弹簧问题(拟合的妙用)
弹簧类问题的几种模型及其处理办法
精心整理弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。
其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。
一、弹簧类命题突破要点1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形23，高考不1例1．m2此过程中，m分析：，分别是弹簧k1、k2当用力缓慢上提m1，使k2下端刚脱离桌面时，，弹簧k2最终恢复原长，其中，为此时弹簧k1的伸长量。
答案：m2上升的高度为，增加的重力势能为，m1上升的高度为，增加的重力势能为。
点评：此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题，题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出。
注意缓慢上提，说明整个系统处于动态平衡过程。
例2．如上图2所示，A物体重2N，B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A物体的绳的拉力为T，B对地的压力为F，则T、F的数值可能是A．7N，0??????B．4N，2N?????C．1N，6N???????D．0，6N分析：对于轻质弹簧来说，既可处于拉伸状态，也可处于压缩状态。
所以，此问题要分两种情况进行分析。
（1）若弹簧处于压缩状态，则通过对A、B受力分析可得：，（2，答案：点评：2例3．分析：（2弹力和剪断，方向水平向右。
点评：此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题，学生不仅要对细线和弹簧弹力变化特点熟悉，还要对受力分析、力的平衡等相关知识熟练应用，此类问题才能得以解决。
突变类问题总结：不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计，因此可以称为“突变弹力”，轻质弹簧的弹力变化需要一定时间，弹力逐渐减小，称为“渐变弹力”。
实验二 探究弹簧弹力与形变量的关系
实验二探究弹簧弹力与形变量的关系1．实验思路(1)如图1所示，弹簧弹力(F)等于悬挂钩码的重力。
图1(2)弹簧伸长量(x)等于弹簧的现长(l)减去原长(l0)。
(3)多测几组，找出F与x的关系。
2．实验器材铁架台、弹簧、钩码、刻度尺、坐标纸。
3．实验步骤(1)安装实验器材。
(2)测量弹簧的伸长量(或总长)及所受的拉力(或所挂钩码的质量)，列表作出记录，要尽可能多测几组数据。
(3)根据所测数据在坐标纸上描点，以力为纵坐标，以弹簧的伸长量为横坐标。
(4)按照在图中所绘点的分布与走向，尝试作出一条平滑的曲线(包括直线)，所画的点不一定正好在这条曲线上，但要注意使曲线两侧的点数大致相同。
(5)以弹簧的伸长量为自变量，写出曲线所代表的函数，首先尝试一次函数，如果不行再考虑二次函数。
1．数据处理(1)列表法将测得的F、x填入设计好的表格中，可以发现弹力F与弹簧伸长量x的比值在误差允许范围内是相等的。
(2)图像法以弹簧伸长量x为横坐标，弹力F为纵坐标，描出F、x各组数据相应的点，作出的拟合曲线是一条过坐标原点的直线。
(3)函数法弹力F与弹簧伸长量x满足F＝kx的关系。
2．注意事项(1)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹簧的弹性限度。
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。
(3)观察所描点的走向：本实验是探究性实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点。
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。
3．误差分析(1)钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确以及画图时描点连线不准确都会引起实验误差。
(2)悬挂图2钩码数量过多，导致弹簧的形变量超出其弹性限度，不再符合胡克定律(F＝kx)，故图像发生弯曲。
如图2所示。
(3)水平放置弹簧测量其原长，由于弹簧有自重，将其悬挂起来后会有一定的伸长量，故图像横轴截距不为零。
弹簧振子的振动周期测量与公式拟合
7
因此可猜想常数 C=2π。最后得到弹簧振子自由振动的周期公式为：T=2π√������������ 。
实际上，以上的讨论忽略摩檫力把实验中的弹簧振子看做自由振动，是比较粗糙的做法。在实 验过程中，弹簧振子的振幅会随着时间的增加会慢慢减小，是欠阻尼振动。忽略弹簧的质量也是造成 误差的一个原因，查阅资料可得，若弹簧的总质量为������������，则系统自由振动的周期公式的一级修正为
