不到等号．事实上，设t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则t ∈(0,1』，易知y ＝t ＋4t 在(0,1』上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5. 2． (1)『答案』 12『解析』 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，等号成立．(2)『答案』 5『解析』 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立.三、通性通法 『答案』 －4『解析』 ∵0<x <1，∴lg x <0，－lg x >0， ∴－y ＝－lg x ＋⎝⎛⎭⎫4－lg x ≥2(－lg x )×⎝⎛⎭⎫4－lg x ＝4，当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1100时，等号成立，故y max ＝－4.第2步 多角探明角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值 典题1 (1)『答案』 B 『解析』 因为0<x <1， 所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．(2)解：因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)解：因为x ＞0，所以x 1＋y 2＝2x 2⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 222.又x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 22＋12＝32，所以x 1＋y 2≤ 2⎝⎛⎭⎫12×32＝324， 即(x 1＋y 2)max ＝324. (4)解：令t ＝x －1 ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4，当且仅当t ＝2时等号成立，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．角度二典题2 『答案』 4『解析』 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．题点发散1 『答案』 9『解析』 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．题点发散2 『答案』 1『解析』 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1.∴a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．题点发散3 解：∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b3a ≥1＋22ab 9ab ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b ＝32－3时等号成立． 故1a ＋1b 的最小值为1＋223. 题点发散4 『答案』 3『解析』 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴b ＝a ＋3c 2，∴b 2ac ＝a 2＋9c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac ＝3，当且仅当a ＝3c 时等号成立． 题点发散5 『答案』 95『解析』 设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2. a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5， 则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n ) ＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15×(5＋24)＝95， 当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．角度三典题3 『答案』 6 『解析』 由已知，得x ＝9－3y1＋y. 解法一：∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3(y ＋1)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，等号成立，故(x ＋3y )min ＝6.解法二：∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.考点2 基本(均值)不等式与函数的综合问题 第1步 师生共研 典题4 (1)『答案』 B『解析』 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋23x .∵3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)『答案』 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 『解析』 由f (x )≥3恒成立，得x 2＋ax ＋11x ＋1≥3，又x ∈N *，∴x 2＋ax ＋11≥3(x ＋1)， ∴a －3≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x .令F (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ，x ∈N *， 则F (x )max ＝F (3)＝－173，即a －3≥－173，∴a ≥－83.第2步 跟踪训练 『答案』 B『解析』 由题意，得x －1>0， f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1， 当且仅当x ＝p ＋1时等号成立． 因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4， 所以2p ＋1＝4, 解得p ＝94.考点3 基本(均值)不等式的实际应用 第1步 回顾基础 一、链接教材 (1)『答案』 A (2)『答案』 4＋22『解析』 设两直角边分别为a m ，b m ，框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴ l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m. (3)『答案』 1 760『解析』 池底一边长为x 米，则另一底边为4x 米，则总造价y ＝4×120＋4⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×80≥1 760，当且仅当x ＝2时取得最小值． 第2步 师生共研典题5 『答案』 (1)1 900 (2)100 『解析』 (1)当l ＝6.05时， F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时等号成立．高三数学一轮复习11 ∴最大车流量F 为1 900辆/时．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18， ∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000， 当且仅当v ＝100v，即v ＝10时等号成立． ∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100(辆/时)．第3步 跟踪训练『答案』 B『解析』 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元， 总的费用是800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时等号成立.。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第7章不等式7.4基本不等式及其应用文档
1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D成立．3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C. 4．(教材改编)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________．答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1，当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m 等于( )A ．2B ．22C ．3D ．4(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 (1)D (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.故选D. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立． 设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 答案 B解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)(2015·大同模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 (1)A (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16， 所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6. 所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．题型三 不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x －1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1000x ×0.05－(51x ＋10000x －1450)－250＝1200－(x ＋10000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1200－(x ＋10000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)． 当x ≥80时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－210000＝1000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．10．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3B ．6C ．9D ．36 答案 C解析 因为a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，所以5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，因为a 5＋a 6≥2a 5a 6，所以6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，所以a 5a 6的最大值为9，选C.3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5 答案 C解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A.5B.6C.52D ．3答案 C解析 如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f(ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.7．已知函数f (x )＝x ＋p x －1 (p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为( ) A ．1B ．2C.94D.74答案 C解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0B.98C ．2D.94答案 C解析 由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－8]解析 分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283 C.143 D.163答案 D解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a2b，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D.13．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．25D ．5 答案 B解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a (a －b )≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立， 如取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3， ∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． 解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|)＝⎩⎨⎧401＋4t ＋100t， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。
导与练普通班2017届高三数学一轮复习第七篇不等式第4节基本不等式课件理
xy
1 1 当且仅当 4 y = x ,即 x=2y 时等号成立. xy
2.函数y=x+ 的值域,以及函数y=x+ (x≥2)的值域均能利用基本不等式 因为x+2y>m2+2m恒成立,
所以 m2+2m<8,m2+2m-8<0,
x x 解得-4<m<2.故选 C.
