2020高考数学分类汇编--概率统计

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2020年高考数学试题分项版—统计概率(原卷版)

2020年高考数学试题分项版—统计概率(原卷版)

2020年高考数学试题分项版——统计概率(原卷版)一、选择题1.(2020·全国Ⅰ理,5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A .y =a +bx B .y =a +bx 2 C .y =a +b e xD .y =a +b ln x2.(2020·全国Ⅰ理,8)⎝⎛⎭⎫x +y2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A .5 B .10 C .15 D .203.(2020·全国Ⅱ理,3)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( ) A .10名 B .18名 C .24名 D .32名4.(2020·全国Ⅲ理,3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p 1,p 2,p 3,p 4,且∑i =14pi =1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A .p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4B .p 1=p 4=0.4,p 2=p 3=0.1C .p 1=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3D .p 1=p 4=0.3,p 2=p 3=0.25.(2020·新高考全国Ⅰ,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ) A .120种 B .90种 C .60种 D .30种6.(2020·新高考全国Ⅰ,12)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,…,n ,且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑,定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑( )A .若n =1,则H (X )=0B .若n =2,则H (X )随着p i 的增大而增大C .若p i =1n(i =1,2,…,n ),则H (X )随着n 的增大而增大D .若n =2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,…,m ,且P (Y =j )=p j +p 2m +1-j (j =1,2,…,m ),则H (X )≤H (Y )7.(2020·北京,3)在(x -2)5的展开式中,x 2的系数为( ) A .-5 B .5 C .-10 D .108.(2020·新高考全国Ⅱ,6)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1个村,每个村至少1人,则不同的分配方案共有( ) A .4种 B .5种 C .6种 D .8种9.(2020·新高考全国Ⅱ,9)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是( )A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加B .这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量C .第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80%D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量10.(2020·天津,4)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为( )A .10B .18C .20D .3611.(2020·全国Ⅰ文,4)设O 为正方形ABCD 的中心,在O ,A ,B ,C ,D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B.25 C.12 D.4512.(2020·全国Ⅰ文,5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A .y =a +bx B .y =a +bx 2 C .y =a +b e xD .y =a +b ln x13.(2020·全国Ⅱ文,3)如图,将钢琴上的12个键依次记为a 1,a 2,…,a 12.设1≤i <j <k ≤12.若k -j =3且j -i =4,则称a i ,a j ,a k 为原位大三和弦;若k -j =4且j -i =3,则称a i ,a j ,a k 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )A .5B .8C .10D .1514.(2020·全国Ⅱ文,4)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( ) A .10名 B .18名 C .24名 D .32名15.(2020·全国Ⅲ文,3)设一组样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差为0.01,则数据10x 1,10x 2,…,10x n 的方差为( )A .0.01B .0.1C .1D .10 二、填空题1.(2020·全国Ⅱ理,14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有________种. 2.(2020·全国Ⅲ理,14)⎝⎛⎭⎫x 2+2x 6的展开式中常数项是________.(用数字作答) 3.(2020·天津,11)在⎝⎛⎭⎫x +2x 25的展开式中,x 2的系数是________. 4.(2020·天津,13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.5.(2020·江苏,3)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a 的值是________. 6.(2020·江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是________.7.(2020·浙江,12)二项展开式(1+2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 4=________,a 1+a 3+a 5=________.8.(2020·浙江,16)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2 个黄球,从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P (ξ=0)=________,E (ξ)=________. 三、解答题1.(2020·全国Ⅰ理,19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率.2.(2020·全国Ⅱ理,18)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160i ix==∑,2011200i iy==∑,2021)80i ix x =-=∑(,2021)9000i iy y =-=∑(,201))800ii ix y x y =--=∑((.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r))niix y x y --∑((,2≈1.414.3.(2020·全国Ⅲ理,18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),4.(2020·新高考全国Ⅰ,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),5.(2020·新高考全国Ⅱ,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),6.(2020·北京,18)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率,该校女生支持方案一的概率;(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1,试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)7.(2020·江苏,23)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X n,恰有2个黑球的概率为p n,恰有1个黑球的概率为q n.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示).8.(2020·全国Ⅰ文,17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?9.(2020·全国Ⅱ文,18)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160i ix==∑,2011200i iy==∑,2021)80i ix x =-=∑(,2021)9000i iy y =-=∑(,201))800ii ix y x y =--=∑((.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r))niix y x y --∑((,2≈1.414.10.(2020·全国Ⅲ文,18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),。

2020年全国及各省市高考数学试题分类汇编(11 排列组合与概率统计)

2020年全国及各省市高考数学试题分类汇编(11 排列组合与概率统计)

全国及各省市高考数学试题分类汇编(11 排列组合与概率统计)1.(2019·全国I 文·6)某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,3,,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( ).A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生答案:C解析:从1000名学生中抽取100名,每10人抽一个,46号学生被抽到,则抽取的号数就为106(099,)n n n N +≤≤∈,可得出616号学生被抽到.2.(2019·全国I 理·6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.1116 答案:A 解析:每爻有阴阳两种情况,所以总的事件共有62种,在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C 种,所以36620526416C P ===.3.(2019·全国II 文·4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B.35 C.25 D.15答案:B解析:计测量过的3只兔子为1、2、3,设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B 则恰好有两只测量过的有6种,所以其概率为35. 4.(2019·全国II 理·5)演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分。

