高三数学一轮复习教案全套练习及详细解析
第一章集合
第一节集合的含义、表示及基本关系
A组
1.已知A={1,2},B={x|x∈A},则集合A与B的关系为________.
解析:由集合B={x|x∈A}知,B={1,2}.答案:A=B
2.若?{x|x2≤a,a∈R},则实数a的取值范围是________.
解析:由题意知,x2≤a有解,故a≥0.答案:a≥0
3.已知集合A={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合B={x|-2≤x<8},则集合A与B的关系是________.解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴B A.
答案:B A
4.(2009年高考广东卷改编)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是________.
解析:由N={x|x2+x=0},得N={-1,0},则N M.答案:②
5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
解析:命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,∴A B,∴a<5.
答案:a<5
6.(原创题)已知m∈A,n∈B,且集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又C={x|x=4a+1,a∈Z},判断m+n属于哪一个集合?
解:∵m∈A,∴设m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈Z,∴m+n∈B.
B组
1.设a,b都是非零实数,y=a
|a|+b
|b|+
ab
|ab|可能取的值组成的集合是________.
解析:分四种情况:(1)a>0且b>0;(2)a>0且b<0;(3)a<0且b>0;(4)a<0且b<0,讨论得y=3或y =-1.答案:{3,-1}
2.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=________.
解析:∵B?A,显然m2≠-1且m2≠3,故m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.答案:1
3.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是________个.
解析:依次分别取a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8
4.已知集合M={x|x2=1},集合N={x|ax=1},若N M,那么a的值是________.
解析:M={x|x=1或x=-1},N M,所以N=?时,a=0;当a≠0时,x=1
a
=1或-1,∴a=1或
-1.答案:0,1,-1
5.满足{1}A?{1,2,3}的集合A的个数是________个.
解析:A中一定有元素1,所以A有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3
6.已知集合A ={x |x =a +16,a ∈Z },B ={x |x =b 2-13,b ∈Z },C ={x |x =c 2+1
6,c ∈Z },则A 、B 、C 之间
的关系是________.
解析:用列举法寻找规律.答案:A
B =C
7.集合A ={x ||x |≤4,x ∈R },B ={x |x 5”的________.
解析:结合数轴若A ?B ?a ≥4,故“A ?B ”是“a >5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条件 8.(2010年江苏启东模拟)设集合M ={m |m =2n ,n ∈N ,且m <500},则M 中所有元素的和为________.
解析:∵2n <500,∴n =0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S =1+2+22+…+28=511.答案:511 9.(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集,对于k ∈A ,如果k -1?A ,且k +1?A ,那么称k
是A 的一个“孤立元”.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8},由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
解析:依题可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案:6
10.已知A ={x ,xy ,lg(xy )},B ={0,|x |,y },且A =B ,试求x ,y 的值.
解:由lg(xy )知,xy >0,故x ≠0,xy ≠0,于是由A =B 得lg(xy )=0,xy =1.
∴A ={x,1,0},B ={0,|x |,1
x
}.
于是必有|x |=1,1
x =x ≠1,故x =-1,从而y =-1.
11.已知集合A ={x |x 2-3x -10≤0},
(1)若B ?A ,B ={x |m +1≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围; (2)若A ?B ,B ={x |m -6≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围; (3)若A =B ,B ={x |m -6≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围.
解:由A ={x |x 2-3x -10≤0},得A ={x |-2≤x ≤5},
(1)∵B ?A ,∴①若B =?,则m +1>2m -1,即m <2,此时满足B ?A . ②若B ≠?,则????
?
m +1≤2m -1,-2≤m +1,
2m -1≤5.
解得2≤m ≤3.
由①②得,m 的取值范围是(-∞,3]. (2)若A ?B ,则依题意应有????
?
2m -1>m -6,
m -6≤-2,
2m -1≥5.解得???
m >-5,
m ≤4,
m ≥3.
故3≤m ≤4,
∴m 的取值范围是[3,4].
(3)若A =B ,则必有?????
m -6=-2,
2m -1=5,
解得m ∈?.,即不存在m 值使得A =B .
12.已知集合A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1)x +a ≤0}.
(1)若A 是B 的真子集,求a 的取值范围; (2)若B 是A 的子集,求a 的取值范围; (3)若A =B ,求a 的取值范围.
解:由x 2-3x +2≤0,即(x -1)(x -2)≤0,得1≤x ≤2,故A ={x |1≤x ≤2}, 而集合B ={x |(x -1)(x -a )≤0},
(1)若A 是B 的真子集,即A B ,则此时B ={x |1≤x ≤ a },故a >2.
(2)若B是A的子集,即B?A,由数轴可知1≤a≤2.
(3)若A=B,则必有a=2
第二节集合的基本运算
A组
1.(2009年高考浙江卷改编)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩?U B=____.
