江苏省泰州中学2020届高三10月月考数学试题
江苏省泰州中学高三数学10月月考试题文
江苏省泰州中学2018届高三数学10月月考试题 文一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上） 1.若集合}3,2,0{},2,1,0,1{=-=Q P ，则=⋂Q P ．2.若5)21)((=-+i bi a （i R b a ,,∈为虚数单位），则b a +的值为 ．3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有300,400,150,150名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ．4.如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5.记函数234)(x x x f --=的定义域为D .若在区间]5,5[-上随机取一个数x ，则D x ∈的概率为 ．6.已知直线02:,01)2(:21=++=+++ay x l y a ax l .若21l l ⊥，则实数a 的值是 ．7.已知向量)1,3(),3,1(-==→→PB AP ，则→AP 和→PB 的夹角等于 ． 8.已知函数2)(23++-=mx x x x f ，若对任意R x x ∈21,，均满足0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则实数m 的取值范围是 ．9.将函数x x f 2sin )(=的图象沿x 轴向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若函数)(x g 的图象关于y 轴对称，则当ϕ取最小的值时，=)0(g ．10.如图，在梯形ABCD 中，→→====MD AM CD AD AB CD AB 2,2,3,4,//.若3-=⋅→→BM AC ，则=⋅→→DC AD ．11.已知动圆C 与直线02=++y x 相切于点)2,0(-A ，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是 ． 12.已知R y x ∈,，且||||,222y x y x ≠=+，则22)(1)(1y x y x -++的最小值是 ． 13.若函数32)(2+-=x ae x f x （a 为常数，e 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．14.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若ABC ∆为锐角三角形，且满足ac a b =-22，则B BA sin tan 1tan 1+-的取值范围是 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在ABC ∆中，32,1π=∠==BAC AC AB . （1）求→→⋅BC AB 的值；（2）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且→→→+=AC y AB x AP ，其中R y x ∈,.求xy 的取值范围.16. 已知函数|2|)2()(-+=x x x f .（1）若不等式a x f ≤)(在]1,3[-上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解不等式x x f 3)(>.17. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，54cos =B . （1）若a c 2=，求CBsin sin 的值； （2）若4π=-B C ，求A sin 的值.18. 如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中AC AB 3=. （1）若2=BC ，求ABC ∆的面积的最大值；（2）若ABC ∆的面积为1，问θ=∠BAC 为何值时BC 取得最小值.19. 已知圆4:22=+y x O 与坐标轴交于2121B B A A 、、、（如图）.（1）点Q 是圆O 上除21A A 、外的任意点（如图1），Q A Q A 21、与直线03=+y 交于不同的两点N M ,，求MN 的最小值；（2）点P 是圆O 上除2121B B A A 、、、外的任意点（如图2），直线P B 2交x 轴于点F ，直线21B A 交P A 2于点E .设P A 2的斜率为EF k ,的斜率为m ，求证：k m -2为定值.20.已知函数2)(--=ax e x f x，其中a 为常数. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若2-=ex y 是2)(--=ax e x f x的一条切线，求a 的值；（3）已知k a ,1=为整数，若对任意),0(+∞∈x ，都有01)()(>+'-x x f k x 恒成立，求k 的最大值.试卷答案一、填空题1. }2,0{2. 33. 164. 95. 216. 0或3-7.4π 8. ),31[+∞ 9. 1- 10.2311. 10 12. 1 13. )1,0(e 14. )637,2( 三、解答题15.（1）)(→→→→→-⋅=⋅AB AC AB BC AB 23121||2-=--=-⋅=→→→AB AC AB . （2）建立如图所示的平面直角坐标，则)23,21(),0,1(-C B . 设]32,0[),sin ,(cos πθθθ∈P ， 由→→→+=AC y AB x AP ， 得)23,21()0,1()sin ,(cos -+=y x θθ. 所以y y x 23sin ,2cos =-=θθ. 所以θθθsin 332,sin 33cos =+=y x . 31)62sin(32312sin 33sin 32cos sin 3322+-=+=+=πθθθθθxy . 因为]67,6[62],32,0[πππθπθ-∈-∈， 所以，当262ππθ=-时，即3πθ=时，xy 的最大值为1；当662ππθ-=-或6762ππθ=-即0=θ或32πθ=时，xy 的最小值为0.16.解：（1）当]1,3[-∈x 时，4)2)(2(|2|)2()(2+-=-+=-+=x x x x x x f .90,132≤≤∴≤≤-x x .于是4452≤+-≤-x ，即函数)(x f 在]1,3[-上的最大值等于4.∴要使不等式a x f ≤)(在]1,3[-上恒成立，实数a 的取值范围是),4[+∞.（2）不等式x x f 3)(>，即03|2|)2(>--+x x x .当2≥x 时，原不等式等价于0342>--x x ，解得4>x 或1-<x .又4,2>∴≥x x .当2<x 时，原不等式等价于0342>--x x ，即0432<-+x x ，解得14<<-x ，满足2<x .综上可知，原不等式的解集为4|{>x x 或}14<<-x .17.解：（1）解法1：在ABC ∆中，因为54cos =B ，所以542222=-+ac b c a . 因为a c 2=，所以5422)2(222=⨯-+c c b c c，即20922=c b ，所以1053=c b . 又由正弦定理得c b C B =sin sin ，所以1053sin sin =C B . 解法2：因为),0(,54cos π∈=B B ，所以53cos 1sin 2=-=B B . 因为a c 2=，由正弦定理得A C sin 2sin =， 所以C C C B C sin 58cos 56)sin(2sin +=+=，即C C cos 2sin =-. 又因为0sin ,1cos sin 22>=+C C C ，解得552sin =C ，所以1053sin sin =C B .（2）因为54cos =B ，所以2571cos 22cos 2=-=B B .又π<<B 0，所以53cos 1sin 2=-=B B ，所以252454532cos sin 22sin =⨯⨯==B B B . 因为4π=-B C ，即4π+=B C ，所以B C B A 243)(-=+-=ππ， 所以502312524)22(257222sin 43cos 2cos 43sin )243sin(sin =⨯--⨯=-=-=B B B A πππ. 18.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则)0,1(),0,1(C B -， 设),(y x A ，由AC AB 3=得，])1[(3)1(2222y x y x +-=++化简得3)2(22=+-y x .所以A 点的轨迹为以)0,2(为圆心，3为半径的圆.（除去与x 轴的交点） 所以3322121max =⋅⋅=⋅=d BC S . （2）设b AC a BC c AB ===,,，由AC AB 3=得b c 3=.θθsin 332332sin ,sin 321sin 21222=∴=∴⋅==b b A b A bc S θθθsin cos 4sin 338cos 324cos 222222-=-=-+=A b b A bc c b a令),0(,sin cos 4sin 338)(πθθθθθ∈-=fθθθθθθ222sin 312cos 38sin 4sin 3cos 38)(+-=+-='f令0)(='θf 得6,23cos πθθ== 列表：略)(θf ∴在)6,0(π上单调递减，在),6(ππ上单调递增，答：当6πθ=时，)(θf 有最小值，即BC 最小.19.解：（1）由题设可以得到直线Q A 2的方程为)2(-=x k y ，直线Q A 1的方程为0),2(1≠+-=k x ky由⎩⎨⎧=++=03)2(y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=332y k x ；由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=03)2(1y x k y ，解得⎩⎨⎧-=-=323y k x . 所以，直线Q A 2与直线03=+y 的交点)3,32(--kM ， 直线Q A 1与直线03=+y 的交点)3,23(--k N ，所以|433|-+=kk MN . 当0>k 时，246|433|=-≥-+=k k MN ，等号成立的条件是1=k . 当0<k 时，10|)6(4||433|=--≥-+=kk MN ，等号成立的条件是1-=k .故线段MN 长的最小值是2.（2）由题意可知)2,0(),2,0(),0,2(),0,2(2121B B A A --，P A 2的斜率为∴,k 直线P A 2的方程为)2(-=x k y ，由⎩⎨⎧=+-=4)2(22y x x k y ，得)14,122(222+-+-k kk k P ， 则直线P B 2的方程为211+-+-=x k k y ，令0=y ，则1)1(2+-=k k x ，即)0,1)1(2(+-k k F ， 直线21B A 的方程为02=+-y x ，由⎩⎨⎧-==+-)2(02x k y y x ，解得)14,122(,14122--+∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=k k k k E k k y k k x ， EF ∴的斜率12122,211)1(212214=-+⋅=-∴+=+---+-=k k k m k k k k k k km （定值）.20.解：（1）函数)(x f 的定义域为a e x f x-='+∞-∞)(),,(.若0≤a 时，则0)(>'x f ，所以)(x f 在),(+∞-∞上单调递增；若0>a 时，则当)ln ,(a x -∞∈时，0)(<'x f ，当),(ln +∞∈a x 时，0)(>'x f ， 所以)(x f 在)ln ,(a -∞上递减，在),(ln +∞a 上递增. （2）设切点为),(00y x 则：⎪⎩⎪⎨⎧--=-==-22000000ax e y ex y e a e x x ，解得0,20100=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===a e y a x .（3）当1=a 时，对任意),0(+∞∈x ，都有01)()(>++'-x x f k x 恒成立等价于x e x k x +-+<11对0>x 恒成立.令)0(11)(>+-+=x x e x x g x ，则2)1()2()(-+-='x x x e x e e x g ， 由（1）知，当1=a 时，2)(--=x e x f x 在),0(+∞上递增.因为0)2(,0)(><f x f ，所以2)(--=x e x f x 在),0(+∞上存在唯一零点， 所以)(x g '在),0(+∞上也存在唯一零点，设此零点为0x ，则)2,1(0∈x . 因为当),0(0x x ∈时，0)(<'x g ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x g ， 所以)(x g 在),0(+∞上的最小值为00011)(0x e x x g x +-+=，所以00110x e x k x +-+< 又因为02)(000=--='x e x g x，所以200+=x ex ，所以10+<x k .又因为k 为整数且3120<+<x ，所以k 的最大值是2.。
