位错的应力场与应变场

• 一般金属泊松比ν＝0.3～0.4，若取ν =1/3，得
E刃
3 2
E螺
• 即刃位错弹性应变能比螺位错弹性应变能约大50% 。
zx zy 0
在刃位错正上方（x=0）有一 个纯压缩区。
而在多余原子面底边的下方是 纯拉伸区。
沿滑移面（y=0）应力是纯剪 切的。
在围绕位错的其他位置，应力 场既有剪切分量，又有拉伸或 压缩分量。
正刃型位错周围的应力场
2. 位错的应变能
• 位错周围弹性应力场的存在增加了晶体的能量，这部 分能量称为位错的应变能。
x z G 2(x 2 b yy 2) y z G 2(x 2 b xy 2)
xy 0 xxyyzz0
圆柱坐标下螺位错周围应力分量：
z
z
Gb
2rΒιβλιοθήκη rrzrrz0rrzz0
• 螺型位错应力场特点：
• 1）没有正应力分量。
• 2）切应力分量只与距位错中心距离r 有关，距中
心越远，切应力分量越小。
错线平行的直线上各点应力状态相同。 • 3）应力场对称于Y轴（多余半原子面）。
x
2(G 1b)
y(3x2y2) (x2y2)2
y
2(G 1b)
y(x2y2) (x2y2)2
z(xy)
xy2(G 1b)(xx(2x2yy2)22)
zx zy 0
• 4）y＝0时，σxx＝σyy＝σzz＝0，即在滑移面上无 正应力，只有切应力，且切应力最大。
分析位错应力场时，常设想把半径约为0.5～1nm的 中心区挖去，而在中心区以外的区域采用弹性连续介质 模型导出应力场公式。
• 为研究位错应力场问题，一般把晶体分作两个区域： • 1）位错中心附近 • 因畸变严重，须直接考虑晶体结构和原子之间的相互
作用。
• 2）远离位错中心区， • 因畸变较小，可简化为连续弹性介质，用线弹性理论
• 3）切应力对称分布，与位错中心等距的各点应 力状态相同。
Gb y
Gb x
x z 2(x 2 y 2) y z 2(x 2 y 2)
xy 0 xxyyzz0
（2）刃型位错应力场
刃型位错的应力场
• 建立刃型位错力学模型：
• 模型中圆筒轴线对应刃位错位错线，圆筒空 心部对应位错的中心区。
• 用圆柱坐标方式表达九个应力分量： • 正应力分量：σrr、σθθ、σzz）， • 切应力分量：τrθ、τθr、τθz、τzθ、τzr、τrz
下角标： 第一个符号表示应力作用面的
外法线方向， 第二个符号表示应力的指向。
• 在平衡条件下，τxy=τyx、τyz =τzy、τzx =τxz
• （τrθ =τθr、τθz =τzθ、τzr =τrz），
进行处理。 • 位错的畸变：以弹性应力场和应变能的形式表达。
• 一、应力分量： • 物体中任意一点的应力状态均可用九个应力
分量描述。 • 用直角坐标方式表达九个应力分量： • 正应力分量：σxx、σyy、σzz • 切应力分量：τxy、τyz、τzx、τyx、τzy、τxz。
下角标：
σxx 表示应力作用面法线方向， 表示应力的指向。
• 位错的应变能：应包括位错中心区应变能 E0 和位错 应力场引起的弹性应变能 Ee，即
EEe E0
• 位错中心区点阵畸变很大，不能用线弹性理论计算 E0 。
• 据估计，E0 约为总应变能的1/10～1/15左右，故常 忽略，而以Ee 代表位错的应变能。
• 位错的应变能：可根据造成这个位错所作的功求得。
O
N
O
N
Q
Q
P
M
P
M
刃型位错柏氏矢量的确定
柏氏矢量
(a) 有位错的晶体 (b) 完整晶体
1.4 位错的应力场和应变场
1. 位错的应力场 晶体中存在位错时，位错线附近的原子偏离了正常位
置，引起点阵畸变，从而产生应力场。 在位错的中心部，原子排列特别紊乱，超出弹性变形
范围，虎克定律已不适用。中心区外，位错形成的弹性 应力场可用各向同性连续介质的弹性理论来处理。
• 实际只有六个应力分量就可充分表达一个点 的应力状态。
• 与这六个应力分量相应的应变分量：
• εxx、εyy、εzz（εrr、εθθ、εzz）和γxy、γyz、γzx （γrθ、γθz、γzr）。
（1）螺型位错的应力场
螺型位错的应力场
• 建立如图所示的螺型位错力学模型。
• 形成螺位错，晶体只沿 Z 轴上下滑动，而无径向和 切向位移，故螺位错只引起切应变，而无正应变分 量。
• 1、以直角坐标表示螺位错周围的应变分量：
x z G 2(x 2 b yy 2 ) y z G 2(x 2 b xy 2 )
xy 0 xxyyzz 0
2、圆柱坐标表示螺位错周围的应变分量：
z
z
b
2r
rrzz0
rrzrrz0
• 螺位错周围应力分量：由虎克 定律得：
刃位错的应变能
• 因形成刃位错时，位移x是从O→b，是随 r 而变
的；同时，MN面上的受力也随 r 而变。当位移
为x 时，切应力τθr ：
r 2(G1x)CrOS
• θ＝0时，为克服切应力τθr所作的
功： Rb
E刃 r0 0
rdx drR 0r0 b2(G 1x)1 rdxdr
• 则，单位长度刃位错的应变能。
• 5）y＞0时，σxx＜0；y＜0时，σxx＞0，即在滑 移面上侧 x方向为压应力，而在滑移面下侧 x 方 向为拉应力。
• 6）x＝y 时，σyy 及τxy 均为零。
x
2(G 1b)
y(3x2y2) (x2y2)2
y
Gb
2(1)
y(x2y2) (x2y2)2
z(xy)
xy2(G 1b)(xx(2x2yy2)22)
• 刃位错应力场公式：
x
Gb
2(1)
y(3x2y2) (x2y2)2
y
2(G 1b)
y(x2y2) (x2y2)2
z(xy)
xy2(G 1b)(xx(2x2yy2)22)
zx zy 0
• 刃型位错应力场特点： • 1）正应力分量与切应力分量同时存在。 • 2）各应力分量均与 z 值无关，表明与刃型位
E刃4G(1b2)lnrR0
螺位错的应变能
• 螺位错的应变能：
•
由螺位错应力分量，z
z
Gb
2r
• 同样也可求单位长度螺位错的 应变能：
Gb2 R
E螺
4
ln( ) r
• 比较刃位错应变能和螺位错应变能可看出：
E刃
Gb2 lnR
4(1) r0
• 当b相同时，
E螺
Gb2
4
ln(R) r
1
E刃 (1) E螺