完整版阿波罗尼斯圆问题

一【问题背景】

苏教版《数学必修 2》P.112第12题：

1

已知点M (x,y)与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为—，那么点M 的坐标应满足

2

什么关系？画出满足条件的点

M 所构成的曲线.

二、【阿波罗尼斯圆】

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯( Apollonius )在《平面轨迹》 究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图，点A, B 为两定点，动点 P 满足PA PB , 则 1时，动点P 的轨迹为直线；当 1时，动点P 的轨迹为圆，

后世称之为阿波罗尼斯圆

证：设AB 2m ( m 0),PA PB ?以AB 中点为原点，直线 AB 为x 轴建立平面 直角坐标系，则 A (

m,0), B (m,0) ?

又设 C (x , y ),则由 PA PB 得..(x m)2 y 2

长为半径的圆.

上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.

三、【范例】

AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则 A ( 1,0),

、、2BC 得.(x 1)2 y 2

2 .(x 1)2

阿波罗尼斯圆问题

两边平方并化简整理得 (2

1

)

x 2 2m ( 2 1) x

2

1) y 2

m 2(1

2

),

1

时,

0，轨迹为线段 AB 的垂直平分线; 1

时,

(x

2

1m)2

y 2

1

4 2m 2

6 ,轨迹为以点

(丁」m,0)为圆心,

1

(X m)2

例1满足条件AB 2, AC .2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是

解：以AB 中点为原点，直线

B (1,0)，设

C (x , y ),由 AC

书中，曾研

平方化简整理得寸 x 2 6x 1 (x 3)2 8 8 ,??? y 2 2，则

1 一 一 —2y 2y/

2 , ? S ABC 的最大值是 2J2 . 2

变式 在 ABC 中，边BC 的中点为D ，若AB 2,BC 2 AD ,贝U ABC 的面积的

最大值是 _______ .

解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系， 则A ( 1,0), B (1,0), 由BD CD,BC .、2AD 知，AD 2BD , D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为 (x 3)2 y 2 8，设

C(x,y) , BC 的中点为D 得D (号，舟)，所以点C 的轨迹方程为 (宁 32

(y

)2 8，即(x 5)2

y 2 32 ,

1 ____________ — —

?

S ABC

2

2y y v ；32 ^'

2

，故

S ABC

的最大值是".

例2在平面直角坐标系 xOy 中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a 2)，若存在点

P ，使得PA 2PB, PC PD ，则实数a 的取值范围是 __________________ .

解：设 P(x,y)，则,(x 1)2 y 2

2 , (x 3)2 y 2 ,

整理得(x 5)2 y 2 8，即动点P 在以(5,0)为圆心，2,2为半径的圆上运动. 另一方面，由PC PD 知动点P 在线段CD 的垂直平分线y a 1上运动，因而问 题就转化为直线 y a 1与圆(x 5)2 y 2

8有交点，

所以a 1 2^2，故实数a 的取值范围是[2^2 1,242 1].

例3在平面直角坐标系 xOy 中，点A 0,3，直线I : y 2x 4.设圆的半径为1 , 圆心在丨上. 若圆C 上存在点M ，使MA 2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围?

2 2

x 0 y 。 1 4

S

ABC

解：设C a,2a 4 ，则圆方程为 2

y 2a 4 又设 M(x °,y °),

QMA 2MO

y 。

3 2 4x 02

4y °2,

这说明M 既在圆 2

小

x a y 2a

1上，又在圆x 2

2

4上，因而这

两个圆必有交点，即两圆相交或相切,

2 2

2 1 . a 0 2a 4 ( 1)

2 1 ,

12 12

解得0

a

-，即

a

的取值范围是［°,R

?切线I 方程为y 2

8

■ ^(x

15

解得a 2,b 1, i 2或a

(1) (2) (3)

例4已知O O : x 2 y 2

1和点 过点M 向O O 引切线I ，求直线 求以点M 为圆心，且被直线 y

设P 为（2） M(4,2).