2020届江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2020届江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．已知集合{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，若A B ⊆，则a 的取值范围为：_______. 【答案】[)0,+∞【解析】根据A B ⊆,列式解得. 【详解】因为{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，且A B ⊆, 所以0a ≥. 故答案为:[0,)+∞. 【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.2．若幂函数()kf x x =的图像过点()4,2，则()9f =____.【答案】3【解析】根据(4)2f =解得12k =,由此可得12()f x x =,然后可得(9)f . 【详解】因为幂函数()kf x x =的图像过点()4,2,所以(4)2f =,即42k =, 所以222k =,所以21k =,所以12k =, 所以12()f x x =,所以12(9)9f =122(3)3==, 故答案为:3. 【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题.3．函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_________.【答案】π【解析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可. 【详解】1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=,故最小正周期是22ππ=.故答案为：π 【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.4．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴非负半轴，则“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填） 【答案】充分不必要【解析】根据第一象限角,y 轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得. 【详解】由α的终边在第一象限可以推出sin 0α>,由sin 0α>,可以推出α的终边在第一象限或者在y 轴非负半轴上或者在第二象限, 所以“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的充分不必要条件. 故答案为: 充分不必要. 【点睛】本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.5．已知向量a v 、b v 的夹角为60o，2a =v ，1b =v ，则a b -=v v ____.【解析】利用||a b -=r r 可得.【详解】因为222()24221cos ,1a b a a b b a b -=-⋅+=-⨯⨯⨯<>+r r r rr r r 144132=-⨯+=,所以||a b -=rr故答案为. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.6．已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.【答案】【解析】由三角函数的定义，即可求解得值，得到答案. 【详解】由三角函数的定义可知，解得，又由，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.7．曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3-【解析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．8．已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是_____. 【答案】2【解析】当02x <<时，22(2)8a a a +=-++，求出1a =；当2a ≥时，282(2)8a a -+=-++无解.从而()11f f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此能求出结果.【详解】解：由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知， 当2a ≥，则()()2f a f a ≠+， 所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.9．平行四边形ABCD 中，已知6,5,2AB AD CP PD ===u u u r u u u r ，12AP CP ⋅=-u u u r u u u r，则AB AD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】6【解析】以,AB AD u u u r u u u r 为基底表示,AP CP u u u r u u u r ，代入12AP CP ⋅=-u u u r u u u r ，即求AB AD ⋅u u u r u u u r.【详解】平行四边形ABCD 中，2CP PD =uu r uu u r，122,333AP AD DP AD AB CP CD AB ∴=+=+==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，212223339AP CP AD AB AB AD AB AB ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r g g .6,5,12AB AD AP CP ==⋅=-u u u r u u u rQ ，222126,639AD AB AD AB ∴-=--⨯∴=u u ur u u u r u u u r u u u r g g .故答案为：6. 【点睛】本题考查平面向量基本定理和数量积的运算，属于基础题.10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()22f x x x =--，则当[]4,6x ∈时，()y f x =的最小值为_________.【答案】-1【解析】先根据()()2f x f x +=-推出周期为4,再根据奇函数推出[0,2]x ∈时的表达式,再根据周期性推出[4,6]x ∈时的表达式,再用二次函数求最小值, 【详解】因为()()2f x f x +=-, 所以(22)(2)f x f x ++=-+,所以(4)[()]()f x f x f x +=--=,即(4)()f x f x +=, 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数, 设[0,2]x ∈,则[2,0]x -∈-,所以22()()2()2f x x x x x -=----=-+, 因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数, 所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=--+=-, 所以当[4,6]x ∈时,4[0,2]x -∈,所以22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+2(5)1x =--, 所以当5x =时,函数()f x 取得最小值1-. 故答案为:1-. 【点睛】本题考查了函数的周期性,奇偶性,二次函数求最小值,属于中档题.11．如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =_____．21【解析】设出AD x =，根据ACB ACD ∠=∠，利用余弦定理建立等式解出=3AD 再求出ACB ACD ∠=∠的值，在BCD V 中利用余弦定理，解出BD 的值． 【详解】设AD x =，则2AB x =,2164AC x =-又AC 是BCD ∠的角平分线，即ACB ACD ∠=∠,222cos cos 2AC AC CD ADACB ACD BCAC CD+-∠==∠=⋅3x ⇒=即3AD =2AC =，=60o ACB ACD ∠=∠，=120o BCD ∠2241241cos12021o BD =+-⨯⨯=故填21【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为________．【答案】(－∞，－1)∪(0,1)【解析】【详解】因为()21f xx⎛⎫⎪+⎝⎭′＝()()()()222121x f x xf xx'+-+，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以()21f xx⎛⎫⎪+⎝⎭′＜0，令g(x)＝()21f xx+，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．13．已知函数()ln,111,122x xf xx x>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<，且()()f m f n=，则n m-的最小值是_____.【答案】32ln2-【解析】根据分段函数在两段上都单调,可得1,1m n≤>,且2ln1m n=-,所以2ln1n m n n-=-+,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.【详解】因为函数()f x 在(,1]-∞上递增,在(1,)+∞上也递增,且m n <时,()()f m f n =, 所以1,1m e n ≤≥>,所以11()22f m m =+,()ln f n n =, 所以11ln 22m n +=,即2ln 1m n =-, 所以2ln 1n m n n -=-+,1e n ≥>, 令()2ln 1(1)h x x x e x =-+≥>, 则22()1x h x x x-'=-=, 当(1,2)x ∈时,()0h x '<,当(2,)x ∈+∞时,()0h x '>, 所以()h x 在(1,2)上递减,在(2,)+∞上递增,所以2x =时,()h x 取得最小值(2)22ln 2132ln 2h =-+=-. 即n m -的最小值是:32ln 2-. 故答案为: 32ln 2-. 【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.14．在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为：____________. 【答案】2【解析】根据积化和差公式得11sin sin cos cos()22B C A B C =+-11cos 22A ≤+,再化成辅助角的形式可解得最大值. 【详解】由积化和差公式可得,1sin sin [cos()cos()]2B C B C B C =-+--1[cos()cos()]2A B C π=----11cos cos()22A B C =+-11cos 22A ≤+,当且仅当BC =时,等号成立,sin sin A B C+11cos 22A A ≤++11)2A A =+1312(cos)332222A A=++,令cos332ϕ==,112sin332ϕ==,则tan4ϕ==,取arctan4ϕ=,所以sin sinA B C+31(sin cos cos sin)22A Aϕϕ≤++31sin()22Aϕ=++31222≤+=,当arctan24Aπ=-,22AB Cπ==-时,等号成立.故答案为:2【点睛】本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.二、解答题15．已知函数()2π2cos214f x x x⎛⎫=-++⎪⎝⎭.(1)求函数()f x的最小正周期;(2)求函数()f x在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】(1) T＝2π4＝π.2;(2)取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期,(2)根据x的范围,求出4x＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答.