2.1 有理数
北师大版数学七年级上册2.1《有理数》教案
北师大版数学七年级上册2.1《有理数》教案一. 教材分析《有理数》是北师大版数学七年级上册第二章第一节的内容，本节课主要介绍了有理数的定义、分类以及有理数的运算。
有理数是中学数学中的基础概念，对于学生理解数学的本质和后续学习其他数学知识具有重要意义。
本节课的内容是学生进一步学习实数、方程、函数等知识的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数和分数的基本知识，对运算也有一定的了解。
但学生在理解有理数的定义和分类方面可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从实际问题出发，理解有理数的概念，并通过具体的例子让学生掌握有理数的分类。
三. 教学目标1.了解有理数的定义，掌握有理数的分类。
2.能够进行有理数的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
四. 教学重难点1.有理数的定义和分类。
2.有理数的运算。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握有理数的概念和运算；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的问题和案例。
2.准备教学PPT。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置问题，引导学生思考：什么是整数？什么是分数？整数和分数有什么关系？从而引出有理数的概念。
2.呈现（15分钟）呈现有理数的定义和分类，让学生了解有理数的四种类型：正整数、负整数、正分数、负分数。
并通过具体的例子让学生理解和掌握有理数的分类。
3.操练（15分钟）让学生进行有理数的运算练习，包括加、减、乘、除等。
教师可以设置一些具有代表性的题目，让学生在课堂上进行讲解和讨论，从而加深对有理数运算的理解。
4.巩固（10分钟）通过一些填空题和选择题，让学生巩固所学的内容。
教师可以设置一些易错题，让学生在解答过程中发现问题，从而加深对有理数概念和运算的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：有理数和无理数有什么关系？从而引出实数的概念。
2.1有理数作业
七年级上学期数学作业总分2.1有理数1． ______________________统称整数。
（如：…，—4，—3，—2，—1，0，1，2，3，…）2． ______________________统称分数。
（如：1/2，—3/5，—1.2，0.101010101…）3．统称有理数。
（如…，—2，—1，0，1，2，…；—3/5，—1.2，0.101010101…）4. 下面说法正确的有( )A．整数包括正整数和负整数B．零是整数，但不是正数，也不是负数C．分数包括正分数、负分数和零D．有理数不是正数就是负数5. 下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数；B．零表示没有，不是自然数；C．正整数和负整数统称整数；D．整数和分数统称为有理数6．零不属于（）A．有理数集合；B．整数集合；C．非正有理数集合；D.正数集合7．在—8，2005，2/3，0，—4，+11，—1/4，—7.2，中，正整数和负分数共有（）A．3个；B．4个；；C．5个；D．6个8．下列说法正确的是（）A．正整数和负整数统称整数；B．正分数、负分数统称分数；C．零既可以是正整数也可以是负整数；D．一个有理数不是正数就是负数9．下列说法正确的是（）A．有0个苹果即一个苹果也没有，故0的意义就是表示没有；B． 0没有带“—”号，所以0是正数；C．字母a没有带“—”号，所以a是正数；D．0既不是正数，也不是负数10．用—a表示的数一定是（）A．负数；B．正数；C．正数或负数；Ｄ.以上都不对11．在有理数：+4，—2，3.15，8，0中，不属于正数集合的是（）A．只有—2；B．—2和0；C．—2和7；D．7和012．下列语句中正确的是（）A．有理数没有最大的数也没有最小的数；B．正数没有最大的数，有最小的数；C．负数没有最小的数，有最大的数；D．整数有最大的数，也有最小的数13．下列说法中错误的是（）A．圆周率π是无限不循环小数，它不是有理数；B．负整数与负分数统称负有理数；C．正有理数与负有理数统称为有理数；D．21/3不是分数，而是整数14．把下列各数分别填入相应的集合中：－11.4，8，+7.3，0，－16，712，－8.12％，π15表中出现了比0还小的数，我们可以用带有“－”号(读作“负”)的数来表示，如－3.80％，这说明该支股票当天的收盘价与前一天的收盘价相比下跌了3.80％；前面带“+”号的说明该支股票与前一天的收盘价相比上涨了百分之多少；0表示不涨不跌．请你观察一下，这一天下跌的股票有___________________________________________．16．下面依次排列的一列数，它的排列有一定的规律，请接着写出后面的三个数．(1)1，－1，1，－1，__________，__________，___________……(2)－1，12，－13，14，_________，__________，__________……(3)14，37，510-，713，916，1119-，__________，_________，________……（4）1111,,,,261220--，，……17．某生产车间计划每天生产100个零件.现将一周五天中每天的生产情况记录如下,请再制定一张表格直观反映出这五天中后一天比前一天多生产的零件数.18．已知一列数：l，－2，3，－4，5，－6．7，…将这列数排成下列形式：第1行 1第2行－2 3第3行－4 5 －6第4行7 －8 9 －10第5行11 －12 13 －14 15……按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于?。
2.1 有理数及其运算
课件目录
首页
末页
2. 1 有理数
2．下列各数：－74，1.010 010 001，383，0，0.1·2·，－2.626 626 662…，其中有 理数的个数是( C )
A.3
B.4
C.5
D.6
3．[2019 秋·诸暨市校级月考]有理数－2，－1，0，－12，2，13，属于正整数的个
数有( D )
(3)某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在什么温度范围内 保存才合适？
课件目录
首页
末页
2. 1 有理数
解：(1)扣 20 分记作－20 分． (2)小华体重减少 1kg，则小华的体重可以表示为增长－1 kg． (3)温度是(20±2)℃，表示最低温度是 20－2＝18(℃)，最高温度是 20＋2＝ 22(℃)，即 18 ℃～22 ℃之间是合适的保存温度．
课件目录
首页
末页
2. 1 有理数
分层作业
1．[2019·桂林]若海平面以上 1 045 米，记作＋1 045 米，则海平面以下 155 米，
记作( B )
A．－1200 米
B．－155 米
C．155 米
D．1200 米
【解析】 若海平面以上 1 045 米，记作＋1 045 米，则海平面以下 155 米，记作 －155 米．故选 B．
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
【解析】 有理数－2，－1，0，－12，2，13中，属于正整数的是 2，共 1 个．
课件目录
首页
末页
2. 1 有理数
4．[2019 秋·甘井子区期中]在－1，＋7.5，0，－23，－0.9，15 中，负分数共有( B )
2.1有理数(共13张PPT)
东平县初中数学
系统小结
1、正数与负数都来自于实际生活；用正、 负数可以表示实际问题中具有相反意义的量， 例如… 2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前 面添上“－”号的数是负数;0既不是正数， 也不是负数，它表示正、负数的界限。 3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按 整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、 零、负有理数分成三大类。
东平县初中数学
东平县初中数学
2.下面关于“0”的说法正确的是 （ ） A.是正数，也是有理数 B.是整数，但不是自然数 C.不是正数，但是自然数 D.不是整数，但是有理数 3.按要求填空 （1）某厂去年亏损2.5万元，记作－2.5万元；则今年盈 利4.1万元，记作 . （2）若向东走100m，记作+100m；那么－70m表 示 . （3）若+3表示体重增加了3kg，那么－2表示体 重 .