2020年数学高考真题精编精用之汇编-08统计13概率

2020年数学高考真题精编精用之汇编-08统计13概率

统计1.(2020全国卷Ⅲ文3)(共21题的第3题 12道选择题第3题 150分占5分)设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.01,则数据1210,10,,10n x x x 的方差为( ) A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 答案:C解:因为数据()1,2,,i ax b i n +=的方差是数据()1,2,,i x i n =的方差的2a 倍,所以所求数据方差为2100.01=1⨯,故选C 。

点拔:本题考查方差的计算,记住结论“i ax b +的方差是i x 的方差的2a 倍”是解答的关键。

2.(2020天津4)(共20题的第4题 9道选择题第4题 150分占5分)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[)5.31,5.33,[)5.33,5.35,…,[)5.45,5.47,[]5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[)5.43,5.47内的个数为( )A.10B.18C.20D.36答案:B解:根据直方图,直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为:()6.25 5.000.020.225+⨯=,则区间[)5.43,5.47内零件的个数为:800.22518⨯=。

故选B 。

点拔:本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用。

3.(2020江苏3)(共23题的第3题 14道填空题第3题 200分占5分)已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4,则a 的值是 。

答案:2解:∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4,∴4235645a a ++-++=,即2a =。

点拔:根据平均数的公式进行求解即可。

概率1.(2020新高考全国Ⅰ卷5Ⅱ卷5)(共22题的第5题 8道选择题第5题 150分占5分) 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A.62%B.56%C.46%D.42%答案:C解:记“该中学学生喜欢足球”为事件A ,“该中学学生喜欢游泳”为事件B ,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅,则()0.6P A =,()0.82P B =,()0.96P A B +=,所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=。

专题17 概率统计解答题-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案

专题17  概率统计解答题-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案

专题17 概率统计解答题研究发现,课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性,每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定,掌握了全国卷的各种题型,就把握了全国卷命题的灵魂,基于此,潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明,精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型(按年份先理后文的排列),对把握全国卷命题的方向,指导我们的高考有效复习,走出题海,快速提升成绩,会起到事半功倍的效果。

概率统计解答题,每年一题,第一问,(文科)多为概率问题,(理科)多为统计问题,第二问,(文科)多为统计问题,(理科)多为分布列、期望计算问题或统计问题,特点;实际生活背景在加强,统计知识在加强,频率分布直方图、茎叶图、回归分析、独立性检验、正态分布(文理科)都有可能会考。

1.(2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学(理20))某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f (p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?【答案】见解析。

【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】(1)求出f(p)=,则=,利用导数性质能求出f (p)的最大值点p0=0.1.(2)(i)由p=0.1,令Y表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知Y~B(180,0.1),再由X=20×2+25Y,即X=40+25Y,能求出E(X).(ii)如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为400元,E(X)=490>400,从而应该对余下的产品进行检验.【解答】解:(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),则f(p)=,∴=,令f′(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0,当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0,∴f (p)的最大值点p0=0.1.(2)(i)由(1)知p=0.1,令Y表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为400元,∵E(X)=490>400,∴应该对余下的产品进行检验.【点评】本题考查概率的求法及应用,考查离散型随机变量的数学期望的求法,考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法,考查二项分布等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.2.(2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学(理19))为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x i为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【答案】见解析。

2020年全国各地高考真题分类汇编—排列组合、概率统计(含答案)

2020年全国各地高考真题分类汇编—排列组合、概率统计(含答案)

