状态方程的解
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状态方程的解
3.6 状态方程的解3.6 状态方程的解以上讨论的控制系统的分析方法，都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入——输出微分方程。
在时域分析中，假设控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。
线性定常系统状态方程的解线性定常系统的状态方程为(3.107)状态方程的求解，就是在给定的初始值x(0)条件下，确定系统在输入u(t〕的作用下在t时刻的状态响应x(t)。
线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。
它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。
所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。
设一阶线性微分方程为(3.108)式中a,b为常数，方程的初始条件为对式〔3.108〕两边去拉普拉斯变换整理后得对上式两边进行拉普拉斯反变换得(3.109)其中，指数函数可以展开成无穷级数(3.110)状态方程是由n个一阶微分方程组成的，其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。
我们先讨论齐次状态方程的求解问题。
设齐次状态方程为(3.111)初始条件为对式〔3.111〕两边取拉普拉斯变换得进而得(3.112)对〔3.112〕式两边求拉普拉斯的变换得(3.113)式中，称为矩阵指数，A为n*n维方阵，也是一个无穷级数(3.114)矩阵指数具有如下性质(3.115)(3.116)(3.117)齐次状态方程的解还可以写成(3.118)式中称为状态转移矩阵，是n*n维矩阵。
式〔3.118〕说明，状态方程〔3.111〕的解就是状态从初始状态向t时刻状态的转移，所以把称为状态转移矩阵。
显然，对线性定常系统(3.119)状态转移矩阵具有如下性质对于非齐次状态方程(3.120)可以写成两边左乘即对上式积分两边再左乘得(3.121) 〔3.121〕式也可以用状态转移矩阵表示(3.122)式中非齐次状态方程的解可以分为两部分，第一项表示了系统自由运动的特性，是初始状态转移项，叫零输入响应。
后一项表示了系统受迫运动的特性，起因于输入向量，叫做零状态响应。
第三章-4-状态方程的解
0 1 0 A 0 0 1 0 1 0
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
线性离散系统状态方程的解
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。
简述状态方程解的意义
状态方程解的意义简述状态方程在控制系统中，状态方程是描述系统动态行为的数学模型。
它是一组一阶微分方程，用来描述系统的状态随时间的变化规律。
状态方程可以用矩阵形式表示，通常称为状态空间模型。
状态方程包括两个方程：状态方程和输出方程。
状态方程解的意义状态方程解指的是求解状态方程，得到系统的状态随时间的变化规律。
状态方程的解具有以下几个重要的意义：1. 揭示系统的内部结构和行为状态方程的解能够揭示系统的内部结构和行为。
通过分析状态方程的解，可以了解系统的状态随时间的演变情况，包括状态的稳定性、周期性和收敛性。
这对于了解系统的内部特性，识别系统的不稳定性和异常行为具有重要意义。
2. 可以预测和控制系统的行为状态方程的解可以提供对系统未来行为的预测和控制。
通过已知的初始状态和外部输入，可以使用状态方程求解得到系统的状态随时间的变化。
这使得我们可以根据系统的状态变化，预测系统的未来行为，并采取相应的控制策略来影响系统的演化。
3. 用于系统设计和性能评估状态方程的解可用于系统设计和性能评估。
通过分析状态方程的解，可以优化系统的设计，使系统的状态能够在要求的时间内收敛到期望的状态。
同时，通过与实际观测值进行比较，可以评估系统的性能，检验系统模型的准确性，并进行参数调整和优化。
4. 用于系统故障诊断和故障恢复状态方程的解可以用于系统故障诊断和故障恢复。
通过与实际观测值进行比较，可以检测系统是否发生故障。
如果系统发生故障，可以通过分析状态方程的解，确定故障的原因和位置，并采取相应的措施进行故障恢复，使系统恢复正常运行。
状态方程解的求解方法对于线性时不变系统，求解状态方程有多种方法，包括解析解法和数值解法。
1. 解析解法对于简单的线性系统，可以使用解析解法求解状态方程。
解析解法基于线性代数和微积分的知识，通过对状态方程进行变换和求解，得到系统的状态随时间的解析表达式。
2. 数值解法对于复杂的非线性系统或无法求得解析解的系统，可以使用数值解法求解状态方程。
第二章 状态方程的解
例1：设系统的状态方程为 ：
ɺ x1 0 1 x1 = ɺ x2 0 0 x2
试求状态转移矩阵. 试求状态转移矩阵
解：求状态转移矩阵为
1 22 1 k k Φ(t ) = e = I + At + A t + ⋯ + A t + ⋯ 2! k!