指导教师批阅意见：
成绩评定：
实验设计方案 40 分 实验操作及数据记录、（30 分）
数据处理与结果陈述（30 分） 总分
8
表 2 m 与 T 的关系
根据表 2，可拟合出 m 与 T 的关系曲线：
T（s）
1.7
1.6 T = 1.6507m0.4601
1.5
1.4
1.3
1.2
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 m（kg）
图 21 m 与 T 的关系的曲线拟合
由图 21 的曲线拟合可得到弹簧的弹性系数一定时，m 与 T 的关系式：T=1.6507������0.4601，其中 B=1.6507。
用量纲分析的方法，可验证猜想的公式 T=C√������������。从以上实验结果，可知周期 T 与 m 和 k 有关，
即 T=C������������������������ 。m 和 k 的量纲式分别为 dim m=M ，dim k=M������−2 ，则 T=C������������������������ 右边的量纲为
1.53
表 1 k 与 T 的关系
图 10
47.84 0.815
50.6 0.828
92.6 0.623
双小球弹簧模型原理及应用
双小球弹簧模型原理及应用双小球弹簧模型是一种简化的力学模型，用于研究由两个小球和弹簧相互作用而形成的系统。
该模型可以通过具体的物理实验或数学分析来研究诸如共振、自由振动等问题。
该模型的基本原理是通过假设一对小球通过弹簧连接，并在合适的约束条件下对其运动进行建模。
这里的小球可以是物理系统中的任何物体，弹簧则是连接两个小球的弹性材料。
在该模型中，弹簧既提供了小球之间的力学连接，又提供了弹性势能。
通过弹簧的拉伸或压缩，它们之间的相对位置和相对速度会发生变化，从而影响到整个系统的运动状态。
在双小球弹簧模型中，可以通过牛顿第二定律或哈密顿力学等方法对系统进行分析。
其中，牛顿第二定律以质心运动方程和相对运动方程的形式进行建模，用于描述两个小球的运动规律。
哈密顿力学则用于描述系统的能量和动量随时间的变化。
这些分析方法可以解决诸如共振频率、振幅、相位等问题，并可以提供对系统稳定性和能量传递的有效描述。
双小球弹簧模型具有广泛的应用。
在物理学中，该模型可用于解释和预测诸如声波、光学和电磁波等传播过程。
例如，可以通过模拟弹簧与小球之间的相互作用来研究声波在不同媒介中的传播特性，以及光的干涉和衍射现象。
在机械工程中，双小球弹簧模型可用于设计和分析机械结构的振动特性，以及预测柔性材料和弹性体的应力应变行为。
在电子工程中，该模型可用于分析电路中的谐振器和滤波器，并优化信号传输和能量转换效率。
此外，双小球弹簧模型也可用于涉及到多体动力学的问题。
例如，通过在每个小球上添加坐标和速度变量，可以将该模型扩展为多小球弹簧模型，用于研究多体系统的运动和相互作用。
这种扩展可以应用于研究分子动力学、天体物理学中的星系演化以及复杂网络中的信息传递和耦合行为等领域。
总之，双小球弹簧模型是一种简化而有效的物理模型，用于研究由两个小球和弹簧相互作用而形成的系统。
该模型的应用范围广泛，从传统的物理学到工程学和其他交叉学科中都具有重要的意义。
通过对该模型的深入研究和应用，可以更好地理解和预测自然界和技术领域中的现象和行为。
弹簧的弹性势能实验
弹簧的弹性势能实验弹簧是一种常见的弹性体，常用于各种机械装置和工具中。
了解弹簧的弹性特性对于工程领域具有重要意义。
本文将介绍弹簧的弹性势能实验及其原理、步骤，以及实验结果的分析。
一、实验目的研究弹簧的弹性势能与其变形的关系，验证胡克定律。
二、实验原理弹簧的弹性势能表示了在其弹性变形中所储存的能量。
根据胡克定律，当弹簧发生变形时，其弹力与其相对伸长的长度成正比。
胡克定律的数学表达式为：F = -kx其中，F表示弹簧所受的弹力（单位为牛顿），k表示弹簧的弹性系数（单位为牛顿/米），x表示弹簧的伸长量（单位为米）。
根据弹簧的伸长量与受力之间的关系，可以计算出弹簧的弹性势能。
三、实验仪器和材料1. 弹簧：一根具有一定弹性系数的弹簧；2. 刻度尺：用于测量弹簧的伸长量；3. 重物：用于给弹簧施加不同的负荷。
四、实验步骤1. 将弹簧平放在水平桌面上，并使用刻度尺测量弹簧的原始长度（记为x0）。
2. 将一个重物(记为m1)挂在弹簧的下端，并记录下弹簧的伸长量（记为x1）。
3. 更换重物（记为m2），重复步骤2，记录弹簧的伸长量（记为x2）。
4. 重复步骤3，使用不同重物进行实验，记录多组数据。
五、数据处理与分析1. 计算每组实验的弹簧伸长量（Δx = xi - x0）。
2. 根据负荷的大小，计算每组实验的弹簧受力（F = m*g，其中g 为重力加速度）。
3. 绘制弹簧伸长量与负荷之间的图像，并做出拟合曲线。
4. 使用拟合曲线得出弹簧的弹性系数k。
5. 根据拟合曲线和弹簧的伸长量，计算每组实验的弹性势能（E = 1/2 * k * Δx^2）。