2020年全国各地⾼考真题分类汇编—排列组合、概率统计1.(2020•海南)要安排3名学⽣到2个乡村做志愿者,每名学⽣只能选择去⼀个村,每个村⾥⾄少有⼀名志愿者,则不同的安排⽅法共有()A.2种B.3种C.6种D.8种2.(2020•天津)从⼀批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直⽅图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A.10B.18C.20D.36 3.(2020•北京)在(﹣2)5的展开式中,x2的系数为()A.﹣5B.5C.﹣10D.10 4.(2020•新课标Ⅲ)设⼀组样本数据x1,x2,…,x n的⽅差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10x n 的⽅差为()A.0.01B.0.1C.1D.10 5.(2020•新课标Ⅰ)某校⼀个课外学习⼩组为研究某作物种⼦的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进⾏种⼦发芽实验,由实验数据(x i,y i)(i=1,2,…,20)得到下⾯的散点图:由此散点图,在10℃⾄40℃之间,下⾯四个回归⽅程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归⽅程类型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+be x D.y=a+blnx6.(2020•新课标Ⅰ)设O为正⽅形ABCD的中⼼,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A.B.C.D.7.(2020•新课标Ⅲ)在⼀组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且p i=1,则下⾯四种情形中,对应样本的标准差最⼤的⼀组是()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 8.(2020•新课标Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通⽹上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量⼤幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货⼯作.已知该超市某⽇积压500份订单未配货,预计第⼆天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每⼈每天能完成50份订单的配货,为使第⼆天完成积压订单及当⽇订单的配货的概率不⼩于0.95,则⾄少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名9.(2020•⼭东)6名同学到甲、⼄、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,⼄场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排⽅法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种10.(2020•新课标Ⅰ)(x+)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20 11.(2020•天津)已知甲、⼄两球落⼊盒⼦的概率分别为和.假定两球是否落⼊盒⼦互不影响,则甲、⼄两球都落⼊盒⼦的概率为;甲、⼄两球⾄少有⼀个落⼊盒⼦的概率为.12.(2020•上海)已知有四个数1,2,a,b,这四个数的中位数是3,平均数是4,则ab=.13.(2020•浙江)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个⻩球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为⽌.设此过程中取到⻩球的个数为ξ,则P(ξ=0)=,E(ξ)=.14.(2020•上海)从6个⼈挑选4个⼈去值班,每⼈值班⼀天,第⼀天安排1个⼈,第⼆天安排1个⼈,第三天安排2个⼈,则共有种安排情况.15.(2020•浙江)⼆项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=,a1+a3+a5=.16.(2020•江苏)已知⼀组数据4,2a,3﹣a,5,6的平均数为4,则a的值是.17.(2020•新课标Ⅱ)4名同学到3个⼩区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个⼩区,每个⼩区⾄少安排1名同学,则不同的安排⽅法共有种.18.(2020•江苏)将⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.19.(2020•上海)已知A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3},a、b∈A,则|a|<|b|的情况有种.20.(2020•上海)已知⼆项式(2x+)5,则展开式中x3的系数为.21.(2020•新课标Ⅲ)(x2+)6的展开式中常数项是(⽤数字作答).22.(2020•天津)在(x+)5的展开式中,x2的系数是.23.(2020•北京)某校为举办甲、⼄两项不同活动,分别设计了相应的活动⽅案;⽅案⼀、⽅案⼆.为了解该校学⽣对活动⽅案是否⽀持,对学⽣进⾏简单随机抽样,获得数据如表:男⽣⼥⽣⽀持不⽀持⽀持不⽀持⽅案⼀200⼈400⼈300100⼈⼈⽅案⼆350⼈250⼈150250⼈⼈假设所有学⽣对活动⽅案是否⽀持相互独⽴.(Ⅰ)分别估计该校男⽣⽀持⽅案⼀的概率、该校⼥⽣⽀持⽅案⼀的概率;(Ⅱ)从该校全体男⽣中随机抽取2⼈,全体⼥⽣中随机抽取1⼈,估计这3⼈中恰有2⼈⽀持⽅案⼀的概率;(Ⅲ)将该校学⽣⽀持⽅案⼆的概率估计值记为p0.假设该校⼀年级有500名男⽣和300名⼥⽣,除⼀年级外其他年级学⽣⽀持⽅案⼆的概率估计值记为p1.试⽐较p0与p1的⼤⼩.(结论不要求证明)24.(2020•海南)为加强环境保护,治理空⽓污染,环境监测部⻔对某市空⽓质量进⾏调研,随机抽查了100天空⽓中的PM2.5和SO2浓度(单位:µg/m3),得下表:[0,50](50,150](150,475] SO2PM2.5[0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市⼀天空⽓中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下⾯的2×2列联表:[0,150](150,475]SO2PM2.5[0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市⼀天空⽓中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828。

