吉林省吉林市重点名校2019-2020学年高一下学期期末教学质量检测数学试题含解析

吉林省吉林市重点名校2019-2020学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是62，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π【答案】B【解析】 M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵,,PA PB PC 互相垂直，∴AMP ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM BC ⊥时直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大．此时6AP PM =，6PM =，在直角△PBC 中，26··12PB PC BC PM PC PC PC =⇒=+⨯⇒=． 三棱锥P ABC -1122++=，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为1R =，∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为244R ππ=．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．2．若向量()()1,3,3,MN NP m =-=，且//MN NP ，则MP 等于（ ）A ．()1,3B ．()2,6-C ．()3,2-D ．()3,2【答案】B【解析】【分析】根据坐标形式下向量的平行对应的等量关系，即可计算出m 的值，再根据坐标形式下向量的加法即可求解出MP 的坐标表示.【详解】因为()()1,3,3,MN NP m =-=且//MN NP ，所以()1330m -⨯-⨯=，所以9m =-，所以()()()1,33,92,6MN NP MP ==-++-=-.故选：B.【点睛】本题考查根据坐标形式下向量的平行求解参数以及向量加法的坐标运算，难度较易.已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b 则有12210x y x y -=.3．设等差数列{}n a 的前项的和为n S ，若60a <，70a >，且76a a >，则（ ）A ．11120S S +<B ．11120S S +>C ．11120S S ⋅<D ．11120S S ⋅>【答案】C【解析】 60a <，70a >，767667,,0a a a a a a >∴>-+>，116110S a =<，()()()1121211267126602a a S a a a a +⨯==+=+>，11120S S ∴<，故选C.4．n S 为数列{}n a 的前n 项和,若21n n S a =+,则3S 的值为( )A ．-7B ．-4C ．-2D ．0 【答案】A【解析】【分析】依次求得123,,a a a 的值，进而求得3S 的值.【详解】当1n =时，11121,1S a a ；当2n =时，212221S a a a =+=+，22a =-；当3n =时，31233321,4S a a a a a =++=+=-；故31237S a a a =++=-.故选：A.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列每一项，属于基础题.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2+a 4=6,则S 5等于( )A ．10B ．12C ．15D ．30【答案】C【解析】因为等差数列{a n }中,a 2+a 4=6,故a 1+a 5=6,所以S 5===15.故选C. 6．过点()1,2A 且与原点距离最大的直线方程是（ ）A ．250x y +-=B ．230x y -+=C ．30x y ++=D ．10x y -+=【答案】A【解析】【分析】当直线与OA 垂直时距离最大，进而可得直线的斜率，从而得到直线方程。

【详解】原点O 坐标为(0,0)，根据题意可知当直线与OA 垂直时距离最大， 由两点斜率公式可得：20210OA k -==- 所以所求直线的斜率为：12k =- 故所求直线的方程为：12(1)2y x -=--，化简可得：250x y +-=故答案选A【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线的点斜式方程和一般方程，属于基础题。

7．“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}2na 为等比数列”的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】A【解析】【分析】数列{}n a 是等比数列与命题{}2na 是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若数列{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=，∴22221n n q a a -=，∴数列{}2n a 是等比数列，若数列{}2n a 是等比数列，则2211n n a a q -=，∴n a a =±∴数列{}n a 不是等比数列，∴数列{}n a 是等比数列是数列是等比数列{}2na 的充分非必要条件， 故选：A ．【点睛】 本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．8．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =弦心距为d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ．9．已知函数()ln(1)f x x =+，()g x kx =（*k N ∈），若对任意的(0,)x t ∈（0t >），恒有2()()f x g x x -<，那么k 的取值集合是（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}【答案】A【解析】当2k =时，()()()()222ln 122ln 12f x g x x x x x x x x x -=+-<⇔-+<+<+，画出图象如下图所示，由图可知，2k =时不符合题意，故选A .【点睛】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查选择题的解题策略中的特殊值法.主要的需要满足的是()()2f xg x x -≤，根据不等式的解法，大于在中间，小于在两边，可化简为()222ln 12x x x x x -+<+<+，左右两边为二次函数，中间可以由对数函数图象平移得到，由此画出图象验证是否符合题意.10．过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是（ ）A ．450x y +-=B ．450x y -+=C ．4100x y --=D ．4140x y +-= 【答案】D【解析】【分析】由已知直线方程450x y --=求得直线的斜率，再根据两直线垂直，得到所求直线的斜率，最后用点斜式写出所求直线的方程.【详解】已知直线450x y --=的斜率为：14因为两直线垂直所以所求直线的斜率为4-又所求直线过点(3,2)所以所求直线方程为：24(3)-=--y x即：4140x y +-=故选：D【点睛】本题主要考查了直线与直线的位置关系及直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．如图，ABC 为正三角形，////AA BB CC '''，332CC ABC AA BB CC AB 平面且''''⊥===，则多面体ABC A B C '''-的正视图(也称主视图)是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】【详解】为三角形,,平面,且,则多面体的正视图中,必为虚线,排除B,C,说明右侧高于左侧,排除A.,故选D.12．已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab < 【答案】D【解析】【分析】由题设条件可以得到0,0c a <>，从而可判断A ，B 中的不等式都是正确的，再把题设变形后可得()0ac a c -<，从而C 中的不等式也是成立的，当0b =，D 中的不等式不成立，而0b ≠时，它又是成立的，故可得正确选项.【详解】因为c b a <<且0ac <，故0,0c a <>，所以ab ac >，故A 正确；又0b a -<，故()0c b a ->，故B 正确；而0,0a c ac -><，故()0ac a c -<，故C 正确；当0b =时，22cb ab =，当0b ≠时，有22cb ab <，故22cb ab <不一定成立，综上，选D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题13．已知函数()arcsin(2)2f x x π=+，则13f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】14-【解析】【分析】根据题意令f （x ）＝3π，求出x 的值，即可得出f ﹣1（3π）的值． 【详解】 令f （x ）＝2π+arcsin （2x ）＝3π，得arcsin （2x ）＝﹣6π，∴2x ＝﹣12， 解得x ＝﹣14，∴f ﹣1（3π）＝﹣14． 故答案为：﹣14． 【点睛】本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题，属于基础题．14．把函数4sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则ϕ的最小值为________. 【答案】23π 【解析】【分析】 根据条件先求出平移后的函数表达式为4sin 3y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，令43k πϕπ+=即可得解. 【详解】 由题意可得平移后的函数表达式为4sin 3y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 图象正好关于原点对称，∴()43k k Z πϕπ+=∈即()43k k Z πϕπ=-∈， 又 0ϕ>，∴ϕ的最小值为23π. 故答案为：23π. 【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数()sin y A ωx φ=+的图像与性质，属于基础题.15．不等式()()120x x -->的解集为_____________________。