试题解析：(1)由题意知,()f xx-cosπ42x⎛⎫+⎪⎝⎭cos 4x＋sin 4x＝2sinπ43x⎛⎫+⎪⎝⎭, ∴函数()f x的最小正周期T＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x≤π4,∴-π3≤4x＋π3≤4π3,∴-π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 3sin B C =，tan A =ABC ∆的面积为.（1）求cos2A 的值； （2）求ABC ∆的周长.【答案】（1）79（2）8【解析】（1）由tan A =和22sin cos 1A A +=可得sinA 和cosA ，再由二倍角公式即得cos2A ；（2）由面积公式1sin 2bc A =bc 的值，再由sin 3sin B C =和正弦定理可知b 和c 的值，用余弦定理可计算出a ，即得ABC ∆的周长． 【详解】解：（1）因为sin tan cos AA A ==sin A A =，02A π<<.因为22sin cos 1A A +=，所以sin A =，1cos 3A =，则217cos 22cos 12199A A =-=⨯-=.（2）由题意可得，ABC ∆的面积为1sin 23bc A ==，即12bc =. 因为sin 3sin B C =，所以3b c =，所以6b =，2c =.由余弦定理可得a ===.故ABC ∆的周长为8a b c ++=. 【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型．17．已知函数16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）(1,1)-； （2）15[,)2+∞. 【解析】（1）由于函数是定义在R 上的奇函数，故可根据()00f =求得a 的值.再利用指数函数的值域，来求得()f x 的值域.（2）将原不等式分离常数，转化为()max 313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，然后通过换元法求得右边函数的最大值，由此求得t 的取值范围. 【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133x f x +=-+ 23113131x x x-=-=++ ()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，故3a =据此()()1301xf x f x +=>-，()()1,1f x ∈-，即值域为()1,1-⑵()2131x f x =-+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为正数， 所以()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，令[]31,2,8xm m -=∈，则()()3133231x xx m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大， 最大值为152，∴所求范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域求法，考查不等式恒成立问题的解决策略.属于难题.如果一个奇函数在0x =处有定义，则必有()00f =，偶函数没有这个性质.对于含有参数的不等式恒成立问题，往往通过分离常数法来解决.在分离常数的过程中要注意不等号的变化.18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元【解析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况，得到()P x 与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案. 【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x 万元. 依题意得，当07x <<时，2211()6224233p x x x x x x =---=-+-， 当7x ≥时，33()6(6ln 17)215ln e e p x x x x x x x=-++--=--，23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩； （2）当07x <<时，21()(6)103p x x =--+，∴当6x =时，()p x 的最大值为(6)10p =（万元），当7x ≥时，333221()15ln ()e e e xp x x p x x x x x -=--∴'=-+=， ∴当37x e ≤<时，()p x 单调递增，当3,()x e p x ≥单调递减， ∴当3x e =时，()p x 取最大值33()15ln 111p e e =--=（万元），1110>Q ∴当320x e =≈时，()p x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元. 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.19．设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，集合(){}|A x f x x ==．（1）若{}1,2A =，()00f >，且方程()0f x =的两根都小于-1，求实数a 的取值范围；（2）若{}2A =，求函数()f x 在区间[]22-,上的最大值M （结果用a 表示）．【答案】（1）136a <≤-（2）()max 12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或.【解析】(1)根据{}1,2A =,可得132b ac a=-⎧⎨=⎩,由二次函数的图象列式可解得;(2)根据{}2A =,可得144b ac a =-⎧⎨=⎩,再讨论二次函数的图象开口方向和对称轴可解得.【详解】（1）因为{}1,2A =，所以1和2是()210ax b x c +-+=的两根，所以由韦达定理得11212b ac a-⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得132b a c a =-⎧⎨=⎩，因为()00f >，所以20c a =>，即0a >，此时2222(1)498b ac a a a =--=-=V 0> ,又因为方程()0f x =的两根都小于-1，所以()2401210b ac ba f abc ⎧-≥⎪⎪-<-⎨⎪-=-+>⎪⎩， 将13,2b a c a =-=代入得()()2213801321320a a a a a a a ⎧--≥⎪->⎨⎪--+>⎩，所以26101516a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩,解得136a <≤- （2）因为{}2A =，所以()210ax b x c +-+=有两个相等的两根2，故12222bac a-⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩，此时2222(1)41688b ac a a a =--=-=V 0>,所以()()2144f x ax a x a =+-+，对称轴为411222a x a a-==-， ①当0a <时，则1222a->，()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()max 22f x f ==；②当104a <<时，则1222022a -+-<=，()()max 22f x f ==； ③当14a ≥时，则1222022a -+-≥=，()()max 2162f x f a =-=-， 综上：()max12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或．【点睛】本题考查了二次方程实根的分布,解一元二次不等式,分类讨论思想,二次函数在指定区间上的最值,属于中档题.20．已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =．（1）求函数()()f x yg x =的极小值；（2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数；（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值．【答案】（1）3e-；（2）分类讨论，详见解析；（3）4. 【解析】(1)求导后,利用导数可求得极小值; (2)转化为讨论25xx a e-=-在(],4-∞上的解的个数,再利用导数可解决; (3) 转化为对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511xx x e -+≤恒成立后,构造函数利用导数可解得, 【详解】（1）()()251xf x x x yg x e-+==，x ∈R . 则()()22261(25)(51)76'()x x x x xx x x e x x e x x y e e e -----+-+==-=-，令'0y >，得16x <<；令'0y <，得1x <或6x >（或列表求） ∴函数()()f x yg x =在(),1-∞单调减，在()1,6单调增，在()6,+∞上单调减， ∴函数()()f x y g x =在1x =处取得极小值3e-； （2）()()'250xy f x a g x x a e =+⋅=-+⋅=， ∵0x e >，∴25xx a e-=-， 设()25x x h x e -=-，则()27'x x h x e -=，令()'0h x >，则72x >. ∴()25xx h x e -=-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调减，在7,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调增，且x →-∞，()h x →+∞，min()h x =72722h e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()443h e -=-.∴当43a e ->-或722a e -=-时，()h x a =有1解， 即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为1个；当74223e a e ---<≤-时，()h x a =有2解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为2个；当722a e -<-时，()h x a =有0解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为0个．（3）∵0x e >，存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，∴存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xt xf x g x ≤-恒成立. ∵min0t =，∴对任意的[]1,x m ∈，不等式()()10f x g x ≤-恒成立. 即对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511xx x e -+≤恒成立． 设()()251xG x x x e =-+，[)1,x ∈+∞，∴()()()2'2551xxG x x e x x e =-+-+()()()23441xxx x e x x e =--=-+，可求得()G x 在(),1-∞-上单调增，在()1,4-上单调减，在()4,+∞上单调增，则()()251xG x x x e =-+在[)1,4上单调减，在()4,+∞上单调增，当4m ≤时，()()251xG x x x e =-+在[1,]m 上递减,所以()()max 131G x G e ==-≤恒成立；当4m >时，()()251xG x x x e =-+在[1,4]上递减,在(4,]m 上递增,所以()()(){}max max 1,G x G G m =，因为()131G e =-≤， ()4431G e =-≤，而()551G e =>；所以()2511x x x e -+≤在[1,]m 上不恒成立,∴正整数m 的最大值为4． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题.。
江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测数学试题【含答案】
}
通项公式为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.