2020高考数学(理)专项复习《概率统计》含答案解析

2020高考数学(理)专项复习《概率统计》含答案解析

概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,为人们制定决策提供依据.概率是研究随机现象规律的学科,为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法. 统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用.概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型,学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容,初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法,并能用所学知识解决一些简单的实际问题,进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点,初步形成用随机观念观察、分析问题的意识.§11-1 概率(一)【知识要点】1.事件与基本事件空间:随机事件:当我们在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件;在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件,随机事件简称为事件.基本事件与基本事件空间:在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述,这样的事件称为基本事件.所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间,常用 表示.2.频率与概率频率:在相同的条件S 下,重复n 次试验,观察某个事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例nm 为事件A 出现的频率. 概率:一般的,在n 次重复进行的试验中,事件A 发生的频率nm ,当n 很大时总是在某个常数附近摆动,随着n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记做P (A ).显然有0≤P (A )≤1.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,随机事件的概率在(0,1)之间.3.互斥事件的概率加法公式事件的并:由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并,记做C =A ∪B .互斥事件:不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.互斥事件加法公式:如果事件A 、B 互斥,则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和,即P (A ∪B )=P (A )+P (B ).如果A 1,A 2,…,A n 两两互斥,那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率,等于这n 个事件分别发生的概率和,即P (A 1∪A 2∪…∪A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件A 的对立事件记作A ,满足P (A )=1-P (A ).概率的一般加法公式(选学):事件A 和B 同时发生构成的事件D ,称为事件A 与B 的交(积),记作D =A ∩B .在古典概型中,P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (A ∩B ).4.古典概型古典概型:一次试验有下面两个特征:(1)有限性,在一次试验中可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;(2)等可能性,每个基本事件发生的可能性是均等的,则称这个试验为古典概型.古典概型的性质:对于古典概型,如果试验的n 个基本事件为A 1,A 2,…,A n ,则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )=1且⋅=nA P i 1)( 概率的古典定义:在古典概型中,如果试验的基本事件总数为n (Ω ),随机事件A 包含的基本事件数为n (A),则p (A)=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ,即⋅=)()()(Ωn A n A P 5.几何概型几何概型:一次试验具有这样的特征:事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ,A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关,这样的试验称为几何概型.几何概型的特点:(1)无限性:一次试验中可能出现的结果有无穷多个;(2)等可能性,每个基本事件发生的可能性相等.几何概型中事件A 的概率定义:ΩA A P μμ=)(,其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量,μ A 表示子区域A 的几何度量.随机数:就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会均等.计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法,可以节约大量的人力物力.6.条件概率与事件的独立性条件概率:一般的,设A 、B 为两个事件,且P (A )>0,称P (B |A )=)()(A P B A P I 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率.一般把P (B |A )读作“A 发生的条件下B 发生的概率”.在古典概型中,用n (A )表示事件A 中基本事件的个数,则有P (B |A )=)()(A n B A n I .事件的独立性:设A 、B 为两个事件,如果P (B |A )=P (B ),则称事件A 与事件B 相互独立,并称事件A 、B 为相互独立事件.若A 、B 为两个相互独立事件,则A 与A 、A 与B 、A 与B 也都相互独立.若事件A 与事件B 相互独立,则P (A ∩B )=P (A )·P (B ).【复习要求】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式,会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.4.了解随机数的意义,了解几何概型的意义.5.在具体情境中,了解条件概率,了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式,并能解决一些简单的实际问题.【例题分析】例1(1)射中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数,命中不同的环数是互斥事件,射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和.命中不足8环所包含的事件较多,而其对立事件为“至少命中8环”,可先求其对立事件的概率,再通过P (A )=1-P (A )求解.解:设事件“射击一次,命中k 环”为事件A k (k ∈N ,k ≤10),则事件A k 彼此互斥.(1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A ,则P (A )=P (A 10)+P (A 9)=0.60.(2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B ,则P (B )=P (A 10)+P (A 9)+P (A 8)=0.78.(3)“射击一次,命中不足8环”为事件B 的对立事件,则P (B )=1-P (B )=0.22.【评析】解决概率问题时,要先分清所求事件由哪些事件组成,分析是否是互斥事件,再决定用哪个公式.当用互斥事件的概率加法公式解题时,要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件,要善于用对立事件解题.例2 现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A 1,A 2,A 3通晓日语,B 1,B 2,B 3通晓俄语,C 1,C 2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.(Ⅰ)求A 1被选中的概率;(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率.【分析】本题是一个古典概型的问题,可以直接用概率公式)()()(Ωn A n A P =求解. 解:(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)} 由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件,则M ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)}事件M 由6个基本事件组成,因而⋅==31186)(M P(Ⅱ)用N 表示“B 1,C 1不全被选中”这一事件,则其对立事件N 表示“B 1,C 1全被选中”这一事件, 由于N ={(A 1,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)},事件N 由3个基本事件组成, 所以61183)(==N P ,由对立事件的概率公式得⋅=-=-=65611)(1)(N P N P 【评析】古典概型解决概率问题时,选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步.本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果”为基本事件空间,计算时采用列举法,也可以利用乘法计数原理计算3×3×2=18.本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间,共有3个基本事件,选出A 1只有一种可能,故所求概率为⋅31例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.(1)连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;(2)连续摸球2次,在第一次摸到黑球的条件下,求第二次摸到白球的概率;(3)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率.【分析】本题是一个古典概型问题,因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多,宜用排列组合公式计算,当然也可利用两个计数原理计数.本题第二问是条件概率问题.做第三问时,要分为三个事件:“第一次摸到红球”,“第一次摸到不是红球,第二次摸到红球”,“前两次摸到不是红球,第三次摸到红球”,显然三个事件是互斥事件.解:(1)从袋中依次摸出2个球共有29A 种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4=12种结果,则所求概率6112291==A P (或6184931=⨯=P ). (2)设“第一次摸到黑球”为事件A ,“第二次摸到白球”为事件B ,则“第一次摸到黑球,且第二次摸到白球”为事件A ∩B ,又31)(=A P ,P (A ∩B )61=,所以或⋅==213161)|(A B P (或2184)|(==A B P ). (3)第一次摸出红球的概率为1912A A ,第二次摸出红球的概率为291217A A A ,第三次摸出红球的概率为391227A A A ,则摸球次数不超过3次的概率为⋅=++=12739122729121719122A A A A A A A A P 【评析】利用古典概型求解时,求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致,若无序则都无序,若有序则都有序,分子和分母的标准要相同.