应用光学_前三章

第一章 几何光学基本原理

可见光：400~760nm ，λ

c

=v ，c=3*10^8 m/s

光学基本定律：

反射定律：反射光线位于入射面内，反射角等于入射角。

折射定律：折射光线位于入射面内，入射角和折射角正弦之比为相对于介质的定值，2,12

1

sin sin n I I =，n 1,2被称为第二种介质相对于第一种介质的折射率。

折射率与光速：由已知，波前面为OQ ，经t 时间后波前面到达O ’Q ’，则有：

''sin ;'sin 21OQ OO I OQ QQ I ==

两式相消有：1221n '

'

sin sin ==OO QQ I I 由已知：t v OO t v QQ 21';'==，代入有：

122

1

2sin 1sin n v v I I == 又，绝对折射率可知：211

21

2n v v v c v

c n ==，代入上式有：

22111

21221sin sin n sin sin I n I n n

n I I ===即： 以上即用绝对折射率表示的折射定律。 光程的概念及相关定律：

几何路程与折射率的乘积称为光程 ：

其意义为：光在介质中传播的“光程”等于在相同时间内，光在真空中传播的几何路程，即：几何路程和所在介质的折射率的乘积相等。 马吕斯定律和费尔马原理：

1.假定一束光线为某一曲面的法线汇，这些光线经过任意次的折射、反射后，该光束的全部光线任与另一曲面垂直，构成一个新的法线汇，而且位于这两个曲面之间的所有光线的光程相等。（马吕斯）

2.实际光线沿着光程为极值（或稳定值）的路线传播。（费尔马） 光路可逆与全反射：

全反射：一条光线从分界面反射回到原来的介质中，另一条光线经分界面折射进入另一种介质，随着光线入射角的增大，反射光线的强度逐渐增强，而直折射光线的强度则逐渐减弱。

如右图所示：根据折射定律有2211sin sin n I n I =（21n n >）

当入射角I 1增大时，相应的折射角I 2也增大，同时反射光线的强度随之增大，而折射光线的强度则逐渐减小，当入射角增大到I 0时，折射角I 2=90度，这时折射光线掠过二介质的分界面，并且强度趋近为0，当入射角I 1>I 0时，折射光线不再存在，入射光线全部反射，这样的现象称之为“全反射”，折射角I 2=90度对应的入射角I 0称之为“临界角”或“全反射角”，且有：

2201n 90sin sin n ==。n I ，得到 注意：仅当光线由折射率高的介质射向折射率低的介质时，才有可能发生全反射。 几何光学误差讨论：

由于光具有波粒二相性，在某些特殊情况下，不能单纯的用几何光学的知识去描述光的传播现象，需要引入物理光学的方法进行研究。（此处涉及弥散斑介绍以及计算） 光学系统的类别和成像的概念：

光学仪器的构成：主要由右图所示的反射镜、透镜和棱镜所构成。共轴球面系统：仅由球面构成的光学零件所构成的光轴在一条对称轴上的系统。

物所在的空间称为“物空间”，像所在的空间称为“像空间”。 概念理解：实像点，虚像点，实物点，虚物点，共轭关系。 等光程条件：

理想光学系统的成像条件：单个物点A 理想成像即其所有光线经光学系统后任汇聚于一点A ’ 等光程的反射面类型：

椭圆反射镜：等光程条件有：[][]常数=+'IA AI

当光程为正时，物点像点都是实的，对应的反射面为凹面，光程为负数，物像点为虚，反射面为凸面，对应右图上下。

双曲面反射镜：对应右图物点像点必为一虚一实。 假定物点A 为实，像点A ’为虚，则有：

[][]常数=-=+''IA AI IA AI

反之则为：

[][]常数）（==+=+'--'-'IA AI IA AI IA AI

抛物面反射镜：对其焦点和无限远轴上点满足等光程条件， 由右图：[][]常数=-=+IK AI IK AI 将W 波面平移，使IK IK AI ==-AI 0或者 则此反射面为以A 为焦点，W 为准线的抛物面。

等光程折射面类型：

由右图，物点A 与无限远像点共轭的等光程折射面， 可以得到一个标准形式的圆锥曲线方程，即：

0)1(2n -1'2

222'=--+???

? ??x n n l y x n 简化有： ()

02e -1222=-+rx y x

其中：e 为圆锥曲线偏心率，l 为定点曲率半径，且：??

?