二、多项选择题：本题共4
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为。
2020-2021学年江苏省泰州市兴化市某校高三(上)10月周测考试数学试卷答案及解析
2020-2021学年江苏省泰州市兴化市某校高三（上）10月周测考试数学试卷一、选择题1. 数列1，3，6，10，⋯，的一个通项a n=()A.n2−n+1B.12n(n−1) C.12n(n+1) D.2n+1−32. 在等差数列{a n}中，已知a1=3，a2+a3=15，则a4+a5+a6=()A.45B.48C.50D.543. 等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3=a3+a7=18，则a1=（）A.1B.2C.3D.44. 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=()A.16B.8C.4D.25. 已知{a n}是等比数列，前n项和为S n，a2=2，a5=14，则S5=()A.132B.314C.334D.10186. 等比数列{a n}的各项均为正数，且a4a6+a3a7=18，则log3a1+log3a2+log3a3+⋯+log3a9=()A.12B.10C.9D.77. 函数f(x)=x sin x+1x2−1π2在区间[−2π, 2π]上的大致图像为( )A. B.C. D.8. 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n−2，若存在两项a m，a n，使得a m a n=64，则1m+9n的最小值为()A.145B.114C.83D.103二、多选题已知函数f(x)=e x−e−x，g(x)=e x+e−x，则以下结论错误的是( )A.任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0B.任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有g(x1)−g(x2)x1−x2<0C.f(x)有最小值，无最大值D.g(x)有最小值，无最大值已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13<0，S12>0，则下列关于数列{a n}的判断正确的是（）A.a1<0，d>0 B.a1>0，d<0C.数列中绝对值最小的项是a7D.S n的最大值是S7已知数列{a n}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A.{1a n} B.log2(a n)2C.{a n+a n+1}D.{a n+a n+1+a n+2}设数列{a n}满足a1+3a2+⋯+(2n−1)a n=2n，记{a n2n+1}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A.a n=2n2n−1B.S n=n2n+1C.S n=na n+1D.a1=2三、填空题已知函数f(x)=ln2−x)+1，f(a)=4，则f(−a)=________．记S n为等比数列{a n}的前n项和，若3S4=2S3+S5，且a2=4，则a6=________．将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________.已知函数f(x)=1x+cos x，给出下列结论：①f(x)在(0, π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0, 2π)上有两个零点.其中正确结论的序号为________．（写出所有正确结论的序号）四、解答题等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，若S m=63，求m．已知函数f(x)=sin2x−2cos2x.(1)求f(x)在区间[0,π2]上的值域；(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合．f(x)=mx+nx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=12.(1)求m，n的值；(2)判断函数f(x)的单调性（不需证明），并求使f(a−1)+f(a2−1)<0成立的实数a的取值范围．设f(x)=−13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在(23, +∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0<a<2时，f(x)在[1, 4]上的最小值为−163，求f(x)在该区间上的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市兴化市某校高三（上）10月周测考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】数列的概念及简单表示法【解析】3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，a n=1+2+3+...+n，利用等差数列的求和公式可求数列的通项公式．【解答】解：由题意，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，∴a n=1+2+3...+n=n(n+1)2.故选C．2.【答案】A【考点】等差数列的性质【解析】无【解答】解：a1=3，a2+a3=15，所以a1+d+a1+2d=15，解得d=3，则a4+a5+a6=9d+(a1+a2+a3)=45．故选A．3.【答案】A【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】设公差为d，由2S3＝a3+a7＝18，列出关于a1，d的方程组，解得即可．【解答】解：设公差为d，∵2S3=a3+a7=18，∴{2(3a1+3(3−1)d2)=18,2a1+8d=18,解得a1=1.故选A.4.【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：由a5=3a3+4a1以及等比数列的基本性质，得q4−3q2−4=0，解得q2=4，又各项均为正数的等比数列，故q=2.根据S4=a1+a2+a3+a4=15，解得a1=1，故a3=a1q2=4.故选C.5.【答案】B【考点】等比数列的前n项和等比数列的性质【解析】由题意可得q3=a5a2，代值计算可得公比q，进而由通项公式可得首项，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得等比数列{a n}的公比q满足q3=a5a2=18，解得q=12，a1=a2q=212=4，∴S5=a1(1−q5)1−q=4(1−125)1−12=314.故选B.6.【答案】C【考点】等比中项等比数列的性质对数及其运算【解析】本题考查等比数列的性质、对数的运算．【解答】解：由等比数列的性质知a4a6=a3a7=9，(a5)2=9, 因为各项是正数，即a5=3，所以log3a1+log3a2+log3a3+⋯+log3a9=log3(a1a2a3⋯a9)=log3(a4a6)4+log3a5=log394+log33=9．故选C．7.【答案】C【考点】函数的零点函数奇偶性的判断函数的图象【解析】根据题意，分析可得f(x)为偶函数，据此排除A、D，进而求出f(3π2)的值，分析可以排除B，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)=x sin x+1x −1π，其定义域为{x|x≠0}，又由f(−x)=(−x)sin(−x)+1(−x)2−1π2=x sin x+1x2−1π2=f(x)，即函数f(x)为偶函数，排除A、D，又f(π)=0，当x∈(0,π)时，x sin x>0,1x2>1π2，故f(x)>0；当x∈(π,2π)时，x sin x<0,1x2<1π2，故f(x)<0 ,所以当x∈(0,2π)时，f(x)仅有一个零点，排除B.故选C.8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为S n=2a n−2，可得a1=S1=2a1−2，即a1=2，当n≥2时，S n−1=2a n−1−2，又S n=2a n−2，相减可得a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，即a n=2a n−1，所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n=2n.又a m a n=64，即2m⋅2n=64，得m+n=6，所以1m+9n=16(m+n)(1m+9n)=16(10+nm+9mn)≥16(10+2√9)=83，当且仅当nm=9mn时取等号，即为m=32,n=92，因为m，n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+9n>83，验证可得，当m=2,n=4时，1m+9n取得最小值为114.故选B.二、多选题【答案】A,B,C【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】由函数f(x)及函数g(x)的性质直接判断即可．【解答】解：A，∵f′(x)=e x+e−x>0，即f(x)在R上单调递增，∴任取x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故该选项错误；B，g′(x)=e x−e−x，令g′(x)<0，解得x<0；令g′(x)>0，解得x>0.∴g(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，故该选项错误；C，当x→−∞时，f(x)→−∞；当x→+∞时，f(x)→+∞，∴f(x)没有最小值和最大值，故该选项错误；D，g min=g(0)=2，当x→−∞或x→+∞时，g(x)→+∞，∴g(x)有最小值，无最大值，故该选项正确.故选ABC．【答案】B,C【考点】数列与不等式的综合等差数列的前n项和等差数列的性质等差数列的通项公式数列的函数特性【解析】无【解答】解：设等差数列的前n项和S n=An2+Bn，∴它对应的二次函数为f(x)=Ax2+Bx.∵f(12)>0，f(13)<0，∴f(x)是开口向下的抛物线，且它非零的零点x0满足：12<x0<13，∴6<x02<6.5，∴f(x)的对称轴在区间(6,6.5)内，故S6最大，答案D错误；由f(x)图象可知数列a1>0，d<0，故答案B正确，A错误；∵S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7<0，∴a7<0.∵S12=12(a1+a12)2=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0，∴{a7<0,a6+a7>0,∴a6>0，a7<0且|a6|>|a7|，故答案C正确．故选BC．【答案】A,D【考点】等比关系的确定【解析】利用等比数列的性质直接求解．【解答】解：由数列{a n}是等比数列，知：在A中，1a n+11a n=a na n+1=1q，∴{1a n}一定是等比数列，故A正确；在B中，假设a n=2n，则log2(a n)2=log222n=2n，不是等比数列，故B错误；在C中，a n+a n+1=a n(1+q)，q=−1时，{a n+a n+1}不是等比数列，故C错误；在D中，a n+a n+1+a n+2=a n(1+q+q2)，∴{a n+a n+1+a n+2}是等比数列，故D正确．故选AD.【答案】C,D【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】【解答】解：∵a1+3a2+⋯+(2n−1)a n=2n，故当n≥2时，a1+3a2+⋯+(2n−3)a n−1=2(n−1)，两式相减得(2n−1)a n=2，∴a n=22n−1(n≥2)．又由题设可得a1=2，满足上式，所以{a n}的通项公式为a n=22n−1，又a n2n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，则S n=11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=2n2n+1，故S n=na n+1．故选CD．三、填空题【答案】−2【考点】奇函数函数的求值对数的运算性质【解析】无【解答】解：因为f(x)+f(−x)=ln(√1+x2−x)+1+ln(√1+x2+x)+1=ln(√1+x2−x)(√1+x2+x)+2=ln1+2=2，所以f(a)+f(−a)=2，所以f(−a)=2−4=−2.故答案为：−2．