解: (2)当 0<a<1 时,任取 0≤x1<x2,则
2
=x+1+
2
-1≥2
2 -1,
x 1
x 1
当且仅当 x+1=
2
,
x 1
x x 即x=
2 -1 时取等号,
所以 f(若直线 x + y =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值 ab
等于(
)
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
解析:因为 x>0,y>0,所以 4 + 1 = 4 ( 4 + 1 ) (x+y)= 4 (5+ 4 y + x )
年销售收入-固定成本-流动成本)
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b 为正实数,且
1 1 a+b=M,M 为定值,则 ab≤ M 2 ,等号当且仅当 4 最大)
时成立.(简记:和定积
2.函数y=x+ 的值域,以及函数y=x+ (x≥2)的值域均能利用基本不等式 解:(1)当a=2时,f(x)=x+
x
y
1 1 所以 3x+4y= 1 (3x+4y)( 3 + 1 )= 1 (13+ 12 y + 3 x )≥ 1 (13+2
高三数学一轮复习精品学案2：7.4 基本不等式及其应用
7.4 基本不等式及其应用『知识梳理』1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件： ．(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为___，几何平均数为___，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有 值是 ．(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有 值是 ．(简记：和定积最大)『要点整合』 1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．『考点探究』考点一__利用基本不等式证明不等式__________已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.在本例条件下，求证1a ＋1b≥4.1.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .考点二__利用基本不等式求最值(高频考点)______利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)当0<x <12时，函数y ＝12x (1－2x )的最大值为________．(2)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23 B ．7＋23 C ．6＋4 3D ．7＋43(3)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪『4，＋∞)B ．(－∞，－4』∪『2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)2.(1)当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为__________．(2)若x <3，则函数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________．(3)已知函数y ＝a x ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n ＝－1上，且m ，n >0，则3m ＋n 的最小值为________．(4)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为________．考点三__利用基本不等式解决实际问题________小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？3.某化工企业2014年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．『提升训练』1．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2C.⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2D ．a 2＋b 2>2ab3．已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为________．4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．5．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．答案『知识梳理』1．(1) a >0，b >0 (2) a ＝b 2．a ＋b2 ab3．(1) x ＝y 最小 2p (2) x ＝y 最大 p 24『证明』 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab .∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． ∴1a ＋1b≥4. 『规律方法』 利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋ab c ≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立，ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．『解析』 (1)∵0<x <12，∴1－2x >0，则y ＝14·2x (1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝116， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取到等号，∴y max ＝116. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3ab ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3a b时取等号．故选D.(3)x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2.『答案』 (1)116(2)D (3)D『规律方法』 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．2.『解析』(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2xx 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)∵x <3，∴x －3<0， ∴3－x >0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－243－x·（3－x ）＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )的最大值为－1.(3)易知函数y ＝a x ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又因为点A 在直线x m ＋y n ＝－1上，所以3m ＋1n ＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝⎛⎭⎫3m ＋1n ＝10＋3m n ＋3nm ≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立，所以3m ＋n 的最小值为16. (4)因为a >0，b >0，1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a ·(2b )＋1ab ＝4ab ＋1ab ，令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t .因为f (t )在⎝⎛⎦⎤0，18上单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝⎛⎭⎫18＝172，此时a ＝2b ＝12. 『答案』(1)1 (2)－1 (3)16 (4)172『解』 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8.35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15， 此时，当且仅当x ＝100x时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．『规律方法』 应用基本不等式解实际问题的步骤：①理解题意，设变量；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④写出正确答案．3.解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋（2＋4＋6＋…＋2x ）x ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号． 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．『提升训练』1．『解析』选B.当p 成立的时候，q 一定成立，但当q 成立的时候，p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件．2．『解析』选C.当a ，b 都是负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立，当a ＝b 时，D 不成立，因此只有选项C 是正确的．3．『解析』由已知a 4a 14＝(22)2＝8. 再由等比数列的性质有a 4a 14＝a 7a 11＝8. 又∵a 7>0，a 11>0， ∴2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝8. 当且仅当2a 7＝a 11时等号成立． 『答案』84．『解析』每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．『答案』5 85．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2， ∴2－x >0，∴y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.。
