江苏省扬州市新华中学2020-2021学年第二学期高一第一次月考数学试卷
江苏省扬州市新华中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
江苏省扬州市新华中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}16U x Z x =∈<<，{}3,5A =，{}2340B x x x =--<，则()U A B =（ ）A ．{}2,4,5B ．{}2,3,4,5C ．{}2,4D ．{}2,3,4,6 2．若函数()1313log f x x x =+，则()27f =（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．03．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．2021年6月25日是中国的传统佳节“端午节”，这天人们会悬菖蒲，吃粽子，赛龙舟，喝雄黄酒．现有7个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，事件A 为“取到的两个为同一种馅”，事件B 为“取到的两个都是豆沙馅”，则()P B A =（ ） A ．12 B ．23C ．34D ．45 5．已知函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．[)6,+∞C ．10,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．225- B ．2325- C ．225 D ．23257．已知函数()ln f x x x =-，()f x 的图像在点P 处的切线1l 与y 轴交于点A ，过点P 与y 轴垂直的直线2l 与y 轴交于点B ，则线段AB 中点M 的纵坐标的最大值是（ ） A ．12e - B ．1e - C ．2ln 23- D ．3ln 22- 8．已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题 9．关于函数()sin f x x x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 有零点D ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 10．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 11．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆O ：221x y +=，则下列说法中正确的是( )A ．函数3y x =是圆O 的一个太极函数B ．圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C ．函数sin y x =是圆O 的一个太极函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件12．对于函数()2ln x f x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+恒成立，则2e k >三、填空题13．已知函数3()3=+++c f x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=________. 14．设(),0ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则12g g ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦___________. 15．函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x ∈R ，都有()()f x f x '>成立，若()ln 22f =，则满足不等式()x f x e >的x 的范围是___________.16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________．四、解答题17．记函数()2()lg 1f x ax=-的定义域、值域分别为集合A ，B . （1）当1a =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．设函数()213f x x a x =++--.（1）当4a =时,求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知函数()21cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.（1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若锐角ABC 中角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且()0f A =，求sin sin B C的取值范围.20．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，//AB DE ，△ACD 是等边三角形，且AD=DE=2AB ，F 为CD 的中点.（1）求证：AF //平面BCE ；（2）求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值.21．携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2021年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为1315，服务水平的满意率为23，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．（Ⅰ）完成下面22⨯列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．22．已知函数()()()[]321,12.0,12x x f x x eg x ax xcosx x -=+=+++∈当时， （I ）求证()11;1x f x x-≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围.参考答案1．A【分析】求出集合U 、B ，利用交集和补集的定义可求得集合()U A B .【详解】 {}{}162,3,4,5U x Z x =∈<<=，{}{}234014B x x x x x =--<=-<<，{}3,5A =，所以，{}3A B ⋂=，因此，(){}2,4,5U A B =. 故选：A.【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．D【分析】根据指数与对数的运算性质即可求解.【详解】由()1313log f x x x =+，则()13132727log 27330f =+=-=.故选：D【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.3．A【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.考点：函数的图象与性质．4．B【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.【详解】()()()24223423n AB C P B A n A C C ===+． 故选：B【点睛】本小题以中国传统节日为背景，考查条件概率等基础知识，考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查统计与概率思想，考查数学建模、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 5．C【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.【详解】解：由于函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，ln y x =在定义域内是增函数， 所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：21y x ax =-+-在[]2,3上单调递减，且0y >， 所以22a ≤且9310a -+->，解得：1043a <≤. 故a 的取值范围是10,43⎛⎤⎥⎝⎦ 故选：C.【点睛】本题考查根据对数型复合函数单调性求参数问题，是中档题.6．D【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求值即可.【详解】22223sin 2sin 2cos 212sin 6323325πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D【点睛】本题考查了诱导公式、倍角余弦公式转化函数式，结合已知函数值求值，属于简单题. 7．