东平县初中数学
合作探究
上述得分你是怎样用正负数表示的？
东平县初中数学
生活中我们通常用正负数表示具有相反意义的量 比如：这里的“加分与扣分” “上涨量与下跌量” “零上温度 与零下温度”都是具有相反意义的量。一般可以把其中一种意义 的量规定为正的，用过去学过的数（零除外），如123，15， 3.14等来表示，这样的数叫做正数。正数前面可加正号“＋”来 表示（常省略不写）；把另一种与之意义相反的量规定为负，用 过去学过的数 2
教学目标
1.在具体情景中，进一步认识负数，理解有 理数的意义。 2.经历用正负数表示具有相反意义的量的过 程，体会引入负数是实际生活的需要。 3.会判断一个数是正数还是负数，能按一定 的标准对有理数进行分类。
东平县初中数学
预习诊断
1.用正负数表示下列具有相反意义的量：
北师大版七年级数学上册2.1 有理数教学设计
5、1，-2，3，-4，5，-6，7，-8 ，………其中第199个数为 _____ ，第2002个数，规。
6、1，2，-3，4，5，-6，7，8 ，-9 ………其中第345个数为，第2002个数，规律是。
7、-1，2，-3，4，-5，6，-7，8 ，-9……其中第279个数为 _____ ，第320个数的符号为，规律是。
2.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学号数学的信心。
二、过程与方法
1.通过设置情境，加深对负数认识，建立符号意识；
2.小组合作探究，并对他人所提问题进行反思；
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2游戏：知识竞赛。答对一题加十分，答错一题扣十分，不答不得分。
教学活动2
二、师生互动，探索新知
1 达标导学，初探新知
通过情境中的例子，让学生观察总结怎样表示生活中的量？
2 小组讨论，理解新知
生活中，你见过带“—”号的量吗？从而得出正数、负数和0的概念。
安排这一活动的目的，主要是为了鼓励学生自己寻找生活中的例子，并在寻求实例的过程中体会负数的引入是实际生活的需要，同时，可以根据实际需要，选择一些学生熟悉的实例展开讨论。如零上温度和零下温度，海拔高于海平面的高度和海拔低于海平面的高度等等。
按定义分类；按性质分类
设计意图：有理数的概念是本节课的重点内容，通过该活动使学生充分理解有理数的分类。
练习：
1 把下列各数填入相应的集合中：
3 -7 5.6 0 15
正数集合｛ ｝
2.1有理数ppt课件
-8, 0,
链接中考
• 1.（2011.贵阳）如果“盈利10‰”记为+10‰，那 C ） 么“亏损6‰”记为（ • A. -16‰ B. -6‰ C.+6‰ D.+4‰ • 2.（2011.湖北宜昌）如果用+0.02克表示一个乒乓球 质量超出标准质量0.02克，那么一个乒乓球质量低于 标准质量0.02克记作（ B ） • A. +0.02克 B. -0.02克 C. 0 克 D.+0.04克
支出6元 1、如果将+8元计为收入8元，则-6元表示 _______ 。 低于海平面 789米。 2、高出海平面789米计为＋789米，则-789米表示__ ______ 80千克 。 3、减少60千克计为－60千克，则+80千克表示 增加 ______ 20年 。 4、把公元2008年记作+2008年，那么-20年表示 公元前 _______
课堂小结
1.正负数的定义
零既不是正数也不是负数
2.有理数的意义 3.有理数的分类：
（1）. 有理数
正整数 零 整数 负整数 正分数 分数
负分数
课堂小结
•
有理数的分类：
正整数 正有理数 零 负有理数 负分数 正分数 负整数
（2） 有理数 .
作业
• 1.有理数《 巩固案 》. • 2.课本习题2.1 2题、3题.
1、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考 了85分，记作+2分，得90分应记作______ +7分 ，得80分应 记作______ 。 —3分 2、若将28计为0，则可以将27计为－1，试猜想若将27计 为0，28应计为 +1 。 3．如果向东走12米记作+12米，则向西走120米记作______ 米。 —120 4．如果向东走12米记作—12米，则向西走120米记作_____ 米。 +120
2.1有理数
第二章第一节有理数课型：新授课教学目标：1．理解正负数的概念，会判断一个数是正数还是负数．(重点)2．会用正负数表示具有相反意义的量；有理数的分类及其分类的标准．(难点)3．培养学生树立分类讨论的思想．教法和学法指导：本节应用“启迪诱导—自主探究”教学模式．教师在教学过程中起到引导释疑的作用:引导学生观察、思考、分析、讨论、形成结论，并让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决问题的方法．课前准备：准备课件，学生课前进行相关预习工作．教学过程：一、情景导入明确目标：师：大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？生：整数、分数、小数、自然数、0、负数．师：多媒体展示下列图片，说明它们都是由于实际需要而产生的瓦罐没有东西了——有了0 二人分一只西瓜，用数如何表示半只西瓜——有了分数货币购物，用数如何表示10元5角3分——有了小数二.自主学习合作探究问题：能用5表示下列数吗？为什么？生：不能，因为如果都用5表示，就没办法区别零上与零下了．师：很好，现实生活中，像这样的具有相反意义的量还有很多．你能举出其它例子吗？ 生：积极发言生1：例如，加1分和扣1分，如果都记作1分，就不能区别加分和扣分了．生2：珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，如果珠穆朗玛峰的高度记作8848米，吐鲁番盆的高度记作155米，就没办法区别“高于海平面”和“低于海平面”．【设计意图】：本环节利用学生熟悉的例子，让学生体会到要准确地刻画这些量，就有必要引入一种新数—负数．使学生感受到负数就在我们的身边，负数的引入确实是实际生活的需要．同时，有趣而富有挑战性的问题紧紧扣住了学生的心弦，学生带着需要解决的问题来进行学习，极大的调动了学生学习的自觉性和积极性，有效的提高了知识的可接受程度． 探究活动1：用正负数表示具有相反意义的量活动内容1：答对答错不回答某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．两个代表队答题情况如下表： 答题情况第一队第二队如果答对题所得的分数用正数表示，那么你能写出每个代表队答题得分的情况吗？试完成下表答对题的得分答错题的得分 未回答题的得分 第一队+6 第二队 -2零上5ºC零下5ºC生：表中第二行填：-3,0；第三行填：+8,0【注意事项】：教学时，应注意两个表格的不同之处：前一个表格是“答题情况”，需要学生填写的表格是“得分情况”，中间有一个“转换”过程．情境的设计是突出“如何表示”，教学时不要强调其中的计算过程．【设计意图】：借助比赛得分的情境，从用正负数表示得分情况的角度回顾小学所学负数．【实际效果】：在学生的交流过程中，老师进行监控指导，确保每个小组讨论的质量并沿着正确的思考方向发展．每个小组的同学都能积极说出自己的想法，组内语言表达好的同学给语言表达稍差的同学作了良好的示范，这样起到了组内帮助的作用，各个小组的学生发表了他们的不同表达方法后，大家一致总结出：用带“－”号的数表示比0分低的得分，用带“+”号的数表示比0分高的得分是最方便简洁的方法．在此基础上给同学们讲授了“－1”和“+1”的读法．学生学习了“+”、“－”表示方法后，完成表格，虽然这里包含了有理数的运算，但学生根据生活经验可以完成，此处也为了以后的运算作了铺垫．即时练习１：让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量生：高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作－155米；活动内容2：议一议生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行交流．