8轴向拉压
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
第八章 轴向拉伸与压缩
练习：阶梯杆AD受三个集中力F作用，F=30kN，AB、BC、 CD段的横截面面积分别为10cm2，20cm2，30cm2，试画出阶梯 杆的轴力图，并计算三段杆的横截面上的应力。
A F F
B
C
D
F
19
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
一、拉伸试验与应力—应变图 实验条件： 常温、静载下（缓慢平稳的加载）试验 标准试件 标距尺寸：l=10d 或 l=5d
解：1、分段计算轴力 AB段 Fx 0
1 F2
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0 FN2 F2 F1 0
F1
FN2 F1 F2 10kN
F4
25
FN(kN) 10 10
CD段 Fx 0 F4 FN3 0 FN3 F4 25kN 2、绘制轴力图
20
三种材料的共同特点： 断裂时均有较大的残余变形，均属塑 性材料
o
0.2%
27
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁拉伸时的力学性能 对于脆性材料(铸铁)，拉伸时的应 力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和 颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率 约为 0.5%。为典型的脆性材料。
b
o
b—强度极限，是衡量脆性材料(铸铁)
屈服：应力基本不变，而变形显著增长的现象
s —屈服极限或屈服应力，屈服段内最低应力值
F F 滑移线：材料屈服时试件表面出 现的线纹
23
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
III、硬化阶段（恢复抵抗变形的 能力） 应变硬化：经过屈服滑移后， 材料重新呈现抵抗变形的能力 b —强度极限，硬化阶段内 e 最高应力值，也是材料所 能承受的最大应力
A F F
B
C
D
F
19
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
一、拉伸试验与应力—应变图 实验条件： 常温、静载下（缓慢平稳的加载）试验 标准试件 标距尺寸：l=10d 或 l=5d
解：1、分段计算轴力 AB段 Fx 0
1 F2
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0 FN2 F2 F1 0
F1
FN2 F1 F2 10kN
F4
25
FN(kN) 10 10
CD段 Fx 0 F4 FN3 0 FN3 F4 25kN 2、绘制轴力图
20
三种材料的共同特点： 断裂时均有较大的残余变形，均属塑 性材料
o
0.2%
27
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁拉伸时的力学性能 对于脆性材料(铸铁)，拉伸时的应 力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和 颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率 约为 0.5%。为典型的脆性材料。
b
o
b—强度极限，是衡量脆性材料(铸铁)
屈服：应力基本不变，而变形显著增长的现象
s —屈服极限或屈服应力，屈服段内最低应力值
F F 滑移线：材料屈服时试件表面出 现的线纹
23
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
III、硬化阶段（恢复抵抗变形的 能力） 应变硬化：经过屈服滑移后， 材料重新呈现抵抗变形的能力 b —强度极限，硬化阶段内 e 最高应力值，也是材料所 能承受的最大应力
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
第四章轴向拉伸与压缩
第四章 轴向拉伸和压缩
4.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用在等截面直杆上的外力（或者外力合力）的 作用线和杆轴重合时，杆件的主要变形是轴向拉伸 或者压缩。
经历轴向拉伸（压缩）的等截面直杆称为拉（压） 杆。
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
O
B
C
4F 3F
D 2F
2A
2A
A
FN 3F
+ A
2F
B
+
+
–
C
D
F
4.3 拉（压）杆的应力
1. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
横截面积 A 成反比。即
l Fl A
引入比例常数E，可有
l Fl F
EA
EA
这一关系称为胡克定律。
E 称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征 材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。
在拉压杆中，有
F FN
l Fl FN l FN
EA EA
EA
※ “EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也 相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。
d
向缩短。若拉杆为圆截面，原始
直径为d，变形后直径为d1，
4.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用在等截面直杆上的外力（或者外力合力）的 作用线和杆轴重合时，杆件的主要变形是轴向拉伸 或者压缩。
经历轴向拉伸（压缩）的等截面直杆称为拉（压） 杆。
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
O
B
C
4F 3F
D 2F
2A
2A
A
FN 3F
+ A
2F
B
+
+
–
C
D
F
4.3 拉（压）杆的应力
1. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
横截面积 A 成反比。即
l Fl A
引入比例常数E，可有
l Fl F
EA
EA
这一关系称为胡克定律。
E 称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征 材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。
在拉压杆中，有
F FN
l Fl FN l FN
EA EA
EA
※ “EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也 相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。
d
向缩短。若拉杆为圆截面，原始
直径为d，变形后直径为d1，
第八章 轴向拉压杆的强度计算
x截面上的轴力为
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。
时， 时， 沿杆长的分布规律如图（c）所 示；并可得
横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。
时， 时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其 断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上 的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研 究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。
应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压） 杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