在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法),有时也与排列组合联系紧密,计算时灵活多变,但要注意分类讨论,做到不重不漏.要正确识别条件概率问题,理解P (A),P (A ∩B ),P (B |A )的含义.例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2米的概率是______.(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面,并约好先到者等候另一人一刻钟,过时即可离去.则两人能会面的概率是______.(3)正方体内有一个内切球,则在正方体内任取一点,这个点在球内的概率为______.【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解.分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解.解:(1)本题可转化为:“在长为6m 的线段上随机取点,恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?” 易求得⋅=31P (2)本题可转化为面积问题:即“阴影部分面积占总面积的多少?”, 解得⋅=167)(A P (3)本题可转化为体积问题:即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”.解得⋅=6πP 【评析】几何概型也是一种概率模型,它具有等可能性和无限性两个特点.解题的关键是要建立模型,将实际问题转化为几何概率问题.基本步骤是:把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω;把随机事件A 转化为与之对应的区域A ;利用概率公式)()()(ΩA A P μμ=计算.常用的几何度量包括:长度、面积、体积.例5 设有关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0.(Ⅰ)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(Ⅱ)若a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.【分析】本题第一问是古典概型问题,第二问由于a 、b 在实数区间选取,可以转化为几何概型问题求解.解:设事件A 为“方程x 2+2ax +b 2=0有实根”.当a ≥0,b ≥0时,方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b .(Ⅰ)基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.事件A 中包含9个基本事件,事件A 发生的概率为⋅==43129)(A P (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}.构成事件A 的区域为{(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2,a ≥b }.所以所求的概率为⋅=⨯⨯-⨯=3223221232 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的,只是几何概型的基本事件有无限个,而古典概型的基本事件有有限个.在具体问题中,不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型.例6 如图,用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2,当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作;当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作,已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90,分别求系统N 1、N 2正常工作的概率.【分析】三个元件能否正常工作相互独立.当元件A 、B 、C 同时正常工作时,系统N 1正常工作;当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作,而B 、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算.解:设元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ,则P (A )=0.8,P (B)=0.9,P (C)=0.9,且事件A 、B 、C 相互独立.(1)系统N 1正常工作的概率为p 1=P (A ·B ·C )=P (A )·P (B )·P (C )=0.80×0.90×0.90=0.648.(2)元件B 、C 至少有一个正常工作的概率为1-P (B ·C )=1-P (B )·P (C )=1-0.1×0.1=0.99,所以系统N 2正常工作的概率为p 2=P (A )·(1-P (B ·C ))=0.80×0.99=0.792.【评析】本题以串、并联为背景,重点在正确理解题意.在计算几个事件同时发生的概率时,要先判断各个事件之间是否相互独立.独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求,要依据题目特点,巧妙地选用相关方法.例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).(1)连续抛掷3次,求向上的点数之和为3的倍数的概率;(2)连续抛掷6次,求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率.【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况,计数时要不重不漏;向上点数为奇数的概率为21,连续抛掷6次是独立重复试验. 解:(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况,为6的结果共10种情况,为9的结果共25种情况,为12的结果共25种情况,为15的结果共10种情况,为18的结果共1种情况.所以⋅=⨯⨯+++++=3166611025251012P(2)因为每次抛掷骰子,向上的点数为奇数的概率为P =21, 根据独立重复试验概率公式有⋅==⋅⋅6415)21()21(24463C P 【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题,要善于分析模型的特点,正确合理的解题.例8 某学校进行交通安全教育,设计了如下游戏,如图,一辆车模要直行通过十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车模直行的概率是53,左转行驶的概率是52,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求:(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率;(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口).【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况:4辆车都直行,3辆车直行1辆车左转.解:(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ,则⋅=⨯=625216)52()53()(2224C A P (2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ,其中4辆车模均 直行通过路口为事件B 1,3辆直行1辆左转为事件B 2,则事件B 1、B 2互斥.=+=+=)()()()(2121B B P B B P B P ⋅=⨯+62529752)53()53(334444C C 【评析】善于从复杂的背景中发现线索,体会其实质.善于转化问题的叙述,恰当的分类.练习11-1一、选择题1.下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A .频率就是概率B .频率是客观存在的,与试验次数无关C .随着试验次数增加,频率一般会越来越接近概率D .概率是随机的,在试验前不能确定2.从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A .至少有一个白球,都是白球B .至少有一个白球,至少有一个红球C .恰有一个白球,恰有两个白球D .至少有一个白球,都是红球3.独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4,则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )A .0.16B .0.36C .0.48D .0.644.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A .751B .752C .753D .754 二、填空题5.甲、乙二人掷同一枚骰子各一次.如果谁掷的点数大谁就取胜,则甲取胜的概率为______.6.设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6.今有一敌机来犯,要有99%的把握击中敌机,至少需要______门高射炮.7.在平面直角坐标系xoy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中概率为______.8.一个口袋中有4个白球,2个黑球.有放回的取出3个球,如果第一次取出的是白球,则第三次取出的是黑球的概率为______;不放回的取出3个球,在第一次取出的是白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率为______.三、解答题9.已知集合A ={-4.-2,0,1,3,5},在平面直角坐标系中点M (x ,y )的坐标满足x ∈A ,y ∈A .计算:(1)点M 恰在第二象限的概率;(2)点M 不在x 轴上的概率;(3)点M 恰好落在区域⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x 上的概率.10.某个高中研究性学习小组共有9名学生,其中有3名男生和6名女生.在研究学习过程中,要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报),每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响;(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率;(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率.11.3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作,若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作,且各名志愿者的选择互不影响.求(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率;(2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率.