D【解析】设点0000(,ln )(0)P x x x x ->，∵()ln f x x x =-，∴()111x f x x x-'=-=， ∴()0001x f x x ='-， ∴切线1l 的方程为000001(ln )()x y x x x x x ---=-， 令0x =，得0ln 1y x =-，故0(0,ln 1)A x -，又点00(0,ln )B x x -，∴线段AB 中点M 的纵坐标0000011[(ln 1)(ln )](2ln 1)22t x x x x x =-+-=--， 设1()(2ln 1)(0)2g x x x x =-->， 则122()(1)22x g x x x--='=， 故当02x <<时，()0,()'>g x g x 单调递增；当2x >时，()0,()g x g x '<单调递减． ∴min 13()(2)(2ln 23)ln 222g x g ==-=-．选D ． 8．B【分析】利用导函数讨论当时的单调性，结合对称性周期性数形结合求解.【详解】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x x f x e e e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=， 当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.【点睛】此题考查函数单调性与周期性的综合应用，利用导函数讨论函数单调性，结合图象处理整数解问题.9．ACD【分析】根据题意，求得()f x 的定义域为R ，根据定义法判断函数的奇偶性，求得()()sin f x x x f x -=--=-，即可判断A 选项；根据周期的定义，即可判断B 选项；由()00sin00f =+=，可知()f x 有零点，即可判断C 选项；利用导数研究函数的单调性，求导得出()1cos 0f x x '=+≥在R 上恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，即可判断D 选项，从而得出答案.【详解】解：由题可知，函数()f x 的定义域为R ，而()()sin f x x x f x -=--=-，则()f x 为奇函数，故A 正确； 根据周期的定义，可知()f x 一定不是周期函数，故B 错误； 因为()00sin00f =+=，所以()f x 有零点，故C 正确； 对()f x 求导，得()1cos 0f x x '=+≥在R 上恒成立， 故()f x 在(),-∞+∞上单调递增，故D 正确． 故选：ACD . 【点睛】本题考查函数的性质，利用定义法判断函数的奇偶性和周期性，还涉及函数的零点以及利用导数研究函数的单调性． 10．BD 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】 由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于综合题. 11．AC 【分析】根据题中所给的定义对四个选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数3y x =是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：所以函数3y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法正确；选项B ：如下图所示：函数()y g x =是偶函数，()y g x =也是圆O 的一个太极函数，故本说法不正确；选项C ：因为sin y x =是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆221x y +=也关于原 点对称，如下图所示：因此函数sin y x =是圆O 的一个太极函数，故本说法是正确的；选项D ：根据选项B 的分析，圆O 的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确.故选：AC 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了函数对称性的应用和圆的对称性的应用，属于中档题. 12．ACD 【分析】对选项A ，求出函数的单调区间，再求出极大值即可判断A 正确，对选项B ，利用函数的单调性和最值即可判断B 错误，对选项C ，首先利用函数的单调性即可得到f f <，再构造函数()ln xg x x=，利用()g x的单调性即可得到f f <，最后即可判断C 正确，对选项D ，转化为2ln 1x k x +>在在()0,∞+恒成立，构造函数()2ln 1x h x x +=，求出最大值即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，()24312ln 12ln x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==，0x >. 令()0f x '=，x =(x ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.所以x =12fe =，故A 正确.对选项B ，当0x →时，()f x →-∞，当1x =时，()0f x =， 当1x >时，()0f x >，又因为()max 12f x e=>0， 所以()f x 只有一个零点，故B 错误. 对选项C ，因为()f x在区间)+∞<<，所以ff <.1ln 21ln 422224f==⋅=⋅，ln 1ln 2f πππ==⋅.设()ln x g x x =，()21ln xg x x -'=. 令()0g x '=，x e =.所以(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数. 又因为4e π<<，所以()()4g g π>，1ln 1ln 4224ππ⋅>⋅.即ff <，所以f f f <<，故C 正确.对选项D ，()221ln 1x f x k k x x+<-⇔>在在()0,∞+恒成立. 设()2ln 1x h x x +=，()312ln xh x x+'=-，令()0h x '=，x =当x⎛∈ ⎝，()0h x '>，()h x 为增函数， 当x⎫∈+∞⎪⎭，()0h x '<，()h x 为减函数. 所以()max 2e h x h ==，即2ek >，故D 正确. 故答案为：ACD 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值和最值，同时考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题. 13．2 【分析】得出()()6f x f x +-=即可 【详解】因为3()3cf x ax bx x--=--+ 所以()()6f x f x +-=即()()6f t f t +-=，因为()4f t =，所以()2f t -= 故答案为：2 【点睛】若()f x 是奇函数，则()()g x f x a =+的图象关于()0,a 对称，满足()()2g x g x a -+=. 14．12【分析】根据指数与对数的运算性质以及分段函数求函数值即可求解. 【详解】由(),0ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1ln 2ln 211ln 222g g g e e --⎡⎤⎛⎫=-===⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：12【点睛】本题考查了对数的运算性质以及分段函数求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15．()ln 2,+∞ 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的单调性即可求解. 【详解】x R ∴∀∈，都有()()f x f x '>成立，()()0f x f x '∴->，令()()xf xg x e=，则()()ln 2ln 2ln 21f g e ==， ()()()()()()20x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==>，则()g x 在R 上单调递增，不等式()xf x e >，则()1xf x e >， 即()()ln 2g x g >，ln 2x ∴>. 故答案为：()ln 2,+∞. 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性，考查了基本知识的掌握情况，属于中档题. 16．49 【分析】根据正数a ，b 满足2a b +=，由223849⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b ，利用基本不等式求解. 【详解】因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64,55a b ==时，等号成立． 故答案为：49 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题. 17．（1）(1,0]-；（2）(,0]-∞． 【分析】（1）由对数函数的定义域和值域求得集合A ，B .根据集合的交集运算可得答案； （2）由已知条件可得B 是A 的真子集，从而可求得a 的取值范围． 【详解】（1）1a =时，()2()lg 1f x x=-，由210x->得11x -<<，即(1,1)A =-，由2011x <-≤得(,0]B =-∞， ∴(1,0]AB =-；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，若0a >， 则由210ax ->得x <<(A =，与（1）类似得(,0]B =-∞，不合题意，若0a =，则()lg10f x ==，即,{0}A R B ==，满足题意， 若0a <，则211ax -≥，A R =，[0,)B =+∞，满足题意． 