e
At
矩阵，称矩阵指数。 为n×n矩阵，称矩阵指数。
于是， 于是，齐次状态方程的解为
x(t ) = e x(0)
At
若初始时刻 t0 ≠0 ，对应的初始状态为 x(t0 ) ，则 齐次状态方程的解为
x(t ) = e
A ( t −t0 )
x(t0 )
Φ (t ) = e
At
状态转移矩阵具有以下性质： 状态转移矩阵具有以下性质：
λk +1 , λk + 2 ,⋯ , λn 互异，则 A 的 (n − k) 个互异特征值均满足系统方程，得到 (n − k) 个代数方程。
eλit = α0 (t ) + α1 (t )λi + ⋯ + αn−1 (t )λin−1 , i = k + 1, k + 2,⋯, n
对于 A 的 k 重特征根，则有下列 k 个代数方程。 将 λ1 代入系统方程，得
Φ(t ) = e At = I + At + 1 22 1 A t + ⋯ + Ak t k + ⋯ 2! k!
n −1
= α0 (t ) I + α1 (t ) A + ⋯ + αn−1 (t ) A
= ∑αk (t ) Ak
k =0
第二章 状态方程的解
解：A的特征方程为 I A 特征值为 1 1, 2 2
1 ( 1)( 2) 0 2 3
变换阵
e At
1 1 1 1 2 T ,T 2 1 1 2 2
1 e t 2 2 2 0
标量微分方程的解。设标量微分方程为 （2-2） ax x
x(0) x0
对式（2-2）取拉氏变换得
sX ( s) X 0 aX( s)
取拉氏反变换，得
k ( at ) at x ( t ) e x0 x0 k 0 k!
则
x0 X ( s) sa
k 0
n 1
下面分两种情况确定待定系数： 情况1：A的特征值互异，则
0 (t ) (t ) 1
1 1 1 2 n1(t ) 1 n
2 1 2 2
2 n
n 1 n
0 0 0 1 0 0
1t e 1 n 1 1 1t te n 2 (n 1)1 1 t 2 e 1t (n 1)(n 2) n3 2! 1 2! 1 n 2 1t t e (n 1)1 (n 2)! 1 n1 1t 1 t e (n 1)!
n 1 1 n 1 2
情况2：A的特征值有重根，则
0 ( t ) 1 (t ) 0 1 2 (t ) 0 n 2 (t ) 0 n1 (t ) 0
1 12 1 21
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
xteA t t0xt0tt0
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
3.5线性时变系统状态方程的解
x( k +1 T =I +T ( kT) x( kT) +T ( kT) u( kT) , B ) A
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
第三章状态方程的解课堂课资
e2t 1 3t et
2e2t
2
3t
et
4e2t 5 3t et
0 1 0
A
0
0
1
6 11 6
1 1 1 P 1 2 3
1 4 9
6 5 1
P 1
1 2
6
8
2
2 3 1
1 0 0
A
P1 AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e At PeAt P1 P 0 e2t
0
e
nt
eT 1ATt I T 1 ATt 1 T 1 A2Tt 2 1 T 1 A3Tt 3
2!
3!
T 1 I At 1 A2t 2 1 A3t 3 T
2!
3!
T 1e AtT et
e At TetT 1
12
例 已知矩阵
0 1 1
A 6
-11
6
试计算矩阵指数 eAt .
a n1 n1 1
e1t
a n1 n1 2
e2t
a0 a1n
a0
1
an1 1
a n1 n1 n
ent
n1 1
1
e1t
.
n1 n
ent
17
2)有 n个重特征值 1 n
et a0 t a1 t an1 t n1
两端对求1至n 阶1 导数得：
t 是满足 t At,0 I 的 n n 的矩阵。 t 定义为转移矩阵。
对于线性定常方程 t e At 。
t e At 表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 e A(tt0 ) 表示 x(t0 ) 到 x(t) 的转移矩阵。
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0
t
A( t )
Bu( )d
0 1 0 x x 1 u 2 3
阶跃响应
t x0 x1 (t ) A ( t ) e Bu ( )d x (t ) 0 0x2
x0 x1 (t ) 1/ 2 e e / 2 x (t ) t 2 t e e 0x2
P-1AP P-1B
特例：
• 当系统矩阵为能控规范形时，当特征值两 两相异时，则变换矩阵为范德蒙矩阵。
0 0 A 0 a0
1 0 0 a1
0 1 0 0 1 an 1 0
Vandermonde 矩阵
1 1 2 1 P 2 2 1 2 n 1 n 1 2 1
det( sI A) (s 2) s
5
1 5, 2 1, 1 2
2 0 0 x 0 0 0 1 0 0 0 0 1/ 4 0 1 2 1 0 0 0 1/ 2 2 0 2 0 0 0 0 x u 0 0 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 1/ 2
9.3 系统的运动分析
运动分析的实质是求解状态方程, 以解析形式建立系统状态随输入和初 始状态的演化规律.
