高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-2平面向量数量积的坐标表示模夹角优化练习新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,
则点 C 的坐标为(3,2),D(0,2),E(1,0).
设 F(0,y),则������������=(1,-2),������������ ⊥ ������������,
∴-3-2y+4=0,得 y=12,
D.
-
7 2
,
3 2
或
3 2
,-
7 2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:设点 B(x,y),则������������=(x,y),������������=(x-5,y-2),
因为∠B=90°,所以 x(x-5)+y(y-2)=0,
①
又|������������|=|������������|,
所以 x2+y2=(x-5)2+(y-2)2.
答案:C
12345
2.在△ABC中,A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
解析:������������=(4,-2),������������=(1,2), 则������������ ·������������=4+(-2)×2=0.∴������������ ⊥ ������������. ∴∠ABC=90°,即△ABC 为直角三角形.
∵θ∈[0,π],∴θ=34π.
答案:(1)C (2)34π
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x2-y1y2=0.
()
(2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos θ=|������������|·|������������| =
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2课件新人教A版必修4
|c+td|= (2������ + 4)2 + (������-3)2 = 5������2 + 10������ + 25,
.
分析可利用向量分解的方法,将������������, ������������用基底表示,然后利用运 算律计算求解,也可建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析(方法 1)������������ ·������������ =
������������
+
1 3
������������
解(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为θ,
则 cos θ=|������������|·|������������| =
()
答案(1) (2)× (3)× (4) (5)× (6)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
数量积的坐标运算 角度1 数量积的基础坐标运算 【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c). 分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
-3×7+(-4)×1 (-3)2+(-4)2 72+12
=
2-5252=-
22.
因为 θ∈[0,π],所以 θ=34π,即 m,n 的夹角为34π.
高中数学 第二章 平面向量 242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4
(2)∵a·b＝10， ∴(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 而b·c＝(1,2)·(2，－1)＝1×2＋2×(－1)＝0， ∴a·(b·c)＝a·0＝0.
规律技巧 1向量a与b同向，可设为a＝λbλ>0，a与b反 向，可设为a＝λbλ<0.
2通过本例的计算知，a·b·c≠a·b·c，即向量的数量积 不满足结合律.
(2)因为2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，所以cos〈2a＋b，a－
b〉＝
332×＋03＋2·30×2＋3 32＝
2 2.
所以2a＋b与a－b的夹角等于π4.
答案 (1)B (2)C
三 数量积的坐标运算及综合应用
【例3】 已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，设C 是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
A. 5
B. 10
C．2(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为
120°，则k＝________.
【分析】 (1)运用垂直求出x值，得到a＋b的坐标，求 模．(2)求出|ka－b|，|a＋b|及(ka－b)·(a＋b)，再运用夹角公式 求k.
【解析】 (1)∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2. ∴a＝(2,1)，∴a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝ 10. (2)∵|ka－b|＝ k2＋k＋22， |a＋b|＝ 12＋－12＝ 2. 又(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而 ka－b与a＋b的夹角为120°.
A. 3
B．2 3
C．4
D．12
(2)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角
等于( )
A．－4π
π B.6
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
人教A版高中数学高一必修4第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
量为 ( 1 , 1 )或(- 1 , - 1 )
55
55
7、RtABC 中，AB (2,3) ，AC (1,k ) ，则k的
值为 ① A = 90o时k = - 2 3
② B = 90o时k = 11
3
③C = 90o时k = 3 13
2
8、以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰 直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.
a b ab = 0
设a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a b x1x2 + y1y2 = 0
（2）平行
若a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a//b x1y2 - x2y1 = 0.
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为θ（0o θ 180o），
AB AC = 1(-3) + 1 3 = 0
AB AC
∴△ABC是直角三角形.
例4:求a = ( 3 - 1, 3 + 1)与向量的夹角为45°的
单位向量．
解： 设所求向量为 b = (cosα,sinα)
∵ a 与 b 成45° ∴ a b = 2 8 = 2 2
另一方面 ( 3 1)cos ( 3 1)sin 2
(2)已知a = (2, 3),b = (-2, 4),求（a + b）（ a - b）.