师：“食品”一行中，“全国”为7．2，表示什么意思？生：表示2010年全国居民食品消费价格比去年上涨7．2﹪．师：“交通和通信”一行中，“全国”为－0．4，表示什么意思？生：表示2010年全国居民交通和通信消费价格比去年下跌0．4﹪．师：“家庭设备用品及维修费用”一行中，“全国”为0．0，表示什么意思？生：表示2010年全国居民家庭设备用品及维修费用消费价格与去年水平相当．【设计意图】：设计本栏目的目的在于鼓励学生自己寻找生活中的例子，使学生认识到正负数可以用来表示现实生活中具有相反意义的量，并在寻求实例的过程中体会负数是实际生活的需要．引导学生对表格中正负数的实际含义加以分析，使学生不只看到“负数”，还体会到用负数表示的量在具体问题中的实际意义，让学生体会“0”除了代表“没有”外，还可以有其他含义．师生共同总结：1．为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．2．“0”的意义不仅仅表示“没有”，它还是正负数的分界，是“基准”．探究活动二：应用举例例1 （1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0．02克记作＋0．02克，那么﹣0．03克表示什么？（3）某大米包装袋上标注着：“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g”表示什么？解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；（2）-0．03克表示乒乓球的质量低于标准质量0．03克；（3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有150g的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg +150g，最少是10kg- 150g．点拨：第（1）小题是将具有相反意义的量用正数或负数表示；第（2）小题是在一定背景下说明用正数或负数表示的量的实际意义；第（3）小题是呈现了实际生活中用正数或负数表示相反意义的量的不同形式．活动2：想一想师：各题中的“基准”分别是什么？生1：第（1）小题的“基准”是“转盘静止不动”；生2：第（2）小题的“基准”是“乒乓球的标准质量”；生3：第（3）小题的“基准”是“每袋大米的标准质量”．【设计意图】：设计“想一想”这一环节是引起学生注意：并不是所有的“基准”都必须为零．活动3：议一议选定一个高度作为标准，用正负数表示你们的身高与选定的身高标准的差异，你是怎样表示的？与同伴交流．生1：我选150㎝为“基准”，那么我的身高为156㎝，就可以记作+6㎝；生2：我选180㎝为“基准”，那么我的身高为175㎝，就可以记作-5㎝；【设计意图】：本活动是对“用正负数表示具有相反意义的量”内容的更深认识：从“可以表示”到“给定标准”再到“自定标准”，层层推进，使学生更好的理解“基准”，以及不同“基准”对表示结果的影响．即时练习２：⑴任意写出5个正数与5个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合：｛…｝，负数集合：｛…｝．(2)教材第25页随堂练习第1题．(3)教材第26页知识技能第2题．探究活动三：有理数的概念有理数的分类师：我们把正整数、0和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数．如2是整数，而且是正整数；2/3是分数，而且是正分数，-2是负整数，-2/3是负分数．1．有理数的概念整数和分数统称为有理数2．有理数的分类师：为了便于研究某些问题，常常需要将有理数进行分类，需要不同，分类的方法也常常不同，根据有理数的定义可将有理数分成两类：整数和分数．有理数还有没有其他的分类方法？活动1：做一做所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合．请把下列各数填入相应的集合中：3，-7，32-，.6.5，0，418-， 15，91 正数集合：｛ … ｝负数集合：｛ … ｝整数集合：｛ … ｝分数集合：｛ … ｝待学生思考后，请学生回答、评议、补充．教师小结：多媒体展示有理数的分类1.按定义分2.按正负性分师：按有理数的符号分为三类：正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零，并指出，在有理数范围内，正数和零统称为非负数．并向学生强调：分类可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．即时练习2：1．教材第25页随堂练习第2题．2．教材第26页随堂练习第3题．【实际效果】：将所学的数分类上，学生有很多不同的分法，意见分歧比较大，但只要是合理，教师都给予了肯定，因为学生不可能得出有理数这一概念，这时教师讲解有理数的概念，并进行有理数的分类，让学生领会数学的分类思想，对有理数有了整体的认识．学生独立完成随堂练习后两题，进一步巩固对有理数的掌握．．三、总结知识 拓展提高1．通过本节课的学习你获得了那些知识？教师引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？生1：本节课我学习了用正负数表示具有相反意义的量；生2：本节课我学习了整数和分数统称为有理数；生3：本节课我学习了有理数的分类；生:4：本节课我学习了分类思想，并且应注意分类时不重不漏．【实际效果】：每位同学在组内都能积极发言，认真回顾本节课所学知识，学生独立总结回答，既提高了学生的归纳总结能力又提高了学生的语言表达能力．达标检测：1.在－2；＋1/2；－3．5；11中,正数是；负数是．2.+1350米表示高于海平面1350米,低于海平面200米，记作．3.如果上升10米记作＋10米，那么下降12米，记作．4.如果规定向西走30米记作+30米，那么－40米，表示．5．如果零上5记作+5,那么零下3 记作．6．某仓库运进面粉7．5吨记作+7．5,那么运出3．8吨,记作．7．教材第25页随堂练习第2题．8．教材第26页随堂练习第3题．【实际效果】：大部分学生能当堂达标，完成效果良好，教师当堂批阅一半的学生．板书设计：2．1有理数（一）用正负数表示具有相反意义的量（二）例题解析（三）有理数的概念（四）有理数的分类（五）课堂练习教学反思：在认真学习《数学课程标准》的基础上，本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要，数学与我们的生活密不可分；这节课是在小学里学过的数的基础上，从表示具有相反意义的量引进负数的．从内容上讲，负数比非负数要抽象、难理解．因此学生通过这节课只能对负数概念有初步的理解，使学生掌握正负数的记法和它的描述性定义，要求不能过高．对有理数的深入理解将在以后的学习中逐步加强．在教学方法和教学语言的选择上，尽可能注意中小学的衔接，既不违反科学性，又符合可接受性原则，教师在课堂上要起好主导作用，并让学生有充分的活动机会，使得课堂气氛有新鲜感．所以这节课采取了在教师的启发引导下，师生共同探究解决的途径，以谈话法为主．同时，教师的语言要尽量儿童化．本课中，我们有意识地突出“分类讨论”这一数学思想方法，并在教学中注意渗透两点：1．分类的标准不同，分类的结果也不相同；2．分类的结果应是无遗漏、无重复，即每一个数必须属于某一类，又不能同时属于不同的两类．。
2.1 有理数知识点总结与例题讲解