综上a 的取值范围是(,0]-∞． 【点睛】本题考查对数函数的值域和定义域，以及集合间的交集运算，充分必要条件，属于基础题. 18．(1) [4,2]- (2) (,12][8,)-∞-⋃+∞ 【分析】（1）把4a =代入，利用分类讨论法去掉绝对值求解；（2）先求()f x 的最小值，然后利用这个最小值不小于2可得实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）当4a =时，不等式()6f x 化为2|2||1|9x x ++-当2x -时，不等式为2(2)19x x -+-+，即4x ≥-，有42x -≤-； 当21x -<<时，不等式为2(2)19x x +-+，即4x ，有21x -<<； 当1≥x 时，不等式为2(2)19x x ++-，即2x ，有12x ≤； 综上所述，当4a =时，求不等式()6f x ≤的解集为[4,2]-.（2）()|2||1|32f x x a x =++--，即()|2||1|5g x x a x =++-. 当2a =-时，()3|1|5g x x =-≥不恒成立；当2a <-时，31,1,()1,1,231,,2x a x a g x x a x a x a x ⎧⎪-+-<⎪⎪=---≤-⎨⎪⎪+->-⎪⎩，有min ()1522a a g x g ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，即12a -. 当2a >-时，31,,2()1,1,231,1,a x a x a g x x a x x a x ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪+->⎪⎪⎩有()min 1522a ag x g ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即8a . 综上所述，a 的取值范围为(,12][8,)-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，绝对值不等式的解法一般是利用分类讨论来解决.19．（1）1m =，单调递增区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x m π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由该函数的最大值可求得m 的值，然后解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递增区间；（2）由()0f A =结合角A 的取值范围可求得3A π=，由ABC 为锐角三角形可得出62C ππ<<，可得出tan 3C >，由两角和的正弦公式化简得出sin 1sin 2tan 2B C C =+，由此可求得sin sin BC的取值范围. 【详解】 （1）()21cos 21cos 2cos 2122xf x x x x m x m +=--+=+-⨯+2cos 22sin 26x x m x m π⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭，()max 23f x m ∴=+=，解得1m =，()12sin 26f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭.令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递增区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）()12sin 206f A A π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，可得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02A π<<，则72666A πππ<+<，则5266A ππ+=，3A π∴=， ABC 为锐角三角形，可得0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即203202C C πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得62C ππ<<， 则()1sin sin sin sin 1322sin sin sin sin 2C C C A C B C C C C π⎛⎫++ ⎪+⎝⎭====， 62C ππ<<，则tan C >，所以，10tan C <<所以，sin 11,2sin 22B C ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.因此，sin sin B C 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角函数最值、单调区间的求解，同时也考查了三角形中代数式取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题. 20．（1）证明见详解；（2）4【分析】（1）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，证出//AF BM ，再利用线面平行的判定定理即可证出.（2）以A 为坐标原点，AF 为x 轴，过点A 作CD 的平行线作为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的一个法向量，根据sin cos ,n BF n BF n BFθ⋅==即可求解.【详解】（1）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，由 F 为CD 的中点， 则//MF DE 且12MF DE =， 因为//AB DE 且DE=2AB ， 所以//AB MF 且AB MF =， 所以四边形ABMF 为平行四边形， 则//AF BM ,又因为BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， 所以AF //平面BCE .（2）以A 为坐标原点，AF 为x 轴，过点A 作CD 的平行线作为y 轴， 建立空间直角坐标系，设1AB =，则AD=DE=2，ACD △是等边三角形，()0,0,0A ，)F，()0,0,1B ，)1,0C-，)E()3,0,1BF =-，()0,2,2=CE ，()3,1,1BC =--，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，则00n BC n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即0220y z y z --=+=⎪⎩，令1y =，则1z =-，0x =，所以()0,1,1n =-，设直线BF 与平面BCE 所成角为θ，所以sin cos ,42n BF n BF n BFθ⋅====【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、空间向量法求线面角，考查了逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题.21．（Ⅰ）列联表详见解析，有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；（Ⅱ）分布列详见解析，期望为25；（Ⅲ）113625． 【分析】（Ⅰ）根据所给数据列表，计算2K 后比较临界值即可得出结论； （Ⅱ）根据超几何分布得出随机变量的概率，列出分布列求期望即可； （Ⅲ）由互斥事件和的概率公式计算运营系统中任选一名客户流失的概率15，从运营系统中任选4名客户流失人数服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据二项分布求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得22⨯列联表经计算得22300(180208020)755.77 5.0242001002604013K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关． （Ⅱ）X 的可能值为0，1，2．则0220802100316(0)495C C P X C ===，1120802100160(1)495C C P X C ===，220210019(2)495C P X C ===，316160192()0124954954955E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为18095%300300⨯=，只有一项满意的客户流失的概率为1003434%300300⨯=，对二者都不满意的客户流失的概率为201785%300300⨯=． 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为9173413005++=， 故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为4301444411131555625P C C ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件的和，二项分布，考查了推理能力与运算能力，属于较难题目.22．