高等数学(同济第六版)第二章第2节
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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同济大学高数第六版基本概念及公式总结(土木数学兴趣小组)
四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。
同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分知识分享
3 x) 3x
f (x0 )
3 f ( x0 )
6．
（ 2） lim f ( x0 h) f ( x0 h) lim f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h)
h0
h
h0
h
lim f (x0 h)
h0
h
f (x0)
lim f (x0
h0
h) f (x0) h
2 f ( x0 )
内可导；
（ 2）若函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导，在区间左端点 a 的右导数 f (a) 和区间右
端点 b 的左导数 f (b) 均存在，则称 y f (x) 在闭区间 [ a,b] 上可导． 定义 4 若函数 y f ( x) 在区间 I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，
x
x x0
x x0
值为 y f ( x) 在点 x0 的 左导数 ，记为 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) lim f ( x0 x0
x)
f (x0)
f (x) lim
f ( x0 ) ．
x
x x0
x x0
（ 2）设函数 y f ( x) 在点 x0 的某右邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 右侧取得增量
v(t0 ) lim v t0
1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
s lim t0 t
lim s(t0
t0
t) s(t0) ． t
已知曲线 C : y f ( x) ，求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率．
欲求曲线 C 上点 M 0( x0 , y0) 的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的
高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限课件
ln 若0 q 1, 任给 0, 取N , ln q 则当n N时, 有 q 0 q q
n n N ln ln q log q
q
q
lim q 0.
n n
例3 设x n 0, 且 lim x n a 0,
例4 证明数列xn ( 1)n 1 是发散的. 数列xn ( 1)
n1
不以任何实数a为极限
三. 数列极限的性质 1. 有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个 ) 落在其外.
数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim xn a
n
0, N 0, n N , xn a . one of all , for every , exist .
数 列
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
例如 2,4,8, ,2 n , ; {2 n }
1 1 1 1 , , , , n , ; { 1 } 2 4 8 2 2n
同济高等数学第六版D11_2数项级数及审敛法
1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n
1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
同济大学高等数学第六版上第二章第二节 函数的求导法则
(sin x ) cos x sin x (cos x ) cos
2
x
cos
2
x sin cos
2
2
x
x
1 cos
2
sec x
2
x
即
2 (tan x ) sec x .
同理可得
2 (cot x ) csc x .
一、和、差、积、商的求导法则
定理
如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且
(1) [ u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [ u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); ( 3) [ u( x ) v( x ) ] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) v ( x)
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
④
作为（2）的特殊情况
若 v c ，则 ( cu ) c u
或
[Cf ( x )] Cf ( x );
即常数因子可以提到导数符号的外面
[ k i f i ( x ) ]
i 1 n
k i f i( x )
u( x h) u( x ) v( x h) v( x ) h v ( x h )v ( x )
h 0
v ( x ) u( x )
lim
h
h 0
高等数学第六版上下册全同济大学出版社
B ABAc
y
特例: R R 记 R2
为平面上的全体点集
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B AB
OA x
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二、 映射
引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
y 1 x
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(Leabharlann 1 2)21 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
高等数学同济第六版上册课件CH5-2微积分基本公式
n
＝lim n i1
1＋（ 1i）2
1 n
＝1 1 01＋x2
dx
n
＝ arctxa10n ＝ 4 #
2. 设 f(x ) x 2 x 0 2f(x )d x 2 0 1f(x )d x ,求 f (x).
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f(x)dxa,
2
0 f
(x)dxb
0a
xb x
a
a
定理 2 (原函数存在定理 ）若 f(x)在 a,上 b 连续
则 Φ xa xf(t)dt是 f(x)的原 . 函数
注意:
1o 公式运 d (用 ) (ft)dt f()； d( ) a
2o 积分下限函数的导数：
d b f(t)d t f(x).
dxx
试一试 :
d
dx2
有一般 性吗？
S (t) v (t) S (t)是 v (t)的一.个原
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二、积分上限的函数及其导数
若f(x)在a,b上连续 x ， a,b，定积
x
a
f(t)dt存在称，其为积分上 记Φ 限 x.函
即 Φ x ＝ a xf(t)dt a x b
y yf(x) 注：
x
Φx xf(t)dt xf(x)dx
例8 求lim cosx
x0
x2
四、内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x ) C [ a , b ] , 且 F ( x ) f ( x ) ,则有
b
a
f
(x)dx
f()b (a)F ()b (a)F (b)F (a)
积分中值定理
微分中值定理
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