六、实验结果及讨论根据实验数据和计算结果，我们可以得到弹簧的弹性势能与其伸长量以及受力之间的关系。
根据实验结果，弹簧的伸长量与受力之间呈线性关系，验证了胡克定律。
弹性势能与伸长量的平方成正比，说明弹簧的弹性势能随着变形的增加而增加。
七、实验误差分析在实际实验中，存在各种误差来源，比如刻度尺的读数误差、重物的质量不准确等。
动量之弹簧类问题
动量之弹簧类问题第一部分弹簧类典型问题1.弹簧类模型的最值问题在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本文就此类问题作一归类分析。
1、最大、最小拉力例1. 一个劲度系数为k＝600N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m＝15kg的物体A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的外力F在物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.5s，B物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g＝10m/s2）。
求此过程中所加外力的最大和最小值。
图12、最大高度例2. 如图2所示，质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端。
一物体从钢板正上方距离为固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为x3x的A处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连，0它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O 点，若物体质量为2m仍从A处自由下落，则物块与钢板回到O点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。
图23、最大速度、最小速度例3. 如图3所示，一个劲度系数为k 的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质量为m 的平板B 相连而处于静止状态。
今有另一质量为m 的物块A 从B 的正上方h 高处自由下落，与B 发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度v 。
图3例4. 在光滑水平面内，有A 、B 两个质量相等的木块，mm k g A B==2，中间用轻质弹簧相连。
现对B 施一水平恒力F ，如图4所示，经过一段时间，A 、B 的速度等于5m/s 时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为100J ，当A 、B 恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块A 的最小速度。
弹簧振子经验公式拟合的可信赖度分析
Ａｕ ．， ２ ２ ｇ ０１ Ｖｏ ． ＮＯ ４ １３１ ．
弹 簧振 子经 验 公 式 拟 合 的可信 赖 度 分 析
彭厚德
（ 长江师范学院物理学 与电子工程学 院，重庆 涪陵 ４ ８０ ） ０ １０
［ 摘
要］ 文章 通过 对 弹簧振 子经验 公 式拟合 的 回归 分析 ， 明 利 用 简单 的 实验 手段 也 可 以得 说
因为 ６ 。＝ｌａ， ：ａ， ＝Ｊ， Ａ，【３ ｖ ｂ ， ６ Ｂ故 ０， 的值 为 ／
Ａ ＝ ６． ７ ６１７ ５，Ｌ＝ 一 ０ ４ ９ ８ ７， ２ ９ ９ ７１０ Ｏ ． ９ ６
Ｔ ＝ ６ ２ ９ ６１ ７１ ５ｋ一・ 鲫 ｍ。 。。 ．７９ ７ ０ 。 ・ 。
２订
一 （ ２ １） ２ ２ 显 著 性和精 度分 析 ．
／ ３＝ ０ ５ ０ ０ ６ ４ ． ０ ３ ２
根 据 上 述 数 据 和 计 算 结 果 ， 据 表 １ 显 著 根 ， 度分析 计算 结果 如表 ７所 示 ．
表 ７ 计 算 数 据
则 弹 簧振子 的周 期公 式为
振 子经验 公式 拟合 的可信 赖度 分析 方法 ．
值 ｙ（ ｔ＝１２３ … ， ， ，， Ⅳ）差异 分 为两部 分 ， 由 自 即
变量 取值 的不 同与 除 此 之 外 的 其 他 因 素 的 影 响． 由于此 差异 来 自于各 观测 值 与观 测 值 的算 术 平均 值之 差 ， 为 总变差 ： 称
１ １ 回归方 程的获 得 ． 设 因变量 Ｙ与另 外 个 自变 量 的某 种 内 在联 系是 线性 的 ， 过实 验得 到 Ⅳ组数 据 （ ＝ 通 ｔ
［ 收稿 日期 】０ ２—０ ２ ２ １ ４— ０
函数拟合方法在物理实验中的应用
