高三数学重难点题目精选(一)__绝对好题

高三重难点题目精选

1、cos ()cos(30)

x f x x =

-,则()()()()125859f f f f ++⋅⋅⋅++= ____.

593

2

2、已知抛物线21:2C y px =和圆2

222:24

p p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝

⎭

,其中0>p ,直线l 经过1C 的焦点,依次交1C ,2C 于,,,A B C D 四点,则CD AB ⋅的值为____2

4

p ____.

3、已知：P 为椭圆

19

252

2=+y x 上的任意一点，过椭圆的右顶点A 和上顶点B 分别作与x 轴和y 轴的平行线交于C ，过P 引BC 、AC 的平行线交AC 于N ，交BC 于M ，交AB 于D 、E ，矩形PMCN 是1S ，三角形PDE 的面积是2S ，则21:S S （ A ）

A ．1

B ．2

C ．21

D ．与点P 的坐标有关

4、已知点()

22,0Q 及抛物线2

4

x y =上一动点()00,P x y ，则

0y P Q +的最小值为 2 。

5、已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为 ．

6、如图，点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的动点，

12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=.某同学

用以下方法研究OM ：延长2F M 交1PF 于点N ，可知2PNF ∆为等腰三角形，且

M 为2F N 的中点，得11

2

OM NF a =

==.类似地：点(,)(0,0)P x y x y >>是椭圆

E

D C A

B O

P y

x N M x

y

F

A B

O

4小题

22

22

1(0)x y a b a b +=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是 .

7、已知以

4T =为周

期的函数

()f x 在

(13]-，上的解析式为2

(1||),(1,1]

()1(2),(1,3]m x x f x x x -∈-⎧=⎨--∈⎩

,其中0m >,若方程3()f x x =恰有5个实数解,则m 的取值范围为______________. 48(,)33

8、若定义在()

(),11,-∞+∞上的函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞时，

()23

1

x f x x -=

-，则下列结论中正确的是 （ C ） （A ）存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤

-

+⎢⎥⎣

⎦恒成立； （B ）对任意t R ∈，()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤

-

+⎢⎥⎣

⎦

恒成立； （C ）对任意t R -

∈，()f x 在11,22t t ⎡⎤

-

+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数； （D ）对任意t R +

∈，()f x 在11,22t t ⎡⎤

-

+⎢⎥⎣

⎦

上始终存在反函数。 9、已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 (0,2)_ .

10、设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22

a b +（ ）

（A ）最小值为

15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为1

5

（D ）最大值为55

11、2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作，则小张不从事翻译工作且小赵不从事司机工作的概率是（B ）

P M

y

x

1

F 2

F O

M

N

P y x

2

F 1F

O

3.5A 13.20B 19.20C 2.5

D 注：用间接法求解时，注意小赵不从事司机时有两种情况：一，不选司机；二、不参加。

12、某地有,,,A B C D 四人先后感染了甲型11H N 流感，其中只有A 到过疫区。B 肯定是受A 感染的.对于C ，因为难以断定是受A 感染还是受B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是

1

2

。同样也假定D 受A ，B 和C 感染的概率都是1

3。在这种假定之下，,,B C D 中直接接受A 感染的人数X 就是一个随

机变量，则X 的数学期望为 11

6

。

13、若x A ∈，且1A x ∈，则称A 是“伙伴关系集合”．在集合11

{1,0,,,1,2,3,4}32

M =-的所有非空子集

中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 （ A ） A ．

117 B ．1

51

C ．

7255 D ．4

255

14、定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，集合}9,7,5,3,1{=A 的真子集可以作为A 的“孙集”的概率是

26

31

. 15、定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1

[1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90

n a n

+的最小值为 .13

16、证明：（母题）相关问题可网上搜索 （1）求证：.12)1

21

1()511)(311)(11(+>-++++n n （2）求证：111ln(1)123n n

+<+

+++ 17、设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数()()0,11x

x a f x a a a

=>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡

⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦的值域为 。{-1，0}

18、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数: ()()()1K f x f x f x ⎧⎪

