数学复习解排列组合问题的四大原则
排列组合知识点及排列组合经典例题讲解
排列组合知识点及排列组合经典例题讲解
排列组合一直是一个比较难的知识内容，今天极客数学帮就来给同学们讲讲排列组合的知识点，主要还是要从练习题上对这个知识点进行掌握，所以就和极客数学帮一起来看看关于排列组合的知识点和例题解析吧。
１．计数原理知识点
①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步)
②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)
2．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）
插空法（解决相间问题）
间接法和去杂法等等。
高中数学排列组合问题的几种基本方法
高中数学排列组合问题的几种基本方法总结1. 分组（堆）问题分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)处理问题的原则：①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.1. 分组（堆）问题例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴先将四项工程分为三“堆”，有种分法；⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴共有6×6＝36种不同的发包方式.211421226C C C A2.插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.♀ ♀♀ ♀ ♀♀ ♀↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.3.捆绑法相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?解：（1）分两步进行：♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀甲 乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：55A 有=120种排法26A 有=30种插入法120303600∴⨯共有＝种排法第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.4.消序法(留空法)几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？解法1：将5个人依次站成一排，有 种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为22A 有＝2种捆法2120240∴⨯共有＝种排法55A 有＝120种排法55A 22A 535522543A A A =⨯⨯=35A 33551A A ⨯=4.消序法(留空法)变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?解: 如图所示将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,种排法.其中必有四个↑和七个→组成!BA BA所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A 到B 共有 条不同的路径.5.剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .5.剪截法：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 514(51)(81)11C C --+-=315455C =3984C =因此，不同的分配方案共有84种 .6.错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.7.剔除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条.解：所有这样的直线共有 条，其中不过原点的直线有 条，∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条. 2615C =37210A =1266180A A ⨯=小结:①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).巩固练习1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ ）A.43B.34 C.34A D.34C 2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A.24种B.18种C.12种D.6种3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A.4448412C C C 种B.34448412C C C 种 C.3348412A C C 种 D.334448412A C C C 种。
高考数学排列组合解题技巧总结
高考数学排列组合解题技巧总结一、定义排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m个元素的一个排列.组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.二、学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的.2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。
弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.4、“正难则反”是处理问题常用的策略.三、常用方法1、合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有$A_5^3$种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。
2、“至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有:$C_5^3$（种）3、注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。
如何有效解决初中数学中的排列与组合问题
如何有效解决初中数学中的排列与组合问题数学是一门精确的科学，其中的排列与组合问题是初中数学中的重要内容之一。
掌握排列与组合的解题方法，不仅可以提高数学成绩，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍如何有效解决初中数学中的排列与组合问题。
一、排列与组合基础知识概述在解决排列与组合问题之前，首先需要了解排列与组合的基本概念。
1. 排列：从一组不同的元素中取出一部分进行排列的方式，称为排列。
若从n个元素中取出m个元素进行排列，记作A(m,n)或P(m,n)，则有：A(m,n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。
2. 组合：从一组不同的元素中取出一部分进行组合的方式，称为组合。
若从n个元素中取出m个元素进行组合，记作C(m,n)，则有：C(m,n) = A(m,n) / m! = n! / (m! × (n-m)!)其中，m!表示m的阶乘。
以上是排列与组合的基础概念和公式，接下来将介绍如何利用这些知识解决数学题目。
二、排列与组合问题的解题方法1. 利用公式解题：若题目给定了元素的个数和要求的排列或组合的个数，可以直接利用排列或组合的公式计算出结果。
例如，题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行排列，可以计算出A(3,8) = 8 × 7 × 6 = 336。
如果题目要求从8个不同的元素中取出3个元素进行组合，可以计算出C(3,8) = A(3,8) / 3! = 336 / (3 × 2 × 1) = 56。
2. 分类讨论解题：有些排列与组合问题需要进行分类讨论，根据不同的情况进行解答。
例如，题目要求某班有8位学生，其中4位男生和4位女生，从中选出3位学生组成科学小组。
首先可以将问题进行分类，分别讨论男生全部、女生全部和男女各一种情况下的排列或组合方法。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