新华师大版七年级上册数学第2章有理数2.1有理数知识点、题型总结与习题讲练一．本节知识点（1）相反意义的量.（2）正数和负数.（3）有理数的概念及其分类.二、本节题型（1）判断具有相反意义的量.（2）正数和负数的识别.（3）用正数和负数表示具有相反意义的量.（4）有理数的概念及分类.三、知识点讲解知识点一相反意义的量相反意义的量必须满足以下两个条件:（1）是同类量;（2）成对出现,意义相反,数量不一定相等.注意:具有相反意义的量必须是成对出现的,且一定不要漏掉单位和数量.知识点二正数和负数用正数和负数表示具有相反意义的量.做法是:先规定其中一种意义为正,那么与它相反的意义为负.用正数、负数表示具有相反意义的量的三个特性:（1）任意性哪种意义的量为正,可以任意选择.（2）成对性具有相反意义的量是成对出现的.（3）不等性具有相反意义的两个量,其数据可以不相等.注意:（1）正数的前面加正号,负数的前面加负号.正号可以省略不写,负号不可以省略. （2）正数和负数可以用来表示具有相反意义的量,哪种意义的量为正可以任意选择,但习惯上把上升、提高、增加、盈利、收入等量为正.零既不是正数,也不是负数.知识点三 有理数的概念及其分类整数和分数统称为有理数.整数分为正整数、零和负整数.分数分为正分数和负分数.正整数和零统称为自然数,又叫非负整数.有限小数和无限循环小数都属于分数.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数,或按正、负分类为:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 有理数可以细分为五类,即正整数、正分数、零、负整数和负分数.零既不是正数,也不是负数,但零是整数.补充概念 非负数:0和正数统称为非负数;非正数:0和负数统称为非正数.四、题型讲解题型一 判断具有相反意义的量相反意义的量必须满足以下两个条件:（1）是同类量;（2）成对出现,意义相反,数量不一定相等.注意: 具有相反意义的量必须是成对出现的,且一定不要漏掉单位和数量. 例1. 下列选项中,具有相反意义的量的是【 】（A ）收入25元与支出30元 （B ）上升7米和后退9米（C ）卖出12千克与盈利50元 （D ）向东走14米和向北走20米分析:（A ）中,收入与支出是具有相反意义的量,符合题意;（B ）中,上升的相反意义是下降,后退的相反意义是前进,不符合题意;（C ）中,卖出的相反意义是买进,盈利的相反意义是亏损,不符合题意;（D ）中,向东走的相反意义是向西走,向北走的相反意义是向南走,不符合题意.解: 由分析可知,选择【 A 】.例2. 仔细思考以下各组量:①胜二局与负三局;②气温上升3℃与气温下降3℃;③盈利5万元与支出6万元;④增加10%与减少20%.其中具有相反意义的量有【 】（A ）1组 （B ）2组 （C ）3组 （D ）4组 解: 选择【 C 】.题型二 正数和负数的识别（1）0即不是正数,也不是负数.（2）单符号的数据,正数的前面有“+”号或“+”号省略不写;负数的前面有“—”号.例 3. 在3,71,0,6.8%,20,1+-+-中,正数一共有_________个,负数一共有_________个.分析:0即不是正数,也不是负数.解:正数为+20% , 71 , +3 ,共有3个;负数为6.8,1--,共有2个. 例4. 下列各数中,哪些数是正数?哪些数是负数?100,75.0,21,5.0,5,3,41,0,2+--+-. 分析: 正数与负数的识别看数据前面的符号,正数的前面加正号,负数的前面加负号.正号可以省略不写,负号不可以省略.特别地,0既不是正数,也不是负数.也就是说,0不能归为正数和负数.解:正数有:100,75.0,5,3,41++;负数有:21,5.0,2---. 题型三 用正数和负数表示具有相反意义的量例5. 如果向东走8千米记作+8千米,向西走5千米记作5-千米,那么下列各数分别表示什么?（1）+4千米; （2）5.3-千米; （3）0千米.分析: 正数和负数可以用来表示具有相反意义的量,哪种意义的量为正可以任意选择,但习惯上把上升、提高、增加、盈利、收入等量为正.解:（1）+4千米表示向东走4千米;（2）5.3-千米表示向西走3.5千米;（3）0千米表示原地不动.例6. 如果芳芳同学向东走20米,记作+20米,那么30-米表示芳芳【 】（A ）向东走30米 （B ）向东走50米（C ）向西走30米 （D ）向西走30-米分析:向东走与向西走具有相反意义,若规定其中一个为正,则另一个为负.上题中,规定向东走的距离为正数,则向西走的距离为负数.即30-米表示芳芳向西走30米.注意,不能说成是向西走30-米.解: 选择【 C 】.例7. 若身高以163 cm 为基准,甲的身高为168 cm,记为+5 cm,则:（1）乙的身高为157 cm,记为_________;（2）丙的身高为_________cm,记为+9 cm;（3）丁的身高为163 cm,记为_________.解:（1）6-cm; （2）172 ; （3）0 cm.例8. 如果一个乒乓球的质量比标准质量重0. 02克,记作+0. 02克,那么03.0-克表示____________________.解: 03.0-克表示比标准质量轻0. 03克.题型四 有理数的概念及分类例8. 在4 , 132, 0. 16666… , 3.4-,411-中,分数有【 】 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 分析:本题考查分数的定义和分类.有限小数和无限循环小数都属于分数.分数按数的正负可分为正分数和负分数.解: 分数有:132, 0. 16666… , 3.4-,411-,共有4个,选择答案【 D 】. 例9. 下列说法正确的有【 】①一个有理数不是正数就是负数;②0是整数,但不是自然数;③0不是正数,也不是负数;④0表示没有.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 分析:本题主要考查对有理数0的认识,容易出错:（1）0即不是正数,也不是负数,但0是整数.（2）0和正整数统称为自然数,又叫非负整数.显然,①、②说法错误.在实际中,0不再仅仅表示“没有”,故④说法错误,只有③说法正确.解: 选择【 A 】.例10. 在数11-、5%、3.2-、61、3.1415926、0、43-、π-、2018中,负有理数有_________个,负分数有_________个,整数有_________个.分析:（1）有理数按正负可分为正有理数、0和负有理数.（2）有限小数和无限循环小数都属于分数.（3）分数按正负可分为正分数和负分数.（3）整数分为正整数、0和负整数.（4）要特别注意,ππ-,都不是有理数.解: 负有理数有:11-、3.2-、43-,共有3个; 负分数有:3.2-、43-,共有2个; 整数有:11-、0、2018,共有3个.五、习题1. 若规定收入5元记作+5元,则50-元表示【 】（A ）收入50元 （B ）支出50元（C ）减去50元 （D ）等于50元2. 设置一种记分的方法:85分如88分记为+3分.某个学生在记分表上的分数记为6-分,则这个学生的实际分数应该是【 】（A ）91分 （B ）91-分 （C ）79分 （D ）79-分3. 某校办印刷厂今年四月份盈利6万元,记作+6万元,五月份亏损了2. 5万元,应记作_________万元.4. 如果水库的水位高于正常水位5 m 时,记作+5 m,那么低于正常水位3 m 时,应记作【 】（A ）+3 m （B ）3-m （C ）31+m （D ）31-m 5. 如果把收入100元记作+100元,那么支出80元记作【 】（A ）+20元 （B ）+100元 （C ）+80元 （D ）80-元6. 给出下面各数:0,33.2,136,5,2,125,618.0,35,11,56.0,3,2--+----,其中负数的个数为【 】（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）77. 下面关于0的叙述,正确的有【 】①0是正数和负数的分界;②0比任何负数都大;③0只表示没有;④0常用来表示某种量的分界.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个8. 在有理数%25.1,227,0,15,7.6,1,65--+-中,属于分数的有【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个9. 下列说法中,正确的个数有【 】①14.3-既是负数,又是小数,也是有理数;②25-既是负数,又是整数,但不是自然数;③0既不是正数,也不是负数,但是整数;④0是非负数.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个10. 