解析:?U B={x|x≤1},∴A∩?U B={x|0 2.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有________个. 解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},?U(A∩B)={3,5,8}.答案:3 3.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=________. 解析:由题意知,N={0,2,4},故M∩N={0,2}.答案:{0,2} 4.(原创题)设A,B是非空集合,定义A?B={x|x∈A∪B且x?A∩B},已知A={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则A?B=________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以A?B=(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.(2009年高考湖南卷)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15-3=12(人).答案:12 6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A={x|x>1},集合B={x|m≤x≤m+3}. (1)当m=-1时,求A∩B,A∪B; (2)若B?A,求m的取值范围. 解:(1)当m=-1时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1 B组 1.若集合M={x∈R|-3 解析:因为集合N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0}.答案:{-1,0} 2.已知全集U={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},则(?U A)∩B=________. 解析:?U A={0,1},故(?U A)∩B={0}.答案:{0} 3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则M∩(?U N)=________. 解析:根据已知得M∩(?U N)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}={x|-2≤x<0}.答案:{x|-2≤x<0} 4.集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________. 解析:由A∩B={2}得log2a=2,∴a=4,从而b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=A∪B中有m个元素,(?U A)∪(?U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________. 解析:U=A∪B中有m个元素, ∵(?U A)∪(?U B)=?U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素.答案:m -n 6.(2009年高考重庆卷)设U ={n |n 是小于9的正整数},A ={n ∈U |n 是奇数},B ={n ∈U |n 是3的倍数},则?U (A ∪B )=________. 解析:U ={1,2,3,4,5,6,7,8},A ={1,3,5,7},B ={3,6},∴A ∪B ={1,3,5,6,7}, 得?U (A ∪B )={2,4,8}.答案:{2,4,8} 7.定义A ?B ={z |z =xy +x y ,x ∈A ,y ∈B }.设集合A ={0,2},B ={1,2},C ={1},则集合(A ?B )?C 的所有 元素之和为________. 解析:由题意可求(A ?B )中所含的元素有0,4,5,则(A ?B )?C 中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案:18 8.若集合{(x ,y )|x +y -2=0且x -2y +4= x ,y )|y =3x +b },则b =________. 解析:由????? x +y -2=0,x -2y +4=0.?? ???? x =0, y =2.点(0,2)在y =3x +b 上,∴b =2. 9.设全集I ={2,3,a 2+2a -3},A ={2,|a +1|},?I A ={5},M ={x |x =log 2|a |},则集合M 的所有子集是 ________. 解析:∵A ∪(?I A )=I ,∴{2,3,a 2+2a -3}={2,5,|a +1|},∴|a +1|=3,且a 2+2a -3=5,解得a =-4或a =2,∴M ={log 22,log 2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2+2(a +1)x +(a 2-5)=0}. (1)若A ∩B ={2},求实数a 的值; (2)若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围. 解:由x 2-3x +2=0得x =1或x =2,故集合A ={1,2}. (1)∵A ∩B ={2},∴2∈B ,代入B 中的方程,得a 2+4a +3=0?a =-1或a =-3;当a =-1时,B ={x |x 2-4=0}={-2,2},满足条件;当a =-3时,B ={x |x 2-4x +4=0}={2},满足条件;综上,a 的值为-1或-3. (2)对于集合B ,Δ=4(a +1)2-4(a 2-5)=8(a +3).∵A ∪B =A ,∴B ?A , ①当Δ<0,即a <-3时,B =?满足条件;②当Δ=0,即a =-3时,B ={2}满足条件;③当Δ>0,即a >-3时,B =A ={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得 ????? 1+2=-2(a +1) 1×2=a 2 -5?????? a =-52,a 2=7, 矛盾.综上,a 的取值范围是a ≤-3. 11.已知函数f (x )= 6 x +1 -1的定义域为集合A ,函数g (x )=lg(-x 2+2x +m )的定义域为集合B . (1)当m =3时,求A ∩(?R B ); (2)若A ∩B ={x |-1 (1)当m =3时,B ={x |-1 (2)∵A ={x |-1 ∴有-42+2×4+m =0,解得m =8,此时B ={x |-2 (1)若A =?,求实数a 的取值范围; (2)若A 是单元素集,求a 的值及集合A ; (3)求集合M ={a ∈R |A ≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程ax 2-3x +2=0无解. 若a =0,方程有一解x =2 3 ,不合题意. 若a ≠0,要方程ax 2-3x +2=0无解,则Δ=9-8a <0,则a >9 8 . 综上可知,若A =?,则a 的取值范围应为a >9 8. (2)当a =0时,方程ax 2-3x +2=0只有一根x =23,A ={2 3 }符合题意. 当a ≠0时,则Δ=9-8a =0,即a =9 8 时, 方程有两个相等的实数根x =43,则A ={4 3}. 