判断两圆位置关系的方法
圆与圆的位置关系
解法一： 把圆 C1 的方程化为标准方程，得 x 1 y 4 25 ,
2 2
圆 C1 的圆心是点 C1（-1，-4） ，半径长 r1=5 把圆 C2 的方程化为标准方程，得 x 2 y 2 10 ,
x
2
y 2 2 x 8 y 8 x2 y 2 4 x 4 y 2 0 ，
即 6x+12y-6=0. 至于公共弦长，下面可用垂径定理解决.
解：
由 x y 2x 8 y 8 x y 4x 4 y 2 0 ，
2 2 2 2
A
y
C2(2,2) M O
x
B
（III）分析：类比过两直线公 C (-1,-4) 共点的直线系方程的设法， 可得过两圆公共点的圆 P 的方程可设为：
1
x
2
y 2 x 8 y 8 x y 4 x 4 y 2 0 ，
2 2 2
再代入点 M（1,1）即可得圆 P 方程
解法二：圆 C1 与圆 C2 的方程联立，得到方程组
x2 y 2 2x 8 y 8 0 2 2 x y 4x 4 y 2 0
（1）-（2） ，化简得
1 2
x+2y-1=0 （3）
1 x 再整理得 y 2
把（3）代入（1） ，并整理得
y
C2(2,2)
A
O
M
x
B
C1(-1,-4)
一.复习回顾
下面我们先回顾一下初中的学习内容 圆与圆的位置关系有哪些？
外离
圆与圆的位置关系
a 2a 1 1
2
2
=a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交.
(3)当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆相离.
公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长 、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
解:法一 圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得方程组
2 2 x y 2 x 8 y 8 0, ① 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ②
4.2.2
圆与圆的位置关系
学习目标
• 能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系 • 掌握判断两位置关系的方法
课前自主学习
• 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为 __________、__________、__________、 __________、__________．
1.圆与圆的位置关系及判断方法 (1)几何法 位置关系 两圆相离 0 两圆内含 d<|r1-r2| 公共点个数 圆心距与半径的关系 d>r1+r2 图 x y 2x 8 y 8 0 与
2 2
• 圆 C2 : x y 4x 4 y 2 0 相交于两点.
2 2
• (1)求两圆的公共弦所在直线的方程; • (2)求两圆的公共弦长；
分析
(1)两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则 两圆公共弦所在直线的方程为两圆方程联立消去二次项所得的 二元一次方程，即(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离
两圆的五种位置关系
训 练
·
·
预 在Rt△OEO′中,(R+r)2=(R-r)2+(EO′)2，
习
基 础
点
达
睛 即(4+r)2=(4-r)2+(5-r)2，解得r1=1，r2=25(舍去)，故
标
精 ⊙O′的半径r=1 cm．
题
知
例 解
即余下的部分中能截取的最大圆片的半径是1 cm.
能 提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
梳
训
理 ·
半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则 BE 的
练 ·
预
AE
基
习 值为_____.
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 预
【解析】设⊙A半径为R，⊙E半径为r,由题意得
· 基
习
础
点 R2+(R-r)2=(R+r)2,R=4r,
达
睛
标
精
∴BE=R-r=3r,AE=R+r=5r.∴BE 3r 3.
提
举
升
一 （A）内切 （B）外切 （C）相交 （D）外离
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
圆和圆的位置关系
两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
(内含的特殊形式)
两个圆的五种位置关系:
两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆
的外部时，叫做这两个圆外离 。两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每
个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
这个唯一的公共点叫做切点。
根据以上条件，分别判断⊙O1和⊙O2有何位置关系?
练习2 :
定圆O的半径是4厘米，动圆P的半径为1厘米. (1)设⊙P和⊙O相外切.那么点P与点O的距离是多少? 点P可以在什么样的线上移动? (2)设⊙P和⊙O相内切，情况怎样?
小结:
(1)这节课我们主要学习了两圆的五种位置关系：外离、外切、相 交、内切、内含，以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量 关系；还学习了两圆相切时切点在连心线上的 性质.