=⎨⎪⎩

()()f x K

f x K ≤>取函数()12x

f x ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，当12K =

时，函数()K f x 的值域是 [)10,1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦

．

19、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数:()()()1K f x f x f x ⎧⎪

=⎨⎪⎩

()()f x K f x K ≤>取函数()x

f x a

-=（a ＞１）．当1

K a

=

时，函数()K f x 值域是( D ) A ．[)10,1,a a ⎡⎤⎢⎥

⎣⎦

B ．[]10,

1,a a ⎛⎤

⎥⎝⎦

C ．(]10,1,a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭

D ．[)10,1,a a ⎛⎤

⎥

⎝⎦

20、设不等式组*00

()4x y n N y nx n >⎧⎪

>∈⎨⎪≤-+⎩

所表示的平面区域n D 的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为,n a 则

2420101

()2010

a a a +++= 3018 。

21、已知数列()1212:,,,0,3n

n A a a a a a a n ≤<<<≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，

j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：

①数列0,1,3,5,7具有性质P ；②数列0,2,4,6,8具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则10a =； ④若数列54321,,,,a a a a a )0(54321a a a a a <<<<≤具有性质P ，则1322a a a +=。 其中真命题有 ②③④ 。

22、设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零常数l ，使得对于任意()x M M D ∈⊆都有()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的高调函数，l 是一个高调值。现给出下列命题：

①函数1()()2

x

f x =为R 上的高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的高调函数

③若函数x x x f 2)(2+=为]1,(-∞上的高调函数，则高调值l 的取值范围是]4,(--∞. 其中正确的命题个数是 （ D ） （A ）0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 23、已知函数x x f x 2log )3

1

()(-=，正实数a 、b 、

c 成公差为正数的等差数列，且满足

0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若实数0x 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是

（ C ）A ．a x <0 B ．b x >0 C ．c x <0 D ．c x >0

24、在实数R 中定义一种运算“*”，具有下列性质： ⑴对任意a b b a R b a *=*∈,, ⑵对任意a a R a =*∈0, ⑶对任意()()()(),,,2a b c R a b c c ab a c b c c ∈**=*+*+*- 则函数()2x f x x =*

x R ∈的单调递减区间是 3

(,]2-∞- ． 25、设1,,,,a

b S a b

c

d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬

⎪

⎝⎭⎪⎪⎩

⎭

,

2,,,,0a b S a b c d a d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪

=∈==+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

.已知矩阵2468A B ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

, 其中1A S ∈, 2B S ∈．那么B = 0 -11 0⎛⎫

⎪⎝⎭

． 26、设平面向量(1,2)a =．当b 变化时, 2

2

m a a b b =+⋅+的取值范围为 15

[

,)4

+∞ ． 27、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 ．9

28、记矩阵A=201103161315⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

中的第i 行第j 列上的元素为,i j a ．现对矩阵A 中的元素按如下算法所示的

方法作变动，直到不能变动为止：若,1,i j i j a a +>，则,,

1,1,,,i j i j

i j i j

M a a a a M ++

←←←，否则不改变，

这样得到矩阵B ．再对矩阵B 中的元素按如下算法所示的方法作变动：若,,1i j i j a a +>，则

,,,1

,

1,,i j i j i

j i

j N a a a a N ++←←←，否则不改变，这样得到矩阵C ，则C= 0 0 1 11 1 3 51 2 3 6⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

． 29、洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即

2

n

）；如果它是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到一个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第六项为1，则n 的所有可能的取值为 {4,5,32 ． 30、数列{}n a 满足11a =，11

n n n a a n λ

+-=+，其中λ∈R ，12n =，，． ①当0λ=时，20a =___

1

20

__；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是

__(21,2),k k k -∈*

N ___. 31、若22213

2*22132

10(2)

,n

n n n n x a x a x

a x a x a x a n N -

-+=++++++∈，则1351n a a a a

-

++++的值

为 .