综上可知,当a =0时,A ={23};当a =98时,A ={4 3 }. (3)当a =0时,A ={2 3 }≠?.当a ≠0时,要使方程有实数根, 则Δ=9-8a ≥0,即a ≤9 8 . 综上可知,a 的取值范围是a ≤98,即M ={a ∈R |A ≠?}={a |a ≤9 8 } 第二章 函数 第一节 对函数的进一步认识 A 组 1.(2009年高考江西卷改编)函数y =-x 2-3x +4 x 的定义域为________. 解析: ????? -x 2 -3x +4≥0,x ≠0, ?x ∈[-4,0)∪(0,1] 答案:[-4,0)∪(0,1] 2.(2010年绍兴第一次质检)如图,函数f (x )的图象是曲线段OAB ,其中点O ,A , B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f (1 f (3) )的值等于________. 解析:由图象知f (3)=1,f (1 f (3) )=f (1)=2.答案:2 3.(2009年高考北京卷)已知函数f (x )=? ???? 3x ,x ≤1, -x ,x >1.若f (x )=2,则x =________. 解析:依题意得x ≤1时,3x =2,∴x =log 32; log 32 当x >1时,-x =2,x =-2(舍去).故x =log 32.答案: 4.(2010年黄冈市高三质检)函数f :{1,2}→{1,2}满 足f [f (x )]>1的这样的函数 个数有________个. 解析:如图.答案:1 5.(原创题)由等式x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=(x +1)3+b 1(x +1)2+b 2(x +1)+b 3定义一个映射f (a 1,a 2,a 3)=(b 1,b 2,b 3),则f (2,1,-1)=________. 解析:由题意知x 3+2x 2+x -1=(x +1)3+b 1(x +1)2+b 2(x +1)+b 3, 令x =-1得:-1=b 3; 再令x =0与x =1得????? -1=1+b 1+b 2+b 3 3=8+4b 1+2b 2+b 3 , 解得b 1=-1,b 2=0. 答案:(-1,0,-1) 6.已知函数f (x )=????? 1+1 x (x >1), x 2+1 (-1≤x ≤1), 2x +3 (x <-1). (1)求f (1- 1 2-1 ),f {f [f (-2)]}的值;(2)求f (3x -1);(3)若f (a )=3 2 , 求a . 解:f (x )为分段函数,应分段求解. (1)∵1-1 2-1 =1-(2+1)=-2<-1,∴f (-2)=-22+3, 又∵f (-2)=-1,f [f (-2)]=f (-1)=2,∴f {f [f (-2)]}=1+12=3 2 . (2)若3x -1>1,即x >23,f (3x -1)=1+13x -1=3x 3x -1 ; 若-1≤3x -1≤1,即0≤x ≤3 2,f (3x -1)=(3x -1)2+1=9x 2-6x +2; 若3x -1<-1,即x <0,f (3x -1)=2(3x -1)+3=6x +1. ∴f (3x -1)=????? 3x 3x -1 (x >2 3), 9x 2 -6x +2 (0≤x ≤23 ), 6x +1 (x <0). (3)∵f (a )=3 2 ,∴a >1或-1≤a ≤1. 当a >1时,有1+1a =3 2 ,∴a =2; 当-1≤a ≤1时,a 2+1=32,∴a =±2 2 . ∴a =2或±2 2 . B 组 1.(2010年广东江门质检)函数y = 1 3x -2+lg(2x -1)的定义域是________. 解析:由3x -2>0,2x -1>0,得x >23.答案:{x |x >2 3 } 2.(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )=???? ? -2x +1,(x <-1),-3,(-1≤x ≤2), 2x -1,(x >2), 则f (f (f (3 2 )+5))=_. 解析:∵-1≤32≤2,∴f (3 2)+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f (2)=-3, ∴f (-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:7 3.定义在区间(-1,1)上的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),则f (x )的解析式为________. 解析:∵对任意的x ∈(-1,1),有-x ∈(-1,1), 由2f (x )-f (-x )=lg(x +1),① 由2f (-x )-f (x )=lg(-x +1),② ①×2+②消去f (-x ),得3f (x )=2lg(x +1)+lg(-x +1), ∴f (x )=23lg(x +1)+1 3 lg(1-x ),(-1 答案:f (x )=23lg(x +1)+1 3 lg(1-x ),(-1 4.设函数y =f (x )满足f (x +1)=f (x )+1,则函数y =f (x )与y =x 图象交点的个数可能是________个. 解析:由f (x +1)=f (x )+1可得f (1)=f (0)+1,f (2)=f (0)+2,f (3)=f (0)+3,…本题中如果f (0)=0,那么y =f (x )和y =x 有无数个交点;若f (0)≠0,则y =f (x )和y =x 有零个交点.答案:0或无数 5.设函数f (x )=? ???? 2 (x >0) x 2+bx +c (x ≤0),若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则f (x )的解析式为f (x )=________, 关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为________个. 解析:由题意得 ??? ?? 16-4b +c =c 4-2b +c =-2 ??? ?? b =4 c =2 , ∴f (x )=? ???? 2 (x >0) x 2+4x +2 (x ≤0). 由数形结合得f (x )=x 的解的个数有3个. 答案:? ???? 2 (x >0) x 2+4x +2 (x ≤0) 3 6.设函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),函数g (x )=-x 2+bx +c ,若f (2+2)-f (2+1)=1 2,g (x )的图象过点 A (4,-5)及 B (-2,-5),则a =__________,函数f [g (x )]的定义域为__________. 答案:2 (-1,3) 7.(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )=? ???? x 2-4x +6,x ≥0 x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是________. 解析:由已知,函数先增后减再增,当x ≥0,f (x )>f (1)=3时,令f (x )=3, 解得x =1,x =3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3. 当x <0,x +6=3时,x =-3,故f (x )>f (1)=3,解得-3 8.