（I ）见解析（II ）,3]-∞-（ 【解析】试题分析：（1）将问题转化为证明(1)(1)xx x ex e -+≥-与1x e x ≥+，从而令()(1)(1)x x h x x e x e -=+--、()1x K x e x =--，然后利用导数求得(),()h x K x 的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得()()f x g x -≥2(12cos )2x x a x -+++，从而令2()2cos 2x G x x =+，通过多次求导得出其单调性即可求出a 的取值范围．试题解析：（1）要证[0,1]x ∈时，2(1)1xx e x -+≥-，只需证明(1)(1)x x x e x e -+≥-.记()(1)(1)xx h x x ex e -=+--，则()()x x h x x e e -=-'，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈. 要证[0,1]x ∈时，21(1)1xx ex-+≤+，只需证明1x e x ≥+， 记()1xK x e x =--，则()1xK x e =-'，当(0,1)x ∈时，()0k x '>，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，所以1()1f x x≤+，[0,1]x ∈. 综上，11()1x f x x-≤≤+，[0,1]x ∈.（2）（解法一）32()()(1)(12cos )2xx f x g x x eax x x --=+-+++3112cos 2x x ax x x ≥-----2(12cos )2x x a x =-+++.设2()2cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x -'=，记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[0,1]上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G ''<=，故()G x 在[0,1]上是减函数，于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+，所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立. 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+32cos 12x x ax x xx -=---+21(2cos )12x x a x x =-++++.记211()2cos ()121x I x a x a G x x x=+++=++++，则21()()(1)I x G x x -=++''， 当(0,1)x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[0,1]上是减函数. 于是()I x 在[0,1]上的值域为[12cos1,3]a a +++.因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >此时00()()f x g x <，即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-. （解法二）先证当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 记21()cos 12F x x x =-+，则()sin F x x x =-+'， 记()sin G x x x =-+，则()cos 1G x x =-+'，当(0,1)x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[0,1]上是增函数，因此当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G >=，从而()F x 在[0,1]上是增函数，因此()(0)0F x F ≥=.所以当[0,1]x ∈时，211cos 2x x -≤. 同理可证，当[0,1]x ∈时，21cos 14x x ≤-. 综上，当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-.因为当[0,1]x ∈时，22()()(1)(12cos )2xx f x g x x e ax x x --=+-+++221(1)12(1)24x x ax x x ≥------(3)a x =-+，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，因为22()()(1)(12cos )2xx f x g x x eax x x --=+-+++321112(1)122x ax x x x ≤-----+23(3)12x x a x x =+-++32[(3)]23x x a ≤-+.所以存在0(0,1)x ∈（例如0x 取33a +和12中的较小值）满足00()()f x g x <. 即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立. 综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式()()f x g x ≥，一种常见思路是用图像法来说明函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数()()()F x f x g x ＝－，通过导数研究函数()F x 的性质，进而证明欲证不等式．。
2020-2021学年江苏省扬州市某校高一(上)9月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知(x+y+2)2+√y+z−3=0，则x−z的值为( )A.5B.−1C.1D.−52. 已知a，b是方程x2−3x−10=0的两个根，则a2b+ab2a2+b2的值为()A.30 29B.−3029C.3011D.−30113. 若x2+mx−10=(x+a)(x+b)，其中a，b为整数，则m的值为( )A.3或9B.±3或±9C.±3D.±94. 已知一次函数y=2x+a与y=−x+b的图像都经过点A(−2,0)，且与y轴分别交于点B和点C，则△ABC的面积为()A.6B.5C.7D.45. 对于一次函数y=kx+k−1(k≠0)，下列叙述正确的是( )A.当0<k<1时，函数图像经过第一、第二、第三象限B.当k>0时，y随x的增大而减小C.当k<1时，函数图像一定交于y轴的负半轴D.函数图像一定经过点(−1,2)6. 若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( )A.{x|2<x≤3}B.{x|1≤x<4}C.{x|2≤x≤3}D.{x|1≤x≤4}二、填空题因式分解：x2+2y−y2−2x=________．等式√3−xx =√3−x√x成立的条件是________．若x1，x2分别是方程2x2−6x+3=0的两个实数根，则1x1+1x2=________．不等式2−x4+x≥0的解是________．已知三个不等式：①ab>0；②ca >db；③ad<bc. 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确的命题．使得函数y=√7+6x−x2有意义的自变量x的取值范围是________．三、解答题设x=√5−12，求x4+x2+2x−1的值．已知函数y=x2−2ax+1，其中0≤x≤2，求函数的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】非负数的性质：偶次方非负数的性质：算术平方根【解析】根据非负性的性质得出x+y+2=0 ①，y+z−3=0 ②,然后①−②得出x−z的值.【解答】解：根据偶次方和算数平方根的非负性可得，x+y+2=0①，y+z−3=0②，①−②得：x+y+2−y−z+3=0，整理得：x−z=−5.故选D.2.【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】首先利用韦达定理，得到a+b=3,ab=−10，再把式子构造即可得出结果.【解答】解：由韦达定理得：a+b=3，ab=−10，∴a2b+ab2a2+b2=ab(a+b)(a+b)2−2ab=−10×332+2×10=−3029.故选B.3.【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，a+b=m，ab=−10. ∵a，b为整数，∴a=−1，b=10或a=−2，b=5或a=1，b=−10或a=2，b=−5，∴m=9或3或−9或−3.故选B.4.【答案】A【考点】一次函数图象上点的坐标特点三角形的面积【解析】首先分别把(−2,0)代入两个函数解析式中，解得a=4，b=−2，即得B(0,4),C(0,−2)．然后根据三点坐标求△ABC的面积．【解答】解：把(−2,0)代入两个函数解析式中，易得a=4，b=−2，∴B(0,4)，C(0,−2)，∴S△ABC=1×2×(4+2)=6.2故选A.5.【答案】C【考点】一次函数图象与系数的关系【解析】根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对D进行判断.【解答】解：A，当0<k<1时，k−1<0，则函数图像经过第一、三、四象限，故本选项错误；B，当k>0时，图像经过第一、三象限，则y随x的增大而增大，故本选项错误；C，当k<1时，k−1<0，则函数图像一定交y轴于负半轴，故本选项正确；D，把x=−1代入y=kx+k−1，得y=−k+k−1=−1，则函数图像一定经过点(−1,−1)，故本选项错误.