圆周长弧长

例 半径为4cm ，50°的圆心角所对应的弧长是多少？ 解：设弧长为l cm ，∵n=50°， R=4，∴l π=⋅π⋅=910180450（cm ）． 说明：弧长公式的简单应用．例 已知：弧长为l ，它所对应的圆心角为120°，求这条弧所对应的弦长． 解：如图，∠AOB=120°，的长=l ，则l R 32180R 120π=⋅π⋅=，∴R=π23l ， 作OH ⊥AB 于H ，在Rt △AOH 中，∠A=30°，∴AH=AO ·cos30°=π433l ，∴AB=2AH=π233 l ． 答：这条弧所对应的弦长为π233 l ．说明：（1）灵活应用弧长公式、解直角三角形、锐角三角函数；（2）弧长公式l 180Rn π=中三个变量l 、n 、R ，知道其中任两个量，就可求出第三个量，其中n 没有单位，是圆心角的度数，l 与R 的单位一致．例 某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10cm 和30cm 的钢管，需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧．问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长(打结部分不计，结果化简后可用π和根式表示)?解： 设大、小管的轮廓线分别为⊙O l 和⊙O 2，如图所示．依题意，两圆外切，设切点为P ．两圆的外公切线与⊙O l 和⊙O 2分别切于A ，B ，E ，F ．连O l A ，O 2B ，作O 2C ⊥O l A 于点C ，则O l C=O l A-CA=O l A-O 2B=20，O l O 2=30+10=40．ABO HR在Rt △O l O 2C 中，3202040C O O O C O 22212212=-=-=．∴AB=320．又214020O O C O 211==，∴∠A O l O 2=60°，∠AO l E=120°． ∴的长=π=⋅π⋅4018030240．的长=π=⋅π⋅32018010120．∴钢丝的长=2AB+的长+的长=3202⨯π+40)3140340(320π+=π+∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要)3140340(π+（cm ）． 说明：本题综合应用圆与圆的有关知识．求公切线的长、弧长等知识．例 （福州市，2002）如图：四边形ABCD 是正方形，曲线DA l B l C l D l ……叫做“正方形的渐开线”，其中、、、、…的圆心依次按A 、B 、C 、D 循环，它们依次连接．取AB=l ，则曲线DA l B l …C 2D 2的长是 (结果保留π)． 分析：的长=π=⋅π⋅21180190，的长=π，的长=π23，的长=π2，……找出规律，可求．答案：18π．说明：本题不仅应用弧长公式，更重要地是利用了归纳法．典型例题五例 如图，︒=∠120AOB ，⊙O '的半径为r ，⊙O '与、OA 、OB 相切于点C 、D 、E ，求的长.O 1O 2AB CmFP A 1B 1C 1D 1A 2AB C D分析：要求的长，只需求出所在圆的半径即可.连结OC ，由⊙O '与相切知，C ，O '，O 三点共线，因r C O ='，故只需求O O '即可.为此连结E O '，则OE O '∆为∆Rt ，且r E O ='，︒='∠60OE O ，故O O '易求.解 连结OC ，E O '.⊙O '与相切于点C O '⇒在OC 上332rO O =' r O O C O OC )1332(+='+'=∴. ∴9)332(2180)1332(120r rππ+=+⋅=典型例题六例 已知如图，⊙O 与⊙O '外切于M 点，它们的外公切线AB 、CD 分别切⊙O '，⊙O 于A 、B 、C 、D ，且公切线AB 、CD 交于E 点，︒=∠120BOD求证：⊙O '的周长等于的长证明 连结E O '、OE 、A O 'EB Θ、ED 分别切⊙O 于B ，D ，切⊙O '于A 、CEO ∴平分BED ∠，O E '平分BED ∠，且EB A O ⊥'，EB OB ⊥，ED OD ⊥E ∴、O '、O 在一条直线上，︒=∠120BOD Θ，︒=∠∴60BED ，︒=∠30OEB ，O E A O '='∴21，EO OB 21=. Θ⊙O 与⊙O '外切于M ， M ∴在⊙O '上.OM M O O O +'='∴，设r M O ='，则r M O A O ='='.r E O 2='∴，r EM 3=EO OM OB 21==Θ， r EM OM OB 3===∴于是的长r rl ππ21803120=⨯⨯=又⊙O 的周长r C π2=l C =∴.典型例题七例圆心角60°，所对的弦长为a，则它所对的弧长为_____.解,302,60︒=︒=aaΘ.318060.,230sin aalaRRaππ=⨯=∴==︒∴说明：本题考查弧长计算公式，解题关键是依题意计算出弦长与半径的关系.