I 的方程;

2x 1截得的弦长为4的O M 的方程;

中O M 上任一点，过点 P 向O O 引切线，切点为 Q.试探究：平面内是

否存在一定点R , PQ 使得 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，

PR

请说明理由? 解：（1）设切线 I 方程为y 2 k(x

4)，易得

|4k 2|

1，解得

V'k 2 1

8帀 15

（2）圆心到直线y

2x 1的距离为 .5, 设圆的半径为r ，则r 2

22 (5)2

9

???O M 的方程为（x 4)2 (y 2)2

9

（3）假设存在这样的点 R （a,b ），点P 的坐标为（x, y ），相应的定值为

根据题意可得PQ

'』(x a)2 (y b)2

即x 2

y 2 1

2

(x 2

y 2

2

2

2 ax 2 by a b )

(*),

又点 P 在圆上? (x 4)2 (y

2 2 2

2) 9，即 x y 8x 4y 11，代入(*)式得:

8x 4y 12

2

(8 2a)x (4 2b)y (a 2 b 2

11)

若系数对应相等，则等式恒成立,

2

(8 2

(4 2

(a 2

2a) 2b)

b 2 11) 12

A( 3,0), B(3,0)，设 P(x, y)则有(x 3)2

2,(x 3)2

y 2(y 0)

化简得:(x 5)2 y 2

16 ,

y 2 16 (x

5)2 16,

|y|

PAB 的面积为S PAB 扣|

|AB| 3|y| 12 , 当且仅当x 5,y 4等号取得，则

PAB 的面积的最大值是 12.

???可以找到这样的定点 R ，使得更为定值.如点R 的坐标为(2,1)时，比值为、2 ；

PR

点R 的坐标为(?，丄)时，比值为 二°

5 5

3

四、【练习】

解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P 所满足的几何条件.

APD BPC BP 2AP ，这样就转化为题3的题型.

上，以线段 AB 的中点为原点，AB 所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系，则

1?如图，在等腰 ABC 中，已知AB AC , B( 1,0),

AC 边的中点为 D(2,0)，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于

解：?/ AB 2AD ,所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其

方程为(x 3)2 y 2 4,

设 C(x,y), 由AC 边的中点为 D(2,0)知 A(4

x, y)，所以C 的

轨迹方程为(4

x 3)2

( y)2

2

4，即(x 1)

4，面积为4

平面

CB 2.如图，已知平面 的交线上的两个定点, ,AD 4, BC

平面

DA ,A 、B 是平面

,CB ，且 DA

8, AB 6，在平面上有

使得 APD BPC ，求PAB 的面积的最大值. DA DA PA ,在 Rt PAD 中，tan APD

AD AP

同理tan BPC

BC 8 BP BP '

在平面 个动

3 ?圆O i 与圆。2的半径都是1 ,。1。2 4，过动点P 分别作圆O i 、圆。2的切线

PM ,PN （ M ,N 分别为切点），使得PM 2PN ?试建立适当的坐标系， 并求动点P 的 轨迹方程.

解：以O i ，O 2的中点O 为原点，O i ，O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐

标系,

2

2

即（x 6） y 33，此即P 的轨迹方程.

2

9

4?已知定点O （O,O ），点M 是圆（x i ） y

4上任意一点，请问是否存在不同于

O 的定点A 使都为M9常数？若存在，试求出所有满足条件的点

A 的坐标,若不存在，请

MA

说明理由.

解：假设存在满足条件的点 A （m, n ），设M （x,y ）, 匹 0 ?

MA

则

x

y

(x m)2 (y

n)2

又M (x,y)满足(x

i)2

2

y 4 ,

联立两式得（2m

2 2 2)x 2 2

y 3

2

(m 2 2

n 3) 0 ,

2m 2 2 2 2 0

i 由M 的任意性知 2 2y 0

解得A(3,0)

2

3 2 (m 2 2

n 3) 0

则 O i ( 2,0)，

因为两圆的半径都为 i,所以有：PO i 2

i 2（PO ； i ），设 P （ x,y ），

则(x 2)2 y 2 i 2[(x 2)2 y 2 i]，