【答案】64【考点】等比数列的前n项和【解析】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，由S4−2S2=3分析可得S4−2S2=(q2−1)(a1+a2)=3，进而可得q>1，且(a1+a2)=3q2−1，又由S6−S4=(a5+a6)=q4×(a1+a2)=q4×3q2−1=3[(q2−1)+1q2−1+2]，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵3S4=2S3+S5,∴2S4−2S3=S5−S4，即2a4=a5,∴q=a5a4=2，又a2=4，得a6=4×24=64.故答案为：64.【答案】3n2−2n【考点】等差数列的前n项和等差关系的确定【解析】先判断出{2n−1}与{3n−2}公共项所组成的新数列{a n}的公差、首项，再利用等差数列的前n项和公式得出结论.【解答】解：将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}为1，7，13，19，⋯，则{a n}是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n×1+n(n−1)2×6=3n2−2n.故答案为：3n2−2n.【答案】①③【考点】利用导数研究函数的最值命题的真假判断与应用函数的零点函数奇偶性的判断【解析】利用导数研究函数的单调性，可得f(x)在(0, π]上单调递减，得到f(x)在(0, π]上有最小值，无最大值，故①正确；直接利用函数奇偶性的定义判断②错误；把f(x)=1x +cos x=0转化为cos x=−1x，在同一直接在坐标系内画出y＝cos x与y=−1x在(0, 2π)上的图象，数形结合判断③正确．【解答】解：由f(x)=1x +cos x，得f′(x)=−1x2−sin x．∵f′(x)<0在(0, π]上恒成立，∴f(x)在(0, π]上单调递减，则f(x)在(0, π]上有最小值f(π)=1π−1，无最大值，故①正确；∵f(x)=1x +cos x的定义域为{x|x≠0}，∴F(x)=f(x)−f(−x)的定义域为{x|x≠0}.∵F(−x)=f(−x)−f(x)=−[f(x)−f(−x)]=−F(x)，∴F(x)为奇函数，故②错误；由f(x)=1x+cos x=0，得cos x=−1x，作出y=cos x与y=−1x在(0, 2π)上的图象如图：由图可知，f(x)在(0, 2π)上有两个零点，故③正确．综上，正确结论的序号为①③．故答案为：①③.四、解答题【答案】解：(1)∵在等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，∴1×q4=4×(1×q2)，解得q=±2，∴{a n}的通项公式为：a n=2n−1或a n=(−2)n−1.(2)由(1)得：S n=1−2n1−2=2n−1或S n=1−(−2)n1+2=13[1−(−2)n].由S m=63，得2m−1=63或13[1−(−2)m]=63(舍去)，解得：m=6．【考点】等比数列的前n项和等比数列的通项公式【解析】(1)利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a n}的通项公式．(2)当a1=1，q=−2时，S n=1−(−2)n3，由S m=63，得S m=1−(−2)m3=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n=2n−1，由此能求出m．【解答】解：(1)∵在等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，∴1×q4=4×(1×q2)，解得q=±2，∴{a n}的通项公式为：a n=2n−1或a n=(−2)n−1.(2)由(1)得：S n=1−2n1−2=2n−1或S n=1−(−2)n1+2=13[1−(−2)n].由S m=63，得2m−1=63或13[1−(−2)m]=63(舍去)，解得：m=6．【答案】解：(1)f(x)=sin2x−2cos2x=sin2x−cos2x−1，=√2sin(2x−π4)−1，因为x∈[0,π2]，所以2x−π4∈[−π4,3π4]，所以f(x)在区间x∈[0,π2]上的值域为[−2,√2−1]．(2)由f(x)=√2sin(2x−π4)−1≥0，得sin(2x−π4)≥√22，所以2kπ+π4≤2x−π4≤2kπ+3π4，k∈Z，整理得kπ+π4≤x≤kπ+π2，k∈Z，所以f(x)≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+π4≤x≤kπ+π2,k∈Z}．【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的定义域和值域【解析】解：(1)f(x)=sin2π−2cos2x=sin2x−cos2x−1=√2sin(2x−π4)，因为x∈[0,π2]，所以2x−π4∈[−π4,3π4]所以f(x)在区间x∈[0,π2]上的值域为[−2,√2−1]．【解答】解：(1)f(x)=sin2x−2cos2x=sin2x−cos2x−1，=√2sin(2x−π4)−1，因为x∈[0,π2]，所以2x−π4∈[−π4,3π4]，所以f(x)在区间x∈[0,π2]上的值域为[−2,√2−1]．(2)由f(x)=√2sin(2x−π4)−1≥0，得sin(2x−π4)≥√22，所以2kπ+π4≤2x−π4≤2kπ+3π4，k∈Z，整理得kπ+π4≤x≤kπ+π2，k∈Z，所以f(x)≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+π4≤x≤kπ+π2,k∈Z}．【答案】解：(1)f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，则{f(0)=0,f(1)=12,得{n=0,m+n2=12,解得{m=1,n=0,经检验m=1，n=0时，f(x)=xx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数．(2)由(1)知f(x)=xx2+1,因为f′(x)=−x2+1(x2+1)2≥0在[−1,1]上恒成立，所以f(x)在[−1,1]上是增函数.又因为f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，由f(a−1)+f(a2−1)<0，得f(a−1)<f(1−a2)，所以a−1<1−a2，即−2<a<1①，又−1≤a−1≤1，即0≤a≤2②，−1≤a2−1≤1，即0≤a2≤2③，由①②③得{−2<a<1,0≤a≤2,0≤a2≤2,解得0≤a<1，故a的取值范围是[0,1)．【考点】奇偶性与单调性的综合奇函数函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】无无【解答】解：(1)法一：f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，则{f(0)=0,f(1)=12,得{n=0,m+n2=12,解得{m=1,n=0,经检验m=1，n=0时，f(x)=xx+1是定义在[−1,1]上的奇函数．(2)由(1)知f(x)=xx2+1,因为f ′(x)=−x 2+1(x 2+1)2≥0在[−1,1]上恒成立，所以 f (x )在[−1,1]上是增函数.又因为f (x )是定义在[−1,1]上的奇函数，由f (a −1)+f (a 2−1)<0，得f (a −1)<f (1−a 2)， 所以a −1<1−a 2，即−2<a <1①， 又−1≤a −1≤1，即0≤a ≤2②， −1≤a 2−1≤1，即0≤a 2≤2③， 由①②③得{−2<a <1,0≤a ≤2,0≤a 2≤2, 解得0≤a <1，故a 的取值范围是[0,1)．【答案】解：(1)∵ f ′(x)=−x 2+x +2a ， 且f(x)在(23,+∞)上存在单调递增区间，即存在其导函数在此区间上存在函数值大于零的部分， ∴ f ′(x)≥0在(23,+∞)上有解.∵ f ′(x)=−x 2+x +2a 对称轴为x =12， ∴ f ′(x)=−x 2+x +2a 在(12,+∞)上单调递减，∵ f ′(23)=29+2a .由0<29+2a ， 解得a >−19．(2)∵ f ′(x)=−x 2+x +2a ， 当0<a <2时，Δ>0； f ′(x)=0得到两个根为−1−√1+8a−2，−1+√1+8a−2，∵−1+√1+8a−2∈(1−√172，0)，−1−√1+8a−2∈[1,4]，∴ 1<x <−1−√1+8a−2时，f ′(x)>0；−1−√1+8a−2<x <4时，f ′(x)<0.当x =1时，f(1)=2a +16； 当x =4时，f(4)=8a −403<f(1);当x =4时最小，8a −403=−163，解得a =1， 所以当x =−1−√1+8a−2=2时，f(x)在[1, 4]上有最大值，最大值为103.【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a ，求出最大值． 【解答】解：(1)∵ f ′(x)=−x 2+x +2a ， 且f(x)在(23,+∞)上存在单调递增区间，即存在其导函数在此区间上存在函数值大于零的部分， ∴ f ′(x)≥0在(23,+∞)上有解.∵ f ′(x)=−x 2+x +2a 对称轴为x =12，∴ f ′(x)=−x 2+x +2a 在(12,+∞)上单调递减， ∵ f ′(23)=29+2a .由0<29+2a ，解得a >−19．(2)∵ f ′(x)=−x 2+x +2a ， 当0<a <2时，Δ>0； f ′(x)=0得到两个根为−1−√1+8a−2，−1+√1+8a−2，∵−1+√1+8a−2∈(1−√172，0)，−1−√1+8a−2∈[1,4]，∴ 1<x <−1−√1+8a−2时，f ′(x)>0；−1−√1+8a−2<x <4时，f ′(x)<0.当x =1时，f(1)=2a +16； 当x =4时，f(4)=8a −403<f(1);当x =4时最小，8a −403=−163，解得a =1，所以当x=−1−√1+8a−2=2时，f(x)在[1, 4]上有最大值，最大值为103.。
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题(九大题型)(原卷版)-高中数学
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题目录方法技巧总结一、常见的同构函数图像1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3）（4） ()0f a =()0f b =,a b ()0f x =()x f x x e =×()xf x e x =±x ()()1122,,,A x y B x y ,A B AB (),n a n ()1,1n a n --)1();0(1=³=+³x ex e x x e x x )(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =£=-££-x x x x tan sin ,2,0<<÷øöçèæÎp 0a >噍1,0a x ¹>log a x a x =0a >1a ¹log xa a x =0 x >()ln ee ;ln ln e xx x x x x x x +=+=ln :ln lnx x x xe e e x x x x-=-=（5）（6） 再结合常用的切线不等式lnx x -1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③8、乘法同构、加法同构（1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别：①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；()22ln 2e e ;2ln ln e xx x x xx x x +=+=2ln 2ln 22,x xx x x x e e e e x x--==£ln ,e 1,e e exx x x x x £³+³ln ee ln 1xx x x x x +=³++()ln ln e e 1x x x x x x +=£-ln e e e(ln )x x xx x x +=³+()1ln ln x xx xe x x xe xe e-+=£=x xe ln x x 1ln ln ln ln log ln ln ln ln ln ln xx ax a x e a xa x e x a e x x x e x a x a e a>Þ>Þ×>=×Þ>Þ>ln ln 1ln ln ln ln x x x x x xee x x e x x x e x e x x el l l l l l l l l l >Þ>Þ×>Þ×>×Þ>Þ>()()()()ln 1ln 11ln 1ln 1x ax e ax x x e x ax x ++>+++=++Þ>+x ln ln ln ln ln ln ln x a x a x a e x x a e x e ×>Û×>×x log log log log a x x x a a a a x a x x x a x >Û+>+=+x xe ln x x x xe ln x x题型一：同构法的理解【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)； (2)；(3)； (4)；(5)；(6)； (7)； (8)．