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一、选择题1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[导学号35950511] 解析：选A.由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.2.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D ．322[导学号35950512] 解析：选B.法一：因为－6≤a ≤3， 所以3－a ≥0，a ＋6≥0， 则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92， 当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：－aa ＋＝－a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >2ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab[导学号35950513] 解析：选C.因为ab >0，所以{ a b >0或{ ab <0，排除A ，B ；由于a 2＋b 2≥2ab 恒成立，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 错误；在C 中，ab >0时，b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ×a b＝2，故选C.4．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时， 3x ＋27y 的最小值是( ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．5D ．6[导学号35950514] 解析：选D.∵x ＋3y ＝2，∴3x ＋27y ≥23x ·27y ＝23x＋3y＝6，当且仅当x ＝3y ＝1时取等号，故3x ＋27y 的最小值是6，故选D.5．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋by )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)[导学号35950515] 解析：选D.因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )(a x ＋by )＝a ＋b ＋ay x ＋bxy≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4， 当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy ，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，故选D.6．已知x >1，y >1，且 14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e[导学号35950516] 解析：选C.∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y＝14≤⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][导学号35950517] 解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，故选D.8．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[导学号35950518] 解析：选B.若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B.9．设x >y >z ，且1x －y ＋1y －z ≥nx －z (n ∈N )恒成立，则n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[导学号35950519] 解析：选C.因为x >y >z ，所以x －y >0，y －z >0，x －z >0，不等式1x －y ＋1y －z ≥n x －z 恒成立，等价于n ≤(x －z )(1x －y ＋1y －z )恒成立． 因为x －z ＝(x －y )＋(y －z )≥ 2x －yy －z ，1x －y ＋1y －z≥21x －y ×1y －z ， 所以(x －z )(1x －y ＋1y －z )≥2x －yy －z ×21x －y ×1y －z＝4，当且仅当x －y ＝y －z 时取等号， 则要使n ≤(x －z )(1x －y ＋1y －z )恒成立，需使n ≤4(n ∈N )，故n 的最大值为4，故选C.10．(2016·山东青岛质检)在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a ∈R ，a *0＝a ；②对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)． 则函数f (x )＝(e x )*1e x 的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[导学号35950520] 解析：选B.依题意可得f (x )＝ (e x )*1e x ＝e x ＋1e x ＋1≥2e x ·1ex ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x )*1ex 的最小值为3，故选B.二、填空题11．若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________． [导学号35950521] 解析：∵log m n ＝－1， ∴m －1＝n ，∴mn ＝1，∵n >0，m >0且m ≠1， ∴3n ＋m ≥23mn ＝23， 当且仅当3n ＝m ，即n ＝33，m ＝3时等号成立． 答案：2 312．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是________．[导学号35950522] 解析：依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·(2a ＋b )＝3＋(ba ＋2ab)≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，所以1a＋1b的最小值是3＋2 2. 答案：3＋2 213．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为________． [导学号35950523] 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1，又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15，因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是27.答案：2714．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[导学号35950524] 解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m.又设该容器的造价为y 元， 则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10， 即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)． 因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”， 所以y min ＝80＋20×4＝160(元)． 答案：160三、解答题15．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值． [导学号35950525] 解：(1)行车所用时间t ＝130x(小时)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]，所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．16．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°(如图所示)，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x (米)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (米)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？ (3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)？并求此时外周长的值．[导学号35950526] 解：(1)93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2.由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6， ∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x <6) .(2)由y ＝18x ＋3x2≤10.5得3≤x ≤4.∵[3,4]⊂[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]． (3)y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为63米， 此时腰长x 为23米．。