函数拟合方法在物理实验中的应用在物理实验中，我们经常需要通过实验数据去拟合一个函数，以了解数据中的潜在规律或者进行进一步的分析。
这种函数拟合方法在物理领域被广泛应用，并且可以通过各种数学技术来实现。
一、线性回归拟合线性回归拟合是最常见的函数拟合方法之一，它通过找到一条最佳的直线来拟合数据。
在物理实验中，我们经常遇到一些线性关系，例如力与质量之间的关系、电阻与电流之间的关系等等。
通过线性回归拟合，我们可以确定这种关系的斜率和截距，从而更好地理解物理现象。
二、非线性拟合除了线性拟合，物理实验中还经常需要进行非线性拟合，因为很多物理现象并不遵循线性关系。
例如，放射性衰变过程中的指数衰减、振荡现象等等。
针对这种情况，我们可以使用多项式拟合、指数拟合等方法来拟合数据。
这些非线性拟合方法能够更准确地描述实验数据，并帮助我们得到更深入的分析结果。
三、优化拟合在物理实验中，我们常常会进行多次测量，得到多组数据。
然而，这些数据之间可能存在一些误差或者偏差。
为了更好地拟合数据，我们可以使用优化拟合的方法来考虑这些误差。
最小二乘法就是一种常用的优化拟合方法，它通过最小化拟合函数与实验数据之间的残差平方和来找到最佳的拟合参数。
这种方法可以帮助我们排除测量误差，并提供更可靠的拟合结果。
四、拟合的不确定度在物理实验中，除了拟合函数本身，我们还需要考虑拟合结果的不确定度。
因为实验数据本身存在误差，所以拟合结果也会存在一定的不确定性。
为了评估拟合结果的可靠性，我们可以使用统计学的方法来计算不确定度。
例如，可以利用最小二乘法的标准误差来衡量拟合结果的不确定性。
这样，我们可以得到一个范围，表示拟合参数的可信程度，在进行后续分析时有了更全面的参考。
五、案例分析为了更清楚地说明函数拟合方法在物理实验中的应用，我们可以通过一个案例来进行分析。
例如，我们通过实验测量了一组弹簧的伸长与外力的关系数据。
通过线性回归拟合，我们可以得到伸长与外力之间的线性关系，进而计算弹簧的弹性系数。
25. 弹簧类模型应用
第25课时 弹簧类模型应用一． 知识点：1. 动态问题分析：① 物体运动→弹簧长度变化→弹力f 变化→物体运动状态变化； ② 分析物体的运动过程及性质；③ 弹簧长度最短或最长时，物块速度相同； 2. 弹性势能： ① 221l k E k ∆=（一般不要求计算）② 能量守恒：减增E E ∆=∆；二． 例题分析：例1：滑块B 静止在光滑的水平面上，左端连一轻弹簧，滑块A 从左端以初速v 0向B 运动，A,B 质量分别为m 1和m 2，求： ① 弹簧最大的弹性势能；② 弹簧第一次恢复原长时A,B 的速度？当m 1<m 2时，A,B 如何运动？例2：用轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A 、B 两物块都以v ＝6 m ／s 的速度在光滑的水平地 面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg 的物块C 静止在前方，如图所示.B 与C 碰撞后 二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A 的速度多大?（2）弹性势能的最大值是多大? （3）A 的速度有可能向左吗?为什么?例3：下图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。
另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离1l 时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连。
已知最后A 恰好返回出发点P 并停止。
滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为 ， 运动过程中弹簧最大形变量为2l ，求A 从P 出发时的初速度0v 。
练习1：如同，滑块A,B 在光滑水平面上沿一直线相向运动，滑块B 的左端连一轻弹簧，A,B 质量分别为m 1=2kg ，m 2=1kg ，A,B 速度大小分别为2m/s 和3m/s,求： ① 弹簧的最大弹性势能；② 此时A,B 运动方向怎样？如何判断？练习2：质量分别为3m 和m 的两个物体, 用一根细线相连,中间夹着一个被压缩的轻质弹簧,整个系统原来在光滑水平地面上以速度v 0向右匀速运动,如图所示.后来细线断裂,质 量为m 的物体离开弹簧时的速度变为2v 0.求弹簧的这个过程中做的总功.练习3：如图所示，将木块m 1和m 2放在被压缩的轻质弹簧两端，并用细棉丝固定，当用火焰将棉丝烧断时，在弹簧作用下两木块被弹开．