在数100,3,0,7,21,25.0--中,非负数的个数是【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411. 在11,7.0,32,0,5.3,2--+-中,负分数有【 】 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个12. 下面四个数中,是正整数的是【 】（A ）1- （B ）0 （C ）21 （D ）1 13. 在有理数108,0,45.0,715--中,整数是__________,非负数是__________. 14. 在智力竞赛中,如果加30分记作+30分,那么扣10分应记作_________分.15. 某种零件,标明要求是2.025±ϕ（ϕ表示直径,单位: mm ）,经检查,一个零件的直径是24. 9 mm,则该零件_________（填“合格”或“不合格”）.16. 给出下列各数:227,1000,1159.3,0,443.4-,其中有理数的个数是m ,非负数的个数是n ,则=+n m _________.17. 下列各数中,哪些是正数?哪些是负数? π----,14.3,0,8.1,213,3%,20,74,05.0,12.18. 把下列各数填入相应的大括号内.14.3,10,722,54,27,0,5.13--+-. （1）正数集:｛ …｝;（2）负数集:｛ …｝;（3）整数集:｛ …｝;（4）分数集:｛ …｝;（5）非负整数集:｛ …｝.19. 把下列各数填入相应的大括号里:2018,3%,95,0,7.8,31,5.0,55.3,1-----. 负整数集:｛ …｝; 非负整数集:｛ …｝; 正分数集:｛ …｝; 负分数集:｛ …｝.。
第二章 有理数的运算(教案)人教版(2024)数学七年级上册
第二章有理数的运算2．1有理数的加法与减法2．1.1有理数的加法(2课时)第1课时有理数的加法1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性．2．能运用该法则准确进行有理数的加法运算．3．经历探索有理数加法法则的过程，理解并掌握有理数加法的法则．重点了解有理数加法的意义，会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算．难点有理数加法中的异号两数如何进行加法运算．一、导入新课师：我们已学过正数的加法，但是在实际问题中还会遇到超出正数范围的加法情况，此时应该怎样进行计算呢？二、探究新知一个小球作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正．师：根据题意列出对应的式子：(1)如果小球先向右运动3米，再向右运动5米，那么两次运动后总的运动结果是什么？(2)如果小球先向左运动5米，再向左运动3米，那么两次运动后总的结果是什么？加数加数和（＋3）＋（＋5）＝＋8,(－5)＋(－3)＝－8)师：你从上面的两个算式中发现了什么？归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．(3)如果小球先向右运动5米，再向左运动3米，那么两次运动后总的结果是什么？(4)如果小球先向右运动3米，又向左运动5米，两次运动后小球从起点向__左__运动了__2__米．加数加数和（＋5）＋（－3）＝＋2,(＋3)＋(－5)＝－2)师：你从上面的两个算式中发现了什么？归纳：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．(5)小球先向右运动5米，再向左运动5米，小球从起点向__左(右)__运动了__0__米．师：观察，你又有什么发现？归纳：互为相反数的两个数相加得0.总结归纳：有理数加法的法则是：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0.3．一个数与0相加，仍得这个数．三、课堂练习试一试身手：口答下列算式的结果：(1)(＋4)＋(＋3)；(2)(－6)＋(－5)；(3)(＋3)＋(－7)；(4)(＋9)＋(－4)；(5)(＋8)＋(－8)；(6)(－3)＋0；(7)0＋(＋2)；(8)0＋0.【答案】(1)7(2)－11(3)－4(4)5(5)0(6)－3(7)2(8)0学生逐题口答后，师生共同得出．方法总结：1．先判断类型(同号、异号等)；2．再确定和的符号；3．最后进行绝对值的加减运算．教师：出示教材例1，师生共同完成，教师规范写出解答，注意解答过程中讲解对法则的应用．解：(1)(－3)＋(－9)(两个加数同号，用加法法则的第1条计算)＝－(3＋9)(和取负号，把绝对值相加)＝－12.(2)(－4.7)＋3.9(两个加数异号，用加法法则的第2条计算)＝－(4.7－3.9)(和取负号，用大的绝对值减去小的绝对值)＝－0.8.教师点评法则运用过程中的注意点：先定符号，再算绝对值．下面请同学们计算下列各题以及教材第28页练习．(1)(－0.9)＋(＋1.5)；(2)(＋2.7)＋(－3)；(3)(－1.1)＋(－2.9).学生练习，四位学生板演，教师巡视指导，学生交流，师生评价．本节课教师可根据时间的情况，多安排一些练习，以求通过练习达到巩固掌握知识的目的．四、课堂小结五、课后作业教材P28练习第1，2，3，4题．本节课主要是让学生感知研究数学问题的一般方法(分类、辩析、归纳、化归等).如在探究加法法则时，有意识地把各种情况先分为三类(同号、异号、一个数同0相加)；在运用法则时，当和的符号确定以后，有理数的加法就转化为算术的加减法．第2课时有理数加法的运算律及运用1．正确理解加法交换律，结合律，能用字母表示运算律的内容．2．能运用运算律较熟悉地进行加法运算．重点有理数加法运算律的运用．难点能运用有理数加法运算律来简化加法运算．一、导入新课问题1：在小学中我们学过哪些加法的运算律？加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).问题2：加法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围？二、探究新知探究活动(一)1．计算(口算)：(1)39＋15＝__54__，15＋39＝__54__；(2)(－98)＋(－12)＝__－110__，(－12)＋(－98)＝__－110__；(3)(－24)＋(＋24)＝__0__，(＋24)＋(－24)＝__0__；(4)(－23)＋(＋17)＝__－6__，(＋17)＋(－23)＝__－6__．问题3：通过以上的运算结果，你发现了什么？归纳加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变，加法交换律：a＋b＝b＋a.探究活动(二)2．填空：(1)(－15)＋(＋26)＋(＋9)＝[__(－15)__＋__(＋26)__]＋(＋9)＝(－15)＋[__(＋26)__＋__(＋9)__]＝__20__．(2)(－2)＋(－12)＋(＋12)＝[__(－2)__＋__(－12)__]＋(＋12)＝(－2)＋[__(－12)__＋__(＋12)__]问题4：请你们猜想一下结合律在有理数加法中仍然成立么？使用这些运算律有什么好处呢？请小组开始讨论．归纳加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).师生共同分析运用加法交换律和结合律进行计算，教师要给出规范完整的过程，让学生看清楚听明白，从中体会认识运算律的作用．例1 计算：16＋(－25)＋24＋(－35). 【答案】－20 例2 灵活运用运用加法交换律和结合律做简便运算 (1)(－25)＋(＋56)＋(－39)＋(＋28)； (2)(－1.9)＋3.6＋(－10.1)＋1.4；(3)13 ＋(－34 )＋(－13 )＋(－14 )＋1819 ； (4)(－337 )＋12.5＋(－1647 )＋(－2.5).【答案】(1)20 (2)－7 (3)－119(4)－10问题：回顾以上各题的解答，思考：将怎样的加数结合在一起，可使运算简便？ 总结归纳：1．一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2．