【典例1-2】关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.2log 20kx x k -׳21e0xl l-³2ln e 0mx x x m -³()æö+³+ç÷èø1e 12ln ax a x x x ()()ln 1212e xa x x ax -+-³+ln e (1)x a x a x x x -++³>e 2ln 0x x x ---=2e ln 0x x x +=x e 2ln 2ln 2ax a x -£a ()22ln f x x ax x =-+()f x ()0,e axa f x >£a题型二：利用同构比较大小【典例2-1】已知，且，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【典例2-2】已知．且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】已知a ，b ，，且，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式2-2】已知，，，则，，的大小顺序是（ ） A ． B ． C ．D ．题型三：方程同构【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数满足，，则 ．【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a ，b 满足，则ab ＝ ．【变式3-1】设x ，y 为实数，且满足，则（ ）A ．2B ．5C ．10D ．2018【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b 的方程可化为同构方程，则的值为（ ）A ．B ．eC ．D ．11,,,e a b c æöÎ+¥ç÷èøln55ln a a =-ln33ln b b =-ln 22ln c c =-b<c<a c b a <<a c b <<a b c <<,,(1,)a b c Î+¥2ln 22ln 12a a --=212ln 1eb b --=2ln π2ln 1πc c --=b a c >>b c a >>a b c >>c a b >>(0,1)c Î5ln ln 5a a -=-4ln ln 4b b -=-3ln ln 3c c -=-b<c<a a c b <<a b c <<c b a <<0.5ln 2a =()0.4ln5ln 2b =-()8ln 3ln 29c =-a b c a b c <<b a c <<c b a <<a c b <<,a b 2024a a e -=3ln 2021ln b b e -+=ab =20210a e a --=2ln ln 20190,b e b ---=()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-ìï-+-=íïîx y +=()e x f x x =+()ln ln ln e ln xf x x x x =+=+e x x +ln x x +12,x x 11e 6xx +=23522x =123x x +=a 24e e a a -=()31(ln 2),b b a b l -+-=Îe R ab 8e ln 6题型四：零点同构【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和．(1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值； (2)若函数与有相同的最小值． ①求的值；②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列．【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数和有相同的最小值．(1)求；(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点；(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．()e x f x ax =-()ln g x ax x =-()y f x =()y g x =1x =a ()f x ()g x a y b =()y f x =()y g x =()e x f x ax =-()ln g x ax x =-a y b =()y f x =()y g x =ln (),()e x x xf xg x x==()()y f x y g x ==キ()()y f x y g x ==キ10,e a æöÎç÷èøy a =()()y f x y g x ==キ()()()123,,,x a x a x a キキ123x x x <<123x x x キキ【变式4-2】已知函数和有相同的最大值. (1)求；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型五：双元同构【典例5-1】已知函数． 当时，求函数的单调增区间；若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围；若，且对任意，，，都有，求实数a 的最小值．【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．0D ．【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()e x ax f x =()ln xg x ax=b ,a b y m =()y f x =()y g x =()()21ln 112f x a x x a x =++++()11a =-()f x ()2()f x ()0,+¥()30a >1x ()20,x Î+¥12x x ¹()()12122f x f x x x ->-a b ÎR()b ab b a e be a l ---³-l e e -x y 24ln 2ln 44x y x y +³+-xy =x y +=21x y +=31x y =21()e (1)2x f x ax a x =-++12,(0,)x x Î+¥()()1212f x f x a x x -<-a (,0]-¥(0,1)(,1]-¥[1,)+¥【变式5-3】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．题型六：朗博同构【典例6-1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8【变式6-1】不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【变式6-2】对任意，若不等式恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．题型七：利用同构解决不等式恒成立问题【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1x 2[1,)x Î+¥21x x >2211ln2()x a x x x <-a (,0]-¥(,1]-¥(,2]-¥(,3]-¥x y ()24ln 2ln 284x y x y +³+-xy =x y +=122x y +=21x y =()ln 2(0)f x a x x a =->()2e 31a xx f x -³+0x >a 0x >24e 2ln 1x x x ax ×-³+a 4e24e 2e 2ln210x x ax x ---³a 14120x >2e ln (0)x ax ax x a £+>(0,2e](1,)+¥(0,1](]0,e ()log ,(0,1)(1,)xa f x a x a =-ÎÈ+¥()f x a ()211ln e x x a x -<+()1,x Î+¥a [)1,+¥3,2éö+¥÷êëø[)2,+¥[)4,+¥()1e ln 1axf x a x +=-+()()e,,0x f x Î+¥³a 210,eæöç÷èø1,e ¥éö+÷êëø[)e,+¥21,e éö+¥÷êëø【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数，.若，则k 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-4】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．题型八：利用同构求最值【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例8-2】已知函数，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-2】已知函数，若，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-3】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．5D ．11()1n22xf x ae ax =+-+()0f x >a 0e a <<2e a >e a >2e a >()e 1kxf x =+()11lng x x x æö=+ç÷èø()()kf x g x ³(]0,e [)e,+¥1,e ¥éö+÷êëø10,e æùçúèû22e ln ln x x l l +³()0,x Î+¥l 1,e ¥éö+÷êëø21,e éö+¥÷êëø1,2e éö+¥÷êëø2,eéö+¥÷êëøx ln e x x =()ln e0xx x =>()e xf x x =×()ln xg x x=-()()120f x g x t ==>12e t x x 21e 1e1e ()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=()2122ln -x x x t 1e-12e-21e 2e()()ln 1f x x x =+-()ln g x x x =()112ln f x t =+()22g x t =ln t 21e 1e-12e -2e()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=122ln tx x x -12e1e12e e a b 22ln ()e na b b a<n题型九：利用同构证明不等式【典例9-1】已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【典例9-2】已知函数． （1）讨论函数的零点的个数；（2）证明：．【变式9-1】已知函数． （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．【变式9-2】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（3）证明：当时，．2()2()1a f x lnx a R x =+-Î+()f x 2a =()0f x >(1,)+¥0x >2(1)1x x ln x e +>-21()x f x e x=-()fx 220x xe lnx x -->()1()f x ax lnx a R =--Î2a =()f x ()f x 1x =(0,)x "Î+¥()2f x bx -b 1x y e >>-(1)(1)x y ln x e ln y -+>+()2(1)sin 1f x ln x x =+++()1(g x ax blnx a =--b R Î0)ab ¹()g x 0x ()31f x x +1x >-2sin ()(22)x f x x x e <++1．若对任意的，且，则m 的最小值是（ ） A． B ． C ． D ． 2．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是 3．若，则实数a 的取值范围为4．已知，对任意都有，则实数的取值范围是 . 5．已知当，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 . 6．当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 7．已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ． 8．