??-==n n l r n n '1 'e ， 微小线段的余弦条件：

如右图所示，微小线段AB 通过光学系统成像于A ’B ’，忽略高阶微量，以BH 和B ’H ’作为波前，得到一下关系： 的无关量）（与θθθc B A n AB =-'cos '''cos n 应用于共轴系统则有（图1-46）： 阿贝条件：'sin '''sinU n U B A n AB = 若使AB 与光轴重合，则可以得到：

若使AB 与光轴重合，则可以得到如右图：

赫谢尔条件：

常数常数；==2

U c 2U'

cos

2U sin 2U'sin

os

第二章 共轴球面系统的物像关系

光路计算公式：

球面折射计算，如右图所示：

推导公式计算折射光线的折射角I 和坐标L ’：

U r

r

L I U r I sin sin sin sin r -L APC -=?=?中：

可求得折射角I n n

I sin ''sin =；

又，'

sin '

sin ''sin 'sin 'L 'U I r r L U r I r PC A +=?=-?中， 以上可逐步计算得折射光线的参数， 亦可通过转面公式，直接计算透镜第二面即出

射光线的坐标，如右图：

1'

12'12L ; U U d L -==

符号规则：

1. 线段：从左到右，从下到上为正，反之为负。一般以球面顶点为起点开始计算，面型从左至右。

2. 角度：一律计算锐角，顺时针为正，逆时针为负，一般以光轴为起始轴，其次为光线。 推导和计算时，一律按照符号规则，举例如下图：

近轴光路成像及计算：

将角度的展开为级数，...!

51!31sin 3

3θθθθ+-

=，忽略3θ以上的项，则有： ''sin ,sin ,''sin sin i I i I u U u U ====，，

所以，上节公式可以简化为：

1'12'12,u 3 '

'

' i'-i u u' 2 n'

n

i' 1 i d l l u u ri r l i u r r

l -==+=+==-=

转面公式：）

（公式）

（公式）（公式

由已知，d 1为前一面定点到后一面顶点的距离。且，当u 变化时，

'

'

i u 比值不发生变化，故，轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射后任汇聚于同一点。当然，这是在误差允许范围为内的理想成像而已。 近轴光学的基本公式和它的实际意义：

如右图所示，h 为光线与球面交点到光轴的距离。 展开公式1和公式3可得：

r u l i u r lu i '

'''u +

-=+

-= 对于近轴光线来说，''h u l lu ==，带入上式有：

)

'('' '''''nu n n r

h nu u n r h n i n u n r

nh

ni -=-?+-=+-= 将上式整理可得到近轴光学的基本公式，也是最重要的公式：

转面公式为：'

1122'

12;u u d h h u -==

物象大小关系式：

求轴外物点B 的像点，引入新概念：垂轴放大率β， 表示为： y

y '=

β y 和y ’分别为物点和像点到光轴的距离，由右图可知：

l

n nl l r l l r l n l r l r l r

l y y r l r l y y ''

r -'''n'

1'''' =-?-=---=

=?+--=-有：代入基础公式β

代入有：

以上，计算公式都是基于球面表面，且入射光线相对于焦点的位置都是已知，在实际应用中不具有普适性，但是推导过程和推导所得的公式在之后课程的学习中非常重要，建议大家都去按照顺序推导一遍。 主平面和焦点：

主平面：放大率β=1的一对共轭面。

物平面称为物方主平面，像平面称为像方主平面，于光轴的两个交点分别称为物方主点和像方主点。

如图2-16所示，物点位于无限远时，其像点位于F ’，其被称为“像方焦点”，通过像方焦点且垂直于光轴的平面被称为像方焦平面，其与垂直于光轴的无限远的物平面共轭。以上两者有如下特性：

1. 平行于光轴入射的任意一条光线，其共轭光线一定通过F ’点；

2. 和光轴成一定夹角的平行光束，通过光学系统后，必相交于像方焦平面上同一点。

同上，可定义“物方焦点”和“物方焦平面”，且有以下特性： 1. 通过物方焦点入射的光线，通过光学系统之后，平行于光轴出射；

2.