已知m 2=21m 1，并假定两木块始终受到相等的恒定阻力，它们与弹簧脱离后，沿水平方向分别运动距离s 1和s 2即停止，则：( )A. s 1=4s 2B. s 1=s 2C. s 1=21s 2 D. s 1=2s 2v 1v 2第25课时 弹簧类模型应用 参考答案例2：解析：（1）当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，（m A +m B ）v ＝（m A +m B +m C ）v A ′解得 v A ′=4226)22(++⨯+ m/s=3 m/s（2）B 、C 碰撞时B 、C 系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为v ′，则m B v =（m B +m C ）v ′ v ′=4262+⨯=2 m/s设物A 速度为v A ′时弹簧的弹性势能最大为E p ，根据能量守恒E p =21（m B +m C ）2v ' +21m A v 2-21（m A +m B +m C ）2'A v=21×（2+4）×22+21×2×62-21×（2+2+4）×32=12 J （3）A 不可能向左运动系统动量守恒，m A v +m B v =m A v A +（m B +m C ）v B设 A 向左，v A ＜0，v B ＞4 m/s 则作用后A 、B 、C 动能之和E ′=21m A v A 2+21（m B +m C ）v B 2＞21（m B +m C ）v B 2=48 J实际上系统的机械能 E =E p +21（m A +m B +m C ）·2'A v =12+36=48 J根据能量守恒定律，E '＞E 是不可能的例3：解：设A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为1v （碰前），由动能关系，有121202121m g l mv mv μ=-①A 、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为.2v 有 212mv mv = ②碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A 、B 的共同速度为3v ，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用动能定理，有)2()2()2(21)2(2122322l g m v m v m μ=-③此后A 、B 开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由动能定理有 12321mgl mv μ= ④由以上各式，解得 )1610(210l l g v +=μ ⑤练习2：答案32mv 02； 练习3：C ；。
初中物理弹簧类问题解题技巧
初中物理弹簧类问题解题技巧弹簧是物理学中常见的一个重要元件，其具有弹性系数和弹簧常数等特性。
在初中物理中，经常会遇到涉及弹簧的问题，如弹簧的伸长、压缩、弹簧振动等。
解决这类问题需要掌握一定的技巧，下面将介绍初中物理弹簧类问题的解题技巧。
1. 弹簧弹性势能公式弹簧的弹性势能是解决弹簧类问题的关键。
根据胡克定律，弹簧的弹性势能与其伸长或压缩的长度成正比。
弹簧的弹性势能公式为：[ E = k x^2 ]其中，( E ) 为弹性势能，( k ) 为弹簧的弹簧系数，( x ) 为弹簧伸长或压缩的长度。
2. 弹簧的力学平衡问题在解决弹簧类问题时，常会涉及到弹簧受力平衡的情况。
根据牛顿第二定律和弹簧的特性，可以建立弹簧受力平衡的方程。
例如，在弹簧振动问题中，考虑质点在弹簧上来回振动的情况，可以通过建立弹簧的力学平衡方程解决问题。
3. 弹簧系列联组合问题弹簧的串联和并联组合是物理中常见的问题类型。
在解决这类问题时，需要根据弹簧的特性和串联、并联电阻的特点进行分析。
例如，串联弹簧的总弹簧系数为各个弹簧弹簧系数的倒数之和，而并联弹簧的总弹簧系数等于各个弹簧系数之和。
4. 弹簧振动问题弹簧的振动是物理学中一个重要的研究领域。
在初中物理中，通常涉及到弹簧的简谐振动问题，需要掌握振动频率、角频率、振幅等概念。
解决弹簧振动问题时，可以利用简谐振动公式和能量守恒原理进行分析和计算。
通过掌握以上弹簧类问题的解题技巧，可以更好地解决初中物理中与弹簧相关的问题，提高问题解决的效率和准确性。
希望同学们在学习物理的过程中，能够深入理解弹簧的特性，灵活运用解题方法，从而取得更好的学习成绩。
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内容：进一步学习最小二乘原理及其Matlab 实现 一、复习 二、问题
x,y 分别表示弹簧弹力试验中的拉伸长度和弹力，由物理知识知在弹性限度内，y=kx ，在弹性限度外，y=ax^2+bx+c ，图中显示前五个点大致呈直线，后五个点大致呈抛物线。
要求拟合出这两段曲线的函数表达式，满足 1、在x5处连接（即连续）
2、在x5处光滑（理解为左导数等于右导数即可导）
二、思路：
1、难点：若仅按刚讲过的原理和方法，可以拟合出两段曲线所代表的函数，即解超定方程组，求出最小二乘解：
