内积空间简介

第九章内积空间Inner Product Space

§9.1 目的与要求

?掌握内积、内积空间的概念

?熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等

?熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用

厦门大学数学科学学院

网址: https://www.360docs.net/doc/8018265847.html,

?定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有

(1). ( x , y ) = ( y , x )

(2). ( x + y , z ) = (

x ,z ) + (y , z )

(3). ( cx , y ) = c ( x , y )

(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.

有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).

R V V →?对称线性非负（实）内积空间

?定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有

(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )

(3). (cx , y ) = c ( x , y )

(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.

则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.

?注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.

?注2:在复内积空间中, (,)(,)

x y y x =a a =(,)(,)

x cy c x y =R V V →?（复）内积空间

?例1:R n ×1是n 维欧氏空间, 若, 定义内积如下:

该内积称为R n ×1上的标准内积.

C n ×1是n 维酉空间, 若, 定义内积如下:

该内积称为C n ×1上的标准内积.

1122(,)...n n

x y y x x y x y x y '==+++例子

1

,C n x y ??∈1,R n x y ??∈1122(,)...n n

x y y x x y x y x y '==+++

?例2:R 2×1上对1) 是内积

2) 非线性, 非内积

3) 未必非负, 非内积11211222

(,)4x y x y x y x y x y =--+例子

1122,x y x y x y ?????== ? ?????

1,2(,)max(||,||)i i i x y x y ==1212

(,)x y x x y y =+++

?例3:设, 定义则c [a , b ]是无限维内积空间. ?例4:设G 为n 阶正定阵, 对, 定义

则R n ×1是R 上n 维欧氏空间. G =I 即例1.?例5:R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 若是, 它是几维的?

例子

(,)'x y x Gy

=(,)()()b a f g f x g x dx =?(),()[,]f x g x c a b ∈1,R n x y ??∈

?定义:设V 实内积空间, 设x , y ∈V, 定义x 的长度为:定义x 与y 的距离为:当V

是实空间时, 定义x , y 的夹角

θ的余弦为:当V 是复空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:

当( x , y ) = 0时, 称x 与y 正交, 记x ⊥y .

(,)

x x x =(,)d x y x y

=-(,)cos x y x y

θ=(,)cos x y x y θ=(实)内积空间_2

?定理:设V 是实的或复的内积空间,设x , y ∈V, c 为常数(实数或复数), 则

(1) (2) (Cauchy-Schwarz 不等式)当且仅当x , y 线性相关时, 等号成立.(3) (三角不等式)

cx c x

=(,)x y x y

≤x y x y

+≤+

在R n×1中

?注1:x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和自己正交; 只有零向量的长度为0;

?注2:||x+y||= ||x||+||y|| x和y同向或有一为0;?注3:(x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角(内积几何意义);

?注4:x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2 (勾股定理);

?注5:若两两正交, 即则1)2)?注6:x 称为单位向量, 若. 一般地, 若x ≠0, 则x /|| x ||是单位向量(称把x 单位化).

?注7:Cauchy-Schwarz 不等式具体形式:

12,,...,m ααα(,)0,i j i j αα=?≠122...m m k k ααα⊥++22221212......m m αααααα+++=+++1x =()

222221111...(...)(...)n n n n x y x y x x y y ++≤++++222(()())()()b

b b a a a f x g x dx f x dx g x dx

≤???

例子

?例6:证明下列不等式成立

1)2) 若A =(a ij )n ×n 是(对称)正定阵, 则

))(()(11

112

11j i n i n

j ij j i n i n j ij n i n j j i ij y y a x x a y x a ∑∑∑∑∑∑======≤222111111()()()n n n n n n

ji ji ji ji

i j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑

厦门大学数学科学学院

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作业

?作业p294 1, 2, 3, 6, 7

补充: R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证明下列不等式：

?选做p295 5

222111111()()()n n n n n n

ji ji ji ji

i j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑

§9.2 目的与要求

?掌握标准正交基、正交补空间的概念?掌握度量矩阵与内积的关系

?掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的关系

?熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件

?掌握向量组的Gram-Schmidt正交化的计算

标准正交基_1

?定义:设是n 维内积空间V 的一

组基, 若, 则称这组基是V 的一组正交基, 若

,则称这组基是V 的一组标准正交基.

?引理:内积空间V 中任意一组两两正交的非零向量必线性无关.

12,,...,n εεε(,)0,i j i j εε=?≠(,)i j ij εεδ=

标准正交基_2

?定理: 设V 是内积空间, 是V 中m 个线性无关的向量, 则在V 中存在两两正交的向量, 使得?Gram-Schmidt 正交化:

12,,...,m ξξξ12,,...,m ηηη1212(,,...,)(,,...,).

m m L L ξξξηηη=11ηξ=,11,11,(,)...,,11(,)

i j i i i i i i i j j j k k k j i ξηηξηηηη--=+++=-≤≤-

Schmit 正交化u u 2211k v -v 2322

k v -121211111221

2(,)(,)u u u k v v u v v v v v ==--=v 12

v 311k v -3

v 3u 33113223331

3221u u k v k v k k v v v --=--=211k v v 1311k v 322k v 3322u k v -

标准正交基_3

?注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的向量组与原向量组等价.

?推论: 任意n 维内积空间有一组标准正交基.?注: 标准正交基可以简化内积的运算.

设是内积空间V 的标准正交基, 若

, 则, 即又若, 则

12,,...,n εεε(,)i i x x ε=1122(,)....

n n x y x y x y x y =+++1122...n n x x x x εεε=+++111222(,)(,)...(,)n n n

x x x x εεεεεε=+++1122...n n y y y y εεε=+++

例子

?例1:R 1×2, 在标准内积下e 1, e 2是标准正交基, 任意向量x =(x 1, x 2), 则x 1=(x , e 1), x 2=(x , e 2).

?例2:设V 是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又. 试用Gram-Schmidt 方法将化为V 的一组标准正交基.

?例3:设, 问是否为的一

组基? 一组标准正交基?

1234(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,u u u u ==-==1,1,1)--1234,,,u u u u 12(1,0),(0,1)u u ==12,u u 12R ?

正交补

?定义:设U是内积空间V的子空间,令

U⊥={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U},

则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.

?定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空间,则

(1) V = U U⊥;

(2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准正交基;

(2’) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V 的标准正交基.