由物方焦平面上轴外任意一点发出的光线，通过光学系统之后，对应一束和光轴成一定夹角的平

行光线。

焦距：主平面和焦点之间的距离，分为物方焦距和像方焦距，分别用' f f 和表示。 单个折射球面的主平面、焦点和焦距：

按照主平面的性质，其垂轴放大率β=1，且为一对共轭面，因此，其应当满足一下条件：

r

n n l n l n l n nl l

n nl -=-=?==

''''' 1''

β

整理得：0''''''2

=?-?-=

-l n

n r n n ll r n n nl l n ，可知0'==l l 所以：球面的两个主点H 、H ’与球面顶点重合，其物方和像方主平面即为过球面定点的切平面。 按照定义，当物点无限远时，光线即汇聚于像方焦点，所以，如下图所示，有：

r

n n n f n f l l -=

∞-=∞=''' ,'',所以有：

即对应

得到：

同理可得：

对于球面反射来说，如图2-12所示，反射可看成n n -='的折射， 所以2

'r

f f ==，故，反射球面的焦点位于球心和顶点的中间。

共轴球面系统的主平面和焦点的计算：

对于整个光学系统来说，也存在这样一对共轭面满足以上条件。

由上图可知，对于平行于光轴的光线，L=∞，U=0，不能使用以前的公式，所以利用图2-23关系有：

11

11

1

1 sin r h i r h I =

=

：相应的近轴光路公式为

利用上述公式可求出I 1或i 1，最终逐面求出折射光线，求得出射光线的坐标''k k l u 和，进而确定像方焦点的位置，F ’离开最后一面顶点的距离O k 的距离l k ’称为像方顶焦距。出射光线和入射平行光的交点即可确

定像方主平面 理想光学系统的物象关系：

1.牛顿公式：

如右图所示，x ，x ’分别表示物方、像方焦点到物点、像点的距离，从左到右为正。由如下关系，证明略：

''f f x x ?=?

2.高斯公式：

如右图所示，'l l 、分别表示物方（像方）主点到物点（像点）的距离，从左到右为正。有如下关系：

以上两种公式，分别确定光学系统的焦点和主平面位置或确定光学系统的物方、像方焦距后，物点和像点可互相计算。 光学系统放大率：

1. 2. 轴向放大率：当物平面沿着光轴移动微小的距离dx 时，像平面相应的移动距离'dx ，比例dx

dx '即为轴

向放大率： 3.

4. 角放大率：共轭面上的轴上点A 发出的光线通过光学系统后，与光轴的夹角U ’的正切和对应的入射光线与光轴所成的夹角U 的正切之比，其只与'l l 、有关。

以上三种放大率关系如下：

拉格朗日-亥姆霍兹不变量：

实际光学系统近轴范围内成像的一种普遍特性。

'''y u n nuy J ==，J 被称为物象空间不变量或

拉个朗日不变量，其计算的两条主要光线为： 1. 来自目标中心通过孔径光阑边缘的边缘光线； 2. 来自目标边缘通过孔径光阑中心的主光线 物方焦距和像方焦距的关系：

n

n f f '

'-=，可知，当1'1==k n n 即光学系统处于空气中时，f f -='，物方焦距和像方焦距相等。 由此带来的位于空气中的光学系统公式如下： 1. 牛顿公式： 2''f xx -=

2. 高斯公式：

3. 垂轴放大率：

4. 轴向放大率：

5. 角放大率公式不变。 节平面和节点:

节平面：一对特殊的共轭面，其角放大率为1；分称为物方节平面和像方节平面；节平面与光轴的交点称为

节点，分别用J 和J ’表示，分称为物方节点和像方节点。凡是经过物方节点J 的光线，齐出射光线必定经过像方节点J ’，且和入射光线相平行，如右图所示。且：

即物方焦点F 到物方节点J 的距离等于像方焦距f ’，而像方焦点F ’到像方节点J ’的距离等于物方焦距f 。 如果物象空间介质的折射率相等，则有：f f -='，所以有：','f x f x J J -=-=，即，节平面与主平面重

合，节点即主点。由于节点具有入射和出射光线彼此平行的特性，所以时常用其来测定光学系统的基点位置，也可应用于周视照相机，绕节点旋转，使照片清晰度大大提升。 无限远物体理想像高：

无限远的物平面所成的像为像方焦平面，物平面上每一点所对应的都是一束平行光线，可用光束与光轴的夹角ω表示无限远轴外物点的位置，如右图所示：B ’为无限远轴外物点

B 的像点，且：ωωtan )tan(

'f f IH y =--==，如果光学系统位于空气中，则有：ωtan ''f y -=

此计算常用用平行光管分划板的分光设计。 理想光学系统的组合：

在光学系统的应用中常将两个或两个以上的光学系统组合在一起运用。如下图所示：

假定第

一个系统的像方焦点F 1’到第二个系统的物方焦点F 2的距离为Δ，且两个系统的焦距都分别已知，则可以选择两条特殊的光线进行计算：

1.平行于光轴入射的光线通过第一个系统之后，一定过F 1’，且经第二个光学系统出射后与光轴的交点即整个系统的像方焦点F ’，所以F 1’和F ’为第二个光学系统的一对共轭点，由牛顿公式：