对前五个点方程组为
X x1 x2
x3
x4
x5 x6
x7
x8
x9
Y
y1
y2 y3 y4 y5
y6 y7 y8 y9
⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=→=====5432154321554
4332211,,y y y y y b k X x x x x x A y kx y kx y kx y kx y kx
进而，X=k=A\b 对于后五个点方程组为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++1 (1192)
9
62
6
525
9
9
29
882877276626552
5x x x x
x x A y c bx ax y c bx ax y c bx ax y c bx ax y c bx ax
⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=98765,y y y y y b c b a X 进而，X=A\b 求出abc 但是，无论从结果还是从原理分析，以上方法拟合的结果都无法保证曲线经过某个点，只能保证总体上距离平方和最小，这样就不可能满足1和2
2、办法：怎么办呢？拿到这个问题，我首先想到，可以用条件极值（或叫到约束的优化）来做，即在满足条件1和2的前提下，使J(a,b,c)最小。
但是，由于这一部分至今没有讲，暂时不能用。
其次考虑插值，两点原因注定不能用（1）测量点不准确，不适合用插值（2）插值不能产生满足要求的函数表达式。
我们能用的方法目前只有再次考虑最小二乘拟合 原理已经复习过了，还是使得该超定方程组的两端差距尽量小。
于是我们考虑是否可以把条件作的等价的变换，使得虽然还是按照原理进行，结果却趋向
我们的要求。
换句话说就是，经过等价变换以后，按原来的方法进行计算，为了实现总体上误差平方和最小，就必须保证在x5点尽量接近已知点。
再换句话说就是要是在x5点不尽量接近，就无法保证总体上误差平方和最小。
也就是该点的误差影响是显著最大
的。
于是，方法有了，将x5点的误差 “夸大”。
我们先将前5个点拟合出y=kx ，为满足条件1，我们要求后5个点的抛物线要过（x5,k*x5）这个点，即改变方程组的第一行
⎩
⎨
⎧=++......**100*100*100552
5x k c bx ax 即将矩阵A 作相应变化，带入X=A\b 求出abc 一对答案，一点都不错，问题1解决 解释变换的等价性。
下面是问题2
思路：学会透过现象看本质，注意原理中的等式即方程组中的方程本质上都是被拟合的函数所应满足的条件，这些条件不一定仅仅局限于在某个点的函数值应该如何，还可以要求在某个点的导数值应该怎样，于是我们再给方程组加一个方程（条件），就是在x5点上右导数（2ax5+b ）等于左导数（k ），同时为了保证相等而不是总体接近，在扩大到1000倍
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+......**100*100*1001000*1000*2*1000552
55x k c bx ax k b ax 矩阵A 作相应变化，带入X=A\b 求出abc 又一对答案，又做对了。
注：这些灵活的思想在过去都已经用过多次了，比如用直尺量一张纸，方法谁都知道。
复习：
1、曲线拟合：已知几个点，求一条曲线与已知点最接近。
2、其中一种叫最小二乘拟合，原理如下（y=ax+b ）
3、Matlab 实现：以上原理在Matlab 中的实现相当于求解一个超定方程组（见上表），AX=b 即
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+43213
21
2
21
1,,1......11...y y y y b b a X x x x A y b ax y b ax y b ax k
k Matlab 系统自动判断该方程组是超定方程租，解得的结果就是最小二乘意义下的解a 和b
4、同理当假定x 和y 满足c bx ax y ++=2时
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++1...11 (222)
212
122
2221121k k k k k x x x x x x A y c bx ax y c bx ax y c bx ax ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=k y y y b c b a X ...,21进而
x ax+b y 误差δ δ平方
x1 ax1+b y1 y1-ax1-b x2 ax2+b y2 Y2-ax2-b … … … … xk
axk+b
yk
yk-ax3-b
求和Σ
J(a,b)
0,0=∂∂=∂∂b
J
a J 求出a 和b。