(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=? ??? ? log 2(4-x ), x ≤0,f (x -1)-f (x -2), x >0,则f (3)的值为 ________. 解析:∵f (3)=f (2)-f (1),又f (2)=f (1)-f (0),∴f (3)=-f (0),∵f (0)=log 24=2,∴f (3)=-2.答案:-2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x ≥20),y 与x 之间函数的函数关系是________. 解析:设进水速度为a 1升/分钟,出水速度为a 2升/分钟,则由题意得????? 5a 1=20 5a 1+15(a 1-a 2)=35,得 ????? a 1=4a 2=3 ,则y =35-3(x -20),得y =-3x +95,又因为水放完为止,所以时间为x ≤95 3 ,又知x ≥20,故解析式为y =-3x +95(20≤x ≤953).答案:y =-3x +95(20≤x ≤953 ) 10.函数f (x )=(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6. (1)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若f (x )的定义域为[-2,1],求实数a 的值. 解:(1)①若1-a 2=0,即a =±1, (ⅰ)若a =1时,f (x )=6,定义域为R ,符合题意; (ⅱ)当a =-1时,f (x )= 6x +6,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若1-a 2≠0,则g (x )=(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6为二次函数. 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立, ∴????? 1-a 2 >0,Δ≤0,∴????? -1 ∴-511≤a <1.由①②可得-5 11 ≤a ≤1. (2)由题意知,不等式(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6≥0的解集为[-2,1],显然1-a 2≠0且-2,1是方程(1-a 2)x 2 +3(1-a )x +6=0的两个根. ∴?? ??? 1-a 2<0, -2+1=3(1-a )a 2-1,-2=6 1-a 2, Δ=[3(1-a )]2 -24(1-a 2 )>0 ∴????? a <-1或a >1, a =2,a =±2. a <-511或a >1 ∴a =2. 11.已知f (x +2)=f (x )(x ∈R ),并且当x ∈[-1,1]时,f (x )=-x 2+1,求当x ∈[2k -1,2k +1](k ∈Z )时、f (x ) 的解析式. 解:由f (x +2)=f (x ),可推知f (x )是以2为周期的周期函数.当x ∈[2k -1,2k +1]时,2k -1≤x ≤2k +1,-1≤x -2k ≤1.∴f (x -2k )=-(x -2k )2+1. 又f (x )=f (x -2)=f (x -4)=…=f (x -2k ), ∴f (x )=-(x -2k )2+1,x ∈[2k -1,2k +1],k ∈Z . 12.在2008年11月4日珠海航展上,中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C 型装置的工人有x 位,他们加工完C 型装置所需时间为g (x ),其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x ).(单位:h ,时间可不为整数) (1)写出g (x ),h (x )的解析式; (2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少? 解:(1)g (x )=20003x (0 216-x (0 (2)f (x )=????? 2000 3x (0 ). 1000 216-x (87≤x <216,x ∈N * ). (3)分别为86、130或87、129. 第二节 函数的单调性 A 组 1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1 ①f (x )=1 x ②f (x )=(x -1)2 ③f (x )=e x ④f (x )=ln(x +1) 解析:∵对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1 2.函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示,则函数g (x )=f (log a x )(0 解析:∵0 2 ]时,g (x )为减函数. 由0≤log a x ≤ 1 2 a ≤x ≤1.答案:[a ,1](或(a ,1)) 3.函数y =x -4+15-3x 的值域是________. 解析:令x =4+sin 2α,α∈[0,π2],y =sin α+3cos α=2sin(α+π 3),∴1≤y ≤2. 答案:[1,2] 4.已知函数f (x )=|e x +a e x |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增,则实数a 的取值范围__. 解析:当a <0,且e x +a e x ≥0时,只需满足e 0+a e 0≥0即可,则-1≤a <0;当a =0时, f (x )=|e x |=e x 符 合题意;当a >0时,f (x )=e x +a e x ,则满足f ′(x )=e x -a e x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立.只需满足a ≤(e 2x )min 成立 即可,故a ≤1,综上-1≤a ≤1. 答案:-1≤a ≤1 5.(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ,都有f (x )≥M (M 为常数),称M 为f (x )的下界,下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________. ①f (x )=sin x ;②f (x )=lg x ;③f (x )=e x ;④f (x )=???? ? 1 (x >0)0 (x =0)-1 (x <-1) 解析:∵sin x ≥-1,∴f (x )=sin x 的下确界为-1,即f (x )=sin x 是有下确界的函数;∵f (x )=lg x 的值域为(-∞,+∞),∴f (x )=lg x 没有下确界;∴f (x )=e x 的值域为(0,+∞),∴f (x )=e x 的下确界为0,即f (x )=e x 是有下确界的函数; ∵f (x )=??? 1 (x >0) 0 (x =0) -1 (x <-1) 的下确界为-1.∴f (x )=??? 1 (x >0) 0 (x =0) -1 (x <-1) 是有下确界的函数.答案:①③④ 6.已知函数f (x )=x 2,g (x )=x -1. (1)若存在x ∈R 使f (x ) (2)设F (x )=f (x )-mg (x )+1-m -m 2,且|F (x )|在[0,1]上单调递增,求实数m 的取值范围. 