高中数学排列组合知识总结
排列组合问题的解题策略排列组合综合问题的一般解题规律:1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定：“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，所以分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，不论哪类办法都能将事情单独完成；而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，掌握分类和分步的基本技能，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、特殊元素——优先考虑法。
对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（B ）。
A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个例2． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．（72种）二.正难则反——总体排除法。
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．例3、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．故选C．A．140种 B．80种 C．70种 D．35种例4.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 35－3＝32个.三．相邻问题——用捆绑法。
排列组合的5种方法
排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。
在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。
第一种方法是使用乘法原则。
乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。
例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。
第二种方法是使用加法原则。
加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。
例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。
第三种方法是使用排列。
排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。
第四种方法是使用组合。
组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。
例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。
第五种方法是使用二项式定理。
二项式定理是一个用于展开二项式的公式。
它可以用于计算排列和组合的值。
二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
高中数学解题技巧之排列组合问题求解
高中数学解题技巧之排列组合问题求解在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和解题方法。
排列组合问题在考试中经常出现，因此学会解决这类问题是非常重要的。
本文将介绍一些高中数学中排列组合问题的解题技巧，并通过具体的例子来说明这些技巧的应用。
一、排列问题的解题技巧排列是指从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方式。
在解决排列问题时，我们需要关注以下几个方面：1. 确定排列的元素个数：在题目中，通常会给出元素的个数，我们需要根据题目要求确定排列的元素个数。
例如，有5个人站成一排，问有多少种不同的站法？在这个问题中，元素的个数为5。
2. 确定排列的顺序：排列问题中的元素是按照一定的顺序排列的，我们需要确定排列的顺序。
例如，从5个人中选出3个人排成一排，问有多少种不同的排法？在这个问题中，我们需要确定排列的顺序。
3. 使用排列的公式：在解决排列问题时，我们可以使用排列的公式来计算不同排列的数量。
排列的公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n表示元素的个数，m表示排列的元素个数，n!表示n的阶乘。
例如，从5个人中选出3个人排成一排，可以使用排列的公式计算排列的数量：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。
二、组合问题的解题技巧组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
在解决组合问题时，我们需要关注以下几个方面：1. 确定组合的元素个数：在题目中，通常会给出元素的个数，我们需要根据题目要求确定组合的元素个数。
例如，从5个人中选出3个人，问有多少种不同的选法？在这个问题中，元素的个数为5。
2. 不考虑组合的顺序：组合问题中的元素是不考虑顺序的，我们不需要确定组合的顺序。
例如，从5个人中选出3个人，不考虑顺序，可以使用组合的公式计算组合的数量：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
3. 使用组合的公式：在解决组合问题时，我们可以使用组合的公式来计算不同组合的数量。
数学排列题型解题技巧
数学排列题型解题技巧
数学排列题型是数学中的基本题型之一，主要涉及数字的排列组合，以达到一定的数学目的。
下面是一些排列题型的解题技巧:
1. 观察特征，迅速找到解题关键。
对于排列题型，需要先仔细观察题目特征，理解题意，找到解题关键。
例如，题目中的某个数字或者顺序是关键信息，需要通过它来推导出其他信息。
2. 分类讨论，避免遗漏。
排列题型中常常出现多种不同的排列方式，需要分类讨论，避免遗漏。
例如，对于一组数字的排列，需要考虑全排列、顺序排列、逆序排列等不同的情况。
3. 利用组合，简化计算。
组合数学是排列题型的重要工具，它可以帮助简化计算，降低解题难度。
例如，对于一组数字的排列，可以利用组合数学的知识，计算出其中某一项的概率，或者计算出一组数字中所有可能排列方式的数量。
4. 善于联想，拓宽思路。
排列题型中常常出现一些隐含的条件或者信息，需要善于联想，拓宽思路，从而找到解题的关键。
例如，在排列题型中，需要特别注意题目中的隐含条件，它们可能会对解题产生重要的影响。
5. 多做练习，提高解题能力。
排列题型需要不断的练习才能提高解题能力。
可以通过做更多的排列题型，来加深对排列题型的理解和认识，提高自己的解题能力。
排列组合常用四种方法-周丽红
排列组合常用四种方法中公教育研究与辅导专家 周丽红排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。
而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。
例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。
一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。
1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。
12C 44A =2×24=48。
二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。
2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 22A 。
最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。
三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。
3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。
最终结果表示为：33A 24A =6×12=72四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。