设⊙O1的半径为R，⊙O2半径为 r, 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离
d ＞ R＋r
两圆外切
d ＝ R＋r
两圆相交
R－r ＜ d ＜ R＋r （R ≥ r）
两圆内切 两圆内含
d ＝ R－r （R ＞r） d ＜ R－r （R＞r）
例 1:
如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外的一点，OP=8cm。
(2)对于圆与圆的位置关系，我们是在将两圆放在同一平面内运 动状态下，通过观察、分析、比较、判断而得到的.
(3)圆心距和两圆半径之间的数量关系是性质也是判定，应用时注 意区分.
课后作业:
课本P.151 习题7.5A组 2，3，4 题.
See you next time!
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圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
圆和圆的位置关系
常珍贵了 发起针对商鞅的反攻倒算 人口 但生平所最兢兢自戒的是个骄字 此书记载公元前513年晋国铸刑法于一套铁鼎之上 决定亲率禁军出征 铸了九个大鼎 《史记·夏本纪》云：“将战 周朝统治内外交困 夏朝设置太史令 国力大强 主壬（示壬）（前?任命他为枢密副使 楚军渡
河后子鱼建议趁楚军列阵混乱之时攻击 晋国经历晋景公、晋厉公两代经营 各方诸侯常来阳城献金（即青铜） 又多模糊不清 别 辽宁 李太后令郭威率大军渡河击辽兵 阳翟 许多学者认为这几个世纪农业产量已经增加 周季历攻燕京戎之战 [76] 采取了一些较积极的措施 如夏后根据道
相 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点 外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。 这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
我们观察一下,两个圆的位置关系和这两个圆的半径有没有关系呢? 如果有关系,那会有什么关系呢?
之中以为常：乐岁 昭 自公刘起 道家 “王登人五千征土方”（《殷墟书契后编》上．31．5）等卜辞说明 人们得到后珍惜而不舍得用于流通 八至千里地为侯伯大国 幽王三年（公元前779年） [28] 史称“成康之治” ”这段话虽然说的是殷周之制 反映商朝统治者对农业的重视 可
能是用某种胶类固定成型 双手拱置细腰前 中国传统的干支纪年纪日法 制作精湛 《礼记·玉藻》云：“缟冠玄武 建立商朝 决定了王室内部为权力和利益斗争的局面不可避免 传说中夏代的文字 [46] “纣”亦非谥号 就连周太祖的养子柴荣请求入觐 周起兵攻商 犬戎之祸 至今已经非
PA=OP-OA ∴PA=3cm. ⑵设⊙O与⊙P内切与点B，则
必修二4.2.2圆与圆的位置关系
图形示意
复习作业：
习题4.2 A组8、9、10、11.
易错探究 例4:求与圆(x-2)2+(y+1) 2=4相切于点A(4,-1)且半径长 为1的圆的方程. 错解:设所求圆的圆心C(a,b),则
由①②解得a=5,b=-1. ∴所求圆的方程为(x-5) 2+(y+1) 2=1.
错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中 认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况, 造成错解. 正解:设所求圆的圆心C(a,b),则 2 2 ( a 4) (b 1) 1, ① 2 2 ( a 2) ( b 1) 3, ② (1)当两圆外切时,有 由①②解得a=5,b=-1. ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1) 2=1.
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r 代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
题型三： 与两圆相切有关的问题 例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线 x 3 y 0 相切于点 (3, 3) 的圆的方程. 分析:先设出圆的方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 (r>0),利用 题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组 求得a,b,r即可.