解:(1)x ∈R ,f (x ) x ∈R ,x 2-bx +b =(-b )2-4b b <0或b >4.(2)F (x )=x 2-mx +1 -m 2,Δ=m 2-4(1-m 2)=5m 2-4, ①当Δ≤0即-255≤m ≤255 时,则必需 ??? m 2 ≤0-25 5≤m ≤25 5 -255 ≤m ≤0. ②当Δ>0即m <-255或m >255时,设方程F (x )=0的根为x 1,x 2(x 1 2 ≥1,则x 1≤0. ??? ?? m 2≥1F (0)=1-m 2≤0 m ≥2. 若m 2≤0,则x 2≤0, ??? ?? m 2≤0F (0)=1-m 2≥0 -1≤m <-25 5 .综上所述:-1≤m ≤0或m ≥2. B 组 1.(2010年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. ①y =-1 x ②y =-(x -1) ③y =x 2-2 ④y =-|x | 解析:由函数y =-|x |的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④ 2.若函数f (x )=log 2(x 2-ax +3a )在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________. 解析:令g (x )=x 2-ax +3a ,由题知g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0. ∴????? a 2≤2,4-2a +3a >0, ∴-40)在(3 4 ,+∞)上是单调增函数,则实数a 的取值范围__. 解析:∵f (x )=x +a x (a >0)在(a ,+∞)上为增函数,∴a ≤34,0 16. 答案:(0,9 16 ] 4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x ),对任意x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f (x 2)-f (x 1) x 2-x 1<0, 则下列结论正确的是________. ①f (3) 解析:由已知f (x 2)-f (x 1) x 2-x 1 <0,得f (x )在x ∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得f (2)=f (-2),即f (3) 2) 5.(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )=? ???? a x (x <0),(a -3)x +4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2<0成 立,则a 的取值范围是________. 解析:由题意知,f (x )为减函数,所以???? ? 0 a -3<0, a 0 ≥(a -3)×0+4a , 解得0 4 . 6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ,点A 的坐标为(1,2),点B 的坐标为(3,0),定义函数g (x )=f (x )·(x -1),则函数g (x ) 的最大值为________. 解析:g (x )=????? 2x (x -1) (0≤x <1), (-x +3)(x -1) (1≤x ≤3), 当0≤x <1时,最大值为0;当1≤x ≤3时, 在x =2取得最大值1.答案:1 7.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数y =f (x )的值域为[-2,0],则函数y =f (cos x )的值 域是________. 解析:∵cos x ∈[-1,1],函数y =f (x )的值域为[-2,0],∴y =f (cos x )的值域为[-2,0].答案:[-2,0] 8.已知f (x )=log 3x +2,x ∈[1,9],则函数y =[f (x )]2+f (x 2)的最大值是________. 解析:∵函数y =[f (x )]2+f (x 2)的定义域为 ????? 1≤x ≤9, 1≤x 2 ≤9, ∴x ∈[1,3],令log 3x =t ,t ∈[0,1], ∴y =(t +2)2+2t +2=(t +3)2-3,∴当t =1时,y max =13.答案:13 9.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间(0,1 2 )内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为__________. 解析:令μ=2x 2+x ,当x ∈(0,1 2 )时,μ∈(0,1),而此时f (x )>0恒成立,∴0 μ=2(x +14)2-18,则减区间为(-∞,-14).而必然有2x 2+x >0,即x >0或x <-1 2.∴f (x )的单调递增区间 为(-∞,-12).答案:(-∞,-1 2 ) 10.试讨论函数y =2(log 12x )2-2log 1 2 x +1的单调性. 解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令u =g (x )=log 1 2x ,y =f (u )=2u 2-2u +1,那么原函数y =f [g (x )] 是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数,而u =log 12x 在x ∈(0,+∞)内是减函数,y =2u 2-2u +1=2(u -1 2)2 +12在u ∈(-∞,12)上是减函数,在u ∈(12,+∞)上是增函数.又u ≤12,即log 12x ≤12,得x ≥22;u >1 2,得0 2 2 .由此,从下表讨论复合函数y =f [g (x )]的单调性: 故函数y =2(log 12x )2-2log 12x +1在区间(0,22)上单调递减,在区间(2 2 ,+∞)上单调递增. 11.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f (x 1 x 2 )=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0. (1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的单调性;(3)若f (3)=-1,解不等式f (|x |)<-2. 解:(1)令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. (2)任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1 x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0, 所以f (x 1 x 2)<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1) 所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)由f (x 1x 2)=f (x 1)-f (x 2)得f (9 3)=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. 