表示）用的距离到为','F 'F x',-(x '' 222F x f f xx ?==

F ’的位置。 2.通过物方焦点F 的光线经过整个系统后一定平行于光轴出射，所以其必定经过第二个光学系统的物方焦点F 2，即，F 与F 2是第一个光学系统的一对共轭点，由牛顿公式：

表示）的距离，用到表示F x f f xx F F x ,(x' ''111?==

F 的位置。 焦距计算：平行于光轴入射的光线和出射光线的延长线的交点M ’一定位于像方主平面上，所以有：

?

-=-?=+'

' ''''-22212f f x f f x f f F F 代入关系式：

有：

同理可得： 通常用?表示像方焦距的倒数，称为光焦度，'

1f =?，所以当两个光学系统组合时有：

2121d -?????+=

d 为两光学系统主平面之间的距离。 单透镜的主平面和焦点位置的计算公式：

实际可看成两个单球面组成的系统，如右图所示，单球面焦距计算公式有：

n

nr n n r n f n r n n r n f n r

n n r n f n nr n n r n f --=--=-=-=

--=--=-=-=1',1'''1',1'''2

222222222221

11111111111

由于单折射球面的主平面都和球面顶点重合，

所以透镜之间的距离d 即主平面之间的距离。 定义以下参数：

H l 以透镜第一球面顶点为起点，到物方主点的距离，

'H l 以透镜第二球面顶点为起点，到像方主点的距离。 a 两主平面之间的距离； 所以有：()'H H l a l d -++=

所以有：

总结：

第三章 眼睛和目视光学系统

人眼的特性：

水晶体由多层薄膜构成的双凸透镜，中间硬，两边软，各层的折射率不同，中心为1.42，最外层为1.373。自然状态下其前表面半径为10.2mm ，后表面半径为6mm 。

人眼时倒立成像，视场一般在1500左右，但只有黄斑附近才能清晰的识别。 人眼的调节方式：

视度调节：眼睛自动调节焦距使成像清晰的过程。

视度：与网膜共轭的物面到眼睛距离的倒数，用SD 表示。

正常人眼从无限远到250mm ，可以正常调节，所以一般人阅读或操作时常把观察物体放置在眼前250mm 处，此距离称为明视距离，对应视度()425.01

SD -=-=，人眼通过调节所能看清物体的最短距

离称为近点距离，人眼能看清的最远距离称为远点距离，远点距离与近点距离之间就是人眼的最大调节范围，用视度之差表示。

瞳孔调节：眼睛的虹膜可以自动改变瞳孔的大小，以控制眼睛的进光量，一般人眼在白天光线较强时，瞳孔缩到2mm 左右，夜晚光线较暗时可放大到8mm 左右，设计目视光学仪器时要考虑和人眼瞳孔的配合。 人眼的分分辨率：

人眼刚能分辨的两物点在网膜上成的两像点之间的距离称为眼睛的分辨率。一般两像点之间的距离要大

于两个神经细胞的直径，所以一般人眼的分辨率为0.006mm ，此距离在人眼物空间对应的张角为min ω 根据理想像高公式，ωtan 'f y = 取人眼分辨率为0.006mm ，有：f

y 'min min =

ω，人眼在自然状态下物方焦距为-16.68mm ，代入有：

''60''20600068

.16006.0min =?--=ω

min ω被称为视角分辨率，其代表人眼刚能分辨的两物点对眼睛的张角。当观察平行直线时，如光学一起分

划板时，分辨率可提高到10’’左右。 放大镜和显微镜的工作原理：

人眼的视角分辨率为60’’，如果远距离两物点对人眼的张角小于60’’，则分辨不清，所以，光学仪器用以扩大视角，使人眼能够直接清晰观察两物点。

如右图，定义'π为眼睛的像方节点J ’到网膜的距离，所以有：仪仪眼眼，ωπωπtan '-'tan ''=-=y y

定义仪器的视放大率Γ，为：

所以，对于一个目视光学仪器来说，首先需要扩大视角，其次，成像应在无限远，即出射平行光束。 放大镜的工作原理：

人眼直接观察近距离微小物体时，能够分辨的物体大小y 和物距之间必须满足以下关系：

0003.0≥l

y

（0.0003对应于人眼分辨率60’’的弧度值） 放大镜即为人眼与被观察的物体之间放置的透镜，且物与透镜的物方焦平面重合，经过透镜后，形成平行光束，入射至人眼。如右图所示：