已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值；(2)若，恒成立，求实数a 的取值范围．9．（2024·云南·模拟预测）已知函数 (1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.12,(,)x x m ¥Î+12211221ln ln ,2x x x x x x x x -<<-2e 1e 21e e 412,(2,)x x Î+¥12x x <2211ln 2()0x a x x x --<a e ln()x ax x ax -³-+1a >()1,x Î+¥11e 1e ln e ln 0x a a x x xæö--£ç÷èøa (]0,e x Î2eln 2x x a a +³-0x >2e ln e xx x a a ³a e x ³11e ln a x x a x x+-³a ()ln 1f x x ax =-+R a Î()f x []1,20x ">()2e 2x f x x ax £-()e ,()ln .x f x a g x x =+=()g x 1x =l ()f x a ()()f x a g x +³a10．已知函数 (1)若求曲线在点处的切线方程．(2)若证明：在上单调递增．(3)当时，恒成立，求的取值范围．11．已知函数. (1)求的最小值；(2)求证：；(3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围.12．（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.13．（2024·广东深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.()()e 1ln ,.x a f x x ax x a =+-ÎR 0,a =()y f x =(1,(1))f 1,a =()f x (0,)+¥1x >()ln f x a x ³a ()()e 0xf x x x>=()f x ()ln 3f x x x >-+1x ³()e ln 2x a ax ax +Ｌa ()e x f x a =()()F x f x x =+2x >()2ln2x f x a->-a ()2e 1x a f x x-=()()1,1f ()22,2e a ()f x ()21ln ax g x x-=x ()2e 1x xg x l l £-()1,+¥l14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数，其中，.(1)当时，求函数的零点；(2)若函数恒成立，求的取值范围.15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．16．（2024·广东汕头·三模）设，，(1)证明：；(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.()()e ln 11x f x a ax =-+-0a >0x ³1a =()f x ()0f x ³a ()ln ln (1)2(0)f x x a a x a =++-+>()f x 2e ()x f x -³a ()e x f x =()ln g x x =()()1xf x x g x ³++y t =()xy f x =()g x y x =()1,A x t ()2,B x t ()3,C x t ()123x x x <<1x 2x 3x17．（2024·江西宜春·一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.(1)求；(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.()()ln 1f x x a x =+-a ÎR ()f x 0x >()2e ln 41x f x x x x £---a ()x f x e =ln()()n x g x =+:l y x m =+()y f x =()y g x =,m n ():01l y s s ¢=<<()y f x =l ()y g x =112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 123x x x <<123,,x x x s。
江苏省泰州市高三上学期数学10月月考试卷
江苏省泰州市高三上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2015高三上·石家庄期中) 已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A . （1，2）B . {1，2}C . {﹣1，﹣2}D . （0，+∞）2. （2分）tan690°的值为（）A . -B .C .D .3. （2分）已知a＞1，（）b＞1，2c=，则（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . a＞c＞bD . c＞b＞a4. （2分）如果a，b，c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2017高一下·双流期中) 已知，则sin2a等于（）A .B .C .D . ﹣6. （2分）设等比数列的前项和为，若，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高二下·乐安期中) 从数字1，2，3，4，5，6，7中任取3个奇数，2个偶数，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的5位数，则满足条件的5位数共有（）个．A . 864B . 432C . 288D . 1448. （2分）(2017·郴州模拟) 已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A .B . （0，1]C . [0，1]D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）若函数f（x）= x3﹣ax2+x 有一个极大值和一个极小值，则a的取值范围是________．10. （1分） (2017高三上·涞水开学考) 已知函数f（x）=ax﹣1+2，a＞0 且a≠1，则f（x）必过定点________．11. （1分） (2018高三上·信阳期中) 若△ABC的面积为S=a2﹣（b﹣c）2 ，则 =________．12. （1分）若f（x﹣1）=x2﹣1，则f（x）=________．13. （1分）(2018高一下·台州期中) 已知向量及向量序列:满足如下条件:，且 ,当且时,的最大值为________．14. （1分） (2015高一下·忻州期中) 函数的定义域为________，值域为________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2018高二上·锦州期末) 已知的内角，，的对边分别为，，且有 .（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围.16. （10分） (2017高二上·南阳月考) 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若 ,且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ ）设数列满足，求数列的前项和17. （10分） (2015高三上·巴彦期中) 在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状．18. （5分）(2017·天河模拟) 已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠0）．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．19. （10分）(2018·商丘模拟) 已知函数，其中为常数且 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围.20. （15分）已知数列中，a1=1，，数列中，b1=1，且点在直线y=x-1上．（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Sn．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、17-1、17-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。
2022届高三10月月考数学试卷(江苏省泰州中学)
2022届高三10月月考数学试卷（江苏省泰州中学）解答题如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.（1）当时，求点距地面的高度；（2）试确定的值，使得取得最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；（2）借助于角θ，把∠MPN表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．试题解析：（1）由题意，得.从而，当时，.即点距地面的高度为.（2）由题意，得，从而.又，所以.从而令，则.由，得，解得.当时，为增函数；当时，为减函数，所以，当时，有极大值，也为最大值.因为，所以.从而当取得最大值时，取得最大值.即时，取得最大值.解答题已知函数.（1）将化简为的形式，并求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.【答案】（1），；（2）时，，时，.【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．试题解析：（1）所以.（2）因为，所以所以，所以，当，即时，，当，即时，.填空题若集合，则__________．【答案】【解析】根据集合并集的运算意义，，故填.填空题设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是.【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案.解答题如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由, 得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以.（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是，.因此二面角的正弦值是.解答题已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】.【解析】试题分析：如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案.试题解析：若真，则，真恒成立，设，则，易知，即，为真，为假一真一假，（1）若真假，则且，矛盾，（2）若假真，则且，综上可知，的取值范围是.填空题若，则__________．【答案】【解析】因为，而所以，两边同除以得：，故填.解答题设集合是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.（1）求的值；（2）求的表达式.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据具体数值，结合新定义，列举满足条件的数对：当时，即，此时，，所以，当时，即，若，则，或，或；若或，则；所以.（Ⅱ）由定义知，A,B 无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，集合对共有对，再求和试题解析：（1）当时，即，此时，，所以，2分当时，即，若，则，或，或；若或，则；所以. 4分（2）当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有种情况，6分此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，所以，当集合中的最大元素为“”时，集合对共有对，8分当依次取时，可分别得到集合对的个数，求和可得. 10分解答题已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．