由于函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由f (|x |) 12.已知:f (x )=log 3x 2+ax +b x ,x ∈(0,+∞),是否存在实数a ,b ,使f (x )同时满足下列三个条件:(1)在 (0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f (x )的最小值是1.若存在,求出a 、b ;若不存在,说明理由. 解:∵f (x )在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x =1时,f (x )最小,log 31+a +b 1=1.即a +b =2. 设0<x 1<x 2≤1,则f (x 1)>f (x 2).即x 12+ax 1+b x 1>x 22+ax 2+b x 2恒成立. 由此得(x 1-x 2)(x 1x 2-b ) x 1x 2 >0恒成立. 又∵x 1-x 2<0,x 1x 2>0,∴x 1x 2-b <0恒成立,∴b ≥1. 设1≤x 3<x 4,则f (x 3)<f (x 4)恒成立.∴(x 3-x 4)(x 3x 4-b ) x 3x 4 <0恒成立. ∵x 3-x 4<0,x 3x 4>0,∴x 3x 4>b 恒成立.∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b =1,∴a =1.∴存在a 、b ,使f (x )同时满足三个条件. 第三节 函数的性质 A 组 1.设偶函数f (x )=log a |x -b |在(-∞,0)上单调递增,则f (a +1)与f (b +2)的大小关系为________. 解析:由f (x )为偶函数,知b =0,∴f (x )=log a |x |,又f (x )在(-∞,0)上单调递增,所以0 则f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以f (a +1)>f (b +2).答案:f (a +1)>f (b +2) 2.(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f (1)+f (4)+f (7)等于________. 解析:f (x )为奇函数,且x ∈R ,所以f (0)=0,由周期为2可知,f (4)=0,f (7)=f (1),又由f (x +2)=f (x ),令x =-1得f (1)=f (-1)=-f (1)?f (1)=0,所以f (1)+f (4)+f (7)=0.答案:0 3.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则f (-25)、f (11)、f (80)的大小关系为________. 解析:因为f (x )满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -8)=f (x ),所以函数是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3),又因为f (x )在R 上是奇函数,f (0)=0,得f (80)=f (0)=0,f (-25)=f (-1)=-f (1),而由f (x -4)=-f (x )得f (11)=f (3)=-f (-3)=-f (1-4)=f (1),又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以f (1)>f (0)=0,所以-f (1)<0,即f (-25) 答案:f (-25) 4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f (2x -1) 3)的x 取值范 围是________. 解析:由于f (x )是偶函数,故f (x )=f (|x |),由f (|2x -1|) 3 . 答案:(13,2 3) 5.(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数,对x ∈R ,f (2+x )=f (2-x ),当f (-3)=-2时,f (2011)的值为________. 解析:因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数,所以f (2+x )=f (2-x )=f (x -2),故函数f (x )是以4为周期的函数,所以f (2011)=f (3+502×4)=f (3)=f (-3)=-2.答案:-2 6.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数,周期T =5,函数y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x =2时函数取得最小值-5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)求y =f (x ),x ∈[1,4]的解析式;(3)求y =f (x )在[4,9]上的解析式. 解:(1)证明:∵f (x )是以5为周期的周期函数,∴f (4)=f (4-5)=f (-1), 又∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (1)=-f (-1)=-f (4),∴f (1)+f (4)=0. (2)当x ∈[1,4]时,由题意可设f (x )=a (x -2)2-5(a >0),由f (1)+f (4)=0,得a (1-2)2-5+a (4-2)2-5=0,∴a =2,∴f (x )=2(x -2)2-5(1≤x ≤4). (3)∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (0)=0,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),而f (1)=2(1-2)2-5=-3,∴k =-3,∴当0≤x ≤1时,f (x )=-3x ,从而当-1≤x <0时,f (x )=-f (-x )=-3x ,故-1≤x ≤1时,f (x )=-3x .∴当4≤x ≤6时,有-1≤x -5≤1,∴f (x )=f (x -5)=-3(x -5)=-3x +15.当6 ∴f (x )=????? -3x +15, 4≤x ≤6 2(x -7)2 -5, 6 . B 组 1.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数,则下列结论正确的是________. ①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )=f (x +2) ④f (x +3)是奇函数 解析:∵f (x +1)与f (x -1)都是奇函数,∴f (-x +1)=-f (x +1),f (-x -1)=-f (x -1),∴函数f (x )关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f (x )是周期T =2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f (-x -1+4)=-f (x -1+4), f (-x +3)=-f (x +3),即f (x +3)是奇函数.