0.33
胡克定律 只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下， 即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度 。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。
时， 时， 沿杆长的分布规律如图（c）所 示；并可得
横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。
时， 时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其 断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上 的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研 究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。
应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压） 杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
0.33
胡克定律 只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下， 即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度 。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则
第八章__变形及刚度计算
8×103 ×180 o = 0.40 / m < [θ ] 4 9 π × 0.110 80×10 × ×π 32
满足刚度条件
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 实心圆轴受扭， 时，横截面的最大切应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
τ max MT MT = = W p πd 3 16
又因为BD段内虽然轴力 又因为 段内虽然轴力 为常数， 为常数，但截面面积又分两 所以要分4段求变形 段求变形。 段，所以要分 段求变形。
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
FN图
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
FN l EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L AB
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
FN l EA
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角
MT 扭转角： 扭转角： ϕ = θdx = dx ∫ ∫0 GI p l
l
单位： 单位：rad
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
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A
600
B
300
C
500
D
E 400
解：（1)求支座约束力
X 0
R 40 55 25 20 0
R 10KN
55KN 25KN 20KN
40KN
A
600
B
300
C
500
D
E
400
R
40KN B
55KN
25KN
20KN
A
C
D
E
(2) 求轴力 求AB段内的轴力
R
40KN B 55KN 25KN 20KN
C
解：AB、BC两段的轴力均为
FN F
l1 =300
l2=200
F=40kN
C B FNl1 40 10 3 0.3 l1 EA1 210 10 9 400 10 -6 A
故
0.143mm 40 10 3 0.2 FNl2 l2 9 -6 EA2 210 10 250 10 0.152mm
求图示等直杆件 横截面 mm 上的内力。
m P m P
截开 在求内力的截面 mm 处，假想地将杆截为 两部分。
m m
P
P
代替 取左部分部分作为研 究对象。弃去部分对 研究对象的作用以截 开面上的内力代替。 合力为 FN
P
m FN m P
平衡
对研究对象列平衡方程
P m P m m P m FN
FN = P
σ
max
FN max [ ] A
（2） 截面设计
A
F
[ ]
N max
（3） 确定许可荷载
F
N max
A[ ]
例：
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的
分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d
=16mm，许用应力[]=170MPa。试校核刚拉杆的强度。
q
C
A
钢拉杆
m
FN P
m
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值， 所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系， 称为轴力图。
F F F
F
F
FN图
将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。
F
FN图
例题 ：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
40KN
55KN
25KN
20KN
50
FN3= - 5KN （－）
10
+
20
FN4=20KN （＋）
+
5
FN图（KN)
FNmax=50KN 发生在BC段内任一横截面上
注意
计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为正值，
则轴力的实际符号与其计算符号一致。
例题：试作此杆的轴力图。
A B
F
q
F l
C
D
F l
F
2l
l
解：（1)求支座约束力
F q
4
l
BC
F l 1.4210 EA
且垂直于轴线。
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形， 因而横截面上没有切应力，只有正应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线 段的伸长(缩短)变形是均匀的。 亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
F
a a' b' b
c c' d' d
F
F
m m
m
F
m
F FN
FN
F
m m
d1
F l l1 横向绝对变形 横向线应变
d
F
d d1 - d
d d
l l
-
----- 泊松比
例 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面 面积A1=400mm2， BC段的横截面面积A2=250mm2, 材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的 伸长量和杆的总变形。 l1 =300 l2=200 F=40kN A B
AB杆：
F
N max
A[ ]
C
FN 2 [ ] A2
3P 170 10 28.69 10
6 4
300
A P
B
P 281.6 KN
许可荷载 [P]=184.6kN
例：刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点， B端作用集中力 P=50KN，许用应力 []=160MPa， 根据强度条件设计CD 杆的 直径。
杆件能安全工作的应力最大值，称为许用应力 []。
0
n
n >1 , 称为安全系数。
n为安全因数，n >1
1. 强度条件：
σ
max
FN max [ ] A
杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力
杆内最大正应力发生横截面，称为 危险截面 。
2.