故选C.6.【答案】B【考点】并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，∴A∪B={x|1≤x<4}．故选B．【答案】(x −y)(x +y −2)【考点】因式分解-运用公式法因式分解-提公因式法【解析】原式=x 2+2y −y 2−2x =(x 2−y 2)−2(x −y)，再利用平方差公式和提公因式法分解即可.【解答】解：x 2+2y −y 2−2x =(x 2−y 2)−2(x −y)=(x +y)(x −y)−2(x −y)=(x −y)(x +y −2).故答案为：(x −y)(x +y −2).【答案】0<x ≤3【考点】分式有意义、无意义的条件二次根式有意义的条件【解析】根据已知可得{ 3−x x ≥0，3−x ≥0，x >0，求解不等式可得结果. 【解答】解：要使原等式成立，则需满足{3−x x ≥0,3−x ≥0,x >0,解得：0<x ≤3.故答案为：0<x ≤3.【答案】2【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数关系求得x 1+x 2=3,x 1⋅x 2=32，然后由1x 1+1x 2变形为含有x 1+x 2和x 1⋅x 2的式子，并代入求值可．【解答】解：已知方程2x 2−6x +3=0，根据根与系数关系，得x 1+x 2=3，x 1⋅x 2=32，∴ 1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2.故答案为：2．【答案】−4<x ≤2解一元一次不等式组【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 2−x 4+x ≥0，根据除法的运算法则得{2−x ≥0,4+x >0或{2−x ≤0,4+x <0, 解不等式得−4<x ≤2.故答案为：−4<x ≤2.【答案】3【考点】不等式的性质【解析】根据不等式的性质，即可得到结论．【解答】解：①若 ab >0，bc >ad 成立，不等式 bc >ad 两边同除以ab ，得c a >d b ， 即ab >0，bc >ad ⇒c a >a b ； ②若ab >0，c a>d b 成立， 不等式c a >d b 两边同乘以ab ，得bc >ad ，即 ab >0，c a >d b ⇒bc >ad ；③若c a >d b ，bc >ad 成立，因为c a −d b =bc−ad ab >0，又bc −ad >0，故ab >0，所以c a >d b ，bc >ad ⇒ab >0. 综上，可组成3个正确命题．故答案为：3.【答案】−1≤x ≤7【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据被开平方数必须大于等于0，则有7+6x −x 2≥0来解答．【解答】解：根据函数有意义的条件得，7+6x−x2≥0，即x2−6x−7≤0，解得：−1≤x≤7．故答案为：−1≤x≤7．三、解答题【答案】解：∵x=√5−12，∴x2=6−2√54=3−√52,易得x2=1−x，∴x4=(1−x)2=1+x2−2x,∴原式=1+x2−2x+x2+2x−1=2x2=3−√5.【考点】二次根式的乘法列代数式求值完全平方公式【解析】由题设得x2=3−√52,x2=1−x,解得x4=(1−x)2=1+x2−2x,代入可得解. 【解答】解：∵x=√5−12，∴x2=6−2√54=3−√52,易得x2=1−x，∴x4=(1−x)2=1+x2−2x,∴原式=1+x2−2x+x2+2x−1=2x2=3−√5.【答案】解：y=x2−2ax+1的图像开口向上，对称轴为x=a，①当a<0时，由二次函数图像可知，函数在0≤x≤2上单调递增，故当x=0时，函数取得最小值，y min=1；②当a>2时，由二次函数图像可知，函数在0≤x≤2上单调递减，故当x=2时，函数取得最小值，y min=5−4a；③当0≤a≤2时，由二次函数图像可知，当x=a时，函数取得最小值，即y min=−a2+1.综上可得：当a<0时，y min=1；当a>2时，y min=5−4a；当0≤a≤2时，y min=−a2+1.【考点】二次函数的最值【解析】y=x2−2ax+1的图象开口向上，对称轴为x=a，再分类讨论对称轴的位置，确定最小值.【解答】解：y=x2−2ax+1的图像开口向上，对称轴为x=a，①当a<0时，由二次函数图像可知，函数在0≤x≤2上单调递增，故当x=0时，函数取得最小值，y min=1；②当a>2时，由二次函数图像可知，函数在0≤x≤2上单调递减，故当x=2时，函数取得最小值，y min=5−4a；③当0≤a≤2时，由二次函数图像可知，当x=a时，函数取得最小值，即y min=−a2+1.综上可得：当a<0时，y min=1；当a>2时，y min=5−4a；当0≤a≤2时，y min=−a2+1.。
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1. 若α，β是方程x2−2x−3=0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为( )A.5B.7C.10D.92. 已知集合A={1,3,5,7}，B={y|y=2x+1,x∈A}，则A∩B=( )A.{3,7}B.{3,5,9}C.{1,3,5,7,9,11,15}D.{1,3,5,7}3. 已知全集U={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，集合A={2, 7, 11}，集合B={5, 11, 13}，则(∁U A)∩B=( )A.{11, 13}B.{5, 13}C.{5}D.{13}4. 已知集合A={x|−2<x<1}，B={x|x>0}，则集合A∪B=( )A.(−2, +∞)B.(0, +∞)C.(−2, 1)D.(0, 1)5. 已知集合A={x|x−a≤0}，若2∈A，则a的取值范围为( )A.[2,+∞)B.(−∞,4]C.[4,+∞)D.(−∞,2]6. 若集合A={y|y=x2+1,x∈R}，集合B={x∈R|x+5>0}，则集合A与B的关系是( )A.A=BB.B⊆AC.A∈BD.A⊆B7. 某校运动会上，高一(1)班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为( )A.3B.1C.4D.28. 定义集合运算：A⊗B={z|z=(x+y)(x−y)，x∈A，y∈B}，设A={√2，√3}，B={1，√2}，则集合A⊗B的真子集个数为( )A.15B.16C.8D.7二、多选题设全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={0, 1, 4}，B={0, 1, 3}，则( )A.集合A的真子集个数为8B.A∪B={0, 1, 3, 4}C.A∩B={0, 1}D.∁U B={4}已知全集U=R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有( )A.A∩(∁U B)=⌀B.(∁U A)∩B=⌀C.A∩B=BD.A∪B=B已知集合A={x|x2−2x−3=0}，B={x|ax−1=0}．若A∩B=B，则实数a的值可能是( )A.1B.13C.−1D.0已知全集U=R，集合A={x|x<−1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁R A，则在下列所给数值中，a的可能取值是( )A.1B.0C.−2D.−1三、填空题已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1<x<2m−1}．若B⊆A，则实数m的取值范围是________.四、解答题解不等式.(1)|x+1|>2−x；(2)|x+3|+|x−2|<7.已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁R A)∩B，A∪(∁R B)．已知集合A={x|a−1<x<2a+1}，B={x|0<x≤3}，U=R.(1)若a=12，求A∪B；A∩(∁U B)；(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．已知集合A={x|2a−3<x<3a+1}，集合B={x|−5<x<4}．(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】根与三程的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】集合中都连的个数Ve都n资表达长合氧关系及运算交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】子集水水子集【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】子明与织填集速个数问题交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】绝对来不等阅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反证法集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
江苏省扬州中学2020_2021学年高一数学下学期开学考试试题含解析
（2）当 ， 时，求证： ；
（3）若不等式 对满足 的任一个实数 都成立，求实数a的取值范围．
22.已知函数 ，其中 .