有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3．有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加. 师投影展示教材例3.学生独立解决．(一般来说学生会直接进行计算，不会想到第二种解法，在学生完成以后教师再提出以下问题)如果每袋小麦以90千克为标准，超过部分记为正，不足部分记为负数，那么10袋小麦对应的数分别为多少？它们的和是不是最终结果呢？学生讨论后解决．教师在这一过程中应当关注学生能否理解这种解法，学生在计算中能否自觉运用运算律解决问题．根据情况可对这一题和这种解法进行板书或讲解．三、课堂练习 1．计算：(1)23＋(－17)＋6＋(－22)；(2)(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).2．上周五股民新买进某公司股票1 000股，每股35元，下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位：元)【答案】1.(1)－10 (2)－3 2.34元 四、课堂小结1．谈谈你本节课的收获．2．在生活中你有没有遇到过类似例3中解法2解决问题的数学现象，你能举出一两个例子吗？五、课后作业教材P30练习第1，2，3题．本节课在开始时先复习小学时学的加法运算律，然后提出问题：“我们如何知道加法的运算律在有理数范围内是否适用？”接着让学生通过一些实际例子来验证．尤其是鼓励学生多举一些数来验证，其意义首先是为了避免学生产生片面认识，以为从几个例子就可以得出普遍结论；其次也让学生了解结论的重要性．2.1.2有理数的减法(2课时)第1课时有理数的减法1．掌握有理数的减法法则；2．能运用有理数的减法法则进行运算；3．渗透转化思想，培养运算能力．重点有理数的减法法则．难点有理数减法法则的推导．一、导入新课师：出示温度计，提出问题：1．你能从温度计上看出5℃比－5℃高多少度吗？2．你能列式求这个结果吗？学生观察后先回答问题1得出结果，然后再列出算式5－(－5)＝10.二、探究新知1．探究有理数的减法法则师：这里的计算用到了有理数的减法，通过观察我们知道了5－(－5)＝10，而我们还知道5＋(＋5)＝10.即5－(－5)＝5＋(＋5).观察这个式子，你有什么发现？学生进行讨论，教师不必急于归纳．然后教师进一步提出问题．计算：9－8，9＋(－8).15－7，15＋(－7).观察比较计算的结果，你有什么发现？师生共同归纳有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数用符号表示：a－b＝a＋(－b).注意：减法在运算时有2个要素要发生变化： ①减号变加号；②减数变成它的相反数． 三、课堂练习师：出示教材P32例4. (1)(－3)－(－5)； (2)0－7；(3)7.2－(－4.8)； (4)(－312 )－514.【答案】(1)2 (2)－7 (3)12 (4)－834计算(口答)： (1)6－9；(2)(＋4)－(－7)； (3)(－5)－(－8)； (4)(－2.5)－5.9； (5)1.9－(－0.6)； (6)－25 －(45 )；(7)0－(－5)； (8)0－5.【答案】(1)－3 (2)11 (3)3 (4)－8.4 (5)2.5 (6)－65(7)5 (8)－5师生共同完成．在完成过程中教师示范前两题，给学生一个规范的过程，同时结合法则讲解法则的运用，剩下两题学生尝试完成，体验法则的运用．练习：教材32页练习． 四、课堂小结小结：谈谈本节课的收获． 思考：以前我们只能做被减数大于减数的减法运算，现在你能做被减数小于减数的减法运算吗？这时的差是一个什么数？五、课后作业教材P32练习第1，2题．本节在引入有理数减法时花了较多的时间，目的是让学生有充分的思考空间与时间进行探索．法则的得出，是在经历从实际例子(温度计上的温差)到抽象的过程中形成，减法法则的归纳得出是本节课的难点，在这个过程中，教师适时、适度的引导，也体现教师是学生学习的引导者和伙伴的新型师生关系．第2课时 有理数的加减混合运算1．熟练掌握有理数的加法和减法运算法则；2．能进行有理数的加减混合运算，培养学生的计算能力．重点1．有理数的加减混合运算；2．将加减法统一成加法的省略括号的形式并读出来．难点1．有理数的加减混合运算；2．将加减法改写成省略括号和加号的形式并读出来．一、导入新课一口深3.5米的深井，一只青蛙从井底沿井壁往上爬，第一次爬了0.7米又下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25米又下滑了0.2米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米．问题：小青蛙爬出井了吗？学生回答．二、探究新知师：投影展示教材例5.计算(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7).学生完成．说明：学生可以按照从左到右的运算顺序去进行计算．在这一过程中本身也需要将减法统一成加法，可以先让学生感受这一方法．师：提出新的问题，可否将其先统一成加法，然后再进行运算？学生讨论后回答．师：让学生尝试新的思路，然后与刚才的方法相比较．师：进一步提出，在刚才的过程中你是否注意到了加法运算律的应用．让学生再重新尝试做一做．之后师生共同归纳方法：有理数加减法的混合运算可以统一成加法运算.探索统一成加法以后的省略括号的书写形式及读法．师：出示例子(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)并指出，这个式子是否可看作－20，3，5，－7这四个数的和，为书写简便，可以写成省略括号和加号的形式：－20＋3＋5－7.可以读作(1)负20，正3，正5，负7的和．(2)负20加3加5减7.注意让学生理解这两种读法，尤其是第一种，学生可能不习惯，但在后面讲到多项式时还会涉及类似的问题．例6计算：14－25＋12－17.解：14－25＋12－17＝14＋12－25－17＝26－42＝－16.探究：在数轴上，点A，B分别表示数a，b.对于下列各组数a＝2，b＝6；a＝0，b＝6；a＝2：b＝－6；a＝－2，b＝－6.(1)观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？(2)利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点A，B之间的距离吗？一般地，你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？三、课堂小结小结：谈谈你这节课的收获．四、课后作业教材P34练习第1，2题．在学生的合作交流、探求新知过程中，首先让学生考虑运算顺序的问题，这是所有混合运算必需首先解决好的问题，然后再从引例的角度遵循减法法则，让学生尝试将加减混合运算统一为加法运算；通过运算的比较，让学生感受到其中的必要性，而在整个探索活动中都充满着学生与学生之间的交流合作，给学生以充分发表意见的机会；让学生在自己与同伴的合作中去发现与探究．同时也注意引导学生的思维方向，渗透了转化的思想．2.2有理数的乘法与除法2．2.1有理数的乘法(2课时)第1课时有理数的乘法1．掌握有理数的乘法法则；2．能利用乘法法则正确进行有理数乘法运算．重点运用有理数的乘法法则正确进行计算．难点有理数乘法法则的探索过程及对法则的理解．一、导入新课师：由于长期干旱，水库放水抗旱，每天水位下降2米，已经放了3天，现在水位20米，问放水抗旱前水库水位多少米？生：26米师：能写出算式吗？生：……师：这涉及有理数乘法运算法则，正是我们今天需要讨论的问题．二、探究新知1．(1)教师出示以下问题，学生以组为单位探索.a．观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？3×3＝9，3×2＝6，3×1＝3，3×0＝0.规律：随着后一乘数逐次递减1，__积逐次递减3__．b．要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：3×(－1)＝－3，3×(－2)＝__－6__，3×(－3)＝__－9__．