答案:④ 2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=-f (x +3 2),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,f (1)+f (2)+…+f (2009) +f (2010)=________. 解析:f (x )=-f (x +3 2)?f (x +3)=f (x ),即周期为3,由f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,所以f (1)=-1, f (2)=-1,f (3)=2,所以f (1)+f (2)+…+f (2009)+f (2010)=f (2008)+f (2009)+f (2010)=f (1)+f (2)+f (3)=0.答案:0 3.(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (1)=1,若将f (x )的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2010)=________. 解析:f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-x )=-f (x ),将f (x )的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则满足f (-2+x )=-f (x ),即f (x +2)=-f (x ),所以周期为4,f (1)=1,f (2)=f (0)=0,f (3)=-f (1)=-1,f (4)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2010)=f (4)×502+f (2)=0.答案:0 4.(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有f ′(x )>0,若f (-1)=0,那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________. 解析:在(0,+∞)上有f ′(x )>0,则在(0,+∞)上f (x )是增函数,在(-∞,0)上是减函数,又f (x )在R 上是偶函数,且f (-1)=0,∴f (1)=0.从而可知x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0;x ∈(-1,0)时,f (x )<0;x ∈(0,1)时,f (x )<0;x ∈(1,+∞)时,f (x )>0.∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1). 5.(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x +1),则f (-2009)+f (2010)的值为________. 解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-2009)=f (2009).∵f (x )在x ≥0时f (x +2)=f (x ),∴f (x )周期为2.∴f (-2009)+f (2010)=f (2009)+f (2010)=f (1)+f (0)=log 22+log 21=0+1=1.答案:1 6.(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数,并且对于定义域内任意的x ,满足f (x +2)=-1 f (x ),若当 2 解析:由f (x +2)=-1 f (x ),可得f (x +4)=f (x ),f (2009.5)=f (502×4+1.5)=f (1.5)=f (-2.5)∵f (x )是偶函 数,∴f (2009.5)=f (2.5)=52.答案:5 2 7.(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(-∞,a ]上是增函数,函数y =f (x +a )是偶函数,当x 1 x 2>a ,且|x 1-a |<|x 2-a |时,则f (2a -x 1)与f (x 2)的大小关系为________. 解析:∵y =f (x +a )为偶函数,∴y =f (x +a )的图象关于y 轴对称,∴y =f (x )的图象关于x =a 对称.又∵f (x )在(-∞,a ]上是增函数,∴f (x )在[a ,+∞)上是减函数.当x 1a ,且|x 1-a |<|x 2-a |时,有a -x 1 8.已知函数f (x )为R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (x +1).若f (a )=-2,则实数a =________. 解析:当x ≥0时,f (x )=x (x +1)>0,由f (x )为奇函数知x <0时,f (x )<0,∴a <0,f (-a )=2,∴-a (-a +1)=2,∴a =2(舍)或a =-1.答案:-1 9.(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=________. 解析:因为定义在R 上的奇函数,满足f (x -4)=-f (x ),所以f (4-x )=f (x ),因此,函数图象关于直线x =2对称且f (0)=0.由f (x -4)=-f (x )知f (x -8)=f (x ),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以f (x )在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1+x 2=-12,x 3+x 4=4,所以x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8. 答案:-8 10.已知f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式. 解:∵f (x )是奇函数,可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x >0时,-x <0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f (x )=x lg(2+x ),即f (x )=-x lg(2+x ) (x >0). ∴f (x )=? ???? -x lg(2-x ) (x <0), -x lg(2+x ) (x ≥0).即f (x )=-x lg(2+|x |)(x ∈R ). 11.已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时,恒有f (x +y )=f (x )+f (y ).(1)求证:f (x )是奇函数;(2)如果x ∈R + ,f (x )<0,并且f (1)=-1 2 ,试求f (x )在区间[-2,6]上的最值. 解:(1)证明:∴函数定义域为R ,其定义域关于原点对称. ∵f (x +y )=f (x )+f (y ),令y =-x ,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0,∴f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f (x )+f (-x )=0,得f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数. (2)法一:设x ,y ∈R +,∵f (x +y )=f (x )+f (y ),∴f (x +y )-f (x )=f (y ). ∵x ∈R +,f (x )<0,∴f (x +y )-f (x )<0,∴f (x +y ) 为奇函数,f (0)=0,∴f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.