（1）当函数 为偶函数时，求m的值；
（2）若 ，函数 ， ，是否存在实数k，使得 的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）设函数 ， ，若对每一个不小于3的实数 ，都有小于3的实数 ，使得 成立，求实数m的取值范围.
江苏省扬州中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）
A有理数
对于D， ，当且仅当 时取等号，而 ，所以函数 没有最小值，错误．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查基本不等式的理解和应用，属于基础题．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”，
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
扬州中学高一年级2020-2021学年春学期开学考试
高一数学（解析版）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意知 ，故选B.
【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.
江苏省扬州市维扬区新华中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析
江苏省扬州市维扬区新华中学2020-2021学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列中，已知前15项的和，则等于（）A．B．12 C． D．6参考答案：D略2. 若变量，且满足约束条件，则的最大值为（）A. 15B. 12C. 3D.参考答案：A【分析】作出可行域，采用平移直线法判断何处取到最大值.【详解】画出可行域如图阴影部分，由得，目标函数图象可看作一条动直线，由图形可得当动直线过点时，．故选A．【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数最值的计算，难度较易.求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法是最常规的.3. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（）A ．B ．C ．D ．参考答案：B4. 若集合，则的值为A、0B、-1C、1 D、±1参考答案：C略5. 三个数大小的顺序是（）A． B.C． D.参考答案：A略6. 若圆：关于直线对称，则的最小值是（）A. 2B.C.D.参考答案：A略7. 已知底面是边长为1的正方形，侧棱长为且侧棱与底面垂直的四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.参考答案：D8. 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α?a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．9. 设，，，则的大小顺序是（）A． B． C． D．参考答案：B略10. 若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内所有的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点参考答案：D【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面关系，直线a与平面α不平行，包含两种位置关系；一是直线a在平面内，另一个是直线a与α相交；由此解答．【解答】解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，数列{a n}满足，若，则的取值范围是______．参考答案：.【分析】先求得关于的表达式，再根据线性规划的知识求得的取值范围.【详解】已知条件，由得的取值范围.不妨设.故问题转化为，目标函数.画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界位置，由图可知，目标函数在点处取得最值.将两点坐标代入目标函数得或.故的取值范围，也即是的取值范围是.【点睛】本小题主要考查递推数列，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为参考答案：13. 若f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是．参考答案：1＜a＜2【考点】复合函数的单调性．【分析】本题必须保证：①使log a（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=log a u，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log a（2﹣ax）定义域的子集．【解答】解：因为f（x）在[0，1]上是x的减函数，所以f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴?1＜a＜2故答案为：1＜a＜2．【点评】本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）真数大于零．14.参考答案：略15. 已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求a、c．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由正弦定理把化为，约去，利用辅助角公式，可求；（Ⅱ）根据面积公式和余弦定理求【详解】（Ⅰ），由正弦定理可得.又，由辅助角公式得.，.（Ⅱ）的面积为，，由（Ⅰ）知.又，由余弦定理得，即，又.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.16. 已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则_________________．参考答案：2.517. 在等差数列中，已知，则当时，前项和有最大值。
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件2. 函数f(x)=0√|x|−x的定义域为()A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(−∞, −1)∪(−1, 0)D.(−∞, 0)∪(0, +∞)3. 函数y=4xx2+1的图象大致为( )A. B.C. D.4. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数，f(4)=2，f(x)在(−∞,0]上是增函数，则不等式f(4x−1)> 2的解集为( )A.(−34,+∞) B.(−∞,54)C.(−34,54) D.(−∞,−34)∪(54,+∞)二、多选题若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有f(x)+f(−x)=0；(2)对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是( ) A.f(x)={−x2，x≥0，x2，x<0B.f(x)=x−1xC.f(x)=x2D.f(x)=−x3若a>0，b>0，则下列结论正确的有( )A.若a>b>0，则a+1b>b+1aB.若ab+b2=2，则a+3b≥4C.√a2+b2a+b≤√22D.若1a+4b=2，则a+b≥92三、填空题已知9a=3，ln x=a，则x=________．已知x1，x2是函数f(x)=x2−(2k+1)x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k的取值范围是________.已知正实数a，b满足a+b=1，则(1)ab的最大值是________；(2)1a+2+1b+2的最小值是________．四、解答题已知函数f(x)=xx2+1．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)判断当x∈(−1,1)时函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若f(x)定义域为(−1,1)，解不等式f(2x−1)+f(x)<0．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明函数奇三性的判刺函数来定义雨题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用不等式因质的印用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函较绕肠由的判断与证明不等式射基本性面函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷
2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合M={0, 1}，则下列关系式中，正确的是( )A.0⊆MB.0∈MC.{0}∈MD.{0}∉M2. 集合A={0, 2, a}，B={1, a2}，若A∪B={0, 1, 2, 4, 16}，则a的值为()A.1B.0C.2D.43. ac2>bc2是a>b的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 下列函数中，是同一函数的是( )A.y=2x+1与y=2t+1B.y=x2+xx与y=x+1C.y=x2与y=x|x|D.y=√x2与y=(√x)25. 命题“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是()A.∃x∈R，x2+2x+1>0B.∀x∈R，x2+2x+1≤0C.∃x∈R，x2+2x+1<0D.∃x∈R，x2+2x+1≤06. 已知a>0，b>0，3a+2b=ab，则2a+3b的最小值为( )A.25B.20C.28D.247. 设2x=8y+1，9y=3x−9，则x+y的值为（）A.24B.18C.27D.218. 设a log34=2，则4−a=()A. 18B.116C.16D.19二、多选题下列各组集合不表示同一集合的是（）A.M={4, 5}，N={5, 4}B.M={(3, 2)}，N={(2, 3)}C.M={1, 2}，N={(1, 2)}D.M={(x, y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}下列命题正确的是( )A.a≥b>−1，则a1+a≥b1+bB.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件C.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0D.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2下列运算（化简）中正确的有()A.3log35−2e0−lg50−lg2=1B.[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(√2+1)0=3−2√2C.(log89+log2√33)(log34−log2716)=23D.2a3b23⋅(−5a23b13)÷(4√a4b53)=−52a73b−23若集合A={x|(k+1)x2−x−k=0,x∈R}中只有一个元素，则实数k的可能取值是（）A.−1B.0C.−12D.1三、填空题设p:x<2，q:x<a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_______.计算：lg22+lg2⋅lg5+lg5−2−log23⋅log218=________.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|−12<x<13}，则a+b的值为________.若命题“∃x∈R，使x2+(a−1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．四、解答题(1)设A ={−4, 2a −1, a 2}，B ={a −5, 1−a, 9}，已知A ∩B ={9}，求A ∪B ．(2)已知集合A ={x|−3≤x ≤5}，B ={x|m −2≤x ≤m +1}，满足B ⊆A ，求实数m 的取值范围．计算、化简下列各式的值： (1)4lg 2+3lg 5−lg 15；(2)(√23×√3)6+(−2018)0−4×(1649)−12+√(3−π)44；(3)已知x +x −1=3，求x 32+x −32的值.已知命题p ：任意x ∈[1, 2]，x 2−a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0．若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y =920v v 2+3v+1600(v >0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？设f(x)=ax 2+(1−a)x +a −2.(1)若不等式f(x)≥−2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式f(x)<a −1 (a ∈R).设函数f(x)=ax 2+(b −2)x +3(a ≠0)． (1)若不等式f(x)>0的解集(−1, 1)，求a ，b 的值；(2)若f(1)=2，①a >0，b >0，求1a +4b 的最小值；②若f(x)>1在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】有理于指数旋【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】集都着相等集合的常义至表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质有于械闭数古的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根与三程的关系一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题命正算否定命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质对数根助运算有于械闭数古的化简求值根式与使数指数如色见化及其化简运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合命题常育真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用一元二次较等绕的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式都特立问题一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题根与三程的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
江苏省扬州中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题(无答案)
2021年高一下学期第一次月考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、单选题（每小题5分，共8题）1．在ABC △中，10a =，5b =，31B =︒，则此三角形的解的情况是（ ） A ．有两解 B ．有一解C ．无解D ．有无数个解2．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+=（ ）A B ．C ．-D 3．已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，(5,4)c =，则以向量a 与b 为基底表示向量c 的结果是（ ） A ．13655a b -B ．131433a b -C ．7922a b --D ．141333a b + 4．已知tan 2α=，则1cos2sin 2αα+=（ ）A ．2B ．12C ．2-D ．12-5．已知1cos()63x π-=-，cos cos()3x x π+-的值为（ ）A B C ．D ．6．刘徽（约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6︒的近似值为（ ）A ．30πB ．60πC ．90πD ．180π 7．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（ ） A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MC +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-8．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A C A -+=，若AO x AB y AC =+，x ，y R =，则x y -=（ ）A ．2-B ．2C D ．二、多选题（每小题5分，少选得3分，错选不得分，共4题） 9．下列说法中正确的是（ ）A ．两个非零向量,a b ，若||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ∥，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=C ．若,a b 为单位向量，则a b =D ．0AB BA +=10．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(),x y ，它与原点的距离是r ．我们规定：比值x y ，r y ，rx分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cot α，csc a ，sec α，把cot y x =，csc y x =，sec y x =分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（ ）A ．5cot14π=B ．sin sec 1a a ⋅=C ．sec y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．2222secsin csc cos 5αααα+++≥11．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．sin sin sin a b cA B C +=+B ．若A B >，则sin2sin2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，且1||2||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形 12．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=则下列选项正确的是（ ） A ．1324AO AB AC =+B ．直线AO 必过BC 边的中点C ．:3:2AOB AOC S S =△△D ．若||||1OB OC ==，且OB OC ⊥，则13OA =三、填空题13．若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan()4πθ-=_____．