对于连续线性系统,运动分析归结 为给定初始状态x0和输入向量u,求解 向量微分方程型状态方程.
线性系统运动的分解
x0
u=0
u x
x0u
x0
u
x0x x0=0
系统的零输入响应
x Ax
A的特征值
1 1 1 2 1 变换阵 P P 1 2 1 1
e At e P 0
t
0 1 p 2 t e
零初态响应
x Ax Bu, x(0)=0, t 0
状态方程的解
x0 x (t ) e
矩阵指数的计算
• 方法1：直接定义 • 方法2：拉氏变换法 • 方法3：将A对角标准化法
例
0 1 A 1 0
1 22 1 nn e I At A t A t 2! n!
At
1 0 0 t 1 t 0 1 t 0 2! 0
1
0 1
i
0 0
i
0
0 0 1 i
例
3 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 1 2 1 x x u 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0
e e
At1 At2
lim e I
At t 0
(e ) e
若系统渐近稳定,则
At 1
At
lim e 0
At t
A为对角阵时的矩阵指数
e 0 At e 0 0
1t
0 e
2t
0 0
0 0 0 0 n t 0 e 0
1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 J 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2
• 设系统的特征值为λ1(σ1重），λ2 （σ2重），…, 则存在可逆变换阵P, 可使状态方程化为如下约当标准型
J1 0 1 P AP 0 0
0 J2 0 0
0
0 0 0 0 0 Jl
对角分块矩阵
J i1 0 Ji 0 0
0 Ji2 0 0
0 0 0 0 0 J i 0
i i
几何 重数
约当小块
i 0 J ik 0 0
n n 1
1s 0
det( sI A) 0
1 ,2 , i
n维LTI系统,有且只有n个特征值
若阵A为实数,则特征值只能为实数 或共轭复数
若为单根,则为单特征值,否则为重 特征值
代数重数
det(sI A) (s i ) i ( s)
几何重数
i
i n rank (i I A)
特征值重数之间关系
•若λi为单特征根,则满足 σi=αi=1 •若λi为重特征值,则满足 σi≥αi≥1
(i I A)vi 0
i vi Avi
v1 , v2 , vi
一个n维向量vi，经以A做为变换阵的变换 后，方向不变，仅长度变化λi， 则vi为A 的对应于λi的特征向量。
Marie Ennemond Camille Jordan (January 5, 1838 – January 22, 1922) 法国数学家，以在群论中的奠基性 贡献与富有影响的《分析教程》而 著名。他出生于里昂，毕业于综合 理工大学。他的职业是工程师；后 来他在综合理工大学以及法兰西学 院任教，他有选择古怪记号的名 声。
t 2 t t 2 t
对角化法
1 2 A P
P 1 n
e At e P
1t
e
2t
P 1 n t e
例
0 1 A 2 3
1 1, 2 2
(1) 化A阵为对角阵
• 设A阵为方阵，具有互异特征值，则 可通过非奇异变换化为对角阵。
1 2 1 P AP
P阵由A阵的特征向量组成
n
例
2 1 1 7 0 1 0 x 2 u x 0 2 1 3
1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 At 1 e L 2 2 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2
2e e e e At e t 2 t t 2 t e 2e 2e 2e
（2）状态方程化为约当标准形
• 当矩阵A有m重特征值，一般来说， 矩阵只能化为准对角标准形。
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 J 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 J 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2