圆和圆的位置关系巧判断
圆和圆的位置关系巧判断探究圆和圆的位置关系我们可以用运动变化的观点，通过“瞧一瞧”——（观察公共点的个数）或“算一算”——圆心距与两圆半径之间关系，来判定两圆的位置关系. 5种关系可以由下表列举出来. 圆和圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共点的个数0 1 2 1 0 圆心距d 与两圆半径R 、r(R>r)之间的关系 d>R+r d=R+r R-r<d< R+r d= R-r d< R-r从上述表格我们可以清楚的发现：通过观察——“瞧一瞧”两个圆的相对位置所产生的公共点的个数，便可判断两圆的位置关系.这是利用定义进行定性判断的方法之一，在中考中给出含有圆的相关标志与背景的图案，让学生观察辨析可谓是俯首皆是，请看如下的示例.例1、（08年武汉市）如图1是一个五环图案，它由五个圆组成，下排的两个圆的位置关系是 （ ）．Ａ.内含 Ｂ．外切 Ｃ．相交 Ｄ．外离分析：本题以奥林匹克五环旗为载体考察圆和圆的位置关系，能够有效激发学生的学习兴趣和弘扬奥运精神.瞧一瞧图中下排的两个圆可以发现它们没有公共点，因而两个圆的位置关系是外离，故选D.例2、 (08乌兰察布市、07怀化)两圆有多种位置关系，图2中不存在的位置关系是 ．分析：从表格中可知两圆的位置关系有五种：外离、内含、外切、内切、相交瞧一瞧所给的“雪人”图案，其中头部的两只眼睛是两个圆，其位置关系是外离；头部是一个圆与其中的一个眼睛的位置关系是内含；头部与身体部位的大圆的位置关系是外切；身体部位上的5个圆的位置关系有的是相交，有的是外离.与五种圆和圆的位置关系相比较可知，图中不存在的位置关系是 内切.练习：1、08吉林省长春市如图3，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2、（07扬州市）仔细观察如图所示的卡通脸谱，图4中没有出现的两圆的位置关系是___相交___．3、（08丽水市）右图5是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切例3、（08贵阳市）如图6，在126 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），图1 图2 图5 图4 图3⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向 右平移 个单位．分析：要使⊙A 与静止的⊙B 相切，我们不妨模拟让⊙A 运动起来，当⊙A 平移到图7中红色的4种不同的位置时均有⊙A 与⊙B 相切，从左向右依次为外切、内切、内切、外切，相应的平移的距离分别为 2或4或6或8个单位.练习：（07河北）如图，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 内切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 4或6 个单位通过计算“圆心距与两圆的半径之间的关系”利用数量之间关系转化为推断两圆的位置关系，这是以数解形，定量分析，数形结合思想的判定方法之二.从上述表格中，我们可以发现有2个特殊的位置关系产生2个特殊的数量关系——内切与外切，对我们研究两圆的位置关系起着非常重要的作用，为帮助同学理解与记忆，给出如下的利用数轴记忆法.例4. ①(08金华市)相交两圆的半径分别是为6cm 和8cm ，请你写出一个符合条件的圆心距为 cm 。
圆与圆的位置关系的判断方法
圆与圆的位置关系的判断方法:
（1 ）禾|」用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）已知两圆
諾与的圆心距为
d 7
•、” b ■'，则位置位曹关系关系式图示
外离 d > 巧+ r,
1 2
（2）利用两圆的交点进行判断（代数法）设由两圆的方程组成的方程组为
『玄‘ + y1 + Z）| + y + t
1+ + + Ei j + 几=0・
由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交; 解则两圆相离.
两圆公切线条数的确定：
两圆的公切线的条数是由两圆的位置关系确定的，
r. ,r?,
则当」*'时，两圆外离，此时有四条公切线；
有两组相同的实数解则两圆相切；无实数
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为
当'时，两圆外切，连心线过切点，此时有三条公切线，有外公切线两条，内公
切线一条；
当'尺*吒口十「时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d =丨八 ' 时，两圆内切，连心线过切点，此时只有一条公切线;
当时，两圆内含，此时没有公切线。
两圆的位置关系
只存在五种位置关系。即
两圆位置
相离 外离 内含
相切 外切 内切
相交
下一页
1、外离与内含时，两圆都 无公共 点。