典型例题八例如图，两皮带轮⊙1O与⊙2O外切于H，它们的半径分别是10和30.（1）求外公切线AB；（2）求皮带轮长.解（1）过1O作BOEO21⊥于点E，.401030,2010302221122=+=+==-=-=AOBOOOAOBOEO在Rt21EOO∆中，21sin21221==∠OOEOOEO，.3202040.60,120,30222121=-==︒=∠︒=∠︒=∠∴CDABDBOCAOOEO说明：本题考查弧长计算公式，公切线长在实际问题中的应用，解题关键是建立实际问题的几何模型.典型例题九例 （1）如图，ABCD 是正方形，的圆心在B 处，是以AC 为直径的半圆，设a AB =，则月牙形图的周长是（ ）.A ．a π422+ B ．a π212+ C ．a π45D ．a π2221+ （2）如图，两个半径为1的⊙1O 和⊙2O 外切，⊙O 与这两个圆都外切，切点分别是C B A ,,，且︒=∠90O ，则的长为（ ）.A ．π2B ．π22 C ．a π4122- D ．π2 解 （1）218090aa ππ==，连结AC ，则由勾股定理得a AC 2=，故的长a a ππ22221=⋅⋅=.选B. （2）设⊙O 的半径为x ，在Rt O O O 21∆中，O O O O 21=，由勾股定理得4)1()1(22=+++x x ，解得12-=x .于是的长ππ212180)12(90-=-=，的长＝的长＝4180145ππ=⨯⨯.选B.说明：本题考查弧长的计算，解题关键在综合应用相关知识（如勾股定理等）求解.选择题1．已知一弧的度数为︒36，半径为cm 2，则该弧长度（精确到.1cm 0）为（） A ．.1cm 1B ．.2cm 1C ．.3cm 1D ．.4cm 12．若半径为cm 5的一段弧长等于半径为cm 2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（） A ．︒18B ．︒36C ．︒72D ．︒1443．在半径为cm 12的圆中，︒150的圆心角所对的弧长等于（） A ．cm 24πB ．cm 12πC ．cm 10πD ．cm 5π4．已知弧长cm 4=l ，它所对的圆心角为︒120，那么它所对的弧长为（） A ．cm 33B ．cm 23C ．cm 36D ．cm 265．在半径为1的⊙O 中，弦1=AB ，则AB 的长是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 参考答案：1．C 2. D 3. C 4. C 5. C.填空题1. 周长12πcm 的⊙O ，其内接正六边形的边长是 ．2. 圆心角为30°，半径为R 的弧长为 ．3. 圆周长为6π，则60°圆心角所对应的弧长为 ．4. 在半径为1cm 的圆中，弧长为32π的弧所对应的圆周角为 ． 5. 在⊙O 中，如果120°的圆心角所对应的弧长为34π，则⊙O 的半径为 ．6. 如果⊙O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ．7. 已知︒100的圆心角所对的弧长为cm 5π，则该圆的半径为________8. 在半径为R 的圆中，如果圆心角等于π180度，那么这个角所对的弧长为_______9. 有一修路大队要修一段圆弧形便道，它的半径R 是m 36，圆弧所对的圆心角是︒60，则这段弯道约为m ___（精确到.1m 0，14.3=π）10. 扇形的圆心角为︒120，半径为3，那么扇形的弧长为______ 参考答案:1. 6 cm ;2. R 6π; 3. π ; 4. 60° ; 5. 2 ; 6. 33cm .7. cm 9 8. R 9. 737.. 10. π2.解答题1．计算半径为cm 5，︒60圆心角所对的弧长l 。

2．半径为cm 2，︒36的弧的长度是多少？3．如图，大⊙1O 的半径A O 1是小⊙2O 的直径，⊙1O 的另一半径C O 1交⊙2O 于B ，求证：和的长相等。

4．如图，在圆心角为︒120所对应的的两端作切线AP ，BP 相交于点P ，⊙O 与AP 、BP 及都相切。

求证：⊙O 的周长等于的长。

5. 如图，两根圆柱形钢件，它们的半径分别为6dm 和2dm ，现用一根绳子把它们捆紧，问至少需要多长的绳子(不计绳子接头部分)?6. 已知⊙O 与⊙O’的半径分别为R=8，r=2，圆心距O 1O 2=12，若用皮带把两圆连结起来，求皮带的长度． 参考答案： 1．cm π352．cm π523．连B O 2 .设︒=∠n B AO 1，则︒=∠n B AO 22，设R A O =2，则R A O 21=，4．设⊙O 的半径为r ，⊙O '的半径为R ，连A O '，B O '，则︒='∠120B O A ，过O 作A O OE '⊥于E ，则r R E O -='，r R O O +='，︒=+-60cos rR rR r R 3=∴.⊙O 的周长r C π2=，5. 38328+πdm ; 6. 31212+π.。