∴f (-2)为最大值,f (6)为最小值.∵f (1)=-1 2,∴f (- 2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2[f (1)+f (2)]=-3.∴所求f (x )在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3. 法二:设x 1 -x 1)<0.∴f (x 2)-f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减.∴f (-2)为最大值,f (6)为最小值.∵f (1)=-1 2,∴f (-2) =-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2[f (1)+f (2)]=-3.∴所求f (x )在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3. 12.已知函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x +2)=-f (x ). (1)求证:f (x )是周期函数; (2)若f (x )为奇函数,且当0≤x ≤1时,f (x )=12x ,求使f (x )=-1 2 在[0,2010]上的所有x 的个数. 解:(1)证明:∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=-f (x +2)=-[-f (x )]=f (x ), ∴f (x )是以4为周期的周期函数. (2)当0≤x ≤1时,f (x )=1 2 x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f (-x )=12(-x )=-12x .∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),∴-f (x )=- 1 2 x ,即f (x )=12x .故f (x )=1 2 x (-1≤x ≤1) 又设1 2 (x -2), 又∵f (x -2)=-f (2-x )=-f [(-x )+2]=-[-f (-x )]=-f (x ),∴-f (x )=12(x -2),∴f (x )=-1 2 (x - 2)(1 ?? 1 2 x (-1≤x ≤1)-1 2 (x -2) (1 由f (x )=-12,解得x =-1.∵f (x )是以4为周期的周期函数.故f (x )=-1 2的所有x =4n -1(n ∈Z ).令0≤4n -1≤2010,则14≤n ≤50234,又∵n ∈Z ,∴1≤n ≤502(n ∈Z ),∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )=-1 2 . 第三章 指数函数和对数函数 第一节 指数函数 A 组 1.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1,b <0,且a b +a -b =22,则a b -a - b 的值等于________. 解析:∵a >1,b <0,∴01.又∵(a b +a -b )2=a 2b +a -2b +2=8,∴a 2b +a -2b =6,∴(a b -a - b )2 =a 2b +a -2b -2=4,∴a b -a -b =-2.答案:-2 2.已知f (x )=a x +b 的图象如图所示,则f (3)=________. 解析:由图象知f (0)=1+b =-2,∴b =-3.又f (2) =a 2-3=0,∴a =3, 则f (3)=(3)3-3=33-3. 答案:33-3 3.函数y =(12)2x -x 2 的值域是________. 解析:∵2x -x 2=-(x -1)2+1≤1, ∴(12)2x -x 2≥12.答案:[1 2 ,+∞) 4.(2009年高考山东卷)若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是________. 解析:函数f (x )的零点的个数就是函数y =a x 与函数y =x +a 交点的个数,由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点,01. 答案:(1,+∞) 5.(原创题)若函数f (x )=a x -1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a 等于________. 解析:由题意知??? 0 a 0 -1=2 无解或??? a >1 a 0-1=0 a 2 -1=2 ?a = 3.答案: 3 6.已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b 2x +1+a 是奇函数.(1)求a ,b 的值; (2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围. 解:(1)因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-1+b 2+a =0,解得b =1. 从而有f (x )=-2x +12x +1+a .又由f (1)=-f (-1)知-2+14+a =--1 2 +11+a ,解得a =2. (2)法一:由(1)知f (x )=-2x +12x +1+2 =-12+1 2x +1, 由上式易知f (x )在R 上为减函数,又因f (x )是奇函数,从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0?f (t 2-2t )<-f (2t 2 -k )=f (-2t 2+k ). 因f (x )是R 上的减函数,由上式推得t 2-2t >-2t 2+k . 即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0,从而Δ=4+12k <0,解得k <-1 3. 法二:由(1)知f (x )=-2x +12x +1+2,又由题设条件得-2t 2 -2t +12t 2-2t +1+2+-22t 2 -k +1 22t 2-k +1+2<0 即(22t 2 -k +1+2)(-2t 2-2t +1)+(2t 2-2t +1+2)(-22t 2 -k +1)<0 整理得23t 2 -2t -k >1,因底数 2>1,故3t 2-2t -k >0 上式对一切t ∈R 均成立,从而判别式Δ=4+12k <0,解得k <-1 3 . B 组 1.如果函数f (x )=a x +b -1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有________. 解析:当0 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是 ________. 解析:f (x )=-x 2+2ax =-(x -a )2+a 2,所以f (x )在[a ,+∞)上为减函数,又f (x ),g (x )都在[1,2]上为减 函数,所以需? ?? a ≤1