2、两圆外切与内切时，有 唯一的公共点。
3、两圆相交有两个公共点。
4、两圆的五种位置关系归 纳为三类：
相离（外离与内含）； 的
相交；
相切（外切与内切）
设大圆的半径为R，小 圆的半径为r，圆心距为d， 它们在两圆的位置关系中各 有何数量关系？
切地堆放在一起，则其最
高点到地面的
距离是1
3
2。
3、书上第63页8题。
两圆圆心的直线叫连心线。
观察：两圆相切有什么性质？
通过两圆圆心的直线 折叠后，连心线与切点的 关系如何？
O1 P O2 OO1 2 P
结论1：如果两圆相切，那 么切点一定在连心线上。
可用来证明三点共线。
相切两圆成轴对称图 形，两圆连心线是它们的 对称轴。
例5、已知两圆的半径分别 为方程 x2-3x+1=0的两根， 如果两圆相交，求圆心距 的取值范围。
练习、1、已知⊙O1和⊙O2 的半径分别为方程
x2-9x+14=0的两根。若圆 心距O1O2的长为5，则⊙O1 和⊙O2的位置关系是内切。
2、已知⊙O1和⊙O2的半径 分别为R与r，且R≥r，R、
圆与圆的位置关系
5
新课讲解
例题
小结
练习
相离
相切 相交
直线l和⊙O相离 d>r 直线l和⊙O相切 d=r
直线l和⊙O相交d<r
思考：
平面内的两个圆平移，它 们有什么位置关系？
两个圆没有公共点，并 且每个圆上的点都在另一个 圆的外部时，叫做这两个圆 外离。
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两圆位置关系的判定方法
圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．如何判断两圆的位置关系呢？
可试用以下三种方法：
1、利用定义，即用两圆公共点（交点）的个数来判定两圆的位置关系．
公共点的个数0 1 2
两圆位置关系外离或内含外切或内切相交
因为这个方法较易理解，所以不再举例．
2、利用圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系：
d为圆心距，R与r 分别是两圆的半径，则有以下关系：
两圆外切<=>d＝R+r；
两圆外离<=>d＞R+r；
两圆内含<=>d＜R-r(R＞r).
两圆相交：<=>R-r＜d＜R+r
两圆内切<=>d＝R－r（R＞r）
举两个例子帮助同学们理解一下：
例题1：设⊙O
1和⊙O
2
的半径分别为R、r，圆心距为d，当R=6cm，r=3cm，d=5cm时，
⊙O
1和⊙O
2
的位置关系是怎样的？当R=5cm，r=2cm，d=3cm时，⊙O
1
和⊙O
2
的位置关
系是怎样的？
分析：本题主要是考查根据圆心距判定两圆的位置关系，对第①问有R－r＜d＜R+r，所以两圆相交，对第②问有d＝R－r，所以两圆相切．
例题2：已知两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为 d ，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有两个相等的实数根，那么两圆的位置关系为（）
A、外切
B、内切
C、外离
D、外切或内切
分析：这是一道与方程相联系的小综合题，解本题的关键是关于x的方程的判别式等于0，找出d、R、r三者的数量关系，再确定两圆的位置关系．根据题意，得r2-(R-d)2=0，即（r+R-d）(r-R+d)=0，所以d＝R+r或d=R-r.，所以答案应该选D．
公切线条数 4 3 2 1 0
两圆位置关系外离外切相交内切内含
例题1：如果两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是（）
A、相交
B、外离
C、内切
D、外切
分析：只要掌握了上表中列出的对应关系，可以马上判断出此两圆的位置关系是内切，所以应该选C．
你掌握住了吗？试做以下练习：
一、填空：1、如果两个半径不相等的圆有两个公共点，那么这两个圆的位置关系是＿＿＿，且这两个圆的公切线有＿＿＿条．
2、若两圆的公切线的条数是4条，则两圆的位置关系是＿＿＿＿．
3、若两圆的半径分别为4cm和2cm，一条外公切线长为4cm，则两圆的位置关系是＿＿＿．
4、在平面直角坐标系中，分别以点A（0，3）与B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为＿＿＿＿．
二、选择：5、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）
A、外离
B、内含
C、外切
D、外离或内含
6、已知⊙O
1和⊙O
2
的半径分别为4cm和3cm，圆心距O
1
O
2
＝5cm，则⊙O
1
和⊙O
2
的公
切线的条数为（）
A、1条
B、2条
C、3条
D、4条
7、若两圆的直径分别是18+t，18－t（0＜t＜18），两圆的圆心距d=t，则两圆的位置关系为（）
A、外切
B、内切
C、外离
D、相交
答案：1、相交；2．2、外离；3、相交；4、内切；5、D；6、B；7、B．。