21(31)2

n

- 32、对于给定的自然数n ，如果数列12,,

,()m a a a m n >满足：1,2,3,

,n 的任意一个排列都可以在原

数列中删去若干项后按数列原来的顺序排列而得到，则称12,,,()m a a a m n >是“n 的覆盖数列”.如1,2,1

是“2的覆盖数列”；1,2,2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是“3的覆盖数列”为（ ）

.1,2,3,3,1,2,3A .1,2,3,2,1,B .1,2,3,1,2

,C .1,2,3,2,2,D 33、已知1212012

1()20122

n n n n a n -- , <⎧⎪

=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）

(A ）lim n n a →∞

和lim n n S →∞

都存在 (B) lim n n a →∞

和lim n n S →∞

都不存在

(C) lim n n a →∞

存在，lim n n S →∞

不存在 (D) lim n n a →∞

不存在，lim n n S →∞

存在

34、数列{}n a 中，2

2

21

,11000,10012n n n a n n n n

⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限值等于（ ） .0A .1B .0C 或1 .D 不存在

35、手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示.在作曲线段AB 时，该学生想把函数

]2,0[,21

∈=

x x y 的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段

AB 在

[23]x ∈，上对应的函数解析式________.12

222y x =-+（

）. 36、在证明恒等式2222*

1123(1)(21)(N )

6

n n n n n +++

+=++∈时，可利用组合数表示2n ，即221*12(N )n n n C C n +=-∈推得.类似地，在推导恒等式33332

*(1)123[](N )2

n n n n +++++=∈时，也

可以利用组合数表示3n 推得.则3

n =______________.31321*121666()n n n n n C C C C C n N ++++-+∈或

x

y

O A

B

22

3

37、已知函数12,02()122,1

2

x x f x x x ⎧

≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1

()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n =.则满足

方程()n f x x =的根的个数为（ ）C

A 、2n

B 、22n

C 、2n

D 、2(21)n

-

38、对任意一个非零复数z ，定义集合

{

},n Z A z n N ωω*

==∈，设α是方程2

10x

+=的一个根，若在

A α

中任取两个不同的数，则其和为零的概率为P = (结果用分数表示)．1

3

39、满足0|||2|4z z z i -++=的复数z 在复平面上对应的点Z 的轨迹是线段，则复数0z 在复平面上对应的点的轨迹是 .

40、问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155

x x +=，考察函数

34()()()55

x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法

可得到不等式：6

3

2

(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ． 41、若1

)(+=

x x

x f ，)()(1x f x f =，()[]()*1()2

n n f x f f x n n -=≥∈N ，,则()()++21f f …()()()()1220122012111f f f f ++++

+ = ．

42、某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k ∈k (N )个人正在使用或等待使用该取款机的概率为)(k p ，

根据统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⋅=)5(0

)

50()0()21()(k k p k p k

，，，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率

为（ ） A.

158； B. 74 ； C ． 63

32

； D. 3116

43、“()1f x ≤”是“()f x 的最大值为1”的 条件.必要非充分

44、一条铁路有n 个站，为适应客运需要，新增加了m 个站(1)m >，客运车票增加了62张，求原有的车站个数.15

解析：2262n m

n

P

P +-=2622m m n m

+-⇒=，又*

,n m N ∈15,2n m ⇒==

45、如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥

M PCA -的体积.若1

()(,,)2

f M x y =,且18a x y +≥恒成立,则正实数a 的最小值为________.

46、椭圆13

42

2=+y x 上有2007个不同的点200721,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列)2007,,3,2,1|}({| =n FP n 是公差为d

的等差数列，则d

的取值范围

是 .11

(,0)(0,)10031003

-⋃47、设双曲线1422=-y x 的右焦点为F ，点1P 、2P 、…、n P 是其右上方一段（522≤≤x ，0≥y ）上的点，线段F P k 的长度为k a ，（n k ,,3,2,1 =）．若数列{}n a 成等差数列且公差)5

5

,51(∈d ，则n 最大取值为 ．14 48、若*111

()1()23

31

f n n n =+

+++

∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ ． 49、用数学归纳法证明*(1)(2)()212(21)()n n n n n n n Z +⋅+⋅

⋅+=⋅⋅⋅

⋅-∈.从假定当n k =时等式成

立证明当1n k =+时等式也成立时，等式左边需要加乘的式子是 . 2(21)k +

45题图