c．观察下面的算式，你又能发现什么规律？3×3＝9，2×3＝6，1×3＝3，0×3＝0.规律：__左右两个因数相乘，其中一个因数为3，若另一个因数逐次减少1，乘积也相应减少3__．d．要使c中的规律在引入负数后仍成立，那么应有：(－1)×3＝__－3__，(－2)×3＝__－6__，(－3)×3＝__－9__．(2)以小组为单位对以上问题从符号和绝对值两个角度进行观察总结归纳，得出正数乘正数，正数乘负数，负数乘正数的规律．(3)利用(2)中的结论计算下面的算式，你又发现了什么规律？(－3)×3＝__－9__，(－3)×2＝__－6__，(－3)×1＝__－3__，(－3)×0＝__0__．规律：__随着后一乘数逐次减1，积逐次加3__．(4)按照(3)中的规律，填空，并总结归纳．(－3)×(－1)＝__3__，(－3)×(－2)＝__6__，(－3)×(－3)＝__9__．结论：__负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积__．2．师生共同归纳总结有理数的乘法法则，并用文字叙述．(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．(2)任何数同0相乘，都得0.讨论：(1)若a＜0，b＞0，则ab＜0；(2)若a＜0，b＜0，则ab＞0；(3)若ab＞0，则a，b应满足什么条件？(4)若ab＜0，则a，b应满足什么条件？3．运用法则计算，巩固法则．教师出示教材例1，师生共同完成，学生口述，教师板书，要求学生能说出每一步依据．教师出示例2，引导学生完成．4．倒数计算并观察结果有何特点？(1)12×2； (2)(－0.25)×(－4). 【答案】(1)1 (2)1要点：有理数中，乘积是1的两个数互为倒数． 思考：数a (a ≠0)的倒数是什么？(a ≠0时，a 的倒数是1a)巩固：口答，说出下列各数的倒数：1，－1，13 ，－13 ，5，－5，0.75，－213 .例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1 km ，气温的变化量为－6℃，攀登3 km 后，气温有什么变化？解：(－6)×3＝－18. 答：气温下降18℃. 三、课堂练习 计算： (1)4×(－9)； (2)－11×5； (3)(－0.3)×(－0.6)；(4)(－12 )×23 ；(5)－98×0； (6)(－0.2)×(－13).【答案】(1)－36 (2)－55 (3)0.18 (4)－13 (5)0 (6)115四、课堂小结1．有理数乘法法则；2．有理数乘法的求解步骤； 3．乘积是1的两个数互为倒数． 五、课后作业教材P40练习第1，2，3题．本节课在引入时采用形象生动的多媒体课件，先激起学生的兴趣，使学生能在兴趣的指引下逐步开展探究．在引例中把表示具有相反意义量的正负数在实际问题中求积的问题，与小学算术乘法相结合，通过直观演示与多媒体结合，采用小组讨论合作学习的方式得出法则．第2课时 有理数乘法的运算律及多个有理数相乘1．正确理解乘法交换律、结合律和分配律，能用字母表示运算律； 2．能运用运算律较熟练地进行乘法运算； 3．掌握多个有理数相乘的运算方法．重点1．掌握多个有理数相乘的计算方法以及乘法运算律，能运用乘法运算律进行简便运算．2．运用有理数的乘法解决问题．难点逆用乘法分配律进行简便运算．一、导入新课1．有理数的乘法法则是什么？2．小学时候大家学过乘法的哪些运算律？二、探究新知1．提出问题，激发学生探索的欲望和学习积极性.计算(－5)×89.2×(－2)的过程能否使用简便方法，这样做有没有依据？小学里数的运算律在有理数中是否适用？2．导入运算律：(1)通过计算①5×(－6)，②(－6)×5，比较结果得出5×(－6)＝(－6)×5.(2)用文字语言归纳乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．(3)用公式的形式表示为：ab＝ba.这里的a，b表示有理数，讲解“a×b→a·b→ab”的过程．(4)分组计算，比较[3×(－4)]×(－5)与3×[(－4)×(－5)]的结果，讨论，归纳出乘法结合律．用文字语言归纳：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等．用公式的形式表示为：(ab)c＝a(bc).(5)全班交流，规范结合律的两种表达形式：文字语言、公式形式．(6)分组计算、比较，5×[3＋(－7)])与5×3＋5×(－7)的结果，讨论归纳出分配律．用文字语言归纳：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．用公式的形式表示为：a(b＋c)＝ab＋ac.(7)一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad.3．几个不为0的数相乘：确定下列积的符号，试分析积的符号与各因数的符号之间有什么规律？2×3×(－0.5)×(－7)，2×(－2)×(－0.5)×(－7)，(－2)×(－3)×(－0.5)×(－7).当负因数个数为奇数时，积为__负__；当负因数个数为偶数时，积为__正__．结论1：几个不等于0的数相乘，积的符号由__负因数的个数__决定；结论2：有一个乘数为0，则积为__0__；三、课堂练习下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？1．(－4)×8＝8×(－4).乘法交换律：a×b＝b×a.2．[(－8)＋5]＋(－4)＝(－8)＋[5＋(－4)]. 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ). 例3 用两种方法计算 (14 ＋16 －12)×12. 比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法运算量小？计算：－47 ×3.59－47 ×2.41＋47×(－3).师：这道题直接进行计算显然比较麻烦，同学们想一想，有没有简便方法呢？生：同学相互讨论完成． 四、课堂小结小结：这节课你有什么收获？ 1．乘法的运算律；2．多个有理数相乘积的符号规律． 五、课后作业教材P43练习第1，2题．新课引入设计，期望使学生始终处于积极的思维状态，学生利用已有的知识与经验引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题环境中．在探求新知的过程中，给学生充分的思考，讨论和发挥的机会，让他们始终处于主动愉悦的学习状态，对探究新知具有新鲜感和满腔热情，借助于多媒体手段，生动直观地分析问题．2.2.2 有理数的除法(2课时)第1课时 有理数的除法1．了解有理数除法的定义；2．经历有理数除法法则的探索过程，会进行有理数的除法运算； 3．会化简分数．重点正确运用除法法则进行有理数的除法运算． 难点怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商．一、导入新课1．有理数的乘法法则；2．有理数乘法的运算律：乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律； 3．倒数的意义． 学生回答以上问题． 二、探究新知(一)有理数除法法则的推导师提出问题：根据“除法是乘法的逆运算”填空： (－4)×(－2)＝8 → 8÷(－4)＝____； 6×(－6)＝－36 → －36÷6＝____； (－35 )×(45 )＝－1225 → －1225 ÷(－35)＝____； －8×9＝－72 → －72÷9＝____.问题：上面各组数计算结果有什么关系？由此你能得到有理数的除法法则吗？ 与小学学过的除法法则一样，对于有理数除法，得到有理数除法法则(一)： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 用字母表示为a ÷b ＝a ·1b(b ≠0).师指出，有理数除法法则(二)：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，零除以任何一个不等于0的数，都得0.