§11-2 概率(二)【知识要点】1.离散型随机变量及其分布列随机变量:如果随机试验的可能结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,我们把这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,…,x n ,X 取到i i ii 12+…+p n =1.离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和.其中0<p <1,q =1-,则称离散型随机变量服从参数为p 的二点分布.二项分布:一般的,在相同条件下重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为==)(k X P k n k k n q p C -(其中p 为在一次试验中事件A 发生的概率,q =1-p ,k =0,1,…,n ).若将n次独立重复试验中事件A 发生的次数设为X ,则X 的分布列为超几何分布:一般的,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件(n ≤N ),这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为m C C C m X P n Nm n M N m M ≤==--0()(≤l ,其中l 为n 和M中较小的一个).我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布.2.随机变量的数字特征及正态分布1122i i n n 了离散型随机变量的平均取值水平.称i i n i p X E xX D ⋅-=∑=21))(()(为随机变量X 的方差,它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度),其算数平方根)(X D 为随机变量X 的标准差,记作σ (X ),方差(或标准差)越小表明X 的取值相对于期望越集中,否则越分散.均值与方差的性质:①E (aX +b )=aE (X )+b ②D (aX +b )=a 2D (X )若X 服从两点分布,则E (X )=p ,D (X )=pq ;若X ~B (n ,p ),则E (X )=np ,D (X )=npq . 正态曲线:函数),((21)(222)(+∞∝-∈=--x e x x σμσπϕ,其中μ ∈R ,σ >0)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.其特点有:①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交;②曲线是单峰的,关于x =μ 对称;③曲线在x =μ 处达到峰值σ2π1;④曲线与x 轴之间的面积为1;⑤当σ 一定时,曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移;⑥当μ 一定时,曲线的形状由σ 决定.σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.正态分布:如果对于任意实数a <b ,随机变量X 满足=≤<)(b X a P dx x ba )(ϕ⎰,则称X 的分布为正态分布;随机变量X 服从参数μ 、σ 的正态分布,记作N ~(μ ,σ 2).正态分布的三个常用数据:①P (μ -σ <X <μ +σ )=68.3%;②P (μ -2σ <X <μ +2σ )=95.4%;③P (μ -3σ <X <μ +3σ )=99.7%.【复习要求】①在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性.②通过实例,理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.③通过实例,理解n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. ④通过实例,理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的期望、方差,并能解决一些实际问题.⑤通过实际问题,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【例题分析】例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球,现从中随机取出3个球,以X 表示取出球的最大号码,(1)求X 的分布列;(2)求X >4的概率;(3)求E (X ).【分析】随机变量X 可能取的值为3、4、5、6,应用古典概型求得X 取每一个值的概率,就可以写出分布列.解:(1)随机变量X 可能取的值为3、4、5、6,且,203)4(,2011)3(362336======C C X P C X P 3624)5(C C X P ==103206==,212010)6(3625====C C X P ,所求X 的分布列为(2)==+==>)6()5()4(X P X P X P ⋅54 (3).25.5216103520342013)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值),以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率.书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值,然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个x i 所对应的概率p i ,最后列成表格.要注意不同的X 值所对应的事件之间是互斥的,求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和.例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球,现从中任取4个球,其中所含红球的个数为X ,写出X 的分布列,并求X 的期望.【分析】袋中共有10个球,从中任取4个,所含红球的个数为0、1、2、3、4,每个事件的概率可以利用古典概型求解.解:随机变量X 可取的值有0、1、2、3、4,)0(=X P =,42121054104505==⋅C C C )1(=X P =215210504103515==⋅C C C ,)2(=X P 21102101004102525===⋅C C C ,===⋅4101535)3(C C C X P 21050 215=,4212105)4(4100545==⋅==C C C X P , 分布列为2424213212211420)(=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】本题的随机变量X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布,其中N =10,M =5,n =4.例3 某人练习射击,每次击中目标的概率为31. (1)用X 表示击中目标的次数.①若射击1次,求X 的分布列和期望;②若射击6次,求X 的分布列和期望;(2)若他连续射击6次,设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数,求ξ的分布列;(3)他一共只有6发子弹,若击中目标,则不再射击,否则子弹打完为止,求他射击次数η 的分布列.【分析】射击问题常被看做是独立重复试验.ξ的取值为0到6,η 的取值为1到6. 解:(1)①X 服从二点分布⋅=31)(X E ②X 服从二项分布)6,,1,0()2()1()(),1,6(~66Λ===-k C k X P B k k k ,分布列为.236)(=⨯=X E (2)ξ的取值为0到6,ξ=k (k =0,1,…,5)表示第k +1次击中目标,前k 次都没击中目标,则P (ξ=k )=)5,,1,0(31)32(.Λ=k k ,ξ=6表示射击6次都未击中目标,==)6(ξP6)2(.ξ的分布列为(3)η 的取值为1到6.η =k (k =1,2,…,5)表示第k 次时第一次击中目标,==)(k P η 6;1)2(.1=-ηk 表示前5次都没有击中目标,5)2()6(==ξP .η 的分布列为“X =k ”.在计算满足二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时,可直接应用公式计算.例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ,且X 和Y 的分布列为计算X 和Y 【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算,再根据实际意义作出分析. 解:E (X )=8.85,D (X )=2.2275;E (Y )=5.6,D (Y )=10.24.由于E (X )>E (Y ),说明甲射击的平均水平比乙高;由于D (X )<D (Y ),说明甲射击的环数比较集中,发挥比较稳定,乙射击的环数比较分散,技术波动较大,不稳定,由此可以看出甲比乙的技术好.【评析】正确记忆期望和方差的公式,在分布列中,期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加,求方差要先求期望,再作差、平方、乘以相应概率再相加.科学对待计算结果,正确分析数据所表达的实际意义.例5 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x 2+bx +c =0实根的个数(重根按一个计).(1)求方程x 2+bx +c =0有实根的概率;(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x 2+bx +c =0有实根的概率;(3)若η =2ξ+1,求ξ、η 的数学期望和方差;【分析】本题概率问题是古典概型,要分别求出事件中所含元素的个数,第一问事件“二次方程有实根”等价于“∆=b 2-4c ≥0”,b 、c 的值都取自{1,2,3,4,5,6};第二问是条件概率问题;第三问先求ξ的期望和方差,再由公式求η 的期望和方差.解:(1)由题意知:设基本事件空间为Ω,记“方程x 2+bx +c =0没有实根”为事件A ,“方程x 2+bx +c =0有且仅有一个实根”为事件B ,“方程x 2+bx +c =0有两个相异实数”为事件C ,Ω中基本事件总数为36个,A 中的基本事件总数为17个,B 中的基本事件总数为2个,C 中的基本事件总数为17个.又因为B ,C 是互斥事件,故所求概率⋅=+=+=36193617362)()(C B B P P (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D ,“方程x 2+bx +c =0有实数”为事件E ,由上面分析得D P D P (,3611)(=∩367)=E ,∴⋅==117)()()|(D P E D P D E P I (Ⅱ)由题意ξ的可能取值为0,1,2,则,3617}2{,181}1{,3617}0{======&ξξξP P P 故ξ的分布列为:所以.18173617·)12(181·)11(3617·(0-0-,136172181136170222=-+-+==⨯+⨯+⨯=ξξD E 9342)12(,312)12(2==+==+=+=ξξξξηηD D D E E E 【评析】本题是一道概率的综合题,由07山东卷改编而得.在古典概型中解决条件概率问题时,概率公式是=)|(A B P )()()()(A n B A n A P B A P I I =.具有线性关系的两个随机变量的期望和方差之间的关系是b X aE b aX E +=+)()(,)()(2X D a b aX D =+.例6 (1)设两个正态分布N (μ 1,21σ)(σ 1>0)和N (μ 2,22σ)(σ 2>0)的密度函数图象如图所示.则有( )。