14．已知在ABC 中，D 是BC 的中点，4BC =，AD =，4ABC π∠=，则ABC 的面积为_______．15．若函数()sin 2f x x x =+在(,)3παα-上单调递减，则α的取值范围是_____．16．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为_____． 四、解答题17．已知点()2,3A ，()6,1B ，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点． （1）若AP BP ⊥，求点P 的坐标；（2）当AP BP ⋅取最小值时，求向量AP 与BP 的夹角的余弦值．18．某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度），BD ，BE 为赛道内的两条服务通道，23BCD BAE π∠=∠=，8km DE =，BC CD ==．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度； ①23CDE π∠=；②3cos 5DBE ∠= （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（（即BA AE +最大） 19．已知1tan()43a π-=，(0,).4πα∈ （1）2sin 22cos ()1tan f αααα-=+的值；（2）若(0,)2πβ∈，且3sin()4πβ+=，求αβ+的值． 20．如图，D 、E 分别是ABC 的边BC 的三等分点，设AB m =，AC n =，60BAC ∠=︒．（1）用m ，n 分别表示AD ，AE ；（2）若15AD AE ⋅=，||33BC =，求ABC 的面积． 21．已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，函数()||1f x a b m a b =⋅-++，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦m R ∈．（1）当0m =时，求()6f π的值；（2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值； （3）是否存在实数m ，使函数224()()49g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =． （1）求证：111p q+=． （2）求12S S 的取值范围．。
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江苏省扬州市新华中学2020-2021学年第二学期第一次月考
高一数学
（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设()()3,3,5,1OM ON =-=--，则12
MN =（ ） A 、（-2，4） B 、（1，2） C 、（4，-1） D 、（-1，-2）
2、已知135sin -=θ，θ是第三象限角，则⎪⎭⎫ ⎝
⎛-3cos πθ的值为（ ） A 、261235-- B 、261235+- C 、265312-- D 、26
5312+- 3、已知向量,a b 满足()(),1,1,2a x b ==-，若a b ∥，则2a b +=（ ）
A 、()3,4-
B 、()3,0-
C 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3,23
D 、()3,4 4、△ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足3BD DC =，则AD =（ ）
A 、1344A
B A
C + B 、3144AB AC + C 、1344AB AC -
D 、3144
AB AC - 5、设2
4ππ
≤≤x ，则=-++x x 2sin 12sin 1（ ） A 、x sin 2 B 、x cos 2 C 、x sin 2- D 、x cos 2-
6、已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为（ ）
A 、30°
B 、60°
C 、120°
D 、150°
7、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，在线段DE 上取点F ，使得FE DF 2=，则AF BC ⋅的值为（ ）
A 、21
B 、31
C 、21-
D 、3
1- 8、已知函数()x x x a x x f 22sin cos sin 32cos -+=（a 为常数）的图象关于直线6π
=x 对称，则函数()x f 的
最大值是（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、在△ABC 中，()()2,3,1,AB AC k ==，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A 、1-
B 、
311 C 、2133+ D 、2133-
10、在△ABC 中，下列关系恒成立的是（ ）
A 、()C
B A tan tan =+ B 、()
C B A 2cos 22cos =+ C 、2sin 2sin C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+
D 、2cos 2sin C B A =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A 、12AC AD A
B =+ B 、1122M
C AC BC =+ C 、14MN A
D AB =+ D 、12
BC AD AB =- 12、已知函数()R x x x x x x f ∈-+=,cos cos sin 32sin 22，则下列说法正确的是（ ）
A 、()x f 在区间()π,0上有2个零点
B 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,12π为()x f 的一个对称中心 C 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 3232ππ D 、要得到()⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=4cos 2πx x g 的图象，可以将()x f y =图象上所有的点向左平移12
11π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的2
1 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、在平面直角坐标系中，向量()3,4a =，向量()0b a λλ=<，若1b =，则向量b 的坐标是 .
14、若()βαβαtan 3tan ,3
1sin ==+，则()=-βαsin . 15、黄金矩形的短边与长边的比值为黄金分割比
215-. 黄金矩形能够给画面带来美感，如图，在黄金矩形画框ABCD 中，设βα=∠=∠BCA BAC ,，则()=-βαtan .
16、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴非负半轴和y 轴非负半轴上滑动，顶点C 在第一象限内，AB =2，BC =1，设θ=∠DAx ，若4πθ=，则点C 的坐标为 ，若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，则OC OD ⋅的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（本题满分10分）求值:
（1）︒--︒︒
︒-170sin 1170sin 10cos 10sin 212；
（2）
︒
︒-︒-︒-︒︒-︒+︒+10tan 5tan 10tan 5tan 110tan 5tan 10tan 5tan 1.
18、（本题满分12分）已知向量()()1,2,3,a b k ==-.
（1）若a b ∥，求b 的值；
（2）若()
2a a b +⊥，求实数k 的值.
19、（本题满分12分）已知函数()x x x x f cos sin sin 32+=. （1）求⎪⎭
⎫ ⎝⎛6πf 的值； （2）若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈+=⎪⎭⎫
⎝⎛34,65,53232ππααf ，求αsin 的值.
20、（本题满分12分）在直角梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，∠DAB =90°，AB =4，AD =CD =2，对角线AC 与BD 交于点O ，点M 在AB 上，且满足OM ⊥BD.
（1）求AM BD ⋅的值；
（2）若N 为线段AC 上任意一点，求AN MN ⋅的最小值.
21、（本题满分12分）如图，在△ABC 中，AB =3，∠ABC =60°，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且满足2==EA CE DB AD ，F 为BC 中点.
（1）若DE AB AC λμ=+，求实数μλ,的值；
（2）若32
AF DE ⋅=，求边BC 的长.
22、（本题满分12分）已知函数()R x n x m x x f ∈+⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=,2cos 2cos π. （1）若0,1==n m ，求()x f y =的最小值；
（2）若()0,1==x f m 在[]π,0内有解，求实数n 的取值范围；
（3）若0=n ，求()x f y =的最大值()m g .。