强度计算的三类问题
（1） 强度校核
FN3
25KN
20KN
F
N3
5KN
(－)
求DE段内的轴力
R
40KN 55KN 25KN 20KN
A
B
C
D
E
4
FN4
20KN
F
20KN N4
(+)
(3) 做轴力图
40KN 55KN 25KN 20KN
A
600
B
300
C
500
D
E 400
1
2
3
4
FN1=10KN （＋） FN2=50KN （＋）
FN l l EA
式中 E 称为 弹性模量 ，单位为 Pa EA为 抗拉（压）刚度 。
胡克定律
FN l l EA
l l E
l l E
l l
E
胡克定律：在弹性范围，正应力与线应变成正比。
二、横向变形
d1
F
l l1
d
F
当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短； 当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。
N2 N1
F
0
N2
P
0
FN 2 3P
(2）求许可荷载
F
N max
A[ ]
由型钢表查得
10.86 2 21.72cm2 A1 14.345 2 28.69cm2 A2
AC杆：
FN 1 [ ] A1
2 P 170 106 21.72 10 4 P 184.62 KN
P3
C B
P2 A
P1
D
l3
l2
l1
R
P3 C B P2
P1
A
D
l3 解：(1)求支座约束力
l2
l1
X 0
R 35 35 20 0
R = -50KN
1
R
P3 C B P2
1
P1 A
D
l3 (2) 作轴力图 -FN1+P1=0
l2
FN1
l1
P1
FN1= 20KN （+）
2
第8章
轴向拉伸和压缩
杆的两端各受一对集中
力P作用，两个P大小相
等，指向相反，且作用 线与杆轴线重合。
P
P a
P a
P
b
称为轴向拉伸，
杆发生纵向伸长。
b 称为轴向压缩
杆发生纵向缩短。
工程中有很多构件的变形是轴向拉伸或压缩。
屋架结构简图
§8-1
直杆轴向拉伸和压缩时的应力和强度条件
一、直杆轴向拉伸和压缩时的内力和内力图 截面法 截面法是求内力的一般方法
A
C
D
E
1
R
FN1
FN1-R=0 FN1=R= 10KN
(+)
求BC段内的轴力
R
40KN B
55KN
25KN
20KN
A
C
D
E
2
R
40KN
FN2
FN2 R 40 0
FN 2 R 40 50 KN
(+)
求CD段内的轴力
R
40KN
55KN 25KN 20KN
A
B
C
D
E
3
FN 3 25 20 0
F=40kN A AC杆的总变形 B
B'
C C'
l l1 l2
0.143 0.152 0.295mm
例题：图示为一变截面圆杆ABCD。已知P1=20KN，
P2=35KN，P3=35KN。l1=l3=300mm，l2=400mm。 d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求： B截面的位移及AD杆的变形
平均应力
c
A
m
P pm A
p
τ
c
σ
P p lim A0 A
P称为c点的应力，反映内力在c点的强弱程度。P 是矢量，通常将其分解为：
垂直于截面的分量 —— 称为正应力 切于截面的分量 —— 称为切应力
p
τ
k
σ 正应力：拉为正，压为负
切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为 正，反之为负 应力单位
FN1=20KN （+） FN2=-15KN （-） FN3=- 50KN （-）
3
2
1
P3 C
2
P2 B
1