1 1 1 1 1 0 0 0 1 P 1 0 1 1 P 0 1 0 0 1 1
对角线规范形
解耦
2 0 0 2 0 1 0 x 5 u x 0 0 1 2
1 1 1 0 2 0 0 2 0
1 0 1 v11 0 1 0 v 0 12 0 0 0 v13
v11 v13，v12 0, v13 任意
1
一组特征向量
1 1 0 0 , 0 , 1 0 1 1
2
0 2 t
拉氏变换法
e L [(sI A) ]
At
1
1
例
0 1 A 2 3
s 1 ( sI A) 2 s 3
s 3 1 1 1 ( sI A) 2 s s( s 3) 2
（1）求特征值
| sI A | 0
s2 0 0
1 s 1 2
1 0 0 s 1
(s 2)(s 1)(s 1) 0
1 2, 2 1, 3 1
（2）求特征向量
(i I A)vi 0
λ =2
0 1 1 v11 0 3 0 v 0 12 0 2 1 v13
0 1 1 0 3 0 0 2 1
0 0 0 v11 0 1 0 v 0 12 0 0 1 v13
v11 任意，v12 0, v13 0
λ =1
1 1 1 v11 0 2 0 v 0 12 0 2 0 v13
i vi Avi
vi
9.2 状态空间的线性变换
x Ax Bu
x Px
P APx P Bu x
1 1
y cx
x Px
y cPx
讨论
• 存在上述关系的两个状态空间描 述为代数等价 • 两个代数等价的状态空间描述可 以化为相同的对角线规范型或约 当规范型 • 系统在坐标变换下的不变量和不 变属性反映了系统固有特性。
1
1 n 2 n n 1 n
Alexandre-Théophile Vandermonde (1735 – 1796) 法国音乐家和化学家，和拉瓦锡共事。 1770年 开始从事数学研究。证明了多项式方程根的任 何对称式都能用方程的系数表示出来。是伽罗 华理论的先驱。他不仅把行列式应用于解线性 方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性 研究,是行列式的奠基者。 关于纽结的研究认识 到了拓扑学的重要性。在行列式方面的研究使 其被选入法国科学院。 determinant
第9讲 线性变换与状态方程的解
课程内容:
状态矩阵的特征结构 状态矩阵的对角化方法 系统的响应特性 系统的状态转移矩阵
需要掌握内容 • 特征值及其求法 • 对角化方法 • 矩阵指数求法
9.1
线性时不变系统的特征结构
x Ax Bu
sI A
det( sI A)
t
A( t )
Bu( )d
0 1 0 x x 1 u 2 3
阶跃响应
t x0 x1 (t ) A ( t ) e Bu ( )d x (t ) 0 0x2
x0 x1 (t ) 1/ 2 e e / 2 x (t ) t 2 t e e 0x2
P-1AP P-1B
特例：
• 当系统矩阵为能控规范形时，当特征值两 两相异时，则变换矩阵为范德蒙矩阵。
0 0 A 0 a0
1 0 0 a1
0 1 0 0 1 an 1 0
Vandermonde 矩阵
1 1 2 1 P 2 2 1 2 n 1 n 1 2 1
det( sI A) (s 2) s
5
1 5, 2 1, 1 2
2 0 0 x 0 0 0 1 0 0 0 0 1/ 4 0 1 2 1 0 0 0 1/ 2 2 0 2 0 0 0 0 x u 0 0 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 1/ 2
9.3 系统的运动分析
运动分析的实质是求解状态方程, 以解析形式建立系统状态随输入和初 始状态的演化规律.
对于连续线性系统,运动分析归结 为给定初始状态x0和输入向量u,求解 向量微分方程型状态方程.
线性系统运动的分解
x0
u=0
u x
x0u
x0
u
x0x x0=0
系统的零输入响应
x Ax
A的特征值
1 1 1 2 1 变换阵 P P 1 2 1 1
e At e P 0
t
0 1 p 2 t e
零初态响应
x Ax Bu, x(0)=0, t 0
状态方程的解
x0 x (t ) e
矩阵指数的计算
• 方法1：直接定义 • 方法2：拉氏变换法 • 方法3：将A对角标准化法
例
0 1 A 1 0
1 22 1 nn e I At A t A t 2! n!