（1）当时，解关于的不等式：；（2）是否存在实数，使得关于的函数（）的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：的两根为和，且，从而，解得，再化简不等式，因式分解：，最后根据两根2与大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函数，其中，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为，所以当时，取最小值试题解析：（1）由不等式的解集为知，关于的方程的两根为和，且，由根与系数关系，得∴所以原不等式化为，①当时，原不等式化为，且，解得或；②当时，原不等式化为，解得且；③当时，原不等式化为，且，解得或；综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．（2）假设存在满足条件的实数，由（1）得：，，．令（），则，（），对称轴，因为，所以，，所以函数在单调递减，所以当时，的最小值为，解得．填空题设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．解答题已知为上的偶函数，当时，.（1）当时，求的解析式；（2）当时，试比较与的大小；（3）求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有.【答案】（1）当时，；（2）时，；当时，；当时，；（3）最小整数.【解析】试题分析：（1）当时，，利用为R上的偶函数，当时，，可求函数的解析式；（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，从而可得当时，；当时，；当时，；（3）转化为对恒成立，从而有求利用建立关系, 由此可求适合题意的最小整数m的值.试题解析：（1）当时，；（2）当时，单调递增，而是偶函数，所以在上单调递减，所以所以当时，；当时，；当时，；（3）当时，，则由，得，即对恒成立从而有对恒成立，因为，所以因为存在这样的，所以，即又，所以适合题意的最小整数.填空题已知直线与函数及的图象分别交于两点，则线段的长度为__________．【答案】.【解析】分别联立与函数及解得：，所以，故填.填空题已知，则__________．【答案】【解析】由诱导公式得：，，所以，故填.填空题函数的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：所以，当，即时，取得最小值.所以答案应填：.解答题在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数，），直线（为参数，），求曲线上的动点到直线的距离的最小值.【答案】.【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．试题解析：将直线的参数方程化为普通方程为.因为点在曲线上，所以可设.因为点到直线距离，其中是锐角，所以当时，，所以点到直线的距离最小值为.解答题已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）记，求在上的最大值；（3）当时，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．试题解析：（1）设曲线与相切于点，由，知，解得，又可求得点为，所以代入，得.（2）因为，所以.①当，即时，，此时在上单调递增，所以；②当即，当时，单调递减，当时，单调递增，.（i）当，即时，；（ii）当，即时，；③当，即时，，此时在上单调递减，所以.综上，当时，；当时，.（3）当时，，①当时，显然；②当时，，记函数，则，可知在上单调递增，又由知，在上有唯一实根，且，则，即（*），当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以，则，即，所以.综上，.填空题设函数，则__________．【答案】【解析】由分段函数解析式知，，所以，故填9.填空题函数的定义域为A，值域为B，则A∩B=____________.【答案】【解析】填空题已知角的终边过点，且，则的值为．【答案】【解析】试题分析：由题意得填空题命题“若，则”的否命题为．【答案】若，则【解析】试题分析：否定条件作条件，同时否定结论做结论，所以命题“若，则”的否命题为若，则解答题在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求.【答案】.【解析】试题分析：由题意得到，再由逆矩阵公式,求出矩阵M的逆矩阵由此能求出M.−1试题解析：依题意，，即，解得，由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，所以.填空题已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】构造函数，则是奇函数，是R上的增函数，所以原不等式变为，所以，即恒成立，所以，解得：，故填.填空题设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】令，所以在上是减函数，又，所以是偶函数，因此，当时，，所以，同理，当时，，所以，综上应填.21。
2022届高三10月月考数学(江苏省泰州中学)
2022届高三10月月考数学（江苏省泰州中学）解答题已知圆与坐标轴交于（如图）.（1）点是圆上除外的任意点（如图1），与直线交于不同的两点，求的最小值；（2）点是圆上除外的任意点（如图2），直线交轴于点，直线交于点.设的斜率为的斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）设出，的直线方程，联立直线，分别得出M,N的坐标，表示出，求其最值即可；（2）分别写出E,F的坐标，写出斜率，即可证明为定值.试题解析：（1）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为由，解得；由，解得.所以，直线与直线的交点，直线与直线的交点，所以.当时，，等号成立的条件是.当时，，等号成立的条件是.故线段长的最小值是.（2）由题意可知，的斜率为直线的方程为，由，得，则直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，由，解得，的斜率（定值）.填空题若（为虚数单位），则的值为__________．【答案】【解析】因为，根据复数相等则，，解得，所以，故填.填空题已知函数，若对任意，均满足，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：由可知在上为增函数，所以在R上恒成立，而，所以，所以；填空题记函数的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为__________．【答案】【解析】由，得，因为，所以由几何概型概率公式得，在区间上随机取一个数，则的概率，故答案为.解答题已知函数，其中为常数.（1）求函数的单调区间；（2）若是的一条切线，求的值；（3）已知为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值.【答案】（1）若时，在上单调递增；若时，在上递减，在上递增；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设切点，利用导数的几何意义为直线斜率建立方程，从而求出a的值即可；（3）分离参数k,构造函数利用导数分析其增减性，求出其最小值，问题转化为只需即可．试题解析：（1）函数的定义域为.若时，则，所以在上单调递增；若时，则当时，，当时，，所以在上递减，在上递增.（2）设切点为则：，解得.（3）当时，对任意，都有恒成立等价于对恒成立.令，则，由（1）知，当时，在上递增.因为，所以在上存在唯一零点，所以在上也存在唯一零点，设此零点为，则.因为当时，，当时，，所以在上的最小值为，所以又因为，所以，所以.又因为为整数且，所以的最大值是.解答题已知函数.（1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）解不等式.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）去绝对值号，恒成立问题转化为求函数最大值问题；（2）解含有绝对值的不等式，通过分区间讨论转化为普通方程求解即可.试题解析：（1）当时，..于是，即函数在上的最大值等于.要使不等式在上恒成立，实数的取值范围是.（2）不等式，即.当时，原不等式等价于，解得或.又.当时，原不等式等价于，即，解得，满足.综上可知，原不等式的解集为或.填空题在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由正弦定理得：,由降幂公式得，再结合和差化积得：在三角形中得,所以,由三角形为锐角三角形得：,而，∵，∴，令，函数在递减，所以，故填.填空题已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是__________．【答案】【解析】∵动圆C与直线相切于点，故直线AC 与直线垂直，故C落在直线上，设C点坐标为，则圆的半径r=，则圆的方程为：．令，则，即，∵C被x轴所截得的弦长为2，∴, 解得：，或，故所有圆C的半径之积为,故答案应填10.解答题在中，内角所对的边分别为，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由余弦定理及得出b,c关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在中，因为，所以.因为，所以，即，所以.又由正弦定理得，所以.解法2：因为，所以.因为，由正弦定理得，所以，即.又因为，解得，所以.（2）因为，所以.又，所以，所以.因为，即，所以，所以填空题将函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则当取最小的值时，__________．【答案】【解析】由题意，，因为函数关于y轴对称知，,所以，最小值，此时，故填.填空题已知向量，则和的夹角等于__________．【答案】【解析】因为,根据向量的夹角公式得, ,所以.填空题若集合，则__________．【答案】【解析】根据集合交集的定义，两个集合的公共元素为0,2，所以，故填.填空题已知直线，．若，则实数的值是．【答案】0或－3【解析】试题分析：由题意得：解答题如图，在中，.（1）求的值；（2）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中.求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据数量积法则运算即可求出；（2）建系设点，向量坐标化，将xy表示成三角函数，求其最值即可.试题解析：（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标，则.设，由，得.所以.所以..因为，所以，当时，即时，的最大值为；当或即或时，的最小值为.填空题已知，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】令，则，∵，∴，∴，由柯西不等式得：,当且仅当u=v=，即，或，时，的最小值是1,故填1.填空题如图，在梯形中，.若，则__________．【答案】【解析】设,，所以，故，故填.填空题某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________．【答案】16【解析】试题分析：因为高校甲乙丙丁四个专业分别有名学生，所以本校共有学生名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是，因为丙专业有人，所以要抽取人．解答题如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.（1）若，求的面积的最大值；（2）若的面积为，问为何值时取得最小值.【答案】（1）；（2）时，有最小值，即最小.【解析】试题分析：（1）建系设点，根据条件求出A的轨迹方程，则三角形的高为圆上动点到直线的距离，数形结合可求三角形面积的最大值．（2）设，表示出三角形面积，求出BC=，利用导数求其最值即可.试题解析：（1）以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由得，化简得.所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.（除去与轴的交点），所以.（2）设，由得.令，令得，列表：略. 在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值，即最小.填空题若函数（为常数，是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，函数有两个极值点，即恰有两零点，显然时，不符合题意，当时，令得利用导数可知在（-∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，故有最大值，所以只要即可，故填.填空题如图是一个算法流程图，则输出的的值是__________．【答案】【解析】当时，不满足，故，当时，不满足，故x=9，y=5当时，满足，故输出的值为，故填A．。