教师点评：法则(1)所揭示的内容告诉我们，有理数除法与小学时学的除法一样，它是乘法的逆运算，是借助“倒数”为媒介，将除法运算转化为乘法运算进行(强调，因为0没有倒数，所以除数不能为0)；法则(2)揭示有理数除法的运算步骤：第一步，确定商的符号；第二步，求出商的绝对值．(二)有理数除法法则的运用 教师出示教材例4. 计算： (1)(－36)÷9；(2)(－1225 )÷(－35). 师生共同完成，教师注意强调法则：两数相除，先确定商的符号，再确定商的绝对值． 教师出示教材例5. 化简下列分数： (1)－123 ；(2)－45－12. 教师点拨：(1)符号法则；(2)一般来说，在能整除的情况下，往往采用法则的后一种形式，在确定符号后，直接除．在不能整除的情况下，则往往将除数换成倒数，转化为乘法．三、课堂练习 计算： (1)24÷(－6)；(2)(－4)÷12 ；(3)0÷34 ；(4)(－78 )÷(－47).【答案】(1)－4 (2)－8 (3)0 (4)4932教师分析，学生口述完成． 四、课堂小结小结：谈谈本节课的收获．(有理数的除法法则) 五、课后作业教材P45练习第1，2题，P48习题第6，8题．学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用．让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象，并应该讲清楚除法的两种运算方法：1.在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则(二)计算；2.在多个有理数进行除法运算，或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法．然后统一用乘法的运算律解决问题．第2课时 有理数的加减乘除混合运算1．掌握有理数加、减、乘、除运算的法则，运算顺序，能够熟练运算； 2．能运用法则解决实际问题．重点有理数四则混合运算的方法与技巧 难点如何按有理数的运算顺序，正确而合理地进行计算．一、导入新课问题1：小学的四则混合运算的顺序是怎样的？ 问题2：我们目前都学习了哪些运算？ 二、探究新知教师投影出示教材P45页例6 (1)(－12557 )÷(－5)；(2)－2.5÷58 ×(－14).你能尝试解决这两个问题吗？学生尝试解决，然后交流，师生再共同分析．教师提出问题，进行有理数的乘除混合运算，运算顺序是怎样的？学生讨论后回答：乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算)问题1：下列式子含有哪几种运算？先算什么，后算什么？归纳：有理数混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的运算．三、课堂练习教师投影展示教材P46例7.教师先示范(1)，然后学生口述，教师板书师生共同完成(2).过程中注意联系讲解法则的运用．教师出示例8.例8某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？提示，可记盈利为正数，亏损为负数．本例题教师可让学生上黑板板演，以便发现学生的问题，及时讲解和纠正．教师布置学生练习：教材47页练习题．学生独立完成，然后同学交流，教师安排学生板演．布置自学任务，使用计算器进行计算，教师布置学生互相交流，然后完成教材47页练习3.四、课堂小结小结：说说你本节课的收获．五、课后作业教材P47习题2.2第4，9，10题．在练习过程中，学生所表现出来的问题比较多，一是运算顺序出现问题；二是符号出现问题，尤其是两个负数相加经常和乘法中的负负得正混淆，异号两数相加也往往弄错符号．究其原因还是因为没有完全熟练掌握，形成能力．因此，在教给学生解题方法的同时，还要着重强调易错点，不断加强训练，才能确保计算准确无误．2.3有理数的乘方2．3.1乘方(2课时)第1课时有理数的乘方1．理解有理数乘方的意义；2．能正确进行有理数乘方运算；3．让学生经历探索乘方的有关规律的过程．重点理解有理数乘方的意义．难点理解有理数乘方的意义，熟练进行有理数的乘方运算．一、导入新课师：我们知道，边长为2 cm的正方形的面积为2×2＝4(cm2)；棱长为2 cm的正方体的体积为2×2×2＝8(cm3).2×2，2×2×2都是相同因数的乘法．生思考回答，为了简便，我们可以将它们记作什么，读作什么？同样：(－2)×(－2)×(－2)×(－2)记作什么？读作什么？(－25)×(－25)×(－25)×(－25)×(－25)记作什么？读作什么？a·a·a·a·a·a可以记作什么？读作什么？学生讨论交流后教师进一步提出：师：怎么表示a·a·…·a,\s\do4(几个a)) (n为正整数)呢？生归纳总结：可以记作a n，读作a的n次方．师：对于a n中的a，不仅可以取正数，还可以取0和负数，也就是说，a可以取任意有理数，这就是我们今天研究的课题：有理数的乘方(板书).二、探索新知师：求n个相同因数的积的运算，叫作乘方．乘方的结果叫作幂，相同的因数叫作底数，相同的因数的个数叫作指数．一般地，在a n中，a取任意有理数，n取正整数．注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．a n看做是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂，一个数可以看做是它本身的1次方．师：出示教材例1.提出问题：怎样进行乘方的运算，你能根据乘方的意义进行上面这个例题的运算吗？学生进行交流讨论，尝试解决．然后师生共同完成例1.师：进一步提出问题：观察以上运算的结果，你发现负数的幂的正负有什么规律？。
北师大版七年级数学上册教学设计《第二章有理数及其运算2.1有理数》
北师大版七年级数学上册教学设计《第二章有理数及其运算2.1有理数》一. 教材分析《北师大版七年级数学上册》第二章“有理数及其运算”是整个初中数学的基础，而2.1节“有理数”更是这一基础中的基础。
本节内容主要介绍了有理数的定义、分类和基本性质，为后续的数的运算、方程的求解等知识点奠定了基础。
本节课的内容对于学生来说，不仅需要理解和掌握有理数的概念，还需要培养他们的逻辑思维能力和数学语言表达能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数的概念有一定的了解。
但是，对于有理数的定义、分类和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握有理数的概念，并能够运用有理数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解有理数的定义，掌握有理数的分类和基本性质。
2.能够运用有理数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
3.培养学生逻辑思维能力和数学语言表达能力。
四. 教学重难点1.有理数的定义和分类。
2.有理数的基本性质。
3.有理数的运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究有理数的定义和性质。
2.利用实例和实际问题，让学生感受有理数在生活中的应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用有理数解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用问题驱动的方式，引导学生回顾实数的概念，进而引出有理数的定义。
例如：“你们知道实数包括哪些类型吗？那么有理数是实数的一部分，它又是怎样的数呢？”2.呈现（15分钟）通过讲解和示例，呈现有理数的定义、分类和基本性质。
在此过程中，引导学生积极参与，主动提问，以理解有理数的概念。
3.操练（15分钟）让学生通过解决实际问题，运用有理数进行计算。
例如：“小明有2.5个苹果，小华给了小明1个苹果，请问小明现在有几个苹果？”4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生进一步巩固有理数的定义和性质。