解： 法一：a + b = (0, 7),a - b = (4, -1) （a + b）（ a - b）= 0 4 + 7 (-1) = -7.
法二
:
(a
+
b）（ a
-
b）=
2
高中数学 第二章 平面向量 2.3.3 向量数量积的坐标运
(2)求向量a与b夹角的余弦值. 解 由a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝ 21×5＝102.
要点三 向量垂直的坐标表示
例3 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)， AD为BC边上的高，求|A→D|与点D的坐标.
解 设D点坐标为(x，y)，
2.你能用向量法推导两点间距离公式|A→B|＝ →
答 AB＝(x2－x1，y2－y1)，
x2－x12＋y2－y12吗？
∴A→B·A→B＝A→B2＝|A→B|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，
即|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
[预习导引]
1.平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 . 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和 .
∴C→A＝O→A－O→C＝(1－2t,7－t)， C→B＝O→B－O→C＝(5－2t,1－t)， ∴C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8. ∴当 t＝2 时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2).
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
第二章——
2.3 平面向量的数量积
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量 积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的长度，并推导平面内两点 间的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
高一数学必修4课件：2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第二章
2.4 2.4.2
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课前自主预习
第二章
2.4 2.4.2
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温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135° ， 则m· n＝________.
第二章
2.4 2.4.2
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思路方法技巧
第二章
2.4 2.4.2
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命题方向
数量积的坐标运算
平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题． 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完 全代数化，并将数与形紧密结合起来． 主要解决以下三方面的问题： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
π 25,5,5 2， . 4
[答案]
第二章
2.4 2.4.2
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新课引入
第二章
2.4 2.4.2
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向量的数量积的几何运算为我们展示了一幅美丽的画 卷，它解决了几何中与度量相关的角度，长度(距离)等问 题．通过前面的学习，我们知道向量可以用坐标表示，向量 的加法，减法，数乘运算也可以用坐标表示，那么任意两个 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其数量积a· b又如何表示呢？你 能给出其推导过程吗？要解决好这几个问题，就让我们一起 进入平面向量数量积的坐标表示、模、夹角的学习吧！
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面
探究一 平面向量数量积的坐标运算 [典例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解析] (1)解法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
垂直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的 和，即 a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0
4k＋2＝0，k＝－12.
3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
所以 cos θ＝
3×－ 32＋12
3－＋1×321＋12＝－12，
又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.
答案：120°
所以 2a－b＝(4,8)．所以|2a－b|＝4 5，故选 D.
答案：(1)2 5 4 (2)D
探究三 向量的夹角与垂直 [典例 3] 已知点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角 的余弦值． [解析] (1)因为 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，所以A→B·A→D＝ 1×(－3)＋1×3＝0，所以A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
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高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-2平面向量数量积的坐标表示模夹角优化练习新人教A版必修4
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．以下选项中，不一定是单位向量的有( )①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(，)；③c＝(2x,2－x)；④d＝(1－
x，x)．
A．1个
B．2个
D．4个
C．3个
解析：因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝≥≠1，
|d|＝＝＝≥.故选B.
答案：B 2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，设下列结论中正确的是( )
B．a·b＝1
A．|a|＝|b|
2
D．a∥b
C．(a－b)⊥b
解析：因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，
所以|a|＝2，|b|＝，故|a|≠|b|，A错误；
a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以
(a－b)⊥b，故C正确．因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误．
答案：C 3．(2014年高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，
且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
B．0
A．－
D.15
C．3
2
解析：因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k
－3，－6)．
因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k
＝3.
答案：C 4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
B.π
A．－
6
C.
D.3π
4
解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)．a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，
|2a＋b|＝3，|a－b|＝3，设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，所以α＝.
答案：C 5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．以上均不正确B.
解析：＝(－1，－3)，＝(3，－1)．∵·＝－3＋3＝0，∴AC⊥A。