2020年高考试题分类汇编(统计与概率)

2020年高考试题分类汇编(统计与概率)

2020年高考试题分类汇编(统计与概率)考点1计数1.(2020·全国卷Ⅱ·理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有 种.2.(2020·海南卷·山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有A .120种B .90种C .60种D .30种 3.(2020·全国卷Ⅱ·文理科)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A .10名B .18名C .24名D .32名 考点2数据的数字特征1.(2020·全国卷Ⅲ·文科)设一座样本数据1x ,2x ,,n x 的方差为0.01,则数据110x ,210x ,,10n x 的方差为A .0.01B .0.1C .1D .102.(2020·全国卷Ⅲ·理科)在一组样本中,1,2,3,4出现的频率分别为1p ,2p ,3p ,4p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是A .140.1p p ==,230.4p p ==B .140.4p p ==,230.1p p ==C .140.2p p ==,230.3p p ==D .140.3p p ==,230.2p p == 3.(2020·北京卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A .62%B .56%C .46%D .42% 4.(2020·天津卷)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A .10B .18C .20D .36考点4回归分析1.(2020·全国卷Ⅰ·理科)某校一个课外学习小组为研究某作物的发芽率y 和温度x (单位:C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,有实验数据(,)i i x y (1i =,2,,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10C 至40C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A .y a bx =+B .2y a bx =+C .x y a be =+D .ln y a b x =+ 考点5概率1.(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .2.(2020·北京卷)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随发芽率20%40% 60% 80% 100% 010 20 3040◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率; (Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(Ⅲ)将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ,假设该校年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ,试比较0p 与1p 的大小.(结论不要求证明)3.(2020·全国卷Ⅰ·文科)某厂接受了一项加工业务,加工起来的产品(单位:件)按标准分为A ,B ,C ,D 四个等级.加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元,对于D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂承接加工业务.甲分厂加工成本费25元/件,乙分厂加工成本费20元/件.厂家为决定由哪家分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:(Ⅰ)分别估计甲、乙两个分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率; (Ⅱ)分别求甲、乙两个分厂加工出来的100件产品的平均利润,厂家应选哪个分厂承接加工业务?4.(2020·全国卷Ⅰ·理科)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,福者下一场轮空,直至由一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(Ⅰ)求甲连胜四场的概率;(Ⅱ)求需要进行第五场比赛的概率;(Ⅲ)求丙最终获胜的概率.考点6独立性检验及相关系数1.(2020·海南卷·山东卷)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的2.5PM和2SO浓度(单位:3/ug m),得下表:(Ⅰ)估计事件“该市一天空气中 2.5PM浓度不超过75,且2SO浓度不超过150”的概率;(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM浓度与2SO浓度有关?附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,2.(2020·全国卷Ⅱ·文理科)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其方程面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(,)i i x y (1i =,2,,20),其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得2060i i x ==∑,201200ii y==∑,202()80i i x x =-=∑,202()9000i i y y =-=∑,20()()800i i i x x y y =--=∑.(Ⅰ)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数); (Ⅱ)求样本的相关系数(精确到0.01);(Ⅲ)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一你认为更合理的抽样方法,说明理由.附:相关系数()()niix x y y r --=∑1.414≈.3.(2020·全国卷Ⅲ·理科)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空(Ⅰ)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(Ⅱ)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(Ⅲ)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面22⨯列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为一天中到公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:其中22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,。

2020年高考数学试题分类汇编 专题概率 理 精品

2020年高考数学试题分类汇编 专题概率 理 精品

2020年高考试题数学(理科)概率一、选择题:1.(2020年高考浙江卷理科9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率(A)15(B)25(C)35(D )45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=AAAAAAAP.2. (2020年高考辽宁卷理科5)从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B︱A)=(A)18(B)14(C)25(D)123. (2020年高考全国新课标卷理科4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A)13(B)12(C)23(D)34解析:因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法,两位同学个参加一个小组共有933=⨯种方法;所以,甲乙两位同学参加同一个小组的概率为3193=点评:本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。