At
1 0 0 t 1 t 0 1 t 0 2! 0
1
0 1
i
0 0
i
0
0 0 1 i
例
3 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 1 2 1 x x u 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 1 1 0
e e
At1 At2
lim e I
At t 0
(e ) e
若系统渐近稳定,则
At 1
At
lim e 0
At t
A为对角阵时的矩阵指数
e 0 At e 0 0
1t
0 e
2t
0 0
0 0 0 0 n t 0 e 0
1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 J 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2
• 设系统的特征值为λ1(σ1重），λ2 （σ2重），…, 则存在可逆变换阵P, 可使状态方程化为如下约当标准型
J1 0 1 P AP 0 0
0 J2 0 0
0
0 0 0 0 0 Jl
对角分块矩阵
J i1 0 Ji 0 0
0 Ji2 0 0
0 0 0 0 0 J i 0
i i
几何 重数
约当小块
i 0 J ik 0 0
n n 1
1s 0
det( sI A) 0
1 ,2 , i
n维LTI系统,有且只有n个特征值
若阵A为实数,则特征值只能为实数 或共轭复数
若为单根,则为单特征值,否则为重 特征值
代数重数
det(sI A) (s i ) i ( s)
几何重数
i
i n rank (i I A)
特征值重数之间关系
•若λi为单特征根,则满足 σi=αi=1 •若λi为重特征值,则满足 σi≥αi≥1
(i I A)vi 0
i vi Avi
v1 , v2 , vi
一个n维向量vi，经以A做为变换阵的变换 后，方向不变，仅长度变化λi， 则vi为A 的对应于λi的特征向量。
Marie Ennemond Camille Jordan (January 5, 1838 – January 22, 1922) 法国数学家，以在群论中的奠基性 贡献与富有影响的《分析教程》而 著名。他出生于里昂，毕业于综合 理工大学。他的职业是工程师；后 来他在综合理工大学以及法兰西学 院任教，他有选择古怪记号的名 声。
t 2 t t 2 t
对角化法
1 2 A P
P 1 n
e At e P
1t
e
2t
P 1 n t e
例
0 1 A 2 3
1 1, 2 2
(1) 化A阵为对角阵
• 设A阵为方阵，具有互异特征值，则 可通过非奇异变换化为对角阵。
1 2 1 P AP
P阵由A阵的特征向量组成
n
例
2 1 1 7 0 1 0 x 2 u x 0 2 1 3
1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 At 1 e L 2 2 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2
2e e e e At e t 2 t t 2 t e 2e 2e 2e
（2）状态方程化为约当标准形
• 当矩阵A有m重特征值，一般来说， 矩阵只能化为准对角标准形。
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 J 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 J 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2
1 1 1 1 1 0 0 0 1 P 1 0 1 1 P 0 1 0 0 1 1
对角线规范形
解耦
2 0 0 2 0 1 0 x 5 u x 0 0 1 2
1 1 1 0 2 0 0 2 0
1 0 1 v11 0 1 0 v 0 12 0 0 0 v13
v11 v13，v12 0, v13 任意
1
一组特征向量
1 1 0 0 , 0 , 1 0 1 1
2
0 2 t
拉氏变换法
e L [(sI A) ]
At
1
1
例
0 1 A 2 3
s 1 ( sI A) 2 s 3
s 3 1 1 1 ( sI A) 2 s s( s 3) 2
（1）求特征值
| sI A | 0
s2 0 0
1 s 1 2
1 0 0 s 1
(s 2)(s 1)(s 1) 0
1 2, 2 1, 3 1
（2）求特征向量
(i I A)vi 0
λ =2
0 1 1 v11 0 3 0 v 0 12 0 2 1 v13
0 1 1 0 3 0 0 2 1
0 0 0 v11 0 1 0 v 0 12 0 0 1 v13
v11 任意，v12 0, v13 0
λ =1
1 1 1 v11 0 2 0 v 0 12 0 2 0 v13
i vi Avi
vi
9.2 状态空间的线性变换
x Ax Bu
x Px
P APx P Bu x
1 1
y cx
x Px
y cPx
讨论
• 存在上述关系的两个状态空间描 述为代数等价 • 两个代数等价的状态空间描述可 以化为相同的对角线规范型或约 当规范型 • 系统在坐标变换下的不变量和不 变属性反映了系统固有特性。
1
1 n 2 n n 1 n
Alexandre-Théophile Vandermonde (1735 – 1796) 法国音乐家和化学家，和拉瓦锡共事。 1770年 开始从事数学研究。证明了多项式方程根的任 何对称式都能用方程的系数表示出来。是伽罗 华理论的先驱。他不仅把行列式应用于解线性 方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性 研究,是行列式的奠基者。 关于纽结的研究认识 到了拓扑学的重要性。在行列式方面的研究使 其被选入法国科学院。 determinant
第9讲 线性变换与状态方程的解
课程内容:
状态矩阵的特征结构 状态矩阵的对角化方法 系统的响应特性 系统的状态转移矩阵
需要掌握内容 • 特征值及其求法 • 对角化方法 • 矩阵指数求法
9.1
线性时不变系统的特征结构
x Ax Bu
sI A
det( sI A)