设透镜焦距为f ’，物体通过透镜所成的像对人眼的视角仪ω：

'

tan f y

=

仪ω 而人眼直接观察的视角眼ω为：l

y

-=眼ωtan ，一般取明视距离，l=-250mm ，所以视放大率为：

显微镜的工作原理：

放大镜的放大倍数一般不超过15倍，所以需要引进显微镜。物体先经过显微物镜，并在目镜的物方焦平面上形成一个放大的实像y ’，再经过目镜成像在无限远。如下图所示：

由已知，人眼直接观察时：250

tan y =

眼ω 通过显微镜观察时，视角的正切值为：

'

'tan 目仪f y =

ω 假定物镜像方焦点F 物’到目镜物方焦点F 目之间的距离为Δ（被称为光学筒长），由牛顿公式：

y f y f y y ''''物物?-=??-==

β 代入有：y f f =?

='

-tan 目物仪ω

由已知：组合系统的焦距为：?

-=?-='''

''21目物f f f f f

望远镜的工作原理：

望远镜用于观察无限远目标，即将无限远目标成像于无限远处。

由于目标位于无限远，所以其对仪器的张角和对人眼的张角一致，都为ω，所以有：

ω

ωωωtan '

tan tan tan =

=

Γ眼仪 使用系统内部参数来表达有：

'tan ' tan ''ωω目目物物f y f y =-=，由于：目物y y ='

且，望远系统的视放大率等于角放大率，与共轭面位置无关，至于物镜和目镜的焦距有关。

视放大率可以为正也可以为负，主要取决于目镜采用正透镜还是负透镜，

采用正光焦度目镜的望远镜被称为开普勒望远镜，其视放大率为负值，所以成倒像，可以加入棱镜或透镜式倒像系统进行纠正，还可以加装分划板，常用于军用。

采用负光焦度目镜的望远镜被称为伽利略望远镜，其视放大率为正值，成正像，不用加装倒像系统。

近视、远视和视度调节：

正常情况下，人眼的像方焦点正好与网膜重合。如果像方焦点位于网膜前方，则称之为“近视眼”；如果像方焦点位于网膜后方，则称之为“远视眼”。如下图所示：

近视眼的远点距离缩短，当远点距离为0.5m 时，近视为-2视度，和医学上的近视200度所对应，为了校正近视，可以在眼睛前加一发散透镜，无限远物体经发散透镜成像于眼睛的远点距离上，然后经眼睛成像于网膜上。

远视眼近点距离有所增加，远视距离不变。为了校正远视，可在眼睛前加以汇聚透镜，无限远光线经汇聚之后再经眼睛，直接成像于网膜。如下图所示：

空间深度感觉和双眼立体视觉：

双眼观察时：由于两眼始轴的夹角不同，眼球发生转动的肌肉紧张程度也不同，产生远近感；其次，如下图所示，α被称为视差角，当A 、B 两点的视差角不同时，也会产生远近感。这种感觉被称为双眼立体视觉。

ααα?的差值与B A ，决定了双眼立体视觉，min αα??的极限值被称为“体视锐度”，大约为10’’，甚

至可以达到5’’~3’’，当α?达到极限值时，人眼刚刚能分辨出它和无限远物点之间的差别。

人眼两瞳孔之间的平均距离为b=62mm ，min α?=10’’，则：

)(1200''206000*'

'10062

.0min

max m b l ≈=

?=

α，被称为立体视觉半径max l

立体视觉误差：b

l l 2

α?=?，误差和物体距离的平方成正比，物体距离越远，立体视觉误差越大。

双眼观察仪器：

人眼直接观察一物体时对应的视差角为眼α，当使用仪器观察时对应的视差角仪α，二者之比被称为双眼仪器的体视放大率，用∏表示：

设瞳孔间距为b ，物体距离为l ，则直接观察时的视差角为：

l b =眼α

设双眼望远镜的两入射光瞳之间的距离为B ，称为该仪器的基线长，则同一物体对仪器的亮入射瞳孔构成的视差角为：l

B =

α 如果系统的视放大率为Γ，则物方视差角α和像方视差角'α在角度不大的条件下存在关系：仪ααα=Γ=Γ≈l

B

'

综上，双眼仪器必须满足以下要求：

1. 双眼仪器左右连哥哥光学系统的光轴要平行

2. 两个光学系统的视放大率应该一致

3. 两个光学系统之间不应该有相对的像倾斜。