【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况,第一局胜或第一局输第二局胜,所以甲队获得冠军的概率.43212121=⨯+=P所以选D.5.(2020年高考湖北卷理科7)如图,用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576答案:B解析:系统正常工作概率为120.90.8(10.8)0.90.80.80.864C⨯⨯⨯-+⨯⨯=,所以选B. 6.(2020年高考陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2020西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是(A)136(B)19(C)536(D)16【答案】D【解析】:各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有1111111166554433C C C C C C C C种,且等可能,最后一小时他们同在一个景点有11111116554433C C C C C C C种,则最后一小时他们同在一个景点的概率是11111116554433111111116655443316C C C C C C CpC C C C C C C C==,故选D7. (2020年高考四川卷理科12)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n,其中面积不超过...4的平行四边形的个数为m,则mn=( )(A)415(B)13(C)25(D)23答案:B解析:基本事件:26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C==⨯=从选取个,.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1);其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3); m=3+2=5故51153mn==.8.(2020年高考福建卷理科4)如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A .14 B .13C .12D .23【答案】C 二、填空题:1.(2020年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23,得到乙、丙两公司面试的概率为p ,且三个公司是否让其面试是相互独立的。

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2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:°C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图:由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A .y a bx =+ B .2y a bx =+ C .e x y a b =+ D .ln y a b x =+19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12, (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 5.D6.B7.C 8.C19.解:(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684 ---=.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为11117 8168816+++=.2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名18.(12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据()()20,,2,1,⋯=iyxii ,其中ix和i y分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑==20160iix,∑==2011200i iy,()∑==-201280i ix x,()∑==-20129000i iyy,()()080201∑==--i i iy y x x.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本()()20,,2,1,⋯=i y x i i 的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数()()()()∑∑∑===----=ni ini i ni ii y y x x yyx x r 12121,414.12≈.2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 A .14230.1,0.4p p p p ==== B .14230.4,0.1p p p p ==== C .14230.2,0.3p p p p ====D .14230.3,0.2p p p p ====4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)()=1e t K I t --+,其中K 为最大确诊病例数.当*()0.95I t K =时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln193)≈A .60B .63C .66D .6918.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关? 附:K3.B4.C18.解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=.(3)根据所给数据,可得22⨯列联表:根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于5.820 3.841>,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:°C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图:由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A .y a bx =+ B .2y a bx =+ C .e x y a b =+D .ln y a b x =+17.(12分)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A ,B ,C ,D 四个等级.加工业务约定:对于A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:乙分厂产品等级的频数分布表(1(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务? 5.D 17.解:(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=; 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学4.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 A .10名 B .18名C .24名D .32名18. (12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i ) (i=1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160i ix==∑,2011200i iy==∑,2021)80i ix x =-=∑(,2021)9000i iy y =-=∑(,201))800ii ix y x y =--=∑((. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i ) (i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r=))niix y x y --∑((=1.414.4.B18.解:(1)由己知得样本平均数20160120i iy y===∑,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200= 12 000. (2)样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20))0.943i ix yrx y--===≈∑((.(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学3.设一组样本数据x1,x2,…,x n的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10x n的方差为A.0.01B.0.1C.1D.104.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:0.23(53)()=1e tIKt--+,其中K为最大确诊病例数.当I(*t)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则*t约为(ln19≈3)A.60B.63C.66D.6918.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,3.C4.C18.解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=. (3)根据所给数据,可得22⨯列联表:根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于5.820 3.841>,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数 学(18)(本小题14分)某校为举办甲乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率,该校女生支持方案一的概率:(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(Ⅲ)将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p,试比较0p与1p的大小.(结论不要求证明)2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是▲ .4.1 923.(本小题满分10分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X n,恰有2个黑球的概率为p n,恰有1个黑球的概率为q n.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) .23.满分10分.解:(1)113111133C C 1C C 3p =⋅=,113211133C C 2C C 3q =⋅=,11113121211111*********C C C C 1270(1)C C C C 3927p p q p q p q =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=,1111111133222112211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--11216=9327q -+=.(2)当2n ≥时,1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+,①111111113322211211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--112=93n q --+,②2⨯+①②,得()1111124121222399333n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++. 从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=,又111312p q -+=,所以11112()1()3331n nn n p q -+++==,*n ∈N .③由②,有1313()595n n q q --=--,又135115q -=,所以1113()1595n n q -=-+,*n ∈N . 由③,有13111()210111()()33925n n n n n p q =+=-+-+[],*n ∈N . 故311111()()109235n n n n p q --=--+,*n ∈N . n X 的概率分布则*1()0(1)121(),3n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N .2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A.10 B.18 C.20 D.3613.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.4.B13.16;232020年普通高等学校招生全国统一考试5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A .62%B .56%C .46%D .42%12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ,且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑,定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A .若n =1,则H (X )=0B .若n =2,则H (X )随着i p 的增大而增大C .若1(1,2,,)i p i n n==,则H (X )随着n 的增大而增大D .若n =2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ,且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=,则H (X )≤H (Y )19.(12分)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位:3μg/m ),得下表:(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的22⨯列联表:(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,5.C 12.AC19.解:(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=. (2)根据抽查数据,可得22⨯列联表:(3)根据(2)的列联表得22100(64101610)7.48480207426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯. 由于7.484 6.635>,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关.2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学16.盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则(0)P ξ==_______,()E ξ=_______. 16.1,13。

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