4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。
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解排列组合问题的四大原则
湖北张良强
排列、组合是高中数学的重要内容，新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的重要性．高考对排列组合的考查以两个基本原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理为出发点，侧重检测解题思想和解题技巧，因而对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时训练的核心．下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略之“四大原则”．
一、特殊优先原则
该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．
例１甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（）
Ａ．90种Ｂ．89种
Ｃ．60种Ｄ．59种
解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有2
5
C种;②从剩下的4天中选2天安排乙有2
4
C种;③仅剩2天安排丙有22C种．由分步乘法
计数原理可得一共有222
54260
C C C
··种，即选Ｃ．
评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑．
二、先取后排原则
该原则充分体现了m m m n
m n
C A
A =·的精神实质,先组合后排列，从而避
免了不必要的重复与遗漏．
例2 将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）．
Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种
解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有2
4
C 种分法,再将这
三组分配到三所学校有33
A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有
234336
C A =·种不同分配方案．
评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有3
4
A 种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有
3种选择，则共有34
372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、
丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则． 三、正难则反原则
若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．
例3 在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ） Ａ．1
26
94
C C Ｂ．126
99
C C Ｃ．33100
94
C
C - Ｄ．3310094A
C -
解析：从100件次品中取3件产品,至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有3
94
C 种取法，
所以满足条件的不同取法是3310094
C
C -，故选Ｃ．如果从正面考虑,则必
须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本
例最易迷惑人的是Ｂ：12
699
C C，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品,再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立,第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF,正品为甲乙丙丁戊…则12
699
C C可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复．
评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则,如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律,如当问题中含有“至少",“最多”等词语时，易用此原则．
四、策略针对原则
不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．
１．相邻问题捆绑法（整体法)，相隔问题插空法
例４某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被安排到一起(演讲序号相连），而２班的２位同学没有被排在一起的概率为（)
Ａ．1
10Ｂ．1
20
Ｃ．1
40
Ｄ．1
120
解析：10人的全排列数是10
10
A,即所有的演讲顺序有1010A种．符合要求的演讲顺序有两个限制：一班的3位同学相邻，而2班的2位同学不相邻,因此分步完成：
①把一班的3位同学看成一个整体，他们自身全排列有3
3
A种安排；
②把这个整体当成1个元素与其他班5个元素一起排列有6
6
A种安排；
③把这6个元素排定后有7个空位（包含两端），从这7个空
位中任取2个空位安排2班的2位同学有27
A 种排法(这样确保2位同
学不相邻）．
满足条件的排列共有3
623
6
7
A A A ··种,即所求概率是
36236710
101
20
A A A A =··，故选Ｂ．
评注：处理相邻问题和不相邻问题时易采用整体法（确保相邻)和插空法（确保相隔)，只是要注意是先整体后插空（相邻与不邻的综合问题）或先排后插（单纯的相隔问题)，再就是要注意整体元素的排列顺序问题．
2．合理分类直接分步法 例5
在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有（ ）个． ( ） Ａ．56 Ｂ．57 Ｃ．58 Ｄ．60 解析：所有大于23145且小于43521的数由以
下几类构成:
由分类加法计数原理可得，一共有23432
2343212222158
A
A A A A ++++++=个,故
选Ｃ．
评注：合理分类与直接分步是两个基本原理-—-分类加法计数原理和分步乘法计数原理最直接的体现，是解排列组合问题的最原始的方法．诸多排列组合问题总是从合理分类，直接分步得到解决的．
3．顺序一定消序法（用除法）
例6 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为( ）．
Ａ．42 Ｂ．30 Ｃ．20 Ｄ．12
解析：新插入两个节目，而原来的5个节目顺序不变，从结果考虑，7个节目的全排列是7
7
A ，而顺序不变的5个节目的全排列是55
A ，
不变的顺序是总体的551A ，则一共有
77
55
42A A =种不同的插入种数,故选A ．
评注:某些元素顺序不变的排列用除法解决，即若共有n 个元素，其中m 个元素顺序不变，则其不同的排列数为．当然本题可以这样考虑：最终有7个节目位置，从7个位置中任选2个位置安排新增节目有2
7
A 种方法，其他5个位置按原5个节目的固定顺序排列，
因此共有27
42
A
=种不同的插入方法．
４．对象相同隔板法
例7 （1）高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有______种不同的安排方法．
(2)（2003年荆州市质检卷Ⅱ）10个相同的小球放到3个不同的盒中，每个盒不空，一共有______种不同的放法．
解析：两例的实质一样,属于同一模型———对象相同，这类问
题处理方式较多，但隔板法简单易操作：10个相同的小球有9个空档（确保盒子不空)．从9个空档中选2个空档放入两块隔板，将小球分成三部分（每一种放档板的放法对应着10个小球分成3部分的分法）,每部分一一对应着一个不同的小盒．因此一共有2
9
C种不同
的放法，即2
936
C=种．而把10个竞赛名额分配给3个班，每班至少1个名额的方法与此一模一样．
评注：研究的对象是不加区别的元素时，一般考虑隔板法．这是一个基本的数